Esercizi di Matematica .it

Eser izi di Analisi Matemati a 2017-2018

*

*

1.

Funzioni trigonometri he

sin( + ) = sin cos + cos sin ,

cos( + ) = cos cos ? sin sin ,

sin2 + cos2 = 1.

sin(?) = ? sin , cos(?) = cos , tan(?) = ? tan .

sin( + 2) = sin , cos( + 2) = cos , tan( + ) = tan , cot( + ) = cot .

sin(?) = sin , cos(?) = ? cos , sin(+) = ? sin , cos(+) = ? cos ,

















? = cos , cos

? = sin , sin

+ = cos , cos

+ = ? sin ,

sin

2

2

2

2

Per 0 < <

sin <

e

sin

cos .



Formule di dupli azione

sin(2) = 2 sin cos , cos 2 = cos2 ? sin2 .

Formule di bisezione

sin2 =

Formule di Werner

sin cos =

1 + cos 2

1 ? cos 2

, cos2 =

,

2

2

? cos( + ) + cos( ? )

sin( + ) + sin( ? )

, sin sin =

2

2

cos( + ) + cos( ? )

cos cos =

,

2

Formule di prostaferesi

(1)

?









?

cos ?

sin + sin = 2 sin +

?

2

2

?

?









?

?

? cos + cos = 2 cos + cos ? ;

 2 

 2 

?

?

cos +

sin ? sin = 2 sin 2

?

?

?





2



?

?

+

?

cos ? cos = ?2 sin 2 sin ?

.

2

Denizione delle funzioni tan e cot,

sin

cos

, cot =

cos

sin

Il dominio per tan e' 6= (2k + 1)/2, k Z. Il dominio per cot e' 6= k, k Z.

Espresione di sin, cos mediante tan, cot e vi eversa

tan

1

sin =

, sin =

2

1 + tan

1 + cot2

cot

1

, cos =

cos =

2

1 + tan

1 + cot2

tan =

1

2

tan =



1 ? cos2

1

1

sin

, tan =

= p

=

,

cot

cot

cos

1 ? sin2

tan + tan

tan ? tan

, tan( ? ) =

,

1 ? tan tan

1 + tan tan

?1 + cot cot

1 + cot cot

cot( + ) =

, cot( ? ) =

,

cot + cot

? cot + cot

tan( + ) =

arcsin x = , x [?1, 1] ? sin = x [?/2, /2],

arccos x = , x [?1, 1] ? cos = x [0, ],

arctan x = , x (?, ) ? tan = x [?/2, /2].

Problema 1.1.

dove

Cal olare













, cos (4k + 3)

cos(k), sin (2k + 1)

,

sin (4k + 1)

2

2

2

k Z.

Problema 1.2.

Veri are le seguente indentita'

sin( ? ) = sin , cos( ? ) = ? cos , tan( ? ) = ? tan ,

sin( + ) = ? sin , cos( + ) = ? cos , tan( + ) = tan ,

sin(/2 ? ) = cos , cos(/2 ? ) = sin , tan(/2 ? ) = cot ,

sin(/2 + ) = cos , cos(/2 + ) = ? sin , tan(/2 + ) = ? cot ,

sin(3/2 ? ) = ? cos , cos(3/2 ? ) = ? sin , tan(3/2 ? ) = cot ,

sin(3/2 + ) = ? cos , cos(3/2 + ) = sin , tan(3/2 + ) = ? cot .

Problema 1.3.

Veri are le seguente indentita'

cos4 ? sin4 = cos(2),

sin(3) sin(2) =

1

(cos ? cos 5)

2

sin( + )

cos cos

p



sin = 2 ? 3/2.

tan + tan =

Problema 1.4.



Risp. 3/2.

Problema 1.5.

Cal olare cos(2) se

Dimostrare he

sin . cos( + ) = sin

sin(2 + ) = 5 sin

Problema 1.6.

? tan( + ) = 2 tan ;

? 2 tan( + ) = 3 tan .

Sempli are le espressioni

a)

(sin + cos )2

,

1 + sin(2)

q

b) sin2 (1 + cot ) + cos2 (1 + tan ), ( < < 3/2.

Risp. a) 1; b) ? sin ? cos .

3

Problema 1.7.

Dimostrare le identita'

sin6 + cos6 + 3 sin2 cos2 = 1

cos( + ). cos( ? )

1 ? cot2 cot2 = ?

sin2 sin2

sin( ? ) sin( ? ) sin( ? )

+

+

= 0.

cos cos

cos cos

cos cos

Problema 1.8.

Problema 1.9.

Per quali valori del parametro a valgono le relazioni

a) sin( ? a) = sin a,

p

b) sin a = 1 ? cos2 a,

p

c) 1 + sin(2a) = sin a + cos a.

Dimostrare he l'identit + + = /2 impli a





cos + cos + cos = 4 cos

?

cos

4

2

Problema 1.10.

Dimostrare l'identita'





?

4

2



cos



4

?



.

2

sin 5x/2

1

+ cos x + cos 2x =

.

2

2 sin(x/2)

Problema 1.11.

Problema 1.12.

Cal olare sin 180.

Dimostrare he

z+

2.

1

1

= 2 cos ? z n + n = 2 cos(n) ?n N.

z

z

Equazioni e Disequazioni trigonometri he

L'equazione

sin x = a.

Caso I: Se

|a| > 1 ? x ?.

Caso II: Se |a| 1, si trova 0 [?/2, /2] tale he sin 0 = a. Tutti soluzioni

sono

L'equazione

x = 0 + 2k, k Z,

[

x = ? 0 + 2k, k Z.

cos x = a.

Caso I: Se

|a| > 1 ? x ?.

Caso II: Se |a| 1, si trova 0 [0, ] tale he cos 0 = a. Tutti soluzioni sono

[

x = 0 + 2k, k Z,

x = ?0 + 2k, k Z.

L'equazione

tan x = a

ha soluzione per ogni a R. Prima si trova 0 (?/2, /2) tale he tan 0 = a.

Tutti soluzioni sono

x = 0 + k, k Z.

4

L'equazione

cot x = a

ha soluzione per ogni a R. Prima si trova 0 (0, ) tale he cot 0 = a. Tutti

soluzioni sono

x = 0 + k, k Z.

2.1. I tipo: Le equazioni del tipo f (sin x) = 0, f (cos x) = 0, f (tan x) = 0, dove f

polinomio.

Problema 2.1.

Trovare tutti x tali he







3

a)2 sin x+sin x?3 = 0; b) sin x? 3 sin x+

= 0; c) 4 cos2 x?2(1+ 3) cos x+ 3 = 0;

4



2

d) cos x =

2

1

tan x; e) 2 cos2 x + 3 sin x = 0; f ) 17 cos x + 12 sin2 x ? 18 = 0;

2

2

g) sin2 (x?270? )+2 cos(360? ?x) = 3; h) (cos x)2 sin

j)

x?2 sin x+1

= 1; i) 3 tan2 x+5 =





3 cot2 x + ( 3 ? 1) cot x ? 1 = 0; k) tan x + 5 cot x = 6; ?) sin x = cos 2x;

x

m) 2 cos x+3 = 4 cos ; n) 3(1?sin x) = 1+2 cos(2x); o) (1+cos x) cot x = sin 2x;

2

p) sin4 x + cos2 2x = 2; q) cos 2x + sin x = 1;

r) tan2 x =

Problema 2.2.

1 ? cos x

; s)3 cos2 x + 2 cos3 x = 2 cos x.

1 + cos x

Per quali valori del parametro a l'equazione ha soluzione

a) sin2 x + 2 cos x = a; b) 3 sin x ? cos(2x) + a = 0,

2.2.

II tipo:

L'equazione

sin ax cos ax = 0.

C.E. x R, Usiamo le formule

sin(ax) = cos

L'equazione si ridu e a

sin

Problema 2.3.









? ax ; cos(ax) = sin

ax .

2

2









a?b

a+b



+

x = 0, cos

x?

= 0.

4

2

2

4

Per quali valori del parametro a l'equazione ha soluzione

a) cos 2x + sin x = 0; b) sin 3x ? cos x = 0; c) sin 5x = cos 2x; d) sin 2x = cos 2x.

7

;

cos x

5

2.3.

III tipo:

L'equazione

a sin(px) + b cos(px) = c, a2 + b2 6= 0.

L'equazione del tipo f (x) = c dove

f (x) = a sin x + b cos x

si fa la trasformazione





p

a

b

2

2

f (x) = a + b

sin x +

cos x .

a2 + b 2

a2 + b 2

Se angolo tale he

b

a

, sin =

cos =

2

2

2

a +b

a + b2

allora l'equazione f (x) = c diventa

c

sin(x + ) =

.

2

a + b2

Problema 2.4.

2.4.

Trovare tutti x tali he

a) sin 3x ?

IV tipo:





3 cos 3x = ? 3; sin x + cos x = 1.

Equazioni dove si usano le formulae di prostaferiesi (1).

Problema 2.5.

Trovare tutti x tali he

a) cos 5x = sinx+cos 3x; b) cos 10x?cos 8x?cos 6x+1 = 0; c) cos2 x+cos2 2x+cos2 3x = 1;

d) sin x+sin 3x = 4 cos3 x; e) sin 4x?sin 3x?2 sin 2x+3 sin x = 0, f ) sin 7x cos 13x = sin x cos 19x;

1

g) sin x sin 2x sin 3x = sin 4x.

4

2.5.

V tipo:

Equazioni dove si usano le sostituzioni del tipo

(2)

sin x =

2 tan(x/2)

1 ? tan2 (x/2)

, cos x =

;

2

1 + tan (x/2)

1 + tan2 (x/2)

(3)

sin x + cos x = t ? sin x cos x =

t2 ? 1

;

2

(4)

sin x ? cos x = t ? sin x cos x =

1 ? t2

;

2

Problema 2.6.

Trovare tutti x R tale he

a) sin x + 2 cot(x/2) = 3; b) sin(2x) + tan x = 2, c)) cot(x/2) ? tan(x/2) = 2 tan x;

4

sin(2x); e) sin3 x+cos3 x = 1; f ) sin3 x+cos3 x = sin 2x+sin x+cos x;

3

1

1

1

g)

+

+

= 5; h) sin6 x + cos6 x = 1.

sin x cos x sin x cos x

d) tan x?cot x =

2.6.

VI tipo:

Equazioni omogenei del tipo

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0; a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = m.

Trovare tutti x tali he





a) sin x ? ( 3 + 1) sin x cos x + 3 cos2 x = 0; b) 3 cos3 x ? sin2 x cos x ? sin x = 0.

Problema 2.7.

2

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