WordPress.com
[pic]
Universidade Federal do ABC
CMCC
Centro de Matemática, Computação e Cognição
DISCIPLINA
Práticas de Ensino de Matemática
Ensino Fundamental
Álgebra: uma introdução às generalizações
ALUNO
Diego Medeiros de Aguiar
Bacharelado em Ciência e Tecnologia
Matrícula 21002613
ORIENTAÇÃO
Prof. Dr. Claudio F. André
Santo André – SP
1º. Quadrimestre de 2016
SUMÁRIO
DADOS GERAIS 3
1. PERGUNTA(S) PROBLEMATIZADORA(S) 4
2. PROPÓSITOS 5
2.1. Conceituais 5
2.2. Procedimentais 5
2.3. Atitudinais 5
3. PLANEJAMENTO 6
3.1. Prazo 6
3.2. Produtos 6
3.2.1 Critérios de avaliação dos produtos 6
3.3. Exercícios de fixação 6
3.4. Funções dos alunos 6
3.5. Conteúdo/Conhecimento formal/Fundamentos 7
3.5.1 Introdução 7
3.5.2 Contexto histórico 7
3.5.3 Representação algébrica 8
3.5.4 Utilização 8
3.5.5 Valor numérico 9
3.5.6 Expressões algébricas equivalentes 10
3.6. Matemático (Breve Biografia) 11
4. PESQUISA 12
5. PRODUÇÃO 12
5.1 Professores - Procedimentos/Ações/Atividades 12
5.2 Produções - Alunos - Procedimentos/Ações/Atividades 13
6. PUBLICAÇÃO 14
6.1. Produtos 14
7. PROCESSO 14
7.1. Autoavaliação dos Alunos - Registro das lições aprendidas 14
7.2. Avaliação - Exercícios de fixação 15
7.3. Avaliação - Rubricas 17
REFERÊNCIAS 18
| |
|DADOS GERAIS |
|Disciplina |
|Matemática |
|Nível de Ensino |
|Ensino Fundamental |
|Ano |
|7º ano / 6ª série |
|Eixo |
|Tema III: Números e operações/álgebra e funções |
|Título |
|Álgebra: uma introdução às generalizações |
|Sinopse |
|Esta aula compõe uma visão inicial sobre a Álgebra e seus desdobramentos na construção de um novo pensamento lógico-matemático através de uma |
|situação diferenciada, no caso, a descoberta de padrões em charadas matemáticas. |
|Recursos e Materiais de apoio |
| |
|1. Softwares / Aplicativos |
|Processador de texto: MS Word |
|Software de apresentação: Microsoft PowerPoint |
|Ferramenta de pesquisa na internet: Google |
|Software de matemática dinâmica: Geogebra |
|Software para notação matemátca: MathType |
| |
|2. Hardware |
|Microcomputador ou tablet |
|Glossário (05 palavras / termos) |
| |
|Álgebra: é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas. (Wikipedia, versão em|
|português) |
|Expressão algébrica: é uma expressão matemática que apresenta números e (ou somente) quantidades desconhecidas ou generalizadas. (definição do |
|autor) |
|Variável: é o nome dado à quantidade desconhecida ou generalizada em uma expressão algébrica. (definição do autor) |
|Valor numérico: é o valor obtido ao substituir as variáveis de uma expressão algébrica por números e a efetuação dos cálculos indicados |
|(GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 1996) |
|Número literal: é o uso das letras do alfabeto para representar números. (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 1996) |
| |
|1. PERGUNTA(S) - PROBLEMATIZADORA(S) |
| |
|[pic] |
|Como você faria para expressar relações entre quantidades que você não conhece? |
| |
|[pic] |
|Como eu sei as propriedades de uma operação sem ter que testar todos os casos? |
| |
|[pic] |
| |
|Como você consegue descobrir quantidades desconhecidas em um problema? |
| |
|2. PROPÓSITOS |
|2.1. Conceituais |
| |
|1. Conceituais |
| |
|D30-EF2-MAT – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica. |
| |
|D32-EF2-MAT – Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões). |
|2.2. Procedimentais |
| |
|Aplicar conhecimentos existentes para gerar novas ideias, produtos ou processos. |
|Desenvolver trabalhos originais como um meio de expressão individual e coletiva. |
|Identificar e definir problemas autênticos e questões significativas para investigação. |
|Usar os principais recursos dispositivos digitais e móveis, tais como: computador, notebook, netbook, filmadora digital, câmera fotográfica, |
|impressora, scanner, pendrive, smartphones e tablets; |
|Encontrar e utilizar tecnologias, soluções e ferramentas gratuitas na internet. |
|2.3. Atitudinais |
| |
|Produzir conteúdos de acordo com as orientações, escopo e regras estabelecidas para cada tipo de gênero. |
| |
|Trabalhar colaborativamente e cooperativamente, de acordo com regras de convivência que contribuam para ambientes harmoniosos. |
| |
|3. PLANEJAMENTO |
|3.1. Prazo |
| |
|2 aulas de 50 minutos |
|3.2. Produto(s) |
| |
|Atividade escrita individual |
|3.2.1. Critérios de avaliação dos produtos |
| |
|Clareza na situação problema avaliada, complexidade do raciocínio indutivo observado e organização das informações. |
|3.3. Exercícios de fixação |
| |
|De 85% até 100% de acertos – Ótimo |
|De 65% até 85% de acertos – Bom |
|De 50% até 64,9% de acertos – Regular |
|De 0% até 49,9% de acertos – Precisa melhorar |
| |
|3.4. Funções dos Alunos |
|Investigar relações, padrões e propriedades partindo do mundo aritmético para o algébrico, além de proporcionar a criação de charadas |
|matemáticas como introdução ao formalismo algébrico. |
|3.5. Conteúdo/Conhecimento formal / Fundamentos |
| |
| |
| |
|Álgebra – uma introdução às generalidades |
| |
| |
| |
|3.5.1. INTRODUÇÃO |
|Vamos tomar a seguinte situação: |
|Clara é uma confeiteira. Para produzir 12 bolos, o custo de cada bolo é de R$ 15,00 e ela sempre tem um custo fixo, independente da quantidade |
|produzida, de R$ 20,00. Quanto custou a produção? |
|Naturalmente, se serão produzidos 12 bolos a um custo de 15 reais, a resposta será dada pelo produto de 15 por 12, isto é, [pic] Temos ainda |
|que adicionar o custo fixo de R$ 20,00, portanto, o custo será de [pic] ou seja, R$ 200,00. |
|Mas e se ao invés de 12 fossem 15 bolos? |
|O problema seria resolvido multiplicando o mesmo custo de R$ 15,00 para 15 bolos e somando o custo fixo de R$ 20,00, isto é, [pic] ou seja, R$ |
|245,00. |
|Será que é possível expressar o custo de Clara através de uma expressão que seja válida para qualquer que seja a quantidade de bolos? |
| |
|3.5.2. CONTEXTO HISTÓRICO |
|Na Antiguidade, a falta de símbolos para indicar as operações e expressar os cálculos necessários à resolução de um problema levou o homem a |
|recorrer ao uso das palavras. Isso tornava o cálculo longo, cansativo e complicado. |
|O filósofo grego Aristóteles (384 – 322 a.C.) e o matemático grego Euclides (século III a.C.) foram os primeiros a usar letras e símbolos, |
|embora de forma muito limitada, para indicar números e expressar a solução de um problema. |
|Em seguida, foi utilizado o recurso da abreviação para sintetizar de maneira mais racional o cálculo. Foi, porém, o matemático e astrônomo |
|François Viète (1540 – 1603) o introdutor do uso de letras para indicar números e dos atuais símbolos das operações que usamos até hoje. Por |
|esse motivo, Viète é considerado o pai da Álgebra. O uso das letras e o cálculo literal trouxeram enormes progressos para a Matemática, que |
|assumiu a forma atual ao longo do tempo. |
|A palavra álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro Al-jabr w’al mugabalah ou, em português, A arte de |
|reunir desconhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no século IX por Al-Khwarizmi, o mesmo que levou os atuais algarismos (nota|
|alguma semelhança entre o nome e a palavra algarismo?) indoarábicos juntamente ao sistema decimal para a Europa. Este estudo de Al-Khwarizmi |
|foi traduzido para o latim e então a álgebra passou a ser utilizada pelos matemáticos europeus. |
| |
|3.5.3. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA |
|Cada símbolo matemático corresponde a um conceito. Com regras apropriadas, relacionamos uns aos outros e com os demais elementos da linguagem |
|matemática para exprimir uma ideia. Vamos a alguns exemplos: |
|Frase na linguagem comum |
|Expressão na linguagem matemática |
| |
|Oito adicionado a sete. |
|[pic] |
|Expressões aritméticas |
| |
|O quadrado de três multiplicado por cinco. |
|[pic] |
| |
| |
|O dobro de um número qualquer adicionado a outro número qualquer. |
|[pic] |
|Expressões literais |
| |
|O dobro da soma de dois números quaisquer |
|[pic] |
| |
| |
|Um número ímpar qualquer |
|[pic] |
| |
| |
|As expressões aritméticas que contém somente símbolos numéricos são denominadas expressões aritméticas, e aquelas que contêm letras são |
|denominadas expressões literais. |
|Note que, nos três últimos casos da tabela, nós temos termos que designam números de forma vaga (um número qualquer, o dobro de um número |
|qualquer...). Nesses casos, quando não sabemos que número é esse, ou seja, é um número que pode, naquela circunstância assumir diversos |
|valores, representamos o dito número por uma letra qualquer, que em Matemática chamamos de variável. |
|Obs.: A multiplicação entre variáveis ou entre números e variáveis não precisa ser indicada, isto é, se tivermos uma expressão [pic](dois vezes|
|um número qualquer), podemos reduzi-la a [pic] |
| |
|3.5.4. UTILIZAÇÃO |
|As expressões literais são muito úteis quando tratamos de explicar um evento de forma genérica, porque se escrevemos sentenças ou expressões em|
|função de variáveis, o que soubermos ser válido para essas variáveis será válido para qualquer outro número que seja colocado no lugar da |
|variável. |
|Por exemplo, a propriedade comutativa da adição (a ordem das parcelas não altera a soma) pode ser reescrita como: |
|“Sejam a e b dois números quaisquer. Então [pic]”. |
|Note que a e b são variáveis. Se a propriedade vale para qualquer a e b, então vale para quaisquer outros números que colocarmos no lugar de a |
|e de b: |
|a |
|b |
|a + b |
|b + a |
| |
|2 |
|3 |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|4 |
|12 |
|[pic] |
|[pic] |
| |
|Ela também nos permite expressar padrões reconhecíveis para sequências de números. Por exemplo: |
|Coluna 1 |
|Coluna 2 |
| |
|1 |
|1 |
| |
|2 |
|4 |
| |
|3 |
|9 |
| |
|4 |
|16 |
| |
|5 |
|25 |
| |
|Podemos verificar nessa sequência de números que a relação entre os números da coluna 1 e da coluna 2 é que os números da coluna 2 são os |
|quadrados dos números da coluna 1. Mas como eu posso expressar esse padrão de forma matemática? |
|Se chamarmos de n um número qualquer da coluna 1, temos que o correspondente dele na coluna 2 é o quadrado de n, isto é, [pic]. Então temos na |
|tabela: |
|Coluna 1 |
|Coluna 2 |
| |
|1 |
|1 |
| |
|2 |
|4 |
| |
|... |
|... |
| |
|n |
|n2 |
| |
| |
|3.5.5. VALOR NUMÉRICO |
|Dada uma expressão algébrica, podemos atribuir a ela um valor numérico, isto é, substituímos a variável por um número bem definido e fazemos os|
|cálculos necessários. Por exemplo: |
|Expressão algébrica |
|Valor para a variável x |
|Valor para a variável y |
|Valor para a variável z |
|Como fica a expressão? |
|Valor numérico |
| |
|[pic] |
|2 |
|Não há |
|Não há |
|[pic] |
|17 |
| |
|[pic] |
|-1 |
|1 |
|Não há |
|[pic] |
|1 |
| |
|[pic] |
|[pic] |
|2 |
|3 |
|[pic] |
|-6 |
| |
| |
|3.5.6. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS EQUIVALENTES |
|Vejamos o seguinte exemplo: |
|[pic] |
|Podemos expressar o perímetro deste triângulo com lados medindo x, [pic] e 2x através da soma desses termos: |
|[pic] |
|No entanto, há algumas propriedades das operações que nós já conhecemos que podemos aplicar nesta expressão: |
|[pic] |
|Entretanto, as expressões [pic] e [pic] significam a mesma coisa: o perímetro do triângulo Δ ABC. Dizemos que as expressões são equivalentes. |
|Podemos obter expressões equivalentes conforme a nossa necessidade. |
|Fonte: |
|DANTE, Luís Roberto. Tudo é matemática – 6ª série. São Paulo: Ática, 2002, 1ª edição |
|GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., José Ruy. A conquista da matemática de acordo com a proposta curricular de São Paulo: 6ª|
|série. São Paulo: FTD, 1996, edição renovada. |
|BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Ayrton. Matemática: fazendo a diferença – 6ª série/7º ano. São Paulo: FTD, 2006, 1ª |
|edição. |
| |
| |
| |
|3.6. Matemático (Breve Biografia) |
| |
|[pic] |
| |
|4. PESQUISA |
| |
|1. Acesse o site , e obtenha uma descrição mais detalhada e precisa sobre a história da álgebra pelos|
|árabes, babilônios, gregos até se popularizar na Europa. |
|2. Acesse o site para rever os tópicos de álgebra. Atenção, pode conter alguns |
|vídeos em inglês. |
| |
|5. PRODUÇÃO |
|5.1. Professores - Procedimentos/Ações/Atividades |
| |
|Caro professor, seguem algumas orientações e atividades possíveis de serem realizadas nas aulas introdutórias de álgebra: |
| |
|Sabemos que o aparecimento de letras para representar quantidades é algo que pode chocar os alunos logo de início. É importante, antes de |
|introduzir o caráter literal, se os alunos têm bom conhecimento das propriedades da adição e da subtração. |
| |
|Exercício 1: Cheque se os alunos conhecem as propriedades que envolvem a adição e a multiplicação. Vá listando vários exemplos para depois |
|enunciar o nome técnico, inclusive ao dar os exemplos, se essas propriedades valem para a subtração e a divisão. Ao citar os exemplos, |
|aproveite para checar se os alunos tem domínio das operações envolvendo números inteiros e fracionários. |
| |
|É importante ressaltar aos alunos qual é o significado de variável e qual a sua função na expressão. Muitos livros didáticos definem expressão |
|algébrica (ou literal) como aquela que contém letras. Essa definição, embora não totalmente incorreta, é incompleta, pois não elucida a razão |
|pela qual as letras são utilizadas naquele contexto. |
| |
|Exercício 2: Comece a discutir situações bem simples onde os valores podem variar, como por exemplo o número de quadradinhos em uma malha, o |
|quanto uma pessoa irá receber em uma venda dependendo do número de produtos comercializados, entre outros. Possivelmente os alunos irão |
|compreender que há termos que não mudam nos cálculos e outros que tem a natural característica de variarem |
| |
|Exercício 3: Reforce que as letras tem a função de substituir uma quantidade desconhecida ou ignorada, e além disso, que qualquer letra pode |
|ser escolhida dependendo da necessidade e do que facilitar o entendimento. Por exemplo, se quisermos falar de como descrever uma operação onde |
|a variável seja o número de pessoas, a natural escolha para a letra que representa a variável é p. |
| |
|Exercício 4: Esta é a hora de deixar os alunos investigarem padrões. Apresente listas de tabelas e peça aos alunos para identificarem o padrão |
|que está envolvido e para que descrevam esse padrão em português mesmo. Feito isso, convide os alunos a vir à lousa, e com sugestões da classe |
|e a sua ajuda, a construir as expressões algébricas que descrevam adequadamente os padrões. |
|5.2. Produção - Alunos - Procedimentos/Ações/Atividades |
| |
|Para começar... |
| |
|A álgebra que você começou a estudar agora irá mudar completamente a maneira sobre a qual você conhece a Matemática. Você passará a investigar |
|padrões e resolver problemas sob uma ótica muito mais organizada e simplificada, o que poderá ajudá-lo a entender melhor essa área magnífica do|
|conhecimento. |
| |
|Missão |
| |
|Para este estudo você precisará investigar alguns jogos de adivinhação de números. Como você deve saber, não há nenhuma mágica nesses jogos, e |
|claramente deve haver algum padrão que explique porque eles sempre dão certo. |
| |
|Etapas |
| |
|1. Leia com atenção essas três charadas matemáticas. Para facilitar, treine com seus amigos várias vezes para ver se identifica, ainda que de |
|maneira não formal. |
| |
|1 - Pense em um número de 1 a 9. |
|2 - Multiplique por 2. |
|3 - Some 10. |
|4 - Divida o resultado por 2. |
|5 - Subtraia esse resultado pelo número que você pensou no passo 1. |
| |
|1 – Peça para que seu amigo pense em um número, de preferência de 1 a 10. |
|2 – Diga para que ele multiplique esse número por 2 |
|3 – Depois, que some 3 a esse resultado |
|4 – Então, peça para que ele triplique esse valor |
|5 – Depois, subtraia 9 |
|6 – Peça para que ele diga quanto deu. Dado esse resultado, divida-o por 6 e pronto, você descobriu o valor. |
| |
|1 – Escolha um número |
|2 – Adicione 5 a esse número |
|3 – Multiplique o resultado por 2 |
|4 – Subtraia 6 |
|5 – Divida por 2 |
|6 – Subtraia o número que você pensou. |
| |
| |
|2. Tente, para cada um dos casos, a formular expressões matemáticas que descrevam o porquê de sempre ser possível adivinhar ou poder fazer |
|alguma afirmação através de algum dado oferecido por seu amigo(a). |
| |
|3. Após isso, é a sua vez de criar uma charada matemática. Ao criá-la, descreva de maneira matemática utilizando a álgebra para explicar porque|
|ela funciona. Utilize livros didáticos e consulte o professor em caso de dúvidas. |
| |
|6. PUBLICAÇÃO |
|6.1. Produtos |
| |
|Uma pequena composição escrita com a descrição de três charadas matemáticas citadas no item anterior e a liberdade de criação de uma charada |
|com a devida demonstração algébrica. |
| |
| |
| |
|7. PROCESSO (DE AVALIAÇÃO) |
|7.1. Autoavaliação dos Alunos - Registro das Lições Aprendidas |
|Critérios |
|Desempenho |
|Avançado |
|Desempenho |
|Médio |
|Desempenho Iniciante |
| |
|Consegui compreender a funcionalidade de se expressar situações matemáticas de forma literal. |
| |
| |
| |
| |
|Consegui compreender os conceitos de variável, expressão literal, valor numérico e expressão equivalente. |
| |
| |
| |
| |
|Consegui fornecer explicação algébrica para as três charadas de maneira satisfatória e compreensível |
| |
| |
| |
| |
|Consegui criar uma charada matemática de modo que ele pudesse ter fundamentação algébrica satisfatória |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
|7.2. Avaliação - Exercícios de Fixação – Prova Brasil, ENEM, PISA, OBMEP,... |
Exercícios para avaliação
1. (Prova Brasil) Uma prefeitura aplicou R$ 850 mil na construção de 3 creches e um parque infantil. O custo de cada creche foi de R$ 250 mil. A expressão que representa o custo do parque, em mil reais, é:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
Resolução: O parque custou no total R$ 850,00 e esse custo foi dividido para o parque e as três creches
[pic]
2. (Prova Brasil) As figuras mostradas a seguir estão organizadas dentro de um padrão que se repete:
[pic]
Mantendo essa disposição, a expressão algébrica que representa o total de pontos T em função da ordem n ([pic]):
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
Resolução: Para cada ordem, notamos que há um quadrado cuja quantidade de pontos por lado é da mesma ordem (3º na ordem, 3 pontos no lado). Portanto, calculamos a quantidade de pontos por [pic], e em cada um deles tem um ponto fora do quadrado. Então, [pic].
3. (Prova Brasil) Paulo é dono de uma fábrica de móveis. Para calcular o preço V de venda, em reais, de cada móvel que fabrica, ele usa a seguinte fórmula: [pic], sendo C o preço de custo em reais desse móvel. Considere que o preço de custo de um móvel que Paulo fabrica é R$ 100,00.
Então, ele vende esse móvel por:
a) R$ 110,00
b) R$ 150,00
c) R$ 160,00
d) R$ 210,00
Resolução: Basta calcular o valor numérico trocando C por R$ 100,00:
[pic]
4. (Caderno de questões OBMEP) A expressão [pic], onde [pic], é igual a:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Resolução: Temos uma série de manipulações algébricas que devem obedecer ao que foi visto nas propriedades de potências:
[pic]
5. (Caderno de questões OBMEP) Se [pic] então [pic] é igual a:
a) [pic]
b) [pic]
c) [pic]
d) [pic]
e) [pic]
Resolução: Aplicamos a regra da proporcionalidade [pic]
| 7.3. Avaliação - Rubricas |
Rubrica para avaliação da produção da atividade
| | | | | |
| |Iniciante |Insatisfatório |Aceitável |Avançado |
| | | | | |
| |Categoria e Peso |Abaixo dos padrões esperados |Desempenho aceitável |Demonstra desempenho excelente |
| | | | | |
|1 |Organização |A distribuição dos elementos |A distribuição dos elementos (texto|A distribuição dos elementos (texto|
| |(50%) |(texto e linguagem matemática) |e linguagem matemática) é |e linguagem matemática) é correta, |
| | |está confusa. |satisfatória. |clara e permite o entendimento de |
| | | | |qualquer leitor. |
| | | | | |
|2 |Mensagem / Conteúdo |Conteúdo pouco claro ou |Conteúdo com alguma clareza, mas |Demonstrações claras e notável |
| |(50%) |demonstração incorreta por erros |apresenta alguns erros conceituais |criatividade na criação da charada |
| | |conceituais ou operatórios e/ou |que podem comprometer o |com fundamentação matemática. |
| | |não conseguiu criar uma charada |entendimento. | |
| | |com demonstração correta. | | |
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DANTE, Luís Roberto. Tudo é matemática – 6ª série. São Paulo: Ática, 2002, 1ª edição
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., José Ruy. A conquista da matemática de acordo com a proposta curricular de São Paulo: 6ª série. São Paulo: FTD, 1996, edição renovada.
BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Ayrton. Matemática: fazendo a diferença – 6ª série/7º ano. São Paulo: FTD, 2006, 1ª edição.
-----------------------
François Viète
1540 – 1603
• Apesar de ser mais conhecido como matemático, esta área era um passatempo para ele, que era advogado
• Serviu o governo inglês em guerra com a Espanha em decodificação de cartas
• In artem analyticum isagoge foi seu grande e decisivo trabalho sobre matemática simbólica utilizado até hoje
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.
Related searches
- wordpress passing data between pages
- wordpress business templates
- wordpress rss feed not working
- wordpress jquery is not defined
- create wordpress blog
- wordpress roles editor
- wordpress full rss feed
- wordpress rss feed settings
- wordpress rss feed plugin
- wordpress display rss feed
- wordpress rss feed link
- wordpress rss feed to post