MATEMATIKA
MATEMATIKA
díl III.
Mgr. Alena Tichá
Obsah:
Teorie funkcí 4
Způsoby zadání funkcí: 4
Funkční hodnota 4
Definiční obor funkce 5
Obor hodnot funkce 6
Monotonie funkce 6
Průsečíky funkce se souřadnými osami: 7
Úkoly : 7
Lineární funkce 8
Základní vlastnosti lineární funkce: 8
Ukázkové příklady: 9
Přímá úměra 10
Konstantní funkce 10
Úkoly : 10
Kvadratická funkce 11
Základní vlastnosti kvadratické funkce: 11
Ukázkový příklad: 13
Posouvání grafu funkce 14
Úkoly 16
Goniometrické funkce ostrého úhlu 17
Definice funkcí: 17
Úkoly 20
Řešení pravoúhlého trojúhelníka 21
Úkoly : 22
Jednotková kružnice , goniometrické funkce obecného úhlu 23
Vlastnosti funkcí sinus a kosinus 24
Vlastnosti funkcí tangens a kotangens: 26
Hodnoty goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech: 29
Úkoly 31
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi 32
Úkoly 34
Teorie funkcí
Funkce je jednoznačně daný předpis, který tvoří dvojice z reálných čísel
x a y.
- značí se f(x) = … nebo y = …. ( obě značení jsou rovnocenná )
- ke každému x existuje pouze jediné y ( jinak se nejedná o funkci )
Způsoby zadání funkcí:
1) rovnicí : např. f(x) = 3x – 1 ; y = x + 2
- ke každému x pak dopočítáme y dosazováním do rovnice
- např. pro x = 1 je f(1) = 3.1 – 1 = 2 ( tj. y = 2 )
- dvojice se dají určit prakticky pro libovolná x
2) tabulkou :
|x |1 |3 |7 |9 |11 |
|y |2 |5 |12 |19 |2 |
- dvojice jsou vidět pod sebou v tabulce : tj. pro x = 1 je f(1) = 2, pro x = 3 je f(3) = 5 atd.
- pozor nelze určit dvojice, které nejsou v tabulce tj. např. pro x = 2 f(2) nelze určit
3) slovním popisem: např. f přiřazuje lichému číslu číslo 2 a sudému číslu číslo 7
- opět lze určit pouze dvojice, jak je slovně popsáno – tj. pro x = 2 (sudé číslo) f(2) = 7 , pro x = 9 (liché číslo) f(9) = 2
- pro x = 0 f(0) neexistuje, protože 0 není ani liché ani sudé číslo a slovní popis se o ní nezmiňuje
4) grafem :
- zadané x se najde na vodorovné ose a k němu se na svislé ose najde odpovídající y (předpokládá to ale, že graf je přesně sestrojen)
Funkční hodnota je číslo f(x) (resp. y), které určíme z předpisu funkce pro dané x.
- rozlišujme dva možné úkoly :
a) pro danou funkci f(x) = 3x – 1 určete funkční hodnoty v bodech 1; 3; 7
zadané body jsou x a hledaná čísla f(x) a je tedy : f(1) = 3.1 – 1 = 2; f(3) = 3.3 – 1 = 8; f(7) = 3.7 – 1 = 20
b) pro danou funkci f(x) = 3x – 1 určete x, jejichž funkční hodnota je rovna 1; 3; 7 – nyní je zadáno f(x) a my hledáme x a je tedy 1 = 3x – 1 a odtud je x = 2/3 tj. f(2/3) = 1; dále 3 = 3x – 1 a odtud je x = 4/3 tj. f(4/3) = 3 a konečně 7 = 3x – 1 a odtud x = 8/3 neboli f(8/3) = 7
Definiční obor funkce je množina všech čísel x, která umíme dosadit do předpisu funkce a umíme tudíž k nim najít jejich funkční hodnotu – značíme Df.
- při jeho určování vycházíme buď z běžných matematických pravidel nebo ze znalosti vlastností konkrétní funkce
- pokud je definiční obor dán, pak „se tváříme“ , že čísla mimo tento obor neexistují
- v grafu jej hledáme na vodorovné ose x a znázorňujeme tak, že v bodě, kde je uzavřený interval rýsujeme plnou rovnoběžku s osou y a kde je interval otevřený, je rovnoběžka čárkovaná
[pic]
Příklad: Určete definiční obory funkcí:
a) [pic]
- vzhledem k tomu, že do této funkce umíme dosadit cokoliv a vypočítat funkční hodnotu, platí Df = R (všechna reálná čísla)
b) [pic]
- už z učiva o lomených výrazech víme, že musí platit [pic] ; jinak můžeme dosadit cokoliv, takže [pic] (všechna reálná čísla kromě –3)
c) [pic]
- víme, že odmocňovat lze jen kladná čísla a musí být tedy [pic], odtud [pic] a je tedy [pic]
d) [pic]
- pokud je v předpisu funkce za středníkem nějaký údaj, zpravidla interval, je to právě definiční obor a tedy [pic]
- POZOR ! ačkoliv do předpisu umíme dosadit např. 10, f(10) neexistuje, neboť [pic]
Obor hodnot funkce je množina všech funkčních hodnot ( neboli všechna y, která lze z funkce vypočítat – značíme Hf.
- zpravidla jej určujeme z grafu a to tak, že určíme funkční hodnoty nejnižšího a nejvyššího bodu grafu a oborem hodnot je pak vše mezi těmito hodnotami
- obor hodnot v grafu hledáme tedy na svislé ose y
Monotonie funkce je vlastnost, kdy má funkce „stálý“ průběh. Rozlišujeme dva druhy monotonie – funkce klesající a funkce rostoucí.
- často lze tuto vlastnost určit jen pro část funkce
Funkce je rostoucí, když pro zvětšující se x se zvětšují také funkční hodnoty (jakási přímá úměra).
- tato vlastnost se dobře pozná z grafu : pokud se pohybujeme po křivce grafu zleva doprava a zároveň nahoru, je funkce rostoucí
Funkce je klesající, když pro zvětšující se x se zmenšují jejich funkční hodnoty (jakási nepřímá úměra).
- v grafu při pohybu po křivce zleva doprava jdeme směrem dolů
Průsečíky funkce se souřadnými osami:
- je nutné si uvědomit tyto základy : každý bod, který leží na ose x má souřadnici y = 0 a každý bod, který leží na ose y má souřadnici x = 0
- průsečíky s osou x (značíme [pic]) určíme tak, že položíme f(x) = 0 a vypočteme příslušnou rovnici
- průsečíky s osou y (značíme [pic]) určíme tak, že do předpisu funkce dosadíme x = 0 a vypočteme f(0)
Příklad: Určete průsečíky s osami funkce [pic]
[pic] - řešením kvadratické rovnice dostaneme [pic] a pak je tedy
[pic]
[pic] a je tedy
[pic]
Úkoly : 1) Určete všechny vlastnosti funkce:
[pic]
2) Určete definiční obory funkcí:
[pic]
Výsledky: 1) a) [pic]; grafem je úsečka
1) b) [pic]
[pic]grafem je parabola
2) a) [pic]; b) [pic]; c) [pic]
Lineární funkce
- je každá funkce zapsaná ve tvaru f(x) = ax + b, kde a, b mohou být libovolná reálná čísla
- jednoduše řečeno: v zápisu funkce je proměnná v první mocnině ( ne vyšší ), ale nesmí být ve jmenovateli zlomku nebo pod odmocninou
Příklady: [pic]
[pic]
- některé funkce jsou „skrytě“ lineární – neboli jejich „lineárnost“ objevíme až po úpravě předpisu: [pic]
- některé funkce, které nejsou lineární:
[pic]
Základní vlastnosti lineární funkce:
1) Definiční obor – pokud není přímo zadán, pak Df = R
2) Obor hodnot – zpravidla Hf = R ( pokud je omezený definiční obor, je omezen též obor hodnot )
- existují též výjimky, kdy je předpis upravován a tudíž je i definiční obor a obor hodnot něčím omezen – to ale nebude předmětem našeho studia
3) Monotonie – pokud je a > 0, pak je funkce rostoucí a pokud je a < 0, pak je funkce klesající (můžete si ověřit grafem)
4) Graf – grafem je vždy přímka nebo její část
- pokud je Df konečný interval, grafem je úsečka
- pokud je Df nekonečný interval, grafem je polopřímka
- je zřejmé, že k sestrojení grafu, stačí vypočíst dva body a spojit přímkou (popř. úsečkou nebo polopřímkou)
Ukázkové příklady:
1) Napište rovnici lineární funkce, když víte, že na leží body [pic].
[pic]
2) Určete všechny vlastnosti funkce [pic]
[pic]
graf:
|x |1 |3 |
|y |1 |-1 |
Přímá úměra
- je druh lineární funkce, která má předpis f(x) = ax (a tedy b = 0), kde a může být libovolné reálné číslo
- vlastnosti se příliš neliší od vlastností lineární funkce
- Df = R (pokud není dáno jinak)
- Hf = R (pokud není omezen Df)
- monotonie – viz lineární funkce
- graf – přímka nebo její část, která prochází počátkem soustavy souřadnic a z toho vyplývá, že k narýsování grafu nám stačí zjistit jen jeden bod
Konstantní funkce
- je druh lineární funkce, která má předpis f(x) = b ( a tedy a = 0 ), kde b může být libovolné reálné číslo
- vlastnosti se příliš neliší od vlastností lineární funkce
- Df = R ( pokud není dáno jinak )
- Hf = { b } – a to vždy !
- monotonie se neurčuje – prostě je to konstantní funkce
- graf je přímka nebo její část, která je rovnoběžná s osou x a prochází bodem [ 0 ; b ] a z toho vyplývá, že nemusíme počítat žádné další body
Úkoly : 1) Určete předpis lineární funkce, na které leží body A = [ -1 ; 2 ] a B = [ 2 ; 4 ] .
2) Určete předpis konstantní funkce, na které leží bod A = [ 4 ; 7 ] .
3) Určete předpis přímé úměry, na které leží bod A = [ 4 ; 7 ].
4) Určete všechny vlastnosti funkcí:
[pic]
Výsledky: 1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic]; 4) a) lineární, rostoucí, grafem je úsečka, [pic] ; b) přímá úměra, klesající, grafem je polopřímka procházející počátkem soustavy souřadnic, [pic] ; c) konstantní, grafem je přímka rovnoběžná s x procházející bodem – 3 na ose y, [pic] , Px neexistuje
Kvadratická funkce
- je každá funkce zapsaná ve tvaru f(x) = ax2 + bx + c, kde a, b, c mohou být libovolná reálná čísla [pic] (jinak by byla lineární)
- tato rovnice funkce se nazývá obecným tvarem zápisu
- jednoduše řečeno: v zápisu funkce je proměnná ve druhé mocnině (ne vyšší a ne nižší), ale nesmí být ve jmenovateli zlomku nebo pod odmocninou
Příklady: [pic]
[pic]
- některé funkce, které nejsou kvadratické:
[pic]
Základní vlastnosti kvadratické funkce:
1) Definiční obor – pokud není přímo zadán, pak Df = R
2) Vrchol – je význačný bod, který rozhoduje o monotonii funkce, oboru hodnot a součinovém tvaru funkce
- souřadnice označíme [pic] a vypočteme podle vzorce
- [pic]
- y0 dopočteme z předpisu funkce tak, že do něj dosadíme x0 ;
neboli y0 = f(x0)
3) Obor hodnot – pokud je neomezený definiční obor
- závisí na koeficientu a
- [pic]
- [pic]
4) Monotonie – se může určit jen částečně, protože zčásti je vždy rostoucí a zčásti klesající
- bodem, kde se monotonie „obrací“, je právě vrchol
- lépe toto nahlédneme, až uvidíme graf
5) Graf – je křivka, která se jmenuje parabola; její přesný tvar je závislý na koeficientu a
- rozevření paraboly určuje koeficient a
- k jeho sestrojení nám stačí znát vrchol, koeficient a (pro lepší orientaci se hodí i průsečíky s osami)
6) Průsečíky s osami – řešíme jako u jiných funkcí; průsečík s osou x vede na kvadratickou rovnici
7) Součinový tvar – je tvar zápisu, který se někdy hodí k výpočtům a řešení nerovnic : [pic] , kde x1 a x2 jsou kořeny příslušné kvadratické rovnice
8) Vrcholový tvar – je tvar zápisu, kde jsou přímo vidět souřadnice vrcholu
[pic]
Pozn. Později se naučíme všechny tři tvary zápisu mezi sebou převádět.
Ukázkový příklad:
Určete všechny vlastnosti funkce [pic]
a) Df = R
b) koeficienty: a = – 1 ; b = 5 ; c = – 4
c) vrchol : [pic]
[pic]
d) [pic]
e) průsečíky s osou x: [pic]
[pic]
f) průsečík s osou y : x = 0
[pic]
g) monotonie ( vyplývá z grafu )
rostoucí v intervalu: [pic]
klesající v intervalu: [pic]
h) součinový tvar : [pic]
i) vrcholový tvar: [pic]
Posouvání grafu funkce
- lze aplikovat na jakoukoliv funkci; vysvětlení na kvadratické je nejjednodušší
- pravidla : g(x) = - f(x) „otočit graf funkce f vzhůru nohama“
g(x) = f(x – a) „posunout graf funkce f do bodu + a (!) na ose x“
g(x) = f(x) + b „posunout graf funkce f do bodu + b na ose y“
g(x) = ( f(x) ( „ tu část grafu funkce f, která byla pod osou x, zobrazit osově souměrně nad osou x“
Ukázkový příklad:
Sestrojte graf funkce g(x) = – (x + 3)2 + 2
- budeme sestrojovat postupně (jen pro výklad – za normálních okolností studenti zvládají rychleji)
a) základní funkcí je f(x) = x2
b) tu posuneme do – 3 na ose x
c) nově vzniklou funkci posuneme do +2 na ose y
d) nově vzniklou funkci otočíme vzhůru nohama
Úkoly : Určete všechny vlastnosti funkcí:
[pic]
Výsledky: 1) koeficienty a = 1; b = - 2; c = 4; [pic]
[pic]obecný tvar f(x) = x2 + 2x +4; součinový tvar neexistuje, grafem je parabola rozevřená nahoru
2) koeficienty a = – 2; b = c = 0; [pic];
[pic]; součinový i vrcholový tvar je shodný s obecným; grafem je parabola rozevřená dolů, „uříznutá“ rovnoběžkou s osou y v bodě – 1 na ose x ( viz Df )
3) koeficienty a = 1; b = – 3; c = 2; [pic]
[pic]obecný tvar f(x) = x2 – 3x + 2 ; vrcholový tvar [pic]; grafem je parabola rozevřená nahoru
Goniometrické funkce ostrého úhlu
- jsou funkce, pomocí kterých lze spočítat úhly v pravoúhlém trojúhelníku
- jsou definovány pomocí pravoúhlého trojúhelníka
Zopakujme si:
- dobře si povšimněte značení trojúhelníka
Definice funkcí:
Sinus úhlu ( je poměr protilehlé odvěsny a přepony trojúhelníka.
- označení : sin (
- výpočet: [pic]
Kosinus úhlu ( je poměr přilehlé odvěsny a přepony trojúhelníka.
- označení : cos (
- výpočet : [pic]
- vzhledem k tomu, že přepona je nejdelší stranou trojúhelníka, vždy platí [pic]
Tangens úhlu ( je poměr odvěsny protilehlé a přilehlé úhlu (.
- označení : tg (
- výpočet : [pic]
Kotangens úhlu ( je poměr odvěsny přilehlé a protilehlé úhlu (.
- označení : cotg (
- výpočet : [pic]
Při bližším zkoumání objevíte tyto vztahy:
[pic]
Nutno ještě připomenout:
- úhly je možné uvádět ve stupních a minutách nebo v tzv. obloukové míře jako násobky čísla ( nebo v radiánech
- k vzájemnému převodu stačí vědět, že ( = 180o = 3,14
Příklad:
Převeďte úhly:
[pic]
[pic]
[pic]
Poznámka:
příslušné trojčlenky: 180o (
80o x
___________________________
x : ( = 80 : 180
[pic]
3,14 (
6,28 x
___________________________
x : ( = 6,28 : 3,14
[pic]
Důležité !!!! Naučte se pracovat s úhly a goniometrickými funkcemi na kalkulačce – bez tohoto umění se neobejdete!!!
Úkoly : 1) Úhly vyjádřete ve stupních, v radiánech a jako násobky (:
[pic] [pic] [pic]
2) Pro daný trojúhelník určete goniometrické funkce všech úhlů:
a) KLM – m je přepona
b) PQR – p je přepona
3) Určete přeponu y trojúhelníka XYZ, když víte, že x = 34cm a
( = 49o.
Výsledky: 1) [pic]
[pic]
2) a) [pic]
[pic]
b) [pic]
[pic]
3) [pic][pic]
Řešení pravoúhlého trojúhelníka
- řešit trojúhelník znamená určit délky všech jeho stran a velikosti všech úhlů
Připomínám:
- součet všech úhlů v trojúhelníku je roven 180o
- v každém pravoúhlém trojúhelníku jsou definovány goniometrické funkce, které využíváme při jeho řešení
- v každém pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta (a naopak, když platí Pythagorova věta, máme jistotu, že trojúhelník je pravoúhlý): Součet obsahů čtverců sestrojených nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu čtverce nad přeponou.
- možná pomůže zcela nematematická formulace:
„přepona2 = odvěsna2 + odvěsna2“
- graficky a vzorcem:
[pic]
- vždy dodržujte jména přepony a odvěsen podle zadaného trojúhelníka!
Příklad: Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c = 17 m a odvěsnou b = 8 m.
[pic]
[pic]
Úkoly : 1) Určete délky stran rovnoramenného trojúhelníka ABC se základnou AB, když výška vc = 8,4 cm a úhel při základně ( = 32o 10´ .
2) Řešte trojúhelník DEF, který má přeponu d = 8 cm a úhel ( = 62o 40´ při vrcholu F.
3) Nosník má vodorovné rameno délky d = 95 cm. Určete jeho délku x šikmého ramene, které svírá s vodorovným směrem úhel 50o .
4) Schodiště s 50 schody má výšku 9 m a sklon 24o . Vypočtěte výšku v a šířku c jednoho schodu.
5) Vzdálenost dvou železničních stanic je 4 km. Stoupání trati je 8 (o . Vypočtěte výškový rozdíl těchto stanic a úhel stoupání. (Stoupání 8 (o tj.8 promile znamená, že při vodorovné vzdálenosti 1 000m trať stoupne o 8m .)
Výsledky: 1) základna je 26,7 cm, ramena jsou 15,8 cm
2) e = 3,7 cm; f = 7,1 cm; ( = 27o 20´
3) x = 1,48 m
4) výška je 18 cm; šířka je 40 cm
5) výškový rozdíl je 32 m a úhel stoupání je 0o 27´
Jednotková kružnice , goniometrické funkce obecného úhlu
- je kružnice se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem jedna
- pomocí ní lze určit goniometrické funkce a jejich vlastnosti
- soustava souřadnic ji rozděluje na čtyři části – tzv. kvadranty, které číslujeme v protisměru hodinových ručiček
- měříme na ní libovolné úhly – kladné v protisměru hodinových ručiček a záporné po směru hodinových ručiček
- úhly měříme vždy od kladné části osy x
- obrázek a následující tabulky hodně napoví
Průvodič bodu je úsečka, která spojuje střed jednotkové kružnice (počátek soustavy souřadnic) s bodem K na jednotkové kružnici.
- je zřejmé, že délka průvodiče je vždy jedna, neboť je to poloměr jednotkové kružnice
Úhly x měřené na jednotkové kružnici jsou vždy úhly, které svírá průvodič bodu K s kladnou částí osy x.
- takto je možno naměřit úhly libovolné velikosti
Základní úhel je kladný úhel naměřený v prvním až čtvrtém kvadrantu (tj. menší než 360o) a je velmi významný pro další výpočty.
Příklad: napoví, jak takový úhel najít
Určete základní úhel k daným úhlům:
a) x = - 65o = 360o – 65o = 295o
b) x = 459o = 459o – 360o = 99o
Funkce sinus úhlu x je definována jako druhá souřadnice bodu K, jehož průvodič svírá s osou x úhel x.
Funkce kosinus úhlu x je definována jako první souřadnice bodu K, jehož průvodič svírá s osou x úhel x.
- jednoduše řečeno funkci sinus hledáme vždy na ose y a funkci kosinus na ose x
- takto lze i určit, jakých hodnot funkce nabývají a jaké mají znaménko v jednotlivých kvadrantech (viz níže uvedená tabulka)
- z jednotkové kružnice také vyplývá, že hodnoty funkce sinus a kosinus jsou minimálně – 1 a maximálně + 1
- z jednotkové kružnice také vyplývá základní vztah mezi oběma funkcemi:
[pic]
Vlastnosti funkcí sinus a kosinus
1) definiční obor – Df = R ( díky jednotkové kružnici, lze funkci vypočítat pro jakýkoliv úhel )
2) obor hodnot – Hf = < -1;1> - viz poznámka výše
3) periodicita – funkce jsou periodické ( tj. jejich hodnoty se pravidelně opakují ) a to vzhledem k tomu, že po „oběhnutí“ jednotkové kružnice ( tj. po 360o se dostáváme do stejných míst jednotkové kružnice )
4) perioda – u obou funkcí je 360o = 2( ( to je po kolika stupních se hodnoty opakují )
5) monotonie – viz tabulka níže – lze též odvodit z grafu nebo jednotkové kružnice
6) graf – všimněte si význačných bodů grafu, jako jsou průsečíky s osou x a osou y
Funkce tangens úhlu x je definována jako podíl funkce sin x a cos x.
Funkce kotangens úhlu x je definována jako podíl funkce cos x a sin x.
- znaménko v jednotlivých kvadrantech se pak se řídí znaménky funkcí sinus a kosinus ( viz níže uvedená tabulka )
Vlastnosti funkcí tangens a kotangens:
1) definiční obor – funkce tangens [pic](díky tomu, že funkce kosinus nabývá v lichých násobcích [pic] hodnoty 0)
funkce kotangens [pic] (díky tomu, že funkce sinus nabývá v sudých násobcích [pic] hodnoty 0)
2) obor hodnot – Hf = R
3) periodicita – funkce jsou periodické ( tj. jejich hodnoty se pravidelně opakují )
4) perioda – u obou funkcí je 180o = ( ( to je po kolika stupních se hodnoty opakují )
5) monotonie – viz tabulka níže – lze též odvodit z grafu nebo jednotkové kružnice
6) graf – všimněte si význačných bodů grafu, jako jsou průsečíky s osou x a osou y
Hodnoty goniometrických funkcí v jednotlivých kvadrantech:
Z obrázku je snad patrné, že hodnoty goniometrických funkcí jsou v jednotlivých kvadrantech pro určité úhly shodné až na znaménko.
Takže :
a) I. kvadrant pro úhel x je sin x a cos x
b) II. kvadrant – úhel 180o – x má hodnoty sinx a – cosx
c) III. kvadrant – úhel 180o + x má hodnoty – sinx a – cosx
d) IV. kvadrant – úhel 360o – x má hodnoty – sinx a cosx
Příklad:
Aniž určíte úhel x, zjistěte hodnoty jeho goniometrických funkcí, když víte, že x je ve druhém kvadrantu a sinx = 0,5
[pic]
[pic] [pic]
Prostudujte následující tabulky, ale neučte se je nazpaměť – vyrobte si zcela legální tahák, ve kterém se naučte orientovat. Tytéž informace lze vyčíst z jednotkové kružnice nebo grafů funkcí.
|Hodnoty goniometrických funkcí |
|x(o) |0o |30o |45o |60o |90o |180o |270o |360o | |
|x(rad) |0 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |π |[pic] |2π | |
|Sin x |0 |[pic] |[pic] |[pic] |1 |0 |-1 |0 | |
|Cos x |1 |[pic] |[pic] |[pic] |0 |-1 |0 |1 | |
|tg x |0 |[pic] |1 |[pic] |neex. |0 |neex. |0 | |
|cotg x |neex. |[pic] |1 |[pic] |0 |neex. |0 |neex. | |
| | | | | | | | | | |
|Vlastnosti goniometrických funkcí |
|kvadrant |I. |II. |III. |IV. |
|interval |< 0 ; π/2> |< π/2 ; π > |< π ; 3π/2 > |< 3π/2 ; 2π > |
|znaménka |sin x |+ |+ |- |- |
| |cos x |+ |- |- |+ |
| |tg x |+ |- |+ |- |
| |cotg x |+ |- |+ |- |
|monotonie |sin x |rostoucí |klesající |klesající |rostoucí |
| |cos x |klesající |klesající |rostoucí |rostoucí |
| |tg x |rostoucí |
| |cotg x |klesající |
|výpočet úhlu |xo |180o-xo |180o+xo |360o-xo |
Úkoly : 1) Úhly vyjádřete jako základní ve stupních, určete, ve kterém jsou kvadrantu a jaké znaménko budou mít jejich goniometrické funkce:
[pic] [pic] [pic]
2) Určete zbývající goniometrické funkce, aniž určíte úhel x:
[pic]
Výsledky: 1) a) 330o; IV.kv.; sinx -; cosx + ; tgx - ; cotgx - ; b) 305o; IV.kv.; sinx -; cosx +; tgx -; cotgx - ;
c) 90o; rozhraní I. a II. kvadrantu, sinx = 1, cosx = 0, tgx neexistuje, cotgx = 0; d) 180o; rozhraní II. a III. kv.; sinx = 0; cosx = -1; tgx = 0; cotgx neexistuje; e) 107o12´; II. kv.; sinx +; cosx -; tgx -; cotgx - ; f) 159o 22´; II. kv.; sinx +; cosx - ; tgx - ; cotgx - ;
2) a) sinx = 0,87; tgx = 1,73; cotgx = 0,58; b) cosx = - 0,97 ; tgx = 0,26 ; cotgx = 3,87; c) cosx = - 0,71; tgx = - 0,98; cotgx = - 1,02; d) sinx = - 0,44; tgx = - 0,48; cotgx = - 2,06; e) sinx = 0; tgx = 0; cotgx neexistuje
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
- definice funkcí : [pic]
Úkoly : 1) Zkuste si vynásobit tgx . cotgx
2) Prostudujte jednotkovou kružnici a všimněte si čárkovaného trojúhelníka, jaký vztah mezi sinx a cosx z něj vyplývá?
Pokud jste postupovali správně, našli jste tyto dva základní vztahy:
[pic]
Úpravou těchto výrazů také získáte tyto vztahy:
[pic]
Příklad: Upravte výraz a určete podmínky řešitelnosti:
1) [pic]Podm: [pic]
2)
[pic]
Podm:
[pic]
Úkoly : Upravte výrazy a stanovte podmínky řešitelnosti:
[pic]
Výsledky: 1) 1; [pic]; 2) sin2x ; [pic]; 3) sinx ; [pic]; 4) [pic] [pic]; 5) [pic]
-----------------------
90o = (/2
- 1
- 1
1
1
x
y
Definice funkce kosinus.
Bylo možno užít i sinus.
Součet úhlů v trojúhelníku.
(
(
c
b
a
Pythagorova věta
jméno přepony
jméno odvěsny
M
L
K
m2
l2
k2
místo ( dosadíme 3,14 a vynásobíme
místo ( dosadíme 180o a vynásobíme
místo ( dosadíme 180o
odvodíme třeba trojčlenkou a zlomek krátíme
místo ( dosadíme 3,14
odvodíme třeba trojčlenkou a zlomek krátíme
(
C
B
A
c
b
a
(
odvěsna protilehlá úhlu (
odvěsna přilehlá úhlu (
přepona
2
-3
(x+3)2 +2
y
x
2
-3
-(x+3)2 +2
y
x
c)
d)
-3
(x+3)2
x2
y
x
y
x
a)
b)
c)
b)
d)
tyto popisky jsou jen výkladové a do grafu vlastně nepatří
klesající
rostoucí
Hf
V
y
x
řešení kvadratické rovnice
protože a < 0; a vyplývá to i z grafu
V
a > 0
y
x
V
a < 0
y
x
nesmí být odmocnina
vadí x ve jmenovateli
vadí tam x3
x zvolíme libovolně ([pic])
y dopočteme z předpisu funkce
f(x) nejvyššího bodu grafu
a = - 1 tj. a < 0
nebo to vyplývá z grafu
viz teorie funkcí – f(x) = 0
viz teorie funkcí – x = 0
f(x)
3
-1
1
1
-3
y
x
Víme, že souřadnice každého bodu se označují po řadě x a y ( a také víme, že y je totéž jako f(x) ), proto do obecné rovnice dosadíme postupně souřadnice obou bodů A a B.
Vznikne tak soustava dvou rovnic o dvou neznámých a a b, kterou řešíme obvyklými metodami ( zde metodou odčítání rovnic ).
Výsledky soustavy pak dosadíme do obecné rovnice lineární funkce.
Rovnice každé lineární funkce, my hledáme koeficienty a, b. Pak se teprve jedná o konkrétní lineární funkci.
x nesmí být ve jmenovateli
x nesmí být pod odmocninou
vadí tam x2
f(x)
-2
5
y
x
f(3)
3
f(x)
y
x
180o = (
0o = 2(
270o = 3(/2
+
I.
II.
III.
IV.
x
cos x
sin x
K
Vyplývá to z jednotkové kružnice – je to tentýž úhel měřený jednou ve směru a jednou v protisměru hodinových ručiček.
Je to tentýž úhel, jen jsme jedenkrát „oběhli“ celou jednotkovou kružnici.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
y
x
1
1
- 1
- 1
+
x
x
x
x
x
sin x
- sin x
cos x
cos x
180o – x
Vyplývá ze základního vztahu mezi sinx a cosx.
Protože jsme ve II. kvadrantu, kde je cosx vždy záporný.
Vyplývá z definice.
sinx
cosx
Poznámka: Tyto vztahy se neučte nazpaměť, vždy si je budete umět odvodit z těch základních!
Je ve jmenovateli zlomku.
Vztah mezi sinx a cosx.
Z jednotkové kružnice (nebo na kalkulačce).
Definice tgx.
V čitateli vytkneme sin2x a ve jmenovateli vytkneme cos2x.
Zlomek krátíme.
Výrazy v závorkách odpovídají základnímu vztahu mezi sinx a cosx.
Jmenovatel výrazu po vytýkání.
Z jednotkové kružnice: [pic]
Z jednotkové kružnice: [pic]
Zkrácený zápis ze čtyř předešlých nerovnic.
Ve jmenovateli užijte vztah mezi sinx a cosx .
Uveďte na společný jmenovatel.
Roznásobte závorky a užijte vztah mezi sinx a cosx.
Nejprve vytýkejte.
Použijte definici tgx a cotgx, uveďte na společný jmenovatel a roznásobte.
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.