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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA

CAMPUS SÃO JOSÉ

CURSO DE ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES

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CADERNO DE EXERCÍCIOS

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA

PROF. JESUÉ GRACILIANO DA SILVA

Prezados estudantes, este texto tem por objetivo contribuir para a simplificação do aprendizado da disciplina de Estatística e Probabilidades.

Organizamos uma lista de 100 exercícios que deverão ser resolvidos durante o semestre e selecionamos 15 vídeos (disponíveis no blog: ).

Também selecionamos mais de 50 apostilas completas e as disponibilizamos em uma pasta compartilhada do Dropbox.

A partir da solução de exercícios práticos vamos discutir a fundamentação teórica necessária.

A Estatística é uma disciplina universal, aprendida na maioria dos cursos superiores em todas as grandes universidades do mundo. Possibilita uma compreensão mais precisa do mundo e por isso é uma ferramenta poderosa para engenheiros, pesquisadores, cientistas, gestores públicos e executivos.

O engenheiro que dominar essa ferramenta tem um diferencial para toda sua vida profissional.

Nosso objetivo maior é despertar o interesse pelo assunto, que é inesgotável.

Atenciosamente,

Prof. Jesué Graciliano da Silva

Instituto Federal de Santa Catarina – Campus São José.

1-Qual a probabilidade de uma caixa de leite, escolhida aleatoriamente seja do tipo U, sabendo que ele está fora das especificações?

| |Tipo B |Tipo C |Tipo U |Total |

|Dentro das especificações |500 |4500 |1500 |6500 |

|Fora das especificações |30 |270 |50 |350 |

|Total |530 |4770 |1550 |6850 |

Solução

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2- Em um lançamento de duas moedas não viciadas (ao mesmo tempo), qual é a probabilidade de sair 2 coroas?

Solução

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3- Uma caixa tem 3 bolas brancas e 2 bolas pretas. Selecionando-se aleatoriamente (por sorteio) 2 bolas sem reposição, qual a probabilidade de sair 2 bolas pretas? E se houvesse reposição?

Solução

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4- Considere 3 lançamentos seguidos de uma moeda honesta. Qual a probabilidade de sair apenas 1 cara nesses 3 lançamentos?

Solução

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5- Em uma rede de computadores, em 60% dos dias ocorre alguma falha. Construir a distribuição de probabilidades para a variável aleatória X = número de dias com falha na rede, considerando o período de observação de 3 dias. Suponha que os eventos são independentes.

Solução

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6- Uma empresa de suco fez uma pesquisa para saber a preferência do consumidor. Foram entrevistadas 500 pessoas, sendo que 300 delas gostavam da marca Sucobom (A), 250 gostavam de Supersuco (B) e 50 delas nenhum dos dois. Considere que um dos entrevistados seja agora escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que ele seja consumidor do suco A e do suco B ? Qual a probabilidade de que ele seja consumidor do suco A ou do suco B?

Solução

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7- Considere que dois dados honestos sejam lançados juntos. Em cada jogada, calcula-se a soma dos resultados. Qual a probabilidade de que a soma seja 6 ou 7 ?

Solução

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8- Um piloto tem probabilidade de vencer uma corrida calculada em 1/5. Qual a probabilidade do piloto não vencer a corrida?

Solução

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9) De um baralho de 52 cartas extraem-se 2 cartas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de se obter um ás e um valete nessa ordem?

Solução

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10) Lança-se dois dados não viciados. Se a soma dos pontos nos dois lados foi 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles?

Solução

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11- Uma caixa tem 9 bolas, sendo 2 brancas, 3 vermelhas e 4 pretas. Qual a probabilidade de ser retirar uma bola que não seja preta?

Solução

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12- Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa comunidade revelou que: 25 consomem carnes e verduras, 93 consomem verduras, 39 consomem carnes. Uma pessoa é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja consumidora de apenas carne? Qual a probabilidade dela não consumir nem carne e nem verdura?

Solução

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13- Escolhe-se ao acaso um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a probabilidade da palavra escolhida começar por XA ?

Solução

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14- Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso dessa urna. Qual a probabilidade de o número da bola sorteada ser múltiplo de 2 ou de 3 ?

Solução

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15- A probabilidade de um guarda rodoviário aplicar 4 ou mais multas em um dia é de 65%. A probabilidade dele aplicar 4 ou menos multas em um dia é de 56%. Qual a probabilidade dele aplicar exatamente 4 multas?

Solução

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16- Considere o lançamento simultâneo de um dado e de uma moeda, ambos não viciados. Qual a probabilidade de sair (6, Cara) ?

Solução

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17- Em um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de selecionarmos aleatoriamente uma carta tipo “Ás vermelho”?

Solução

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18- Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de nascerem dois meninos?

Solução

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19- Três moedas honestas são lançadas ao mesmo tempo. Qual a probabilidade de que saia no mínimo 2 caras?

Solução

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20- Dois aparelhos de alarme funcionam de forma independente, detectando presença com probabilidades de 0,95 e 0,90. Qual a probabilidade de que um dado problema seja detectado por apenas um dos aparelhos?

Solução

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21- Em uma classe de 35 alunos loiros ou morenos, 20 são homens, dos quais 4 são loiros. Dentre as mulheres há 8 loiras. Sorteando-se ao acaso um dos alunos, qual a probabilidade de se sortear uma mulher loira?

Solução

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22- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. 2 peças são retiradas uma após a outra sem reposição e de forma aleatória. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?

Solução

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23- Em um colégio 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais que 1,80m de altura. O total de homens é de 60% dos estudantes. Se um estudante é escolhido aleatoriamente e tem mais que 1,80m de altura, qual a probabilidade de que seja uma mulher?

Solução

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24- Uma fábrica tem 3 máquinas A, B e C responsáveis por 40%, 50% e 10% da produção. Os percentuais de peças defeituosas produzidas pelas respectivas máquinas são: 3%, 5% e 2%. Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que ela é defeituosa. Qual a probabilidade de que ela tenha vindo da máquina B?

Solução

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25- Uma moeda viciada é lançada 8 vezes. A probabilidade de se obter cara em cada jogada é de 0,60. No total de lançamentos, qual a probabilidade de se obter 5 caras?

Solução

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26- Dois dados não viciados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de que saia pelo menos uma face com o número 5?

Solução

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27- Considere o experimento aleatório E = dado honesto é lançado e a face é observada e os eventos A = ocorre face 3 e B = ocorre face impar. Qual a probabilidade de que o evento A ocorrer? Qual a probabilidade do evento A ocorrer sabendo que o evento B já ocorreu?

Solução

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28- Em uma caixa há 5 bolas iguais, mas de cores vermelhas e 4 pretas. Retiramos duas bolas sucessivamente sem reposição. Qual a probabilidade de que ambas sejam vermelhas?

Solução

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29- Qual o espaço amostral relativo ao experimento de lançamento de 3 moedas (cara ou coroa) consecutivamente?

Solução

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30- Dados os algarismos 1,2,3, 4,5,6,7 construímos todos os números que podem ser representados usando-se dois deles sem repetir. Escolhendo-se um dos números formados (aleatoriamente), qual a probabilidade dele ser par?

Solução

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31- No lançamento de 2 dados honestos simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo?

Solução

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32 Os bilhetes de uma rifa são numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade de que o bilhete sorteado seja maior que 40 ou número par ?

Solução

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33- Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saia com o dobro de freqüência da face 1 e que as outras faces saiam com a freqüência esperada de um dado não viciado. Qual a freqüência da face 1?

Solução

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34- Uma central telefônica PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade de que a central não receber nenhuma chamada durante um intervalo de 1 minuto?

Solução

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35- Um servidor HTTP recebe uma média de 3,5 acessos por minuto. Qual a probabilidade de observarmos apenas 2 acessos por minuto?

Solução

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36-- Uma delegacia de polícia recebe um média de 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade de que ela receba 2 solicitações em uma determinada hora selecionada aleatoriamente?

Solução

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37- Um processo de produção produz 10 itens defeituosos por hora. Encontre a probabilidade de 4 ou menos itens sejam defeituosos em uma retirada aleatória por hora usando Poisson.

Solução

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38- Considerando X como sendo uma variável aleatória discreta igual ao número de vezes em que ocorre a face CARA em 5 lançamentos de uma moeda honesta. Qual a probabilidade de ocorrer duas caras ? Qual a probabilidade de ocorrer no máximo 2 caras?

Solução

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39- A partir da tabela, analise qual a Probabilidade de que um estudante selecionado ao acaso seja mulher e esteja cursando universidade?

Solução

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40- Suponha que há 7 peças vermelhas e 5 peças azuis em uma sacola. Suponha que você selecione duas peças, uma após a outra e sem reposição. Construa um diagrama de árvore para esta informação. Qual a probabilidade de que as duas peças retiradas aleatoriamente sejam azuis ?

Solução

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41- A Companhia C & W tem recebido recentemente diversas reclamações de que suas garrafas estão sendo preenchidas com conteúdo abaixo do especificado. Uma reclamação foi recebida hoje, mas o administrador da produção não é capaz de identificar de qual das duas plantas (A ou B) é a garrafa. Qual é a probabilidade de que a garrafa com pouco preenchimento provenha da planta A? Seja S o evento: a garrafa foi preenchida com conteúdo abaixo do especificado.

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Solução

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42- Um certo tipo de fruta é produzido em 2 distritos, A e B. Ambas as áreas às vezes são atacadas por uma praga (mariposa que ataca as frutas).Suponha que as probabilidades são P(A) = 1/10, P(B) = 1/20, P(A e B) = 1/50. Qual é a probabilidade de que um OU outro (ou ambos) distrito estar infetado em um determinado momento?

Solução

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43- Há dois guardas de segurança para um grande estabelecimento. Cada um carrega um aparelho de controle ativado por detectores nos edifícios. O Guarda 1 é está atento ao aparelho 80% do tempo. O Guarda 2 não é tão confiável e só responde ao aparelho 50% do tempo. Se os guardas relatam independentemente qualquer alerta para a polícia ou ao corpo de bombeiros, qual é a probabilidade de que pelo menos um informará um alerta?

Solução

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44- A companhia de aviação X recentemente forneceu a seguinte informação para o Departamento de aviação Civil (DAC) sobre os voos da origem A ao destino B.

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Seja A o evento: o voo chega adiantado. Seja B o evento: o voo chega atrasado. Qual é a probabilidade de que um voo chegue adiantado ou atrasado?

Solução

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45- Em uma amostra de 150 estudantes, 70 disseram que somente têm um aparelho de CD, 50 disseram que somente têm uma TV e 25 disseram que têm ambos. O Diagrama de Venn a seguir descreve esta situação.

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Se um estudante é selecionado ao acaso, qual é a probabilidade de que ele tenha somente um aparelho de CD? De que ele tenha somente uma TV? De que ele tenha tanto uma TV como um aparelho de CD?

Solução

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46- O Departamento de Estatística do Trabalho de um município estimou que 20 % da força de trabalho está desempregada. Uma amostra de 14 trabalhadores é obtida deste município. Calcule a probabilidade de 3 pessoas da amostra estarem desempregadas.

Solução

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47- Um time de futebol joga 3 partidas. Assumindo que a probabilidade de vitória em cada jogo é de 50%, qual é a probabilidade de que o time vença dois jogos?

Solução

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48- Considerando um lote de 10.000 peças. Admitamos que 10% delas sejam defeituosas. Duas peças são selecionadas aleatoriamente. Qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?

Solução

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49- Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de se ter uma menina?

Solução

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50- Considere que cada lâmpada do circuito em paralelo tenha probabilidade de falha de 0,5%. Qual a probabilidade de que pelo menos uma delas funcione?

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Solução

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51- Considere o circuito da figura. A probabilidade de que cada relé esteja fechado é de 12%. Todos os relés funcionam independentemente. Qual é a probabilidade de que o circuito permita a passagem de corrente entre A e B?

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Solução

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52- Uma multinacional produz circuitos integrados em 3 fábricas F1, F2 e F3 na proporção de 30%, 45% e 25% respectivamente. As probabilidades de que um circuito integrado produzido por essas fábricas não funcione são 1%, 2% e 3%. Escolhido ao acaso um circuito com defeito, qual a probabilidade de que ele seja fabricado na F1?

Solução

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53- Em um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de se extrair na seqüência uma carta de 10 de paus preta, 10 de ouros vermelha e 10 de copas vermelha?

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Solução

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54- Um professor importante, residente no Rio de Janeiro, preocupado com um possível seqüestro, adota a seguinte estratégia para se deslocar da sua casa até o escritório onde trabalha: duas vezes por semana usa um carro branco, duas vezes por semana usa um carro azul e uma vez por semana um carro cinza prateado; duas vezes por semana usa a rota A, duas vezes por semana a rota B e uma vez por semana a rota C; A decisão sobre qual rota e qual carro utilizar em uma dada semana é independente e é escolhida ao acaso no domingo à noite, porém sempre é mantida a proporção acima. Determine a probabilidade deste professor estar usando o carro azul na rota B em uma terça-feira durante uma semana sem feriados.

Solução

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55- Em uma turma de gestão de empresas 15% dos alunos afirmaram que dominam bem Estatística. Já 65% disseram que são bons em Probabilidades. Encontramos um aluno por acaso. Qual a probabilidade dele dominar estatística ou probabilidade? Qual a probabilidade de que domine probabilidade, sabendo-se que ele domina estatística?

Solução

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56- Um teste de laboratório detecta uma doença quando ela está presente em 95% dos casos. No entanto, o teste também fornece um resultado "falso positivo" para [pic]5% das pessoas saudáveis testadas. (Isto é, se uma pessoa saudável faz o teste, então, com probabilidade 1%, o resultado do teste dirá que ela possui a doença.) Se 0,5 da população tem a doença, qual é a probabilidade de uma pessoa ter a doença dado que o resultado do teste é positivo?

Solução

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57- Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores, registrou que 650 deles trabalham com cartões de crédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalham com cartões de crédito da bandeira VISA e que 200 trabalham com cartões de crédito de ambas as bandeiras. Qual a probabilidade de ao escolhermos deste grupo uma pessoa que utiliza a bandeira VISA, ser também um dos consumidores que utilizam cartões de crédito da bandeira MasterCard?

Solução

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58- Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é p=0,1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter: a) Uma peça defeituosa? b) Nenhuma peça defeituosa? c) Duas peças defeituosas? D) No mínimo duas peças defeituosas? E) No máximo duas peças defeituosas?

Solução

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59- Suponha que uma pessoa está participando de um programa de televisão e lhe é fornecida a possibilidade de escolher entre [pic] portas. Atrás de uma das portas existe um carro e atrás das demais não existe prêmio algum. O participante escolhe uma porta, digamos a porta [pic] e o apresentador abre outra porta, digamos a porta [pic], revelando que não há nada atrás dela e então oferece ao participante a oportunidade de trocar de porta. O que é mais vantajoso, trocar ou não a porta escolhida?

Solução

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60- Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativas por questão respondendo cada uma das questões de forma aleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3 questões?

Solução

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61- Um módulo eletrônico é formado por peças do tipo A, B e C. A taxa de defeitos em cada peça é de 50 por milhão, 80 por milhão e 120 por milhão respectivamente. Somente montando é possível perceber o defeito. Qual o número de módulos por milhão que darão o defeito?

Solução

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62- Na Páscoa uma avó compra ovos para seus 8 netos. Ela comprou 1 chocolate Lacta e 2 chocolates Garotos para cada neto. Dentro do chocolate há brindes, sendo que a probabilidade de se encontrar um brinde no chocolate Lacta é de 1/8. Já para o chocolate Garoto a chance é de 1/16. Nesse caso, qual é a probabilidade do neto mais velho ser o único a ganhar um brinde no chocolate Lacta?

Solução

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63- Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a probabilidade da mulher engravidar é de 20% em cada mês. Qual é a probabilidade dela engravidar somente no 4º. Mês?

Solução

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64- Uma pesquisa mostrou que 10% da população tem determinado tipo de doença. Há um teste que detecta com 92% de precisão a doença, mas há 5% de alarme falso. Se o seu teste foi POSITIVO, qual a probabilidade de você estar doente?

Solução

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65- Pesquisas mostram que o percentual de gênios na população obedece uma curva normal com média de QI = 100 e desvio padrão de 15. Qual a probabilidade de encontramos pessoas com QI superior a 145 em uma população?

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Solução

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66- Em uma cidade sabe-se que 59% das casas têm TV a cabo. Escolhemos 6 casas aleatoriamente e perguntamos para eles se eles possuem TV a cabo. Qual a probabilidade de encontrarmos 5 famílias com TV a cabo na amostra?

Solução

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67- Dois tipos diferentes de máquina, X e Y são projetadas para produzir o mesmo produto. Elas têm o mesmo preço de venda. Um fabricante está tentando decidir qual delas comprar e observou 10 máquinas distintas de cada tipo em operação por uma hora. A tabela seguinte mostra as produções horárias nas primeiras duas colunas. As médias são x = 403/10 = 40,3 unidades por hora e y = 408/10 = 40,8 unidades por hora. Portanto, com base nestes dados, o tipo Y é um pouco mais rápida. Podemos retirar mais alguma informação a partir destes dados?

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Solução

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68- Em uma pesquisa para presidente da república, qual deve ser a amostra aleatória simples, se desejamos garantir um erro amostral menor que 2%?

Solução

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69-Em uma empresa com 1000 funcionários, desejamos estimar o percentual de pessoas que são favoráveis a um determinado treinamento. Qual deve ser o tamanho da amostra para que o erro da pesquisa seja menor que 5% ?

Solução

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70- Encontre a correlação existente entre os dados apresentados.

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Solução

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71- O uso diário de água por pessoa em uma determinada cidade é normalmente distribuído com média μ igual a 50 litros e desvio padrão σ igual a 5 litros. Se uma pessoa for selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade dela consumir menos que 20 litros de água por dia ?

Solução

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72- Construa o histograma que represente a distribuição do peso dos estudantes de uma determinada escola.

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Solução

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73- Um professor pretende delimitar seu sítio com uma cerca construída com piquetes de madeira de cinco fios paralelos de arame farpado (veja figura). A forma do terreno é retangular e o comprimento de cada lado foi cuidadosamente determinado por um processo de medição não tendencioso (não gera erros sistemáticos) que tipicamente apresenta distribuição normal com desvio padrão de 0,4 m. Sabendo que as médias de quatro medições de cada um dos lados foram 18,2m, 25,4m, 18,2m e 25,4m, determine o comprimento mínimo de arame farpado que o professor deverá adquirir para cercar sua propriedade com nível de confiança de 95% de que não faltará arame para a tarefa. Observação: despreze as sobras (inicial e final) da fixação das extremidades do arame na cerca.

Solução

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74-Uma fábrica de café em pó deve produzir sacos com 500 g de café (desconsiderando a massa do saco). Funcionários do Fantástico retiraram uma amostra aleatória de 9 sacos e as massas do conteúdo de cada saco foram medidas, sendo encontrado o valor médio de 483 g, com desvio padrão experimental de 70 g. Com estes dados é possível afirmar que o consumidor está sendo lesado? Caso contrário, o que você faria para confirmar se o consumidor está sendo lesado?

Solução

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75- Corre por ai a notícia de que gasolina aditivada é melhor que a não aditivada. Um nobre mortal decidiu verificar por si se o rendimento médio do seu automóvel, expresso em quilometro rodado por litro de combustível, é melhor quando gasolina aditivada é usada. Para tal, durante 18 semanas seguidas o rendimento médio do seu automóvel foi medido semanalmente. Nas semanas pares foi usada a gasolina aditivada e nas semanas ímpares a gasolina comum. O trajeto percorrido em cada semana foi rotineiramente o mesmo, embora pequenas variações nas condições do trânsito fossem observadas. Foram obtidos os seguintes resultados: (a) gasolina aditivada: média 12,4 km/l e desvio padrão experimental 0,6 km/l e (b) gasolina comum: média 11,8 km/l e desvio padrão experimental 0,5 km/l. Teste a hipótese nula de que o rendimento médio com ambas as gasolinas é o mesmo contra a hipótese alternativa de que o rendimento da gasolina aditivada é melhor para um nível de significância de 0,05. É possível afirmar que a gasolina aditivada apresenta melhor rendimento? Justifique sua resposta.

Solução

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76- José Ricardo fez um ensaio para determinar a influência da corrente de alimentação de um laser diodo na qualidade de um certo tipo de imagem. Para tal, realizou seis ensaios com a corrente de 60 mA e seis outros ensaios com a corrente de 100 mA. Para cada ensaio, calculou um certo coeficiente, encontrando os resultados da tabela abaixo. Quanto maior o valor do coeficiente, melhor é qualidade da imagem. Com 95% de probabilidade é possível afirmar que a corrente de alimentação do laser diodo influi na qualidade da imagem?

|Corrente |Ensaio 1 |Ensaio 2 |Ensaio 3 |Ensaio 4 |Ensaio 5 |Ensaio 6 |

|60 mA |208,6 |209,0 |208,1 |208,3 |209,2 |208,3 |

|100 mA |202,1 |197,9 |200,4 |200,7 |203,0 |203,1 |

Solução

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77- Um fabricante deve produzir sacos contendo 1 kg de açúcar. A lei estabelece que o fabricante deva garantir que pelo menos 95% dos sacos produzidos não tenham menos que 980 g de açúcar (massa líquida, sem o saco). Para controlar sua produção ele dispõe de uma balança com erros sistemáticos desprezíveis e erros aleatórios que geram desvio padrão de 2,0 g, válido para toda a faixa de medição. Para determinar a massa dos sacos vazios (dentro dos quais o açúcar será acondicionado) um conjunto de 100 sacos vazios foi medido uma única vez pela mesma balança, sendo encontrada a indicação de 848,0 g. Deseja-se usar esta balança e medir apenas uma vez a massa de cada saco cheio de açúcar e decidir se o saco de açúcar atende ou não as exigências da lei. Estabeleça um procedimento apropriado para efetuar este controle de qualidade (especifique passo a passo o que deve ser feito e os detalhes do teste a ser realizado).

Nota: considere como normalmente distribuídas as populações dos sacos de açúcar cheios e dos sacos de açúcar vazios. Considere também as medições dos sacos de açúcar cheios e das embalagens vazias são linearmente independentes.

Solução

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78- Dois fabricantes de aditivo para gasolina entraram numa disputa para revelar qual dos dois aditivos torna os automóveis mais econômicos. Para isso, o mesmo automóvel percorreu repetidas vezes o mesmo percurso nas mesmas condições e o consumo médio foi medido para cada aditivo. Com o aditivo A o consumo médio foi calculado a partir de 8 medições levando ao valor médio de 15,62 km/L com desvio padrão de 0,805 km/L. Para o aditivo B o consumo médio foi de 16,21 km/L, calculado a partir de 8 medições, tendo sido encontrado o desvio padrão de 0,744 km/L. É possível afirmar, com nível de significância de 0,05, que o consumo médio do aditivo tipo B é pelo menos 0,50 km/L melhor que o do aditivo A? (suponha que a distribuição das medições de consumo seja normal).

Solução

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79 Um dono de restaurante tipo bufê vende comida à taxa de R$ 20,00/kg. Para cobrar de seus clientes o preço devido, ele tem que subtrair do valor da massa total indicada pela balança o valor médio da massa dos pratos vazios. Para chegar neste valor, as massas de todos os cem pratos disponíveis no restaurante foram medidas uma única vez pela própria balança. Foram encontrados valor médio de 110,0 g e desvio padrão de 15,0 g. A balança foi regulada para eletronicamente subtrair 110,0 g de cada prato medido e já indicar o valor a ser pago em Reais. Com base nestas informações, determine, em Reais, o tamanho da faixa que exprime o intervalo de confiança do troco, isto é, o tamanho da faixa em torno do valor em Reais indicado pela balança dentro do qual estará o preço justo correspondente à quantidade de comida selecionada por um cliente. Considere que a balança esteja livre de erros sistemáticos.

Solução

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80- Suponha que uma lei estabeleça que a massa bruta de cada caixa de leite tipo longa vida deva ser não menor que 1050 g. Para verificar se esta tolerância unilateral é obedecida deve ser usada uma balança isenta de erros sistemáticos, mas que possui um erro aleatório com média zero e distribuição normal com desvio padrão de 8 g. Estabeleça um critério baseado, em uma única medição para cada caixa de leite, com o qual seja possível garantir, com 95% de nível de confiança, que a tolerância é atendida.

Solução

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81- Um agricultor fez uma análise comparativa entre os volumes de suco produzidos por dois tipos de laranjas. Selecionou aleatoriamente duas amostras contendo, cada uma, 36 laranjas escolhidas ao acaso da mesma safra. A amostra das laranjas tipo “A” apresentou a média de 125,0 ml de suco por laranja, com desvio padrão de 9,6 ml. A amostra de laranjas tipo “B” apresentou a média de 144,2 ml de suco por laranja e desvio padrão de 12,0 ml. Para o nível de confiança 95% pergunta-se:

(a) Qual o intervalo de confiança para o valor médio do volume de suco por laranjas do tipo “A”?

(b) Qual o intervalo de confiança para a diferença média entre o volume de suco por laranjas do tipo “B” e o volume de suco por laranjas do tipo “A”?

Solução

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82- Envelopes de 50 g de uma mistura em pó para preparo de café com leite devem ser idealmente formados por 25 g de café solúvel em pó e 25 g de leite em pó. Uma máquina automática é usada para produzir envelopes de 50 g da mistura. A máquina possui dois bicos de injeção, um para cada tipo de pó. A quantidade média de pó dispensada por cada bico pode ser livre e individualmente regulada entre 20 g e 30 g. Na média a quantidade efetivamente dispensada por cada bico corresponde ao valor regulado, porém os valores individuais apresentam variações que se distribuem normalmente e de forma independente. O bico de café em pó apresenta desvio padrão de 0,8 g e o de leite em pó de 0,6 g. Pergunta-se: (a) para que valores as quantidades dispensadas por cada um dos bicos devem ser reguladas para que 95% dos envelopes produzidos contenham não menos que 50,0 g da mistura? (b) para esta mesma regulagem, calcule a probabilidade de um conjunto de 25 envelopes escolhidos ao acaso conter mais que 1270 g do pó da mistura.

Solução

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83. Pretende-se comparar as tensões de ruptura de três materiais distintos: A, B e C. Cento e vinte corpos de prova similares foram avaliados em uma mesma bateria de testes, sendo 40 de cada material. Os valores médios e desvios padrões das respectivas amostras estão na tabela abaixo. Com base nestes dados, e com nível de confiança de 95%, é possível afirmar que as resistências destes materiais são significativamente diferentes? Use testes de hipóteses para justificar sua resposta.

|Material |Valor médio |Desvio padrão |

|A |230,2 MPa |12,5 MPa |

|B |227,4 MPa |11,9 MPa |

|C |223,4 MPa |12,9 MPa |

Solução

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84- Um fabricante pretende avaliar a correlação existente entre a temperatura do dia e o consumo de cerveja. Os dados foram inseridos na tabela a seguir. Avalie qual a correlação é mais adequada.

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Solução

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85- Um lojista organizou o registro de vendas diárias de certo aparelho. Se o lucro por unidade é de R$ 20,00, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana ? Considere xi o número de aparelhos vendidos em uma semana. Na tabela a seguir, a probabilidade de se vender nenhum aparelhos na semana é de 0,1. A probabilidade de se vender 4 aparelhos é 0,2.

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Solução

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86- Uma pesquisa pretende estimar o tempo médio de estudo da população adulta de uma cidade. Sabe-se que o tempo de estudo tem distribuição normal com desvio padrão de 2,6 anos. Foram entrevistadas 25 pessoas, obtendo-se um tempo médio de estudos de 10,5 anos. Com um intervalo de confiança de 90% qual é o intervalo que representa o tempo médio de estudo da população?

Solução

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87- O quadro seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe.

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Construir uma tabela de freqüência das alturas dos alunos.

Construir o histograma.

Solução

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88- Calcule a correlação que relaciona a idade e a altura de uma criança.

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Solução

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89- Calcule a média, a mediana e a moda dos dados apresentados a seguir:

82, 86, 88, 84, 91, 93

Solução

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90- Uma fabrica de cimentos necessita encher sacos com peso médio de 50kg. Mas em alguns casos o peso varia de acordo com a distribuição normal. A Uma amostra de 20 sacos de cimento apresentou massa média de 50kg e desvio padrão de 2 kg. Se um saco de cimento for selecionado aleatoriamente no depósito para análise, qual a probabilidade de que ele tenha menos de 48kg?

Solução

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91- Um determinado tipo de barbante é vendido como sendo capaz de resistir 180 N. Um cliente retirou 5 amostras e obteve valores de resistência de 185N, 182N, 187N, 183N e 189N. Com um nível de confiança de 99% é possível afirmar que os barbantes vendidos tem resistência superior à 180N ?

Solução

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92- Um professor está interessado em demonstrar que as notas de algumas disciplinas têm relação direta com as notas de outras. No caso foram analisados um conjunto de 12 alunos em duas disciplinas: Estatística e Cálculo. Analise se há uma correlação entre as notas das duas áreas.

|Aluno |Nota em |Nota em |

| |Matemática |Estatística |

|A |5 |6 |

|B |8 |9 |

|C |7 |8 |

|D |10 |10 |

|E |6 |5 |

|F |7 |7 |

|G |9 |8 |

|H |3 |4 |

|I |8 |6 |

|J |5 |3 |

|K |4 |7 |

|L |6 |7 |

Solução

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93- Qual a reta ajustada que melhor representa a correlação entre a grandeza X e Y representada abaixo?

|Xi |

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94- Uma pesquisa com 100 pessoas mediu o tempo de reação para frear um carro em milisegundos. O valor médio obtido foi de 180ms com um desvio padrão de 50ms. Considerando que o tempo de reação obedece a lei da distribuição normal, qual é a probabilidade de encontrar uma pessoa com tempo de reação menor que 100ms?

Solução

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95- Uma fabrica produz resistores com resistência média de 100 ohms e desvio padrão de 10 ohms. Considerando que a resistência segue uma distribuição normal, qual é a probabilidade da média de uma amostra aleatória de 25 resistores apresentar resistência menor que 95 ohms?

Solução

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96- Uma fábrica de resistores garante que seus produtos apresentam desvio padrão de 10 ohms e distribuição normal. Uma amostra de 25 resistores foi testada. O valor da resistência média foi de 98 ohms. Com um nível de confiança de 95%, podemos inferir que a população de resistores tem que faixa de valores?

Solução

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97- Um fabricante afirma em seu catálogo que suas lâmpadas apresentam vida útil de 2000 horas e desvio padrão de 50 horas. Um comprador desconfiado fez um teste com 16 lâmpadas e obteve que o tempo de vida útil é de 1970 horas. Com um nível de confiança de 95% é possível afirmar que o fabricante está mentindo?

Solução

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98- São realizados teste de tensão de ruptura em 22 corpos de prova. A carga no ponto de falha foi calculada em um valor médio de 13,71MPa e desvio padrão de 3,55. Os dados obtidos nos permite afirmar com nível de confiança de 95% que a tensão de ruptura da população dos corpos de prova é superior a 10 MPa?

Solução

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99- Ordene os dados indicando o 1º, 2º e 3º quartil

45, 56, 62, 67, 48, 51, 64, 71, 66, 52, 44, 58, 55, 61, 48, 50, 62, 51, 61, 55

Solução

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100- Faça a análise da distribuição de altura obtida a partir de uma amostra de 40 alunos de uma escola.

|Altura |Freqüência |

|140-145 |3 |

|145-150 |5 |

|150-155 |2 |

|155-160 |7 |

|160-165 |14 |

|165-170 |6 |

|170-175 |0 |

|175-180 |1 |

|180-185 |2 |

Solução

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|Resumo de Estatística e Probabilidades |

Este resumo é uma simplificação de alguns conceitos da área de Estatística e probabilidades. Sua utilização deve ser precedida da consulta à Bibliografia indicada.

1- Apresentação

O que é estatística e para que ela serve? Por que engenheiros devem estudar estatística?

Encontramos na literatura diversas definições para estatística. Podemos simplificar dizendo que estatística é o estudo da coleta, organização, análise, interpretação e apresentação de dados.

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A definição pode parecer complexa, mas a humanidade já aplicava os rudimentos da estatística desde a antigüidade. Vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos; faziam estimativas das riquezas individuais e social; distribuíam terras ao povo; cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje, chamamos de “Estatística.

Em Roma na época de Otávio Augusto, que governou por 41 anos, já se fazia gestão pública e se tomava decisões por meio de indicadores. Roma chegou a abrigar 1 milhão de pessoas no início da era Cristã.

E a diversão com jogos de azar também vem de longa data. Um jogo romano famoso é o "general".

A estatística se consolidou como ciência a partir do século XVII com Bernoulli, Pascal, Gauss, Galton, Gosset entre outros grandes nomes.

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Na engenharia como nas demais ciências é preciso compreender a realidade para intervir. Se não podemos medir um fenômeno com precisão não podemos tomar as decisões mais acertadas.

Para ilustrar a importância da estatística na engenharia vamos imaginar um exemplo simples. Vamos construir a estrutura de 200 torres de telecomunicações. Cada uma delas é composta por 50 barras de perfil em “I”. Qual deve ser a tensão de projeto nesse caso se sabemos que nem todas as barras iguais da treliça têm a mesma resistência?

Se pudéssemos medir a resistência à tração de 5 peças escolhidas aleatoriamente de um lote teríamos 5 valores de tensão máxima admissível de tração: 2050N, 2020N, 1920N, 2220N e 1800N.

Nesse caso, a amostra é adequada? Qual deveria ser a amostra mínima para se fazer uma afirmação da resistência à tração com intervalo de confiança de 95%?

Como exemplo na área da educação sabemos que temos dificuldades em combater a evasão. Se fosse nomeado(a) secretário(a) da educação do seu município o que faria inicialmente?

A resposta depende do estilo de cada gestor, mas o mais comum é fazer um extenso diagnóstico. Quais são os índices de evasão por escola, por bairro? Quais os motivos da evasão? O que as escolas com menores índices de evasão apresentam em comum? E as com maiores índices?

Existe relação entre democracia e desenvolvimento? E entre educação e riqueza das nações? Quantos bilhões de pessoas seremos em 2040? A seguridade social brasileira será capaz de garantir aposentadorias dignas dentro de 20 anos? Uma nova vacina é capaz de conter uma epidemia? O nível de consumo das classes D e E terá crescimento na próxima década? A produção de laranjas para exportação será suficiente no próximo ano?

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A realidade é complexa e exige aplicação de técnicas da estatística para intervenção. O BIG DATA já é uma realidade concreta para compreensão do mundo.

Você já viu o filme: “O homem que virou o jogo” ou já ouviu falar de Nate Silver? Ele escreveu um livro chamado: “O sinal e o ruído – por que tantas previsões falham e outras não?” Ou já leu o livro: “Os números governam suas vidas?”

Nos vídeos a seguir é possível visualizar algumas aplicações diversas dessa ciência matemática.

Sejamos políticos, engenheiros, pedagogos, administradores não importa sua profissão, podemos afirmar que a estatística é uma ciência que pode mudar sua forma de agir como profissional. Afinal ninguém pode controlar e medir algo que não conhece.

2- Estatística descritiva

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Para simplificar o que chamamos de estatística descritiva, vamos fazer a análise da estatura dos estudantes de uma escola que tem 400 alunos. Uma amostragem foi obtida coletando aleatoriamente (tabela de números aleatórios) 10% dos alunos de cada turma. Os resultados são apresentados na Tabela:

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A partir da amostra obtida podemos estimar a média das estaturas da escola. Podemos estimar o desvio padrão e construir histogramas com as distribuições de freqüência. A seguir podemos ver um exemplo de histograma. Construa um para a distribuição de alturas.

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A seguir apresentamos um exemplo de análise estatística descritiva das notas de uma determinada prova.

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No caso da amostra de 40 estudantes de uma população de 400 temos que saber se a amostra é representativa para se estabelecer a inferência. Se a amostra for representativa podemos inferir informações sobre a população a partir de apenas uma parte. Por meio da inferência e técnicas de amostragem podemos entrevistar pouco mais de 3000 eleitores e conhecer a tendência de voto de todo o Brasil. Mas o interessante é perceber que essa informação varia diariamente e tem uma margem de erro indicada.

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Considere ainda o exemplo: Um mecânico anotou a vida útil das baterias de carro de seus clientes. Os dados são descritos e organizados por meio do diagrama de ramos e folhas, da tabela de freqüências e do histograma.

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Veja o exemplo de como podemos representar conjunto de dados em diagrama de caixa (Box plot).

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Estabelecer correlações é um trabalho importante na engenharia e em muitas outras ciências.

A seguir temos um exemplo de correlação estatística relacionando a potência do motor (HP) e o tempo para se acelerar um carro. O que podemos inferir a partir do gráfico?

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Você poderia afirmar que há correlação estatística entre o peso (N) e a estatura dos estudantes de sua turma? E entre horas de estudo e resultados nas provas? Ou entre temperatura no verão e venda de cervejas? Ou entre tempo de exposição de uma marca e resultado nas vendas? Ou entre anos de escolaridade e salários? A partir dessas reflexões podemos compreender a importância de correlacionarmos variáveis como forma de entender os fenômenos que nos rodeiam.

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Todo projeto de tese ou dissertação parte de uma pergunta chave.

Por exemplo: Será que o consumo de açúcar aumenta os riscos do desenvolvimento do câncer ? Será que a transparência se relaciona com o índice de confiança? O que você pode concluir a partir da leitura dos gráficos a seguir?

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3- Probabilidades

Diversos autores apontam que o cálculo das Probabilidades teve início na Idade Média, com as primeiras tentativas de análise matemática das chances de se vencer nos jogos de azar, muito difundidos na época. Os jogos também eram utilizados para se prever o futuro, decidir conflitos e dividir heranças.

Devem-se aos algebristas italianos Pacioli, Cardano e Tartaglia (séc. XVI) as primeiras considerações matemáticas acerca dos jogos e das apostas.

No entanto, a contribuição decisiva para o início da Teoria das Probabilidades foi dada pela correspondência trocada entre os matemáticos franceses Blaise Pascal e seu amigo Pierre de Fermat, em que ambos, por diferentes caminhos, chegam à solução correta do célebre problema da divisão das apostas em 1654, quando jogo é interrompido antes do final.

Laplace definiu a Probabilidade de ocorrência de um evento A como sendo:

Como exemplo considere o lançamento de um dado honesto.

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O Diagrama de Veen é muito útil para compreensão dos eventos.

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Se dois eventos são mutuamente exclusivos:

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Teorema de Bayes

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4- Distribuições de Probabilidades

A distribuição de probabilidades associa uma probabilidade a cada resultado numérico de um experimento, ou seja, dá a probabilidade de cada valor de uma variável aleatória.

Quando lançamos duas vezes uma moeda podemos ter nenhuma coroa, uma coroa ou duas coroas.

Se chamarmos de X = número de coroas temos então a seguinte distribuição:

X = 0 pode acontecer 1 vez

X = 1 pode acontecer 2 vezes

X = 2 pode acontecer 1 vez

CA. CA. = CA, CA. X = 0

CO. = CA, CO. X = 1

CO. CA. = CO, CA. X = 1

CO. = CO, CO. X = 2

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Distribuição de Bernoulli

Considerando a variável aleatória X que representa o número de sucessos em “n” provas de Bernoulli tem uma distribuição denominada Binomial dada por:

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Distribuição de Poisson

Na prática, muitas situações nas quais interessa o número de observações de uma variável em um intervalo contínuo (tempo ou espaço) podem ser convenientemente explicadas pela distribuição de Poisson.

Exemplos: número de chamadas telefônicas por minuto, número de mensagens que chegam a um servidor por segundo, número de acidentes por dia, número de defeitos por m2.

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Distribuição Normal

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Podemos transformar a distribuição de área unitária em qualquer outra se conhecermos a média e o desvio padrão.

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5- Teorema Central do Limite

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6- Inferências estatísticas

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7- Testes de hipóteses

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8- Controle estatístico de processos

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Diagrama de Ishikawa

Também é chamado de gráfico de causa – efeito e gráfico espinha de peixe. É utilizado para analisar as causas do problema a ser resolvido, sempre com relação a cada um dos seis elementos envolvidos no processo. A sua forma é mostrada na Figura. Para elaboração do diagrama correspondente a determinado problema, deve-se considerar as opiniões de todos os envolvidos no processo.

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Gráfico de Controle para Média e Amplitude

Também chamado carta de controle, é formado por três linhas paralelas ao eixo das abscissas. A intermediária é chamada “linha média” (LM). As outras duas são chamadas “limites de controle”. A região compreendida entre os limites de controle é chamada “zona de controle”. As regiões abaixo do limite inferior de controle (LIC) e acima do limite superior de controle (LSC) são denominadas “zonas de ação”.

Quando usados de forma adequada os gráficos de controle proporcionam benefícios como:

1) Auxiliar os operadores a atingir e manter o controle de um processo.

2) Proporcionar uma linguagem comum para acompanhar o desempenho do processo.

3) Ajudar a tornar o processo mais consistente e previsível.

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7- Anexos

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Exemplo: Estamos interessados em estudar a qualidade da gasolina nos postos de uma determinada cidade. Essa cidade possui N = 40 postos. A empresa que estudará a qualidade pode investigar apenas uma amostra de n = 4 postos. Para selecionarmos uma amostra, utilizando a amostragem casual simples, basta escolhermos uma posição de qualquer linha da tabela de números aleatórios e extrairmos conjuntos de dois algarismos (pois N, que é o tamanho da população, possui 2 casas decimais), até completarmos os 4 elementos da amostra. Se o número sorteado não existir, simplesmente não consideramos e prosseguimos o processo.

Escolhendo a primeira linha da Tabela de Números Aleatórios, temos a seguinte amostra de

4 elementos: {09, 26, 29, 11}.

Distribuição QUI QUADRADO

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REFERÊNCIAS

1.MONTGOMERY, Douglas C; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros’. Rio de Janeiro: LTC, 2009. ISBN 8521616643.

2.SPIEGEL, Murray R. Estatística. 3.ed. São Paulo: Pearson, 1994. 860 p. ISBN 978-8534601207.

3. CRESPO, Antonio A. Estatística Fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009. 224 p. ISBN 978-8502081062.

4. DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada (Série Essencial). 3.ed. São Paulo: Saraiva, 2010. 351 p. ISBN 978-8502104167.

5- WALPOLE, Ronald E. Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009

6- LARSON, Ron; FARBER, Betsy. Estatística aplicada. 4. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

7- . Silver, Nate. O sinal e o ruído: por que tantas previsões falham e outras não. Tradução: Ana Beatriz Rodrigues, Cláudio Figueiredo. 1ª. Edição – Rio de Janeiro. Ed. Intrínseca, 2013.

8- Costa, Sergio Francisco. Introdução ilustrada à estatística. 4ª. Edição. São Paulo. Editora Harbra, 2005.

9- Gladwell, Malcolm. O ponto de virada. Rio de Janeiro. Sextante, 2009.

10- Barbetta, Pedro Alberto. Estatística aplicada às Ciências Sociais. Florianópolis. Ed. Da UFSC, 2011.

Vídeos disponíveis no Youtube

Apostilas diversas disponíveis no Dropbox

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