MATEMATIKA



MATEMATIKA

díl III.

Mgr. Alena Tichá

Obsah:

Teorie funkcí 4

Způsoby zadání funkcí: 4

Funkční hodnota 4

Definiční obor funkce 5

Obor hodnot funkce 6

Monotonie funkce 6

Průsečíky funkce se souřadnými osami: 7

Úkoly : 7

Lineární funkce 8

Základní vlastnosti lineární funkce: 8

Ukázkové příklady: 9

Přímá úměra 10

Konstantní funkce 10

Úkoly : 10

Kvadratická funkce 11

Základní vlastnosti kvadratické funkce: 11

Ukázkový příklad: 13

Posouvání grafu funkce 14

Úkoly 16

Goniometrické funkce ostrého úhlu 17

Definice funkcí: 17

Úkoly 20

Řešení pravoúhlého trojúhelníka 21

Úkoly : 22

Jednotková kružnice , goniometrické funkce obecného úhlu 23

Vlastnosti funkcí sinus a kosinus 24

Vlastnosti funkcí tangens a kotangens: 26

Hodnoty goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech: 29

Úkoly 31

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi 32

Úkoly 34

Teorie funkcí

Funkce je jednoznačně daný předpis, který tvoří dvojice z reálných čísel

x a y.

- značí se f(x) = … nebo y = …. ( obě značení jsou rovnocenná )

- ke každému x existuje pouze jediné y ( jinak se nejedná o funkci )

Způsoby zadání funkcí:

1) rovnicí : např. f(x) = 3x – 1 ; y = x + 2

- ke každému x pak dopočítáme y dosazováním do rovnice

- např. pro x = 1 je f(1) = 3.1 – 1 = 2 ( tj. y = 2 )

- dvojice se dají určit prakticky pro libovolná x

2) tabulkou :

|x |1 |3 |7 |9 |11 |

|y |2 |5 |12 |19 |2 |

- dvojice jsou vidět pod sebou v tabulce : tj. pro x = 1 je f(1) = 2, pro x = 3 je f(3) = 5 atd.

- pozor nelze určit dvojice, které nejsou v tabulce tj. např. pro x = 2 f(2) nelze určit

3) slovním popisem: např. f přiřazuje lichému číslu číslo 2 a sudému číslu číslo 7

- opět lze určit pouze dvojice, jak je slovně popsáno – tj. pro x = 2 (sudé číslo) f(2) = 7 , pro x = 9 (liché číslo) f(9) = 2

- pro x = 0 f(0) neexistuje, protože 0 není ani liché ani sudé číslo a slovní popis se o ní nezmiňuje

4) grafem :

- zadané x se najde na vodorovné ose a k němu se na svislé ose najde odpovídající y (předpokládá to ale, že graf je přesně sestrojen)

Funkční hodnota je číslo f(x) (resp. y), které určíme z předpisu funkce pro dané x.

- rozlišujme dva možné úkoly :

a) pro danou funkci f(x) = 3x – 1 určete funkční hodnoty v bodech 1; 3; 7

zadané body jsou x a hledaná čísla f(x) a je tedy : f(1) = 3.1 – 1 = 2; f(3) = 3.3 – 1 = 8; f(7) = 3.7 – 1 = 20

b) pro danou funkci f(x) = 3x – 1 určete x, jejichž funkční hodnota je rovna 1; 3; 7 – nyní je zadáno f(x) a my hledáme x a je tedy 1 = 3x – 1 a odtud je x = 2/3 tj. f(2/3) = 1; dále 3 = 3x – 1 a odtud je x = 4/3 tj. f(4/3) = 3 a konečně 7 = 3x – 1 a odtud x = 8/3 neboli f(8/3) = 7

Definiční obor funkce je množina všech čísel x, která umíme dosadit do předpisu funkce a umíme tudíž k nim najít jejich funkční hodnotu – značíme Df.

- při jeho určování vycházíme buď z běžných matematických pravidel nebo ze znalosti vlastností konkrétní funkce

- pokud je definiční obor dán, pak „se tváříme“ , že čísla mimo tento obor neexistují

- v grafu jej hledáme na vodorovné ose x a znázorňujeme tak, že v bodě, kde je uzavřený interval rýsujeme plnou rovnoběžku s osou y a kde je interval otevřený, je rovnoběžka čárkovaná

[pic]

Příklad: Určete definiční obory funkcí:

a) [pic]

- vzhledem k tomu, že do této funkce umíme dosadit cokoliv a vypočítat funkční hodnotu, platí Df = R (všechna reálná čísla)

b) [pic]

- už z učiva o lomených výrazech víme, že musí platit [pic] ; jinak můžeme dosadit cokoliv, takže [pic] (všechna reálná čísla kromě –3)

c) [pic]

- víme, že odmocňovat lze jen kladná čísla a musí být tedy [pic], odtud [pic] a je tedy [pic]

d) [pic]

- pokud je v předpisu funkce za středníkem nějaký údaj, zpravidla interval, je to právě definiční obor a tedy [pic]

- POZOR ! ačkoliv do předpisu umíme dosadit např. 10, f(10) neexistuje, neboť [pic]

Obor hodnot funkce je množina všech funkčních hodnot ( neboli všechna y, která lze z funkce vypočítat – značíme Hf.

- zpravidla jej určujeme z grafu a to tak, že určíme funkční hodnoty nejnižšího a nejvyššího bodu grafu a oborem hodnot je pak vše mezi těmito hodnotami

- obor hodnot v grafu hledáme tedy na svislé ose y

Monotonie funkce je vlastnost, kdy má funkce „stálý“ průběh. Rozlišujeme dva druhy monotonie – funkce klesající a funkce rostoucí.

- často lze tuto vlastnost určit jen pro část funkce

Funkce je rostoucí, když pro zvětšující se x se zvětšují také funkční hodnoty (jakási přímá úměra).

- tato vlastnost se dobře pozná z grafu : pokud se pohybujeme po křivce grafu zleva doprava a zároveň nahoru, je funkce rostoucí

Funkce je klesající, když pro zvětšující se x se zmenšují jejich funkční hodnoty (jakási nepřímá úměra).

- v grafu při pohybu po křivce zleva doprava jdeme směrem dolů

Průsečíky funkce se souřadnými osami:

- je nutné si uvědomit tyto základy : každý bod, který leží na ose x má souřadnici y = 0 a každý bod, který leží na ose y má souřadnici x = 0

- průsečíky s osou x (značíme [pic]) určíme tak, že položíme f(x) = 0 a vypočteme příslušnou rovnici

- průsečíky s osou y (značíme [pic]) určíme tak, že do předpisu funkce dosadíme x = 0 a vypočteme f(0)

Příklad: Určete průsečíky s osami funkce [pic]

[pic] - řešením kvadratické rovnice dostaneme [pic] a pak je tedy

[pic]

[pic] a je tedy

[pic]

Úkoly : 1) Určete všechny vlastnosti funkce:

[pic]

2) Určete definiční obory funkcí:

[pic]

Výsledky: 1) a) [pic]; grafem je úsečka

1) b) [pic]

[pic]grafem je parabola

2) a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]

Lineární funkce

- je každá funkce zapsaná ve tvaru f(x) = ax + b, kde a, b mohou být libovolná reálná čísla

- jednoduše řečeno: v zápisu funkce je proměnná v první mocnině ( ne vyšší ), ale nesmí být ve jmenovateli zlomku nebo pod odmocninou

Příklady: [pic]

[pic]

- některé funkce jsou „skrytě“ lineární – neboli jejich „lineárnost“ objevíme až po úpravě předpisu: [pic]

- některé funkce, které nejsou lineární:

[pic]

Základní vlastnosti lineární funkce:

1) Definiční obor – pokud není přímo zadán, pak Df = R

2) Obor hodnot – zpravidla Hf = R ( pokud je omezený definiční obor, je omezen též obor hodnot )

- existují též výjimky, kdy je předpis upravován a tudíž je i definiční obor a obor hodnot něčím omezen – to ale nebude předmětem našeho studia

3) Monotonie – pokud je a > 0, pak je funkce rostoucí a pokud je a < 0, pak je funkce klesající (můžete si ověřit grafem)

4) Graf – grafem je vždy přímka nebo její část

- pokud je Df konečný interval, grafem je úsečka

- pokud je Df nekonečný interval, grafem je polopřímka

- je zřejmé, že k sestrojení grafu, stačí vypočíst dva body a spojit přímkou (popř. úsečkou nebo polopřímkou)

Ukázkové příklady:

1) Napište rovnici lineární funkce, když víte, že na leží body [pic].

[pic]

2) Určete všechny vlastnosti funkce [pic]

[pic]

graf:

|x |1 |3 |

|y |1 |-1 |

Přímá úměra

- je druh lineární funkce, která má předpis f(x) = ax (a tedy b = 0), kde a může být libovolné reálné číslo

- vlastnosti se příliš neliší od vlastností lineární funkce

- Df = R (pokud není dáno jinak)

- Hf = R (pokud není omezen Df)

- monotonie – viz lineární funkce

- graf – přímka nebo její část, která prochází počátkem soustavy souřadnic a z toho vyplývá, že k narýsování grafu nám stačí zjistit jen jeden bod

Konstantní funkce

- je druh lineární funkce, která má předpis f(x) = b ( a tedy a = 0 ), kde b může být libovolné reálné číslo

- vlastnosti se příliš neliší od vlastností lineární funkce

- Df = R ( pokud není dáno jinak )

- Hf = { b } – a to vždy !

- monotonie se neurčuje – prostě je to konstantní funkce

- graf je přímka nebo její část, která je rovnoběžná s osou x a prochází bodem [ 0 ; b ] a z toho vyplývá, že nemusíme počítat žádné další body

Úkoly : 1) Určete předpis lineární funkce, na které leží body A = [ -1 ; 2 ] a B = [ 2 ;  4 ] .

2) Určete předpis konstantní funkce, na které leží bod A = [ 4 ; 7 ] .

3) Určete předpis přímé úměry, na které leží bod A = [ 4 ; 7 ].

4) Určete všechny vlastnosti funkcí:

[pic]

Výsledky: 1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic]; 4) a) lineární, rostoucí, grafem je úsečka, [pic] ; b) přímá úměra, klesající, grafem je polopřímka procházející počátkem soustavy souřadnic, [pic] ; c) konstantní, grafem je přímka rovnoběžná s x procházející bodem – 3 na ose y, [pic] , Px neexistuje

Kvadratická funkce

- je každá funkce zapsaná ve tvaru f(x) = ax2 + bx + c, kde a, b, c mohou být libovolná reálná čísla [pic] (jinak by byla lineární)

- tato rovnice funkce se nazývá obecným tvarem zápisu

- jednoduše řečeno: v zápisu funkce je proměnná ve druhé mocnině (ne vyšší a ne nižší), ale nesmí být ve jmenovateli zlomku nebo pod odmocninou

Příklady: [pic]

[pic]

- některé funkce, které nejsou kvadratické:

[pic]

Základní vlastnosti kvadratické funkce:

1) Definiční obor – pokud není přímo zadán, pak Df = R

2) Vrchol – je význačný bod, který rozhoduje o monotonii funkce, oboru hodnot a součinovém tvaru funkce

- souřadnice označíme [pic] a vypočteme podle vzorce

- [pic]

- y0 dopočteme z předpisu funkce tak, že do něj dosadíme x0 ;

neboli y0 = f(x0)

3) Obor hodnot – pokud je neomezený definiční obor

- závisí na koeficientu a

- [pic]

- [pic]

4) Monotonie – se může určit jen částečně, protože zčásti je vždy rostoucí a zčásti klesající

- bodem, kde se monotonie „obrací“, je právě vrchol

- lépe toto nahlédneme, až uvidíme graf

5) Graf – je křivka, která se jmenuje parabola; její přesný tvar je závislý na koeficientu a

- rozevření paraboly určuje koeficient a

- k jeho sestrojení nám stačí znát vrchol, koeficient a (pro lepší orientaci se hodí i průsečíky s osami)

6) Průsečíky s osami – řešíme jako u jiných funkcí; průsečík s osou x vede na kvadratickou rovnici

7) Součinový tvar – je tvar zápisu, který se někdy hodí k výpočtům a řešení nerovnic : [pic] , kde x1 a x2 jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice

8) Vrcholový tvar – je tvar zápisu, kde jsou přímo vidět souřadnice vrcholu

[pic]

Pozn. Později se naučíme všechny tři tvary zápisu mezi sebou převádět.

Ukázkový příklad:

Určete všechny vlastnosti funkce [pic]

a) Df = R

b) koeficienty: a = – 1 ; b = 5 ; c = – 4

c) vrchol : [pic]

[pic]

d) [pic]

e) průsečíky s osou x: [pic]

[pic]

f) průsečík s osou y : x = 0

[pic]

g) monotonie ( vyplývá z grafu )

rostoucí v intervalu: [pic]

klesající v intervalu: [pic]

h) součinový tvar : [pic]

i) vrcholový tvar: [pic]

Posouvání grafu funkce

- lze aplikovat na jakoukoliv funkci; vysvětlení na kvadratické je nejjednodušší

- pravidla : g(x) = - f(x) „otočit graf funkce f vzhůru nohama“

g(x) = f(x – a) „posunout graf funkce f do bodu + a (!) na ose x“

g(x) = f(x) + b „posunout graf funkce f do bodu + b na ose y“

g(x) = ( f(x) ( „ tu část grafu funkce f, která byla pod osou x, zobrazit osově souměrně nad osou x“

Ukázkový příklad:

Sestrojte graf funkce g(x) = – (x + 3)2 + 2

- budeme sestrojovat postupně (jen pro výklad – za normálních okolností studenti zvládají rychleji)

a) základní funkcí je f(x) = x2

b) tu posuneme do – 3 na ose x

c) nově vzniklou funkci posuneme do +2 na ose y

d) nově vzniklou funkci otočíme vzhůru nohama

Úkoly : Určete všechny vlastnosti funkcí:

[pic]

Výsledky: 1) koeficienty a = 1; b = - 2; c = 4; [pic]

[pic]obecný tvar f(x) = x2 + 2x +4; součinový tvar neexistuje, grafem je parabola rozevřená nahoru

2) koeficienty a = – 2; b = c = 0; [pic];

[pic]; součinový i vrcholový tvar je shodný s obecným; grafem je parabola rozevřená dolů, „uříznutá“ rovnoběžkou s osou y v bodě – 1 na ose x ( viz Df )

3) koeficienty a = 1; b = – 3; c = 2; [pic]

[pic]obecný tvar f(x) = x2 – 3x + 2 ; vrcholový tvar [pic]; grafem je parabola rozevřená nahoru

Goniometrické funkce ostrého úhlu

- jsou funkce, pomocí kterých lze spočítat úhly v pravoúhlém trojúhelníku

- jsou definovány pomocí pravoúhlého trojúhelníka

Zopakujme si:

- dobře si povšimněte značení trojúhelníka

Definice funkcí:

Sinus úhlu ( je poměr protilehlé odvěsny a přepony trojúhelníka.

- označení : sin (

- výpočet: [pic]

Kosinus úhlu ( je poměr přilehlé odvěsny a přepony trojúhelníka.

- označení : cos (

- výpočet : [pic]

- vzhledem k tomu, že přepona je nejdelší stranou trojúhelníka, vždy platí [pic]

Tangens úhlu ( je poměr odvěsny protilehlé a přilehlé úhlu (.

- označení : tg (

- výpočet : [pic]

Kotangens úhlu ( je poměr odvěsny přilehlé a protilehlé úhlu (.

- označení : cotg (

- výpočet : [pic]

Při bližším zkoumání objevíte tyto vztahy:

[pic]

Nutno ještě připomenout:

- úhly je možné uvádět ve stupních a minutách nebo v tzv. obloukové míře jako násobky čísla ( nebo v radiánech

- k vzájemnému převodu stačí vědět, že ( = 180o = 3,14

Příklad:

Převeďte úhly:

[pic]

[pic]

[pic]

Poznámka:

příslušné trojčlenky: 180o (

80o x

___________________________

x : ( = 80 : 180

[pic]

3,14 (

6,28 x

___________________________

x : ( = 6,28 : 3,14

[pic]

Důležité !!!! Naučte se pracovat s úhly a goniometrickými funkcemi na kalkulačce – bez tohoto umění se neobejdete!!!

Úkoly : 1) Úhly vyjádřete ve stupních, v radiánech a jako násobky (:

[pic] [pic] [pic]

2) Pro daný trojúhelník určete goniometrické funkce všech úhlů:

a) KLM – m je přepona

b) PQR – p je přepona

3) Určete přeponu y trojúhelníka XYZ, když víte, že x = 34cm a

( = 49o.

Výsledky: 1) [pic]

[pic]

2) a) [pic]

[pic]

b) [pic]

[pic]

3) [pic][pic]

Řešení pravoúhlého trojúhelníka

- řešit trojúhelník znamená určit délky všech jeho stran a velikosti všech úhlů

Připomínám:

- součet všech úhlů v trojúhelníku je roven 180o

- v každém pravoúhlém trojúhelníku jsou definovány goniometrické funkce, které využíváme při jeho řešení

- v každém pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta (a naopak, když platí Pythagorova věta, máme jistotu, že trojúhelník je pravoúhlý): Součet obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu čtverce nad přeponou.

- možná pomůže zcela nematematická formulace:

„přepona2 = odvěsna2 + odvěsna2“

- graficky a vzorcem:

[pic]

- vždy dodržujte jména přepony a odvěsen podle zadaného trojúhelníka!

Příklad: Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c = 17 m a odvěsnou b = 8 m.

[pic]

[pic]

Úkoly : 1) Určete délky stran rovnoramenného trojúhelníka ABC se základnou AB, když výška vc = 8,4 cm a úhel při základně ( = 32o 10´ .

2) Řešte trojúhelník DEF, který má přeponu d = 8 cm a úhel ( = 62o 40´ při vrcholu F.

3) Nosník má vodorovné rameno délky d = 95 cm. Určete jeho délku x šikmého ramene, které svírá s vodorovným směrem úhel 50o .

4) Schodiště s 50 schody má výšku 9 m a sklon 24o . Vypočtěte výšku v a šířku c jednoho schodu.

5) Vzdálenost dvou železničních stanic je 4 km. Stoupání trati je 8 (o . Vypočtěte výškový rozdíl těchto stanic a úhel stoupání. (Stoupání 8 (o tj.8 promile znamená, že při vodorovné vzdálenosti 1 000m trať stoupne o 8m .)

Výsledky: 1) základna je 26,7 cm, ramena jsou 15,8 cm

2) e = 3,7 cm; f = 7,1 cm; ( = 27o 20´

3) x = 1,48 m

4) výška je 18 cm; šířka je 40 cm

5) výškový rozdíl je 32 m a úhel stoupání je 0o 27´

Jednotková kružnice , goniometrické funkce obecného úhlu

- je kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem jedna

- pomocí ní lze určit goniometrické funkce a jejich vlastnosti

- soustava souřadnic ji rozděluje na čtyři části – tzv. kvadranty, které číslujeme v protisměru hodinových ručiček

- měříme na ní libovolné úhly – kladné v protisměru hodinových ručiček a záporné po směru hodinových ručiček

- úhly měříme vždy od kladné části osy x

- obrázek a následující tabulky hodně napoví

Průvodič bodu je úsečka, která spojuje střed jednotkové kružnice (počátek soustavy souřadnic) s bodem K na jednotkové kružnici.

- je zřejmé, že délka průvodiče je vždy jedna, neboť je to poloměr jednotkové kružnice

Úhly x měřené na jednotkové kružnici jsou vždy úhly, které svírá průvodič bodu K s kladnou částí osy x.

- takto je možno naměřit úhly libovolné velikosti

Základní úhel je kladný úhel naměřený v prvním až čtvrtém kvadrantu (tj. menší než 360o) a je velmi významný pro další výpočty.

Příklad: napoví, jak takový úhel najít

Určete základní úhel k daným úhlům:

a) x = - 65o = 360o – 65o = 295o

b) x = 459o = 459o – 360o = 99o

Funkce sinus úhlu x je definována jako druhá souřadnice bodu K, jehož průvodič svírá s osou x úhel x.

Funkce kosinus úhlu x je definována jako první souřadnice bodu K, jehož průvodič svírá s osou x úhel x.

- jednoduše řečeno funkci sinus hledáme vždy na ose y a funkci kosinus na ose x

- takto lze i určit, jakých hodnot funkce nabývají a jaké mají znaménko v jednotlivých kvadrantech (viz níže uvedená tabulka)

- z jednotkové kružnice také vyplývá, že hodnoty funkce sinus a kosinus jsou minimálně – 1 a maximálně + 1

- z jednotkové kružnice také vyplývá základní vztah mezi oběma funkcemi:

[pic]

Vlastnosti funkcí sinus a kosinus

1) definiční obor – Df = R ( díky jednotkové kružnici, lze funkci vypočítat pro jakýkoliv úhel )

2) obor hodnot – Hf = < -1;1> - viz poznámka výše

3) periodicita – funkce jsou periodické ( tj. jejich hodnoty se pravidelně opakují ) a to vzhledem k tomu, že po „oběhnutí“ jednotkové kružnice ( tj. po 360o se dostáváme do stejných míst jednotkové kružnice )

4) perioda – u obou funkcí je 360o = 2( ( to je po kolika stupních se hodnoty opakují )

5) monotonie – viz tabulka níže – lze též odvodit z grafu nebo jednotkové kružnice

6) graf – všimněte si význačných bodů grafu, jako jsou průsečíky s osou x a osou y

Funkce tangens úhlu x je definována jako podíl funkce sin x a cos x.

Funkce kotangens úhlu x je definována jako podíl funkce cos x a sin x.

- znaménko v jednotlivých kvadrantech se pak se řídí znaménky funkcí sinus a kosinus ( viz níže uvedená tabulka )

Vlastnosti funkcí tangens a kotangens:

1) definiční obor – funkce tangens [pic](díky tomu, že funkce kosinus nabývá v lichých násobcích [pic] hodnoty 0)

funkce kotangens [pic] (díky tomu, že funkce sinus nabývá v sudých násobcích [pic] hodnoty 0)

2) obor hodnot – Hf = R

3) periodicita – funkce jsou periodické ( tj. jejich hodnoty se pravidelně opakují )

4) perioda – u obou funkcí je 180o = ( ( to je po kolika stupních se hodnoty opakují )

5) monotonie – viz tabulka níže – lze též odvodit z grafu nebo jednotkové kružnice

6) graf – všimněte si význačných bodů grafu, jako jsou průsečíky s osou x a osou y

Hodnoty goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech:

Z obrázku je snad patrné, že hodnoty goniometrických funkcí jsou v jednotlivých kvadrantech pro určité úhly shodné až na znaménko.

Takže :

a) I. kvadrant pro úhel x je sin x a cos x

b) II. kvadrant – úhel 180o – x má hodnoty sinx a – cosx

c) III. kvadrant – úhel 180o + x má hodnoty – sinx a – cosx

d) IV. kvadrant – úhel 360o – x má hodnoty – sinx a cosx

Příklad:

Aniž určíte úhel x, zjistěte hodnoty jeho goniometrických funkcí, když víte, že x je ve druhém kvadrantu a sinx = 0,5

[pic]

[pic] [pic]

Prostudujte následující tabulky, ale neučte se je nazpaměť – vyrobte si zcela legální tahák, ve kterém se naučte orientovat. Tytéž informace lze vyčíst z jednotkové kružnice nebo grafů funkcí.

|Hodnoty goniometrických funkcí |

|x(o) |0o |30o |45o |60o |90o |180o |270o |360o | |

|x(rad) |0 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |π |[pic] |2π | |

|Sin x |0 |[pic] |[pic] |[pic] |1 |0 |-1 |0 | |

|Cos x |1 |[pic] |[pic] |[pic] |0 |-1 |0 |1 | |

|tg x |0 |[pic] |1 |[pic] |neex. |0 |neex. |0 | |

|cotg x |neex. |[pic] |1 |[pic] |0 |neex. |0 |neex. | |

| | | | | | | | | | |

|Vlastnosti goniometrických funkcí |

|kvadrant |I. |II. |III. |IV. |

|interval |< 0 ; π/2> |< π/2 ; π > |< π ; 3π/2 > |< 3π/2 ; 2π > |

|znaménka |sin x |+ |+ |- |- |

| |cos x |+ |- |- |+ |

| |tg x |+ |- |+ |- |

| |cotg x |+ |- |+ |- |

|monotonie |sin x |rostoucí |klesající |klesající |rostoucí |

| |cos x |klesající |klesající |rostoucí |rostoucí |

| |tg x |rostoucí |

| |cotg x |klesající |

|výpočet úhlu |xo |180o-xo |180o+xo |360o-xo |

Úkoly : 1) Úhly vyjádřete jako základní ve stupních, určete, ve kterém jsou kvadrantu a jaké znaménko budou mít jejich goniometrické funkce:

[pic] [pic] [pic]

2) Určete zbývající goniometrické funkce, aniž určíte úhel x:

[pic]

Výsledky: 1) a) 330o; IV.kv.; sinx -; cosx + ; tgx - ; cotgx - ; b) 305o; IV.kv.; sinx -; cosx +; tgx -; cotgx - ;

c) 90o; rozhraní I. a II. kvadrantu, sinx = 1, cosx = 0, tgx neexistuje, cotgx = 0; d) 180o; rozhraní II. a III. kv.; sinx = 0; cosx = -1; tgx = 0; cotgx neexistuje; e) 107o12´; II. kv.; sinx +; cosx -; tgx -; cotgx - ; f) 159o 22´; II. kv.; sinx +; cosx - ; tgx - ; cotgx - ;

2) a) sinx = 0,87; tgx = 1,73; cotgx = 0,58; b) cosx = - 0,97 ; tgx = 0,26 ; cotgx = 3,87; c) cosx = - 0,71; tgx = - 0,98; cotgx = - 1,02; d) sinx = - 0,44; tgx = - 0,48; cotgx = - 2,06; e) sinx = 0; tgx = 0; cotgx neexistuje

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi

- definice funkcí : [pic]

Úkoly : 1) Zkuste si vynásobit tgx . cotgx

2) Prostudujte jednotkovou kružnici a všimněte si čárkovaného trojúhelníka, jaký vztah mezi sinx a cosx z něj vyplývá?

Pokud jste postupovali správně, našli jste tyto dva základní vztahy:

[pic]

Úpravou těchto výrazů také získáte tyto vztahy:

[pic]

Příklad: Upravte výraz a určete podmínky řešitelnosti:

1) [pic]Podm: [pic]

2)

[pic]

Podm:

[pic]

Úkoly : Upravte výrazy a stanovte podmínky řešitelnosti:

[pic]

Výsledky: 1) 1; [pic]; 2) sin2x ; [pic]; 3) sinx ; [pic]; 4) [pic] [pic]; 5) [pic]

-----------------------

90o = (/2

- 1

- 1

1

1

x

y

Definice funkce kosinus.

Bylo možno užít i sinus.

Součet úhlů v trojúhelníku.

(

(

c

b

a

Pythagorova věta

jméno přepony

jméno odvěsny

M

L

K

m2

l2

k2

místo ( dosadíme 3,14 a vynásobíme

místo ( dosadíme 180o a vynásobíme

místo ( dosadíme 180o

odvodíme třeba trojčlenkou a zlomek krátíme

místo ( dosadíme 3,14

odvodíme třeba trojčlenkou a zlomek krátíme

(

C

B

A

c

b

a

(

odvěsna protilehlá úhlu (

odvěsna přilehlá úhlu (

přepona

2

-3

(x+3)2 +2

y

x

2

-3

-(x+3)2 +2

y

x

c)

d)

-3

(x+3)2

x2

y

x

y

x

a)

b)

c)

b)

d)

tyto popisky jsou jen výkladové a do grafu vlastně nepatří

klesající

rostoucí

Hf

V

y

x

řešení kvadratické rovnice

protože a < 0; a vyplývá to i z grafu

V

a > 0

y

x

V

a < 0

y

x

nesmí být odmocnina

vadí x ve jmenovateli

vadí tam x3

x zvolíme libovolně ([pic])

y dopočteme z předpisu funkce

f(x) nejvyššího bodu grafu

a = - 1 tj. a < 0

nebo to vyplývá z grafu

viz teorie funkcí – f(x) = 0

viz teorie funkcí – x = 0

f(x)

3

-1

1

1

-3

y

x

Víme, že souřadnice každého bodu se označují po řadě x a y ( a také víme, že y je totéž jako f(x) ), proto do obecné rovnice dosadíme postupně souřadnice obou bodů A a B.

Vznikne tak soustava dvou rovnic o dvou neznámých a a b, kterou řešíme obvyklými metodami ( zde metodou odčítání rovnic ).

Výsledky soustavy pak dosadíme do obecné rovnice lineární funkce.

Rovnice každé lineární funkce, my hledáme koeficienty a, b. Pak se teprve jedná o konkrétní lineární funkci.

x nesmí být ve jmenovateli

x nesmí být pod odmocninou

vadí tam x2

f(x)

-2

5

y

x

f(3)

3

f(x)

y

x

180o = (

0o = 2(

270o = 3(/2

+

I.

II.

III.

IV.

x

cos x

sin x

K

Vyplývá to z jednotkové kružnice – je to tentýž úhel měřený jednou ve směru a jednou v protisměru hodinových ručiček.

Je to tentýž úhel, jen jsme jedenkrát „oběhli“ celou jednotkovou kružnici.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

y

x

1

1

- 1

- 1

+

x

x

x

x

x

sin x

- sin x

cos x

cos x

180o – x

Vyplývá ze základního vztahu mezi sinx a cosx.

Protože jsme ve II. kvadrantu, kde je cosx vždy záporný.

Vyplývá z definice.

sinx

cosx

Poznámka: Tyto vztahy se neučte nazpaměť, vždy si je budete umět odvodit z těch základních!

Je ve jmenovateli zlomku.

Vztah mezi sinx a cosx.

Z jednotkové kružnice (nebo na kalkulačce).

Definice tgx.

V čitateli vytkneme sin2x a ve jmenovateli vytkneme cos2x.

Zlomek krátíme.

Výrazy v závorkách odpovídají základnímu vztahu mezi sinx a cosx.

Jmenovatel výrazu po vytýkání.

Z jednotkové kružnice: [pic]

Z jednotkové kružnice: [pic]

Zkrácený zápis ze čtyř předešlých nerovnic.

Ve jmenovateli užijte vztah mezi sinx a cosx .

Uveďte na společný jmenovatel.

Roznásobte závorky a užijte vztah mezi sinx a cosx.

Nejprve vytýkejte.

Použijte definici tgx a cotgx, uveďte na společný jmenovatel a roznásobte.

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download