Files.eduuu.com



进入虚拟课堂

高三数学总复习教程（第6讲）

一、本讲内容

函数的概念

一、本讲进度：函数的概念、函数的定义域和值域、函数的解析式、函数与反函数.

二、学习指导

函数是高中数学最重要的内容.

A、B两上集合，如果存有对应关系f，使A中任一元素通过f，B中有唯一确定的元素与之对应，则把A、B两集合连同它们之间的对应关系f称为一个映射，记作f：A→B. 因此，集合有三要素：A、B及小，能否构成映射，关键在于A中元素是否都有象，这些象是否都是唯一的，而不在于B中元素是否都是原象，或原象是否唯一.

如果映射f：A→B中，B中元素都有原象，且原象都是唯一的，则称这样的映射为一一映射，一一映射才有逆映射（即把A中元素的象作为原象而把原象作为象的映射，记作

f－1：B→A）

函数是其定义域到值域的一种映射，定义域和值域都必须为非定数集.

一一映射构成的函数才有反函数(即逆映射所确定的函数). 原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域.

注意以下两个问题的区别：

(1)曲线f(x、y)=0与g(x、y)=0关于直线y=x对称，那么g(x、y)=0是f(x、y)=0的反函数吗？

(2)函数y=f(x)和y=g(x)图象关于直线y=x对称. 那么，y=g(x)是f(x、y)=0的反函数吗？

当对应关系f确定后，定义域即决定了它的值域.

三、典型例题讲评

|x |1 |2 |4 |

|y |2 |4 |8 |

例1．(1)函数y=f(x)的对应关系如表：

它是否有反函数？如果有试写出其反函数：

(2)已知f(1－cosx)=cos2x+2cosx. 求f－1(x).

(1) 函数的表达方式有三种：①图象法. 如急诊病人的体温和入院时间之间的函数关系，它无法用解析法表达. ②列表法. 如住院病人的常规体温测试与时间f的关系. ③解析法. 如果对应关系可以用一个解析式表达的话，称此解析式为函数的解析式. 当然，初等数学接能的大都为此.

本题是用列表法表示的函数，由表中数据的此函数有反函数为

|x |2 |4 |8 |

|y |1 |2 |4 |

(2)令u=1－cosx∈［0，2］ 则cosx=1－u 可是

f(u)=2(1－u)2－1+2(1－u)=2u2－6u+3 在［0，2］上单调递减，故有反函数.

2(u－3)3=y+15 －(u－3)=[pic]. 故反函数解析式为y=3－[pic]. 其定义域为原函数的值域为［－1，3］.

若把题目变为“已知f(－cosx)=cos2x，则可得f(x)=2(x－1)2－1 x∈［0，2］. 则f(x)没有反函数，因为此函数在［0，2］上不是单调函数，不是一一映射构成的函数”.

例2．如图，一上部为半圆周，下部为一矩形三边的周长为l的钢窗框，

试用半圆半径r表示面积S，并写出定义域、值域.

解：矩形一边为2x，另一边为[pic].

S=[pic].

要求定义域，r＞0是显然的，另一端则应改为下部是矩形，其一边[pic]＞0，故r＜[pic].

S=f(x)在[pic]单调递增，在([pic]，[pic])单调减，

且因[pic]－[pic]=[pic]＜[pic]=[pic]

∴S∈[pic]

求函数的定义域，除了要使解析式有意义(如分母不为零，开偶次方时被开方数非负，对数真数为正，指数与对数的底大于0且不等1，等等)、对实际问题还应考虑实际可能的范围.

例3．求函数y=[pic]的定义域.

由 81－x2≥0 x∈［－9，9］

sinx＞0 知

lgsinx≠1 x∈(2k[pic]，2k[pic]+[pic])∪(2k[pic]+[pic]，(2k+1)[pic]) (k∈z)

因x取值范围有限，故结果应逐段写出，如y=f(2x)是由y=f(u)，u=2x复合而成。它的定义域是指初始自变量x的取值范围，而不是中间变量u的取值范围，这个概念搞清楚了，本题也就迎刃而解了.

例5．已知函数f(x)满足：f(x)+xf(1－x)=x，求其值域.

在本题中，要求值域，必须先把f(x)的解析式写出，那就须先设法除去f(1－x).

令1－x =u，则x=1－u，由已知f(1－u)+( 1－u)f(u)= 1－u. 亦即f(1－x)+ (1－x)f(x)=1－x

它与原先的f(x)+ xf(1－x)=x就形成了关于f(x)和f(1－x)的二元架构，就可通过解二元方程组的办法消去f(1－x)除则f(x)=[pic].

下面我们来求它的值域.

我们可把原式写为(y－1)x2－yx+y=0的形式，图形别式法求出y的取值范围.

我们也可知，当x=0时，f(x)=0，当x≠0时，[pic]=1－[pic]+[pic]=([pic]－[pic])2+[pic]∈[pic]来求y的取值范围.

例6．x∈A. 求f(x)=[pic](x∈A)的值域为[pic]时的A.

f(x)的定义域A即其反函数的值域故可令[pic]≥4，得x∈［3，[pic]］.∴A=［3，[pic]］

例7．求下列函数的值域.

(1)y=[pic] (2)y=[pic] (3)y=[pic]

这三题定义域均为［0，1］，值域与此有关. 在第一小题中，f(x)=[pic]在［0，1］单调递增，而g(x)=[pic]在［0，1］单调递减，故原函数在［0，1］单调递增，利用定义域和单调性，立即可求出值域为［－1，2］.

在第(2)小题中，因([pic])2+([pic])2=1 故可利用基本不等式知[pic]+[pic]≤[pic]=[pic] (当x=[pic]时)，也可直接写为

[pic]+[pic]=[pic]=[pic]求出值域；在第(3)小题中，仍有([pic])2+([pic])2=1但(2)中的方法却不适用了，但下面的方法对(2)却适用：

记u=[pic]∈［0，1］ V=∈[pic]［0，1］.由已知u2+V2=1. 而2[pic]+[pic]=2u+V. 问题就变成了过圆的一部分(第一象限，且含与x、y轴正向的交点)上的点作平行直线来，在y轴上的截距的范围了.

针对[pic].[pic]∈［0，1］且([pic])2+([pic])2=1. 我们可以令x=cos2[pic]([pic]∈［0，[pic]］).则(1)中y=2cos[pic]－sin[pic]=[pic]cos([pic]+arctan[pic]). (2)中y=cos[pic]+sin[pic]=[pic]cos([pic]－[pic]). (3)中y=2cos[pic]+sin[pic]=[pic]cos([pic]－arctan[pic]). 范围立即可求出，从此上例题可看出，求函数值域的方法较多，有反函数值，差别式法，利用函数单调性法，利用基本不等式法，代换法，几何化法等等，应根据题目的特点适当范围.

四、巩固练习

1．设x＞0，y≥0. x+2y=[pic], 求当x、y为何值时，u=log[pic](8xy+△y2+1)有最大值、有最大值并求出最大值和最小值.

2．求值域：(1)y=x－[pic]

(2)y=[pic]

(3)y=[pic]

(4)y=21－1×1

3．若a＞0，且a≠1，求函数y=ln(ax－2x－1)的定义域.

4．已知函数f(x)的定义域为［0，1］，那么g(x)=f(x+a)+f(x－a)的定义域是什么？

5．已知函数y=f(x)有反函数f－1(x)，记f(x+1)的反函数为y=g(x)，则函数y=g(x)的图象与y= f－1 (x+1)的图像的关系是 （ ）

(A)g(x)的图像可由f－1(x+1)的图像向右平移1个单位，再向下平移一个单位得到.

(B) g(x)的图像可由f－1(x+1)的图像向左平移1个单位，再向上平移一个单位得到.

(C) g(x)的图像可由f－1(x+1)的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位得到.

(D) g(x)与f－1(x+1)的图像完全相同.

6．已知：a∈［[pic]，1］，f(x)=ax2－x+1 x∈［1，3］的最大值为M(a)，最小值为N(a)，g(a)=M(a)－g(a).

(1)求g(a)的解析式；

(2)求g(a)的最小值.

7．函数y=x2+2mx+2m+3的图像与x轴有两个交点(x1，0) (x2，0). 求[pic]+的取值范围.

8．(1)已知x2+y2∈［2，4］.求4x+3y的取值范围.

(2)已知sinx + siny=[pic]. 求sinx+cos2y的取值范围.

9．已知函数f(x)=[pic][pic]x＜－2[pic]

(1)求f－1(x)，

(2)数列[pic]中，a1=1，[pic]= f－1(an)，求[pic]的通项公式；

(3)设bn=[pic]，Sn为[pic]前n项之和，求[pic].

10．f(x)=[pic]，函数y=g(x)的图象与y= f－1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求g(x)的表达式.

11．如图所示铁路线上AB段长100千米，

工厂C到铁路线的距离CA=20千米，现在AB段

的某点D处向C修CD，以便把货物由B经铁路运到

D处，再沿公路这至C处，若吨千米运费铁路与公路

之比为3：5，问C远在何处可使运费最省？

12．设f(k)是满足不等式log2x+log2(3×2k－1－x)≥2k－1 (k∈N+)的正整数x的个数.

(1)求f(k)的解析式；

(2)求Sn=f(1)+f(2)+……+f(n)的表达式.

13．求函数y=[pic]的值域.

14．(1)求关于x的函数y=x2+2a[pic]+a2－6a+13的最大值M；

(2)是否存在正的常数b，使a在（1，+∞）上变动时，y=logbM的最大值为[pic]？

参考答案

1．2y=[pic]－x≥0 ∴∈[pic]，于是

u=log[pic](4×([pic]－x)+( [pic]－x)2+1)= log[pic](－3x2+x+[pic]).

当x=[pic]时，－3x2+x+[pic]有最大值[pic]，从而u有最小值1－2log32.

当x=[pic]时，－3x2+x+[pic]有最小值1，从而u有最大值0.

2．(1)令x=cos[pic] [pic]∈［0，[pic]］ 则y=cos[pic]－sin[pic]=[pic]cos([pic]+[pic])∈［－[pic]，1］

(2)(y－1)x2－(y+1)x+y+1=0 当x=1时，y=1. 当y≠1时，∵x∈R.

∴(y+1)2－4(y2－1)≥0 y∈［－1，[pic]］ 且y≠1，∴y∈［－1，[pic]］

(3)y=[pic]=[pic] (x≠1)

y=1－[pic]≠1，当x=1时[pic]=[pic]

∴y∈[pic].

(4)∵1－[pic]∈[pic] ∴y=21－1×1∈[pic]

3．令ax－2x－1＞0. ([pic])x＞[pic]

当a∈(0,1)∪(1,2)时，[pic]∈(0,1) x∈(－[pic],[pic])

当a＞2时，[pic]＞1 x∈([pic],+[pic],)

当a＝2时，x∈R.

4． x+a∈［0，1］ x∈［－a，1－a］

x－a∈［0，1］ x∈［a，1+a］

1O当a=0时，g(x)定义域为［0，1］

2O当a∈［0，[pic]］时，g(x)定义域为［a，1－a］

3O当a∈［－[pic]，0］时，g(x)定义域为［－a，1+a］

4O当a=±[pic]时，g(x)定义域为[pic]

5O当a＞[pic]或a＜－[pic]时，g(x)不存在.

5．(A)

6．∵a＞0 ∴f(x)为开口向上的抛物线，其对称轴为x=[pic]∈［1，3］. 故N(a)=f([pic])=1－[pic]

M(a)=max[pic]=max[pic]

= a－1 当a∈［[pic]，[pic]］

9a－5 当a∈[pic][pic]，[pic]

∴g(a)= a+[pic]－2 当a∈［[pic]，[pic]］

9a+[pic]－6 当a∈[pic][pic]，[pic]

任取a1、a2∈［[pic]，[pic]］，a1＜a2 ∵(a1+[pic]－2)－(a2+[pic]－2)=[pic]＞0单调递减，此时g(a)∈［[pic]，[pic]］任取[pic]＜a1＜a2≤3. .∵(9a1+[pic]－6)－(9a2+[pic]－6)= [pic]＜0 单调递增. 此时g(a)∈［[pic]，21[pic]］

∴g(a)最小值为[pic](当a =[pic]时).

7．△=4m2－4(2m+3)＞0 m＞3或m＜－1.

[pic]+[pic]=(x1+x2)2－2x1x2=4m2－4m－6. 在(－∞，－1)单调递减(3，+∞)单调递增，

∴[pic]+[pic]∈(2，+∞)

8．(1)设 x=rcos[pic]

y=rsin[pic] x［[pic],2］

则4x+3y=5rcos([pic]－4)∈［－10,10］([pic]=costan[pic])

(2)由已知，siny∈［－[pic],1］

∴cos2y+sinx=1－2sin2y+[pic]－siny=－2sin2y－siny+[pic] ∈［－[pic],[pic]］

9．(1)x2－4=[pic]，∵x＜－2 ∴x=－[pic]，f－1(x)=－[pic]. 其中x∈(0,+∞).

(2) [pic]=[pic] ∴([pic])2=([pic])2+4 又([pic])=1

∴[pic]=1+4(n－1), 又an＞0，∴an=[pic]

(3)bn=[pic]=[pic]=[pic]

∴Sn=[pic]([pic]－1) [pic][pic]

10．yx－y=2x+3 (y－2)x=y+3 ∴f－1(x)=[pic] f－1(x+1)=[pic]

yx－y=x+4 (y－1)x=y+4 ∴g(x)= [pic]

11．设铁路吨千米运费为3k元，公路吨千米运费为5k元，[pic]＝X千米，总运费为y元

y=(100－x)·3k+5k[pic]

=k［300+5[pic]－3x］

只要求x为何值时u=5[pic]－3x最小.

(u－3x)2=10000+25x2

16x2+6ux+10000－u2=0 ∵x∈R

∴△=36u2－64(10000－u2)≥0 u2≥6400.

故当x＝15(千米)时运费最省.

12．原不等式即x(3×2k－1－x)≥22 k－1　　　整理得

x2－3×2k－1+22 k－1≤0 x∈［2k－1，2 k］

∴f(k)= 2k－1+1, (k∈N+)

Sn=[pic]+n=2n+n－1

13．记u=cosx－2∈［－3，－1］则y=－u－[pic]－1，在［－3，－1］单调减　　

∴y∈［1，[pic]］

14．(1)令t=[pic]∈［0，1］，则y=－(t－a)2+2a2－6a+14. 记y=g(t) 则

M= 2a2－6a+14 当a∈［0，1］

　　 g(1)= a2－4a+13 当a＞1

g(0)=a2－6a+14, 当a＜0

(2)当a∈(1,+∞)时，M= a2－4a+13∈[pic]要使logbM取得最大值－[pic]，须b∈(0,1)且

logb6=－[pic], ∴b=[pic]∈(0,1)

答案是肯定的.

六、附录

例1　(1)原函数为一一映射确定的函数，有反函数为f－1：

| X |2 |4 |8 |

|Y |1 |2 |4 |

(2)令u=1－cosx∈［0，2］则cosx=1－u

f(u)=2(1－u)2－1+2(1－u)=2u2－6u+3

∴f(x)=2x2－6x+3 x∈［0，2］

∴f－1(x)=3c[pic] x∈［－1，3］

例2　设半圆半径为r，则矩形一边长为2r，一边点为[pic].

∴S=[pic]=－([pic]+2)r2+lr

定义域为r∈(0,[pic]),　值域为[pic].

例3 81－x2≥0

　　　SMX＞0

Lgsinx≠0

例4　∵x∈[pic] ∴2x∈[pic]

令log[pic]x∈[pic], 得所求定义域为[pic]

例5　由已知　f(x)+xf(1－x)=x 以1－x代x,　得

f(1－x)+(1－x)f(x)= 1－x

由上述两式消去f(1－x)，得f(x)＝[pic]

当x＝1时，y=1 当y≠1时

(y－1)x2－yx+y=0

△=y2－△y(y－1)≥0 y∈［0，[pic]］且y≠1

　　　∴值域为［0，[pic]］

例6 令[pic]＞4，解得x∈［3，[pic]］ ∴A=［3，[pic]］

例7 (1)y=[pic]－[pic]在其定义域［0，1］上单调减增

　　　∴y∈［－1，2］

(2) 令x=cos2[pic] [pic]∈［0，[pic]］　则y=cos[pic]+sin[pic]=[pic]cos([pic]－[pic])

∵[pic]－[pic]∈［－[pic]，[pic]］. ∴cos([pic]－[pic])∈［[pic]，1］

∴y∈［1，[pic]］

(3) 令x=cos2[pic] [pic]∈［0，[pic]］ 则y=2cos[pic]+sin[pic]=[pic]cos([pic]－arctan[pic])

∵[pic]－arctan[pic]∈［－arctan[pic],[pic]－arctan[pic]］

∴cos([pic]－arctan[pic])∈［[pic],1］ y∈［1,[pic]］

　

-----------------------

解得定义域为

[pic]

[pic]

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download