CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG



CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG

Tên chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn

Giáo viên Trường THPT Đội Cấn

Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 11 và 12

Số tiết bồi dưỡng: 12 tiết

NỘI DUNG

Chương I. Kiến thức cơ sở

Công thức biến đổi lượng giác

• Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.

• Các hằng đẳng thức lượng giác

• Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

• Công thức biến đổi

Chương II.

Các bài toán cơ bản (số tiết 12)

Dạng 1. Phương trình lượng giác cơ bản.

Dạng 2. Phương trình bậc 2, bậc 3,với một hàm số lượng giác.

Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

Dạng 4. Phương trình đẳng cấp với sinx và cosx

Dạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cox.

Dang 6. Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

Chương I. Kiến thức cơ sở

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

A. Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.

| |0 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|sin |sinx |[pic] |

|[pic] |t = sinx |[pic] |

|[pic] |t = cosx |[pic] |

|[pic] |t = tanx |[pic] |

|[pic] |t = cotx |[pic] |

Ví dụ 2.1. (KB – 2011)

Giải phương trình: [pic]

Giải

Phương trình đã cho tương đương :

2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx

( sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – 1 + sinx

( cosx(2cosx + 1)(sinx – 1) – sinx + 1 = 0

( sinx = 1 hoặc cosx(2cosx + 1) – 1 = 0

( x = [pic] hoặc 2cos2x + cosx – 1 = 0

( x = [pic] hoặc[pic]

( x = [pic] hoặc [pic]

Ví dụ 2.2.

Giải phương trình lượng giác: [pic]

Giải

+) ĐK: [pic]

[pic]

[pic]

+) Giải pt được cos24x = 1 hoặc cos24x = -1/2 (loại)

cos24x = 1 [pic]cos8x = 1 [pic][pic]

+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là [pic]

Ví dụ 2.3. Giải phương trình: [pic].

Giải

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ví dụ 2.4.

Giải phương trình: [pic]

Giải.

ĐK: [pic]

PT [pic][pic]

[pic][pic]

Ví dụ 2.5.

Giải phương trình [pic]

Giải

Biến đổi phương trình đã cho tương đương với:

[pic]

[pic]

[pic]

Giải được: [pic] và [pic] (loại)

*Giải [pic] được nghiệm [pic] và [pic]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 2. Giải các phương trình lượng giác sau:

2. 1. [pic]

2.2. [pic]

2.3. 4cosx + 2cos2x + cos4x = -1

2.4. (KA – 05) [pic]

2.5. (KD _ 05) [pic]

2.6. (KB – 04) [pic]

2.7. [pic]

2.8. [pic]

2.9. [pic]

2.10. [pic]

2.11. [pic]

2.12. [pic]

2.13. [pic]

2.14. [pic]

2.15. [pic]

2.16. [pic]

2.17. [pic]

2.18. (KA – 02) Tìm các nghiệm thuộc (0; 2π) của phương trình:

[pic]

2.19 Cho phương trình: [pic]

a. Giải phương trinh khi [pic]

b. Tìm m để phương trình có nghiệm trên [pic]

2.20. Cho phương trình: [pic]

a. Giải phương trình khi m = -2.

b. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên [pic].

Dạng 3. Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

• Cần nhớ:

Dạng: asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0)

Cách 1:

( Chia hai vế phương trình cho [pic] ta được:

(1) ( [pic]

( Đặt: [pic]

phương trình trở thành: [pic]

[pic]

( Điều kiện để phương trình có nghiệm là:

[pic]

( (2) [pic]

Cách 2:

a/ Xét [pic] có là nghiệm hay không?

b/ Xét [pic]

Đặt: [pic] ta được phương trình bậc hai theo t: [pic]

Vì [pic] nên (3) có nghiệm khi:

[pic]

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: [pic]

Ghi chú:

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: [pic]

3/ Bất đẳng thức B.C.S:

[pic]

[pic]

Ví dụ 3.1. Giải phương trình: [pic] (*)

Giải

Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được:

(*) [pic] [pic]

[pic] [pic]

Vậy phương trình có hai họ nghiệm : [pic]

Ví dụ 3.2.

Giải phương trình: [pic]

Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

[pic]

Ví dụ 3.3.

Giải phương trình: [pic]

Giải

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic]

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm: [pic]

Ví dụ 3.4.

Giải phương trình: 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8

Giải

PT ( 9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8

( 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0

( 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0

( (1-sinx)(6cosx + 2sinx – 7) = 0

( [pic]

([pic]

Ví dụ 3. 5.

Tìm [pic] thoả mãn phương trình: cotx – 1 = [pic].

Giải

®K: [pic]

PT [pic]

[pic]

[pic][pic]

[pic][pic]

[pic][pic]

[pic]

[pic][pic] [pic]tanx = 1 [pic](tm®k)

Do [pic]

Ví dụ 3.6. Giải phương trình: [pic]

Giải

[pic]

[pic]

Ta có: [pic]

[pic][pic]

[pic] [pic]

[pic],

[pic] [pic]

Kết luận: PT có nghiệm[pic];[pic]

Ví dụ 3.7. (KA – 2011)

Giải phương trình : [pic]

Giải

( [pic] (ĐK : sinx ≠ 0)

[pic]

[pic]

( [pic]

( cosx = 0 hoặc cosx + sinx = [pic]

( cosx = 0 hoặc [pic]

( x = [pic] hoặc x = [pic] (k ( Z)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 3. Giải các phương trình sau:

3.1. [pic]

3.2. [pic]

3.3. [pic]

3.4. [pic]

3.5. [pic]

3.6. [pic]

3.7. [pic]

3. 8. [pic]

3.9. [pic]

3.10. [pic]

3.11. sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (KD – 2010).

3.12. (sin2x + cos2x).cosx + 2cos2x – sinx = 0 (KB. 2010).

3.13. [pic]

3.14. [pic]

Dạng 4. Phương trình đẳng cấp

Cần nhớ:

Dạng: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d

asin3x + bsin2x.cosx + ccosx.sin2x + dcos3x = 0

Caùch 1:

( Kieåm tra cosx = 0 coù phải là nghiệm phương trình khoâng?

Löu yù: cosx = 0 [pic]

( Khi [pic], chia hai veá phöông trình (1) cho [pic] ta ñöôïc:

[pic]

( Ñaët: t = tanx, ñöa veà phöông trình baäc hai theo t:

[pic]

Caùch 2: Duøng coâng thöùc haï baäc

[pic]

[pic]

(ñaây laø phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sin2x vaø cos2x)

Ví dụ 4.1.

Giải phương trình: [pic]

Giải

+ cosx = 0 [pic] [pic] là nghiêm của phương trình

+ cosx ≠0 chia hai vế của phương trình cho cos2x ta có:

[pic]

Vậy phương trình có nghiệm là: [pic][pic]

Ví dụ 4. 2.

Giải phương trình: [pic]

Giải

+ cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.

+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có:

[pic]

[pic]

Vậy phương trình có nghiệm là: [pic]

Ví dụ 4.3.

Giải phương trình: [pic]

Giải

+ cosx = 0. không là nghiệm của phương trình.

[pic]

+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có:

[pic]

[pic]

+ [pic]

+ [pic]

Vậy phương trình có nghiệm là:[pic] [pic]

Ví dụ 4.4. (KA – 03)

Giải phương trình: [pic]

Giải

+ ĐK sin2x ≠0, tan2x ≠ -1. Ta có:

[pic]

[pic]

[pic]

Vậy phương trình có nghiệm là: [pic]

Ví dụ 4.5.

Giải phương trình: [pic]

Giải

+ ĐK: cosx ≠ 0.

Chia hai vế phương trình cho cos2x.

[pic]

[pic]

Vậy phương trình có nghiệm là:[pic]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 4. Giải các phương trình sau:

4.1. sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x)

4.2. [pic]

4.3. [pic]

4.4. [pic]

4.5. [pic]

4.6. [pic]

4.7. [pic]

4.8. [pic]

4.9. [pic]

4.10. [pic]

4.11. [pic]

4.12. [pic]

4.13. [pic]

4.14. Cho phương trình: [pic].

Tìm m để phương trình có nghiệm.

4.15. Cho phương trình:

[pic].

Tìm m để phương trình có nghiệm trên [pic]

Dạng 5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx.

Cần nhớ:

Dạng : a.(sinx ( cosx) + b.sinx.cosx + c = 0

( Ñaët: [pic]

[pic]

( Thay vaøo phöông trình ñaõ cho, ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t.

Giaûi phöông trình naøy tìm t thoûa [pic] Suy ra x.

Löu yù daáu:

( [pic]

( [pic] .

Ví dụ 5.1.

Giải phương trình: 2cos3x – sinx – 2cos2x +1 = 0. (1)

Giải

(1) [pic]( 2. (1 – sin2x) cosx + 1 – sinx – 2(1 – sin2x) = 0

[pic](1 – sinx) (2cosx – 2sinx + 2sinxcosx -1 ) = 0

TH[pic]: sinx = 1 [pic] x =[pic] , k [pic]

TH[pic]: 2(cosx – sinx) + 2sinxcosx – 1 = 0 (1)

đặt t = cosx – sinx , t [pic] [pic] [pic] 2sinxcosx = 1 – t2

(1) 2t – t2 = 0 [pic][pic]

[pic] cosx – sinx = 0[pic]cos(x + [pic] = 0[pic]x = [pic]

KL: Phương trình có 2 họ nghiệm là: x = [pic]

Ví dụ 5.2.

Giải phương trình: [pic].

Giải

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

+ Giải (1): [pic]

+ Giải (2): Đặt [pic] ta có phương trình: [pic].

[pic]

• Với [pic] ta có: [pic]

• Với [pic] ta có: [pic]

KL: Vậy phương trình có 4 họ nghiệm: [pic], [pic],

[pic], [pic].

Ví dụ 5.3.

Giải phương trình: [pic]

Giải

[pic]

[pic]

+ [pic]

+ Xét (2): Đặt [pic] ĐK: [pic] [pic]

Vậy (2) [pic]

Ta có: [pic] [pic]

Ví dụ 5.4.

Giải phương trình : [pic] (*)

Giải

ĐK : [pic]

Khi đó (*) [pic]

[pic]

[pic]

Giải (2). Đặt t = sinx + cosx [pic]

[pic]

Vậy [pic]

Ví dụ 5.5. Giải phương trình : [pic]

Giải.

ĐK : [pic]

[pic]

[pic]

+ [pic]

+ Xét (2) Đặt [pic]

[pic]

Vậy : [pic]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 5. Giải các phương trình sau:

5.1. [pic]

5.2. [pic]

5.3. [pic]

5.4. [pic]

5.5. [pic]

5.6. [pic]

5.7. [pic]

5.8. [pic]

5.9. [pic]

5.10. [pic]

5.11. [pic]

5.12. [pic]

5.13. [pic]

Dang 6.

Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

*1 Tổng hai số không âm

Áp dụng: Nếu [pic]

Ví dụ 6.1

Giải phương trình: [pic]

Giải

[pic]

[pic]

Vậy phương trình có nghiệm là: [pic]

Ví dụ 6.2.

Giải phương trình: [pic]

Giải

Ta có phương trình đã cho tương đương với:

[pic]

Vậy phương trình có nghiệm là: [pic]

Ví dụ 6.3.

Giải phương trình: [pic]

Giải

Ta có phương trình đã cho tương đương với:

[pic]

* [pic]

Thay vào (1) thì [pic] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*2. Phương pháp đối lập (Chặn trên và chặn dưới hai vế)

Nếu [pic]

Ví dụ 6.4. Giải phương trình: [pic]

Giải

[pic]

[pic]

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 6.5. Giải phương trình: [pic]

Giải

Ta có phương trình đã cho tương đương với:

[pic]

[pic]

Vậy phương trình có nghiệm là: [pic]

*3 Phương pháp phản chứng:

Áp dụng: Nếu [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Tương tự các trường hợp: [pic]

Ví dụ 6.6.

Giải phương trình: [pic]

Giải

Ta có phương trình đã cho tương đương với:

[pic]

Xét hai khả năng xảy ra cho (2):

* TH1: [pic]

* TH2: [pic]

[pic]Xét: [pic]

[pic]

Lúc đó: [pic] ( Vô lý với (3))

Vậy (*) vô nghiệm, nên ;phương trình đã cho có nghiệm: [pic]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 6.

Giải các phương trình sau:

6.1. sin2x.cos8x=1

6.2. [pic]

6.3. [pic]

6.4. [pic]

6.5. [pic]

6.6. sin4x.cos16x=1

6.7. [pic]

6.8. [pic]

6.9. [pic]

6.10. [pic]

6.11. [pic]

6.12. [pic]

Bài tập 7 - Bài tập luyện tập tổng hợp.

Giải các phương trình sau:

7.1. [pic]

7.2. [pic]

7.3. [pic]

7.4. [pic]

7.5. [pic]

7.6. [pic]

7.7. [pic]

7.8. [pic]

7.9. [pic]

7.10. [pic]

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ.

1.1. [pic]

1.2. [pic]

1.3. [pic]

1.4. [pic]

1.5. [pic]

1.6. [pic]

1.7. [pic]

1.8. [pic]; [pic]

1.9. [pic]

1.10. [pic]

1.11. [pic]

1.12. [pic]

1.13. [pic]

1.14. [pic]

1.15. [pic]

1.16. [pic]

1.17. [pic]

2. 1. [pic]

2.2. [pic]

2.3. [pic]

2.4. [pic]

2.5. [pic]

2.6. [pic]

2.7. [pic]

2.8. [pic]

2.9. [pic]

2.10. [pic]

2.11. [pic]

2.12. [pic]

2.13. [pic]

2.14. [pic]

2.15. [pic]

2.16. [pic]

2.17. [pic]

2.18. [pic]

2.19 [pic]

3.1. [pic]

3.2. [pic]

3.3. [pic]

3.4. [pic]

3.5. [pic]

3.6. [pic]

3.7. [pic]

3. 8. [pic]

3.9. [pic]

3.10. [pic]

3.11. [pic]

3.12. [pic]

3.13. [pic]

3.14. [pic]

4.1. [pic]

4.2. [pic]

4.3. [pic]

4.4. [pic]

4.5. [pic]

4.6. [pic]

4.7. [pic]

4.8. Vô nghiệm

4.9. [pic]

4.10. [pic]

4.11. [pic]

4.12. [pic]

4.13. [pic]

4.14. [pic]

4.15. [pic] hoặc [pic]

5.1. [pic]

5.2. [pic]

5.3. [pic]

5.4. [pic]

5.5 [pic]

5.6. [pic]

5.7. [pic]

5.8. [pic]

5.9. [pic]

5.10. [pic]

5.11. [pic]

5.13. [pic]

6.1. [pic]

6.2. [pic]

6.3. [pic]

6.4. [pic]

6.5. [pic]

6.6. [pic]

6.7. [pic]

6.8. [pic]

6.9. [pic]

6.10. [pic]

6.11. [pic]

6.12. [pic]

7.1. [pic]

7.2. [pic]

7.3. [pic]

7.4. [pic]

7.5. [pic]

7.6. [pic]

7.7. [pic]

7.8. [pic]

7.9. [pic]

7.10. [pic]

KẾT LUẬN

Như vậy trong thời gian không được nhiều tôi đã trình bày với các em chuyên đề “ Phương trình lượng giác” tuy chưa thật sâu sắc và có tính khái quát cao nhưng tôi hy vọng với tài liệu này sẽ giúp các em học tập có hiệu quả hơn. Rất mong được sự góp ý của các em, chúc các emthi đạt kết quả cao.

Tác giả

Nguyễn Ngọc Tuấn

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download