Sb6862009b8fb20f8.jimcontent.com



№1

Решим уравнение sin2x = 2 [pic]cos2x.

2sin xcos x - 2[pic]cos2x = 0, 2 cosx (sinx - [pic]cosx) = 0, [pic]

1. 2 cosx = 0, X = [pic]+ Пn, n[pic]Z,

2. 2.sinx - [pic]cosx = 0, │ : sinx ≠ 0,( Так как cos x =0, то sinx≠0,n[pic]Z.) ctgx = [pic] ,

Ответ. X = [pic]+ Пn, n[pic]Z, x = [pic] +Пk, k[pic]Z.

№2

Решим уравнение 9х + 6х = 2[pic]4х,

32х +2х [pic]3х - 2[pic]22х = 0,|: 2х[pic]3х≠0,

[pic][pic]t>0, тогда получим уравнение t + 1 - [pic]=0. Так как t≠0, то t2+t -2 =0, t1=-2, t2=1.

-2 не удовлетворяет условию t>0. Вернёмся к переменной х:

[pic]=1, [pic]=[pic], х=0.

Ответ: х=0.

№3

Решим уравнение 4|sinx|+ 2cos2x =3, [pic]

1. [pic] 2. [pic]

Решим первую систему.

а) 4sinx +2cos2x =3, 4sinx +2( cos2x – sin2x) =3, 4sinx+2(1-sin2x –sin2x) =3,

4sinx+2(1-2sin2x)=3, 4sinx +2 -4sin2x -3 = 0, 4sin2x- 4sinx + 1 = 0,

Пусть sinx =t, |t|≤1, тогда 4t2 – 4t +1 =0, (2t – 1)2 =0, 2t – 1 =0,

t =[pic]-удовлетворяет условию |t|≤1. Вернёмся к переменной х:

sin x =[pic], x=(-1)n[pic]

б) Найдём решение , удовлетворяющее условию sinx ≥0:

[pic][pic]

Решим вторую систему.

а) – 4 sinx + 2 cos2x – 3 =0, -4 sinx + 2(cos2x – sin2x) – 3 =0,

-4 sinx + 2 ( 1 – sin2x- sin2x) – 3 =0, -4sinx + 2 – 4sin2x – 3 =0,

4sin2x +4sinx +1 =0, Пусть sinx =t, |t|≤1, тогда тогда 4t2 + 4t +1 =0,

(2t + 1)2 =0, 2t + 1 =0,

t = - [pic]-удовлетворяет условию |t|≤1. Вернёмся к переменной х:

sin x = - [pic], x=(-1)k+1[pic]

б) Найдём решение , удовлетворяющее условию sinx < 0:

[pic] [pic]

Ответ: [pic][pic]

№4

Решим уравнение log2[pic] + log2(x2- 25) = 0,

1.ОДЗ: [pic] [pic] х2 - 25 > 0, (х-5)(х+5) > 0.

Решим методом интервалов:

+ - +

-5 5

OДЗ: (-∞; -5)[pic](5; +∞).

2.log2[pic]+log2(x2- 25) = 0 [pic] log2(x-5)2=0, [pic] (x-5)2=20 ( по определению логарифма), (x-5)2=1,

a) x-5 = 1 б) х-5 = -1,

Х=6, 6[pic]ОДЗ. Х=4, 4[pic]ОДЗ.

Ответ: х = 6.

№5

Решим уравнение arcsinx + arcsin(x[pic]) = [pic].

Так как правая часть уравнения положительна, то Х>0. В противном случае

левая часть будет отрицательной.

ОДЗ: [pic] [pic]

2.Так как функция у= arcsinx + arcsinx[pic] возрастающая на ОДЗ, то

cos(arcsinx + arcsinx[pic]) = cos[pic], Применим формулу сложения для косинуса:

cos(arcsinx) [pic]cos(arcsin(x[pic])) - sin(arcsinx)[pic]sin(arcsin(x[pic])) =cos[pic],

[pic]

[pic] [pic]

Левая и правая части последнего уравнения неотрицательны.

Возведём обе части в квадрат: (1-х2)(1-3х2) =3х4. Пусть х2=t, t>0, тогда получим уравнение (1-t)(1-3t) =3t2, 3t2 -4t +1 = 3t2, -4t=-1,

t =[pic], [pic] удовлетворяет условию t>0.

Вернёмся к переменной х: х2 =[pic], х1,2 = ±[pic]. -[pic][pic]ОДЗ, [pic][pic]ОДЗ.

Ответ: х=[pic].

№6

Решим систему уравнений [pic]

1.ОДЗ: [pic]

2. [pic] [pic] [pic] [pic][pic][pic]

[pic] (*) [pic] [pic]Разделим первое уравнение на второе:

[pic]=[pic], х =[pic]. Подставим вместо х его значение в уравнение (*), получим

[pic] у[pic]=64, у3 =642, у3=212, у=24 = 16. Найдём х:

Х=[pic], х = 4. 4 и 16 [pic]ОДЗ.

Ответ: (4; 16).

№7

Решим систему уравнений [pic]

[pic] Сложим и вычтем эти уравнения и получим систему:

[pic] [pic] [pic][pic]

[pic] [pic]

Сложим и вычтем уравнения этих систем и получим:

[pic] [pic]

[pic] [pic]

Ответ: ( [pic] [pic]), ([pic][pic]

№8

Решим систему уравнений [pic]

ОДЗ:[pic]

Упростим первое уравнение: [pic] 2([pic] = 5,

[pic] =[pic].

Упростим второе уравнение: [pic]

[pic], (x-y)(x+y) =3.

Получим систему уравнений: [pic] (*) Пусть [pic]=t, тогда t +[pic],[pic]

t2 + 1 = [pic]t 2t2 -5t+2=0, D =25-16 =9, t1,2=[pic], t1=2, t2=[pic].

Вернёмся к переменным х и у:

1. [pic]=2, х = 2у. Подставим это значение во второе уравнение системы (*).

3у2=3, у2 = 1, у1.2 =±1, найдём х: х1,2=±2. Решение: (2; 1), (-2;-1).

(-2;-1) не удовлетворяет условию х+у>0, (2; 1)[pic]ОДЗ.

2. [pic] =[pic], х= [pic]у. Подставим это значение во второе уравнение системы (*).

-[pic]у[pic]у =3, [pic]=3 - не имеет действительных корней.

Ответ: (2; 1).

№9

Решим неравенство [pic]

[pic](*)

1.ОДЗ: [pic] [pic][pic] [pic][pic]

ОДЗ: (-∞; 0)U(0;1)U(1;2)U(2;3).

Неравенство (*) равносильно системам:

а)[pic] б)[pic]

Так как (х-1)2 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download