Arctan .se

Exempel 1

Ber?akna f?oljande gr?ansv?arden:

a lim x0

1 arctan

x

-

1 ln(1 +

x)

b

lim

x

xe1/x

-

x2

sin

1 x

c

cos x - |1 - x2| + x7

lim

x0

x4 + x7

d

lim

x

cos

x

-

x4

|1 - x2| + x7

+

x7

1/8

lim

x0

1 arctan

x

-

ln

1 (1 +

x)

=?

Maclaurinutveckling t.o.m. ordning 2, d v s med restterm av grad 3 ger

ln

(1

+

x)

=

x

-

1 2

x2

+

O

x3

arctan x = x + O x3

=

ln (1

+

x) - x2

arctan x

=

x

-

1 2

x2

+

O(x3) - x2

(x

+

O(x3))

=

-

1 2

x2

+

O(x3)

x2

=

-

1 2

+ O(x)

-

1 2

d?a x 0.

3/8

lim

x0

1 arctan

x

-

ln

1 (1 +

x)

=?

Vi b?orjar med att s?atta p?a gemensamt br?ak och utnyttja standardgr?ansv?arden f?or att slippa utveckla s?a m?anga termer.

lim

x0

1 arctan

x

-

ln

1 (1 +

x)

=

lim

x0

ln (1 + x) arctan x

- ln

arctan x (1 + x)

=

=

lim

x0

ln (1 + x) - arctan x

arctan x

x

?

ln

(1 + x

x)

?

x2

=

r?akneregler f?or gr?ansv?arden

=

=

lim

x0

ln

(1

+

x) - x2

arctan

x.

G?or vi p?a detta s?att f?ar vi ocks?a direkt svar p?a hur l?angt vi beh?over utveckla termerna i t?aljaren, i detta fall till grad 2.

2/8

lim

x

xe1/x

-

x2

sin

1 x

=?

S?att

t

=

1 x

.

Observera

att

d?a x

s?a t

0+

eftersom

1 x

>

0.

Vi kan ju bara g?a mot fr?an ett h?all. Vi f?ar

xe1/x

=

1 t

et

=

1 t

1

+

t

+

1 2

t2

+

1 6

t3

+

O

t4

=

=

1 t

+ 1 + O(t) ,

x2 sin

1 x

=

1 t2

sin t

=

1 t2

t

-

1 6

t3

+

O

t5

=

=

1 t

+ O(t) .

D?a det r?acker med en nollskild term och restterm ser vi att kan stanna utvecklingarna redan vid O(t).

4/8

lim

x

xe1/x

-

x2

sin

1 x

=?

Vi f?ar

lim

x

xe1/x

-

x2

sin

1 x

=

t = 1/x x t 0+

=

= lim t0+

1 t

et

-

1 t2

sin

t

= lim t0+

1 t

+

1

+

O(t)

-

1 t

+

O(t)

=

= lim (1 + O(t)) = 1 t0+

5/8

cos x - |1 - x2| + x7

lim

x0

x4 + x7

Ins?attning av utvecklingarna ger t?aljaren

T : cos x- |1-x2|+x7 =

=

1-

1 2

x2+

1 24

x4

+O

x6

-

1-

1 2

x2

-

1 8

x4+O

x6

=

1 24

+

1 8

x4+O x6

+x7

=

1 6

x4+O

x6

N : x4 + x7

T N

=

1 6

x4+O(x6)

x4 + x7

=

1 6

+O(x2)

1 + x3

1 6

d?a x 0

+x7 =

7/8

lim

x0

cos

x

-

x4

|1 - x2| + x7

+

x7

D?a x 0 kan vi ta bort beloppet innanf?or rottecknet; om x 0 s?a m?aste ju x2 f?orr eller senare vara mindre ?an 1. Vidare, d?a x ?ar litet dominerar x4 ?over x7 i n?amnaren. F?or att vi d?a skall kunna

f?a ut n?at ur detta m?aste vi utveckla t.o.m. ordning 4. Vi f?ar

cos x = 1 - 1 x2 + 1 x4 + O x6 , 2 24

1 - x2 =

1 - x2 1/2 =

t?ank t = -x2

=

=

1

+

1 2

(-x2)

+

1/2 2

-x2 2 + O -x2 3 =

=

1/2

=

1 2

(

1 2

- 1)

= -1

= 1 - 1 x2 - 1 x4 + O x6

2

2

8

28

6/8

cos x - |1 - x2| + x7

lim

x

x4 + x7

Kuggfr?aga! H?or ju hemma i Envariabelanalys, del 1. Bryt ut x2 ur rotuttrycket och x7 i t?aljare och n?amnare eftersom det ?ar den som

?ar dominant d?a x ?ar stort. Vi f?ar

cos x - |1 - x2| + x7 x4 + x7

=

cos x x7

+

1-

1 x2

x6

1

+

1 x3

+1

1

d?a x .

8/8

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download