R2 - Exercícios



Trigonometria.(Resumo)

Relação fundamental:

Sabemos que a2 = b2 + c2, dividindo os dois membros por a2 :

[pic] ( sen2( + cos2( = 1

Temos também que: [pic]e[pic]

Como [pic], concluímos que: [pic]

O ciclo trigonométrico

O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, com o seu centro localizado na origem ( 0,0 ) do sistema de coordenadas cartesianas no plano.

Podemos associar um ponto ( x,y ) sobre a circunferência e a esse ponto arcos, medidos a partir da intersecção ( 0,1 ) do semi-eixo positivo Ox, denominado origem do ciclo.

A partir do ponto ( 0,1 ) podemos percorrer arcos na circunferência que serão orientados conforme a convenção:

Sentido anti-horário( positivo

Sentido horário ( negativo

• Se o percurso tiver mais de uma volta, ainda assim você deverá chamá-lo de arco.

• Como o raio da circunferência mede 1, o comprimento do arco é numericamente o seu valor em radianos

Arcos côngruos

Definição:

Dois arcos são côngruos quando suas medidas diferem de um múltiplo de 360° = 2( radianos.

Logo a expressão geral dos arcos côngruos a x é dada por:

x + 2k( se x estiver em radianos e x° + k.360°, se x for medido em graus, com k inteiro.

Exemplos de arcos côngruos:

• 60° e 60° + 360°

• 60° e 60° - 5.360° ou seja, 60° e -1740°

• (/4 e (/4 + 7.2(

• (/4 e (/4 – 4.2(

Seno, cosseno e tangente no ciclo trigonométrico

I-O segmento orientado OP1 indica o cosseno de x.

cosx > 0 o ponto P1 está à direita do ponto O ( máximo = 1

cosx < 0 o ponto P1 está à esquerda do ponto O ( mínimo = - 1

cosx = 0 se os pontos O e P1 forem coincidentes

II-O segmento orientado OP2 indica o seno de x

senx > 0 o ponto P2 está acima do ponto O ( máximo = 1

senx < 0 o ponto P2 está abaixo do ponto O ( mínimo = - 1

senx = 0 se o ponto P2 coincide com o ponto O

III-A tangente do ângulo x é a medida algébrica do segmento AB ( tgx = AB

O ponto B é a intersecção do prolongamento do raio OP com a reta tangente.

Se o ponto P estiver no eixo das ordenadas (y), não existe a tangente portanto devemos ter:

tgx > 0 ( o ponto B está acima de A

tgx < 0 ( o ponto B está abaixo de A

tgx = 0 ( o ponto B está no eixo das abscissas

|graus |seno |cosseno | |

|0 |0 |1,000 |90 |

|5 |0,087 |0,996 |85 |

|10 |0,174 |0,985 |80 |

|15 |0,259 |0,966 |75 |

|20 |0,342 |0,940 |70 |

|25 |0,423 |0,906 |65 |

|30 |0,500 |0,867 |60 |

|35 |0,574 |0,819 |55 |

|40 |0,643 |0,766 |50 |

|45 |0,707 |0,707 |45 |

| |cosseno |seno |graus |

As relações inversas de seno, cosseno e tangente

Desde que um número seja não nulo, é possível calcularmos o seu inverso.

Importante: O inverso de um número tem o mesmo sinal do valor inicial.

Exemplo:

Secante de um ângulo

A secante de um ângulo x é o inverso do cosseno do mesmo ângulo. Para que exista o inverso de um número ele não deve ser nulo. Logo:

Exemplos:

cos60° = 1/2 então, sec60° = 2

cos0° = 1 então, sec0° = 1

cos( = -1 então, sec( = -1

cos90° = 0 então, sec90° não existe

Interpretação geométrica da secante

Vamos seguir a linha de raciocínio de extrair os conceitos básicos do triângulo retângulo e depois generalizar.

Por semelhança de triângulos, vamos verificar que a secante é em módulo a medida da hipotenusa OB. É possível utilizar outro segmento, fazendo outro tipo de construção geométrica porém, o entendimento torna-se mais difícil e o processo é trabalhoso.

Raciocínio: O sinal da secante é o mesmo do cosseno.

Ao aplicarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo OAB, temos:

A cotangente e a cossecante de um ângulo

A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente do mesmo ângulo

Como conseqüência imediata temos:

A cossecante de um ângulo é o inverso do seno desse ângulo

Interpretação geométrica da cotangente e da cossecante

De modo análogo àquele utilizado para mostrar a tangente e a secante no ciclo trigonométrico, vamos interpretar cotgx e cossecx. ( OB’)

Observe que a reta tangente é agora, paralela ao eixo das abscissas:

Resumo das relações trigonométricas

[pic]

Função seno

A cada número real x podemos associar outro número real y = senx.

• senx existe para todo x real, logo, o domínio da função é IR

• o máximo valor de senx é 1 e o mínimo é –1, então, o conjunto imagem da função é { y ( IR / -1 < y < 1}

• Esboço do gráfico:

|x |senx |

|0 |0 |

|(/2 |1 |

|( |0 |

|3(/2 |-1 |

|2( |0 |

O segmento orientado OP2 indica o seno de x

senx > 0 o ponto P2 está acima do ponto O ( máximo = 1

senx < 0 o ponto P2 está abaixo do ponto O ( mínimo = - 1

senx = 0 se o ponto P2 coincide com o ponto O

Função cosseno

A cada número real x podemos associar outro número real y = cosx.

• cosx existe para todo x real, logo, o domínio da função é IR

• o máximo valor de cosx é 1 e o mínimo é –1, então, o conjunto imagem da função é { y ( IR / -1 < y < 1}

• Esboço do gráfico:

|x |cosx |

|0 |1 |

|(/2 |0 |

|( |-1 |

|3(/2 |0 |

|2( |1 |

O segmento orientado OP1 indica o cosseno de x.

cosx > 0 o ponto P1 está à direita do ponto O ( máximo = 1

cosx < 0 o ponto P1 está à esquerda do ponto O ( mínimo = - 1

cosx = 0 se os pontos O e P1 forem coincidentes

Função tangente

A tangente do ângulo x é a medida algébrica do segmento AB ( tgx = AB

O ponto B é a intersecção do prolongamento do raio OP com a reta tangente.

Se o ponto P estiver no eixo das ordenadas (y), não existe a tangente portanto devemos ter:

• Domínio da função: { x ( IR / [pic]}

• Conjunto imagem IR

Veja alguns valores do primeiro quadrante

|ângulo |tangente |ângulo |tangente |

|0° |0,000 |50° |1,192 |

|5° |0,087 |55° |1,428 |

|10° |0,176 |60° |1,732 |

|15° |0,268 |65° |2,145 |

|20° |0,364 |70° |2,747 |

|25° |0,466 |75° |5,732 |

|30° |0,577 |80° |5,671 |

|35° |0,700 |85° |11,430 |

|40° |0,839 |89° |57,290 |

|45° |1,000 |90° |Não existe |

tgx > 0 ( o ponto B está acima de A

tgx < 0 ( o ponto B está abaixo de A

tgx = 0 ( o ponto B está no eixo das abscissas

* Esboço do gráfico

Adição de arcos, arco duplo e arco metade

Introdução:

Vamos observar a tabela a seguir dos valores notáveis de seno, cosseno e tangente.

| |30° |45° |60° |

|seno |[pic] |[pic] |[pic] |

|cosseno |[pic] |[pic] |[pic] |

|tangente |[pic] |1 |[pic] |

Note que:

sen(30° + 30°) = sen60° é diferente de

sen30° + sen30° = [pic]

Você pode também verificar que

sen(30° + 60°) = sen90° = 1 é diferente de:

sen30° + sen60° = [pic]

Fórmulas da soma e da diferença de dois arcos

seno da soma

sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa (1)

Exemplo: sen(30° + 45°) = sen30°.cos45° + sen45°.cos30°

• seno da diferença

sen(a - b) = sena.cosb - senb.cosa (2)

Exemplo: sen(90° - x) = sen90°.cosx - senx.cos90°

Como sen90° = 1 e cos90° = 0, temos:

sen(90° - x) = cosx, vale para todo x real e confirma a propriedade de ângulos complementares vista anteriormente.

• cosseno da soma

cos(a + b) = cosa.cosb – sena.senb (3)

Exemplo: cos(( + x) = cos(.cosx – sen(.senx

Como cos( = -1 e sen( = 0, temos:

cos(( + x) = -1.cosx = - cosx

O resultado é válido para todo x real porém, você pode confirmar pela imagem a seguir, imaginando x agudo.

• cosseno da diferença

cos(a - b) = cosa.cosb + sena.senb (4)

Exemplo:

cos(2( - () = cos2(.cos( + sen2(.sen(

Como cos2( = 1 e sen2( = 0, temos:

cos(2( - () =cos(

Aproveite o esquema anterior e confirme o resultado supondo ( um ângulo agudo. Você vai notar que 2( - ( tem extremidade no quarto quadrante.

• Tangente da soma

[pic] (5)

Exemplo: Se tg45° = 1 e tg37° =3/4 (valor aproximado), qual o valor de tg82°?

[pic]

[pic] Observação: tg82° = 7,1153697...

• Tangente da diferença

[pic] (6)

Exemplo: [pic]

Então, [pic] Utilize novamente o esquema anterior e confirme o resultado supondo ( um ângulo agudo. Você vai notar que ( - ( tem extremidade no segundo quadrante.

Fórmulas de arcos duplos

Para escrevermos as fórmulas de arcos duplos faremos o seguinte procedimento:

Nas fórmulas (1), (3) e (5), a = b = x e assim, no lugar de a + b teremos x + x = 2x

Veja, por exemplo, que de sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa podemos obter:

sen2x = senx.cosx + senx.cosx = 2senx.cosx.

Utilizando raciocínio análogo e com o auxílio da relação fundamental, sen2x + cos2x = 1 é possível completarmos o formulário a seguir:

Exemplos:

1-(Fuvest-SP) Calcule o valor de tg22°30’, sabendo a fórmula (9) que foi fornecida na prova da primeira fase.

Resolução:

Fazendo 2x = 45°, x = 22°30’ e tg45° = 1, temos

[pic]ou [pic], onde t = tg22°30’

Resolvendo a equação do segundo grau 1 – t2 = 2t ( t2 + 2t –1 = 0

[pic]

Como 22°30’ é do primeiro quadrante, tg2°30’ > 0, logo,

[pic]

2-Se cos53° = 0,6 e sen53° = 0,8, calcule sen106° e cos106°

Resolução:

sen106° = 2sen53°.cos53° = 2.0,8.0,6 = 0,96

cos106° = cos253° – sen253° = 0,36 – 0,64 = - 0,28

Calcule novamente cos106° utilizando as equações:

cos2x = 2cos2x – 1 e cos2x = 1 – 2sen2x

Trigonometria: Equações e inequações

Nesta aula vamos determinar os valores de x em igualdades e desigualdades trigonométricas com sen(f(x)), cos(f(x)),...

As resoluções das equações inequações trigonométricas serão divididas em dois grupos para facilitar o aprendizado:

• soluções com intervalo

• soluções gerais

Para escrevermos as soluções gerais devemos lembrar o conceito de arcos côngruos

Definição:Dois arcos são côngruos quando suas medidas diferem de um múltiplo de 360° = 2( radianos.

Logo a expressão geral dos arcos côngruos a x é dada por:

a) x + 2k( se x estiver em radianos

b) x° + k.360°, se x for medido em graus, com k inteiro.

Equações básicas

Vamos iniciar a resolução de equações do tipo senx = m, cosx = n, tgx = p.

Exemplos: Determine os valores de x que satisfazem as equações

1-2senx – 1 = 0 2-cosx + 1 = 0 3-tgx – 1 = 0

considerando: a) 0 < x < 2( b) x ( IR

1-Resolução

2senx – 1 = 0 então senx = 1/2

Observe no gráfico da função y = senx que temos infinitos valores de arcos côngruos a 30° e 150°

[pic]

Resposta:

[pic][pic]

2-Resolução:

cosx + 1 = 0, então cosx = - 1.

No intervalo 0 < x < 2(, temos x = ( e para x real devemos escrever a expressão geral dos arcos côngruos.

Resposta:

a) S = { ( } b) [pic] ou [pic]

3- Resolução:

tgx – 1 = 0, então tgx = 1

Resposta:

a) [pic]

b) [pic]

Equações fatoráveis

As equações trigonométricas que apresentaremos a seguir podem ser resolvidas com recursos de fatoração como: fator comum, agrupamento, produtos notáveis, mudança de variáveis, etc.

Exemplos: Resolva as equações para x pertencente ao intervalo: [0;2(]

a) [pic] b) 2cos2x + cosx – 1

Resolução:

a) [pic] colocando tgx em evidência temos:

[pic]portanto tgx = 0 para x = 0, x = (, x = 2(

ou [pic]para x = (/3, x = 4(/3

Resposta: S = {0;(/3;(;4(/3;2(}

b) 2cos2x + cosx – 1

Podemos resolver a equação como 2t2 + t – 1 = 0

[pic]

[pic]então,

t= cosx = - 1 para x = (

cosx = 1/2 par x = (/3 ou x = 5(/3

Resposta S = {(/3;(;5(/3}

Inequações trigonométricas

Para resolver as inequações trigonométricas proceda do mesmo modo como nas equações, determinando inicialmente os valores da incógnita no intervalo [0;2(].

Exemplo:

Resolva 2senx – 1 > 0, considerando:

a) 0 < x < 2( b) x ( IR

Resolução:

2senx – 1 > 0, então senx > 1/2

Resposta: a)[pic]

b) [pic]

Bom trabalho!

Rodrigo Serra.

-----------------------

(

1/2

1

5(/3

(/3

(

[pic]

[pic]

( tgx = 1

(

(

(

(

(

1/2

1

[pic]

[pic]

sen2x = 2senx.cosx (7)

cos2x = cos2x – sen2x (8)

cos2x = 2cos2x – 1 (8-1)

cos2x = 1 – 2sen2x (8-2)

[pic](9)

cosx

(

( + x

x

(-) (+)

[pic]

P

A

P2

O

P1

x

B

[pic]

[pic]

[pic]

1 + tg2x = sec2x

A

[pic]

P

P2

O

P1

x

A

B

[pic]

P

A

P2

O

P1

x

A’

B’

cotgx

[pic]

Observe, na tabela as propriedades dos arcos complementares como no exemplo:

sen20° = cos70° = 0,342

cos55° = sen35° = 0,574

sen55° = cos35° = 0,819

[pic]

P

A

P2

O

P1

x

B

[pic]

(

A

B

C

c

b

a

(

[pic]

[pic]

................
................

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