Résoudre les équations trigonométriques suivantes si x ε π
[Pages:6]R?soudre les ?quations trigonom?triques suivantes si x [0, 2[ 1. 3sinx - 2= 0 2. sinx + 1 = -cos2x 3. 4cos2x ? cosx = 3 4. tan2x + 4tanx ? 12 = 0 5. 6sin2(2x) + 7sin(2x) + 2 = 0 6. 8cos2(3x) - 2cos(3x) - 3 = 0
R?soudre les ?quations trigonom?triques suivantes si x [-/2, /2[ 7. 12sec2x + 5tanx = 14
Sylvain Lacroix 2010-2011
sylvainlacroix.ca
Solutionnaire
R?soudre les ?quations trigonom?triques suivantes si x [0, 2[ 1. 3sinx - 2= 0
3sinx - 2= 0 3sinx = 2 sinx = 2/3 1 = 0,7297 2 = -1 = 2,4119
R?ponse : x {0,7297; 2,4119}
2. sinx + 1 = -cos2x Il faut mettre l'?quation ?gale ? 0. sinx + 1 + cos2x = 0 Il faudrait avoir l'?quation en fonction de sinx. sinx + 1 + (1- sin2x) = 0 -sin2x + sinx + 2 = 0 Factorisons (produit ac = -2, donc les facteurs sont -1 et 2) -sin2x + 2sinx - sinx + 2 = 0 -sinx(sinx ? 2) ? (sinx -2) = 0 (sinx ? 2)(-sinx ? 1) = 0 (sinx ? 2)(-sinx ? 1) = 0 Posons Sinx ? 2 = 0 sinx = 2 impossible -sinx - 1 = 0 sinx = -1 x = { 3/2} R?ponse : x { 3/2}
Sylvain Lacroix 2010-2011
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3. 4cos2x ? cosx = 3
Il faut mettre l'?quation ?gale ? 0. 4cos2x ? cosx = 3 4cos2x ? cosx ? 3 = 0
Factorisons 4cos2x ?4cosx + 3cosx ? 3 = 0
4cosx(cosx ? 1) + 3(cosx ? 1) = 0
(cosx ? 1)(4cosx + 3) = 0
Posons
cosx ? 1 = 0 cosx = 1 x = { 0}
4cosx + 3 = 0 cosx = -3/4 1 = 2,4189 2 = 2-1 = 3,8643 R?ponse : x {0; 2,4189; 3,8643}
x = { 2,4189; 3,8643}
4. tan2x + 4tanx ? 12 = 0 tan2x + 4tanx ? 12 = 0
Factorisons (ac = -12 et les facteurs sont 1x12 2x6 3x4)
Nous allons prendre -2 et 6 tan2x + 6tanx -2tanx ? 12 = 0
tanx(tanx + 6) ? 2(tanx + 6)
(tanx + 6)(tanx ? 2) = 0
Posons
tanx + 6 = 0 tanx = -6 x = -1,4056
tanx ? 2 = 0 tanx = 2 x = 1,1071
si x [0, 2[ et que la p?riode de tanx est , trouvons toutes les valeurs
x = -1,4056 x = -1,4056 + = 1,736 x = 1,736 + = 4,8776
x = 1,1071 x = 1,1071 + = 4,2487
R?ponse : x {1,1071; 1,736; 4,2487; 4,8776}
Sylvain Lacroix 2010-2011
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5. 6sin2(2x) + 7sin(2x) + 2 = 0
(Attention, sin(2x) veut dire que le (2x) c'est l'argument du sinus!)
Factorisons (produit ac = 12, donc les facteurs sont 3 et 4)
6sin2(2x) + 3sin(2x) + 4sin(2x) + 2 = 0 3sin(2x)(2sin(2x) + 1) + 2(2sin(2x) + 1) = 0
(2sin(2x) + 1)(3sin(2x) + 2) = 0
Posons
2sin(2x) + 1= 0 sin(2x) = -1/2 2x = 7/6 x = 7/12
1 = 7/6 2 = 11/6
2x = 11/6 x = 11/12
La p?riode du sinus est P = 2/|b| P = ou P = 12/12
Donc on va rajouter une p?riode tant que l'on va respecter la contrainte x [0, 2[
x = 7/12 + 12/12 = 19/12
x = 11/12 + 12/12 = 23/12
x {7/12, 11/12, 19/12, 23/12}
3sin(2x) + 2= 0 sin(2x) = -2/3 1 = -0,7297 2 = -1 = 3,8713 2x = -0,7297 x = -0,3649 (Ne respecte pas la contrainte)
2x = 3,8713 x = 1,9357
La p?riode du sinus est P = 2/|b| P = ou P = 3,141592
Donc on va rajouter une p?riode tant que l'on va respecter la contrainte x [0, 2[
Ou x [0, 6,2832[
x = -0,3649 + 3,141592 = 2,7767 x = 2,7767 + 3,141592 = 5,9183
x = 1,9357 + 3,141592 = 5,0773
x {1,9357; 2,7767; 5,0773; 5,9183}
R?ponse : x {7/12, 11/12, 19/12, 23/12, 1,9357; 2,7767; 5,0773; 5,9183 }
Sylvain Lacroix 2010-2011
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6. 8cos2(3x) - 2cos(3x) - 3 = 0 (Attention, cos(3x) veut dire que le (3x) c'est l'argument du cosinus!)
Factorisons (produit ac = -24, donc les facteurs sont -6 et 4)
8cos2(3x) + 4cos(3x) - 6cos(3x) - 3 = 0 4cos(3x)(2cos(3x) + 1) ? 3(2cos(3x) + 1) = 0
(2cos(3x) + 1)(4cos(3x) ? 3) = 0 Posons 2cos(3x) + 1 = 0 cos(3x) = -1/2 1 = 2/3 2 = 4/3
3x = 2/3 x = 2/9 3x = 4/3 x = 4/9 La p?riode du cosinus est P = 2/|b| P = 2/3 ou P = 6/9 Donc on va rajouter une p?riode tant que l'on va respecter la contrainte x [0, 2[ x = 2/9 + 6/9 = 8/9 x = 8/9 + 6/9 = 14/9 x = 4/9 + 6/9 = 10/9 x = 10/9 + 6/9 = 16/9
x {2/9, 4/9, 8/9, 10/9, 14/9, 16/9}
4cos(3x) ? 3 = 0 cos(3x) = ? 1 = 0,7227 2 = 2-1 = 5,5605 3x = 0,7227 x = 0,2409
3x = 5,5605
x = 1,8535
La p?riode du cosinus est P = 2/|b| P = 2/3 ou P = 2,0944
Donc on va rajouter une p?riode tant que l'on va respecter la contrainte x [0, 2[
Ou x [0, 6,2832[
x = 0,2409 + 2,0944 = 2,3353 x = 2,3353 + 2,0944 = 4,4297
x = 1,8535 + 2,0944 = 3,9479 x = 3,9479 + 2,0944 = 6,0423
x {0,2409; 1,8535; 2,3353; 3,9479; 4,4297; 6,0423}
R?ponse : x {2/9, 4/9, 8/9, 10/9, 14/9, 16/9; 0,2409; 1,8535; 2,3353; 3,9479; 4,4297; 6,0423}
Sylvain Lacroix 2010-2011
sylvainlacroix.ca
R?soudre les ?quations trigonom?triques suivantes si x [-/2, /2[
7. 12sec2x + 5tanx = 14
Il faut mettre l'?quation ?gale ? 0. 12sec2x + 5tanx = 14 12sec2x + 5tanx -14 = 0
Il faudrait avoir l'?quation en fonction de tanx. 12sec2x + 5tanx -14 = 0 12(1 + tan2x) + 5tanx -14 = 0 12tan2x + 5tanx -2 = 0
12 + 12tan2x + 5tanx -14 = 0
Factorisons 12tan2x + 5tanx -2 = 0
12tan2x + 8tanx ? 3tanx -2 = 0 4tanx(3tanx + 2) ? (3tanx + 2) = 0
(3tanx + 2)(4tanx ? 1) = 0
Posons
3tanx + 2 = 0 tanx = -2/3 x = -0,588
4tanx ? 1 = 0 tanx = ? x = 0,245
R?ponse : x {-0,588; 0,245}
Sylvain Lacroix 2010-2011
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