Numerical Methods in Heat, Mass, and Momentum Transfer

Draft Notes ME 608

Numerical Methods in Heat, Mass, and Momentum Transfer

Instructor: Jayathi Y. Murthy School of Mechanical Engineering

Purdue University

Spring 2002

c 1998 J.Y. Murthy and S.R. Mathur. All Rights Reserved

2

Contents

1 Mathematical Modeling

9

1.1 Conservation Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2 Conservation Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Governing Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.1 The Energy Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 The Momentum Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.3 The Species Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 The General Scalar Transport Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4 Mathematical Classification of Partial Differential Equations . . . . . 14

1.4.1 Elliptic Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Parabolic Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . 16

1.4.3 Hyperbolic Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . 17

1.4.4 Behavior of the Scalar Transport Equation . . . . . . . . . . . 17

1.5 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Numerical Methods

21

2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Mesh Terminology and Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Regular and Body-fitted Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.2 Structured, Block Structured, and Unstructured Meshes . . . . 23

2.2.3 Conformal and Non-Conformal Meshes . . . . . . . . . . . . 25

2.2.4 Cell Shapes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.5 Node-Based and Cell-Based Schemes . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Discretization Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.1 Finite Difference Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.2 Finite Element Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3 Finite Volume Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Solution of Discretization Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.1 Direct Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4.2 Iterative Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5 Accuracy, Consistency, Stability and Convergence . . . . . . . . . . . 35

2.5.1 Accuracy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.5.2 Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3

2.5.3 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.4 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 The Diffusion Equation: A First Look

37

3.1 Two-Dimensional Diffusion in Rectangular Domain . . . . . . . . . . 37

3.1.1 Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Dirichlet Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.2 Neumann Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.3 Mixed Boundary Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 Unsteady Conduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.1 The Explicit Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.2 The Fully-Implicit Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.3 The Crank-Nicholson Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Diffusion in Polar Geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Diffusion in Axisymmetric Geometries . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6 Finishing Touches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6.1 Interpolation of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6.2 Source Linearization and Treatment of Non-Linearity . . . . . 57

3.6.3 Under-Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.7 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.8 Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.8.1 Spatial Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.8.2 Temporal Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.9 Stability Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.10 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 The Diffusion Equation: A Closer Look

67

4.1 Diffusion on Orthogonal Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2 Non-Orthogonal Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.2 Secondary Gradient Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2.3 Discrete Equation for Non-Orthogonal Meshes . . . . . . . . 75

4.3 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.4 Gradient Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.1 Structured Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.4.2 Unstructured Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.5 Influence of Secondary Gradients on Coefficients . . . . . . . . . . . 86

4.6 Implementation Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.6.1 Data Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.6.2 Overall Solution Loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.7 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4

5 Convection

91

5.1 Two-Dimensional Convection and Diffusion in A Rectangular Domain 91

5.1.1 Central Differencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.1.2 Upwind Differencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2 Convection-Diffusion on Non-Orthogonal Meshes . . . . . . . . . . . 96

5.2.1 Central Difference Approximation . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.2 Upwind Differencing Approximation . . . . . . . . . . . . . 97

5.3 Accuracy of Upwind and Central Difference Schemes . . . . . . . . . 98

5.3.1 An Illustrative Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.3.2 False Diffusion and Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.4 First-Order Schemes Using Exact Solutions . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4.1 Exponential Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4.2 Hybrid Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.4.3 Power Law Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5 Unsteady Convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.5.1 1D Finite Volume Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.5.2 Central Difference Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.5.3 First Order Upwind Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.5.4 Error Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.5.5 Lax-Wendroff Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.6 Higher-Order Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.6.1 Second-Order Upwind Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.6.2 Third-Order Upwind Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.6.3 Implementation Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.7 Higher-Order Schemes for Unstructured Meshes . . . . . . . . . . . . 114

5.8 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.9 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.9.1 Inflow Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.9.2 Outflow Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.9.3 Geometric Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.10 Closure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6 Fluid Flow: A First Look

121

6.1 Discretization of the Momentum Equation . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.2 Discretization of the Continuity Equation . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3 The Staggered Grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

6.5 Solution Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.6 The SIMPLE Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

6.6.1 The Pressure Correction Equation . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.6.2 Overall Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.6.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.6.4 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.6.5 Pressure Level and Incompressibility . . . . . . . . . . . . . 134

6.7 The SIMPLER Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.7.1 Overall Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5

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