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[pic]

Universidade Federal do ABC

CMCC

Centro de Matemática, Computação e Cognição

DISCIPLINA

Práticas de Ensino de Matemática

Ensino Fundamental

Álgebra: uma introdução às generalizações

ALUNO

Diego Medeiros de Aguiar

Bacharelado em Ciência e Tecnologia

Matrícula 21002613

ORIENTAÇÃO

Prof. Dr. Claudio F. André

Santo André – SP

1º. Quadrimestre de 2016

SUMÁRIO

DADOS GERAIS 3

1. PERGUNTA(S) PROBLEMATIZADORA(S) 4

2. PROPÓSITOS 5

2.1. Conceituais 5

2.2. Procedimentais 5

2.3. Atitudinais 5

3. PLANEJAMENTO 6

3.1. Prazo 6

3.2. Produtos 6

3.2.1 Critérios de avaliação dos produtos 6

3.3. Exercícios de fixação 6

3.4. Funções dos alunos 6

3.5. Conteúdo/Conhecimento formal/Fundamentos 7

3.5.1 Introdução 7

3.5.2 Contexto histórico 7

3.5.3 Representação algébrica 8

3.5.4 Utilização 8

3.5.5 Valor numérico 9

3.5.6 Expressões algébricas equivalentes 10

3.6. Matemático (Breve Biografia) 11

4. PESQUISA 12

5. PRODUÇÃO 12

5.1 Professores - Procedimentos/Ações/Atividades 12

5.2 Produções - Alunos - Procedimentos/Ações/Atividades 13

6. PUBLICAÇÃO 14

6.1. Produtos 14

7. PROCESSO 14

7.1. Autoavaliação dos Alunos - Registro das lições aprendidas 14

7.2. Avaliação - Exercícios de fixação 15

7.3. Avaliação - Rubricas 17

REFERÊNCIAS 18

| |

|DADOS GERAIS |

|Disciplina |

|Matemática |

|Nível de Ensino |

|Ensino Fundamental |

|Ano |

|7º ano / 6ª série |

|Eixo |

|Tema III: Números e operações/álgebra e funções |

|Título |

|Álgebra: uma introdução às generalizações |

|Sinopse |

|Esta aula compõe uma visão inicial sobre a Álgebra e seus desdobramentos na construção de um novo pensamento lógico-matemático através de uma |

|situação diferenciada, no caso, a descoberta de padrões em charadas matemáticas. |

|Recursos e Materiais de apoio |

| |

|1. Softwares / Aplicativos |

|Processador de texto: MS Word |

|Software de apresentação: Microsoft PowerPoint |

|Ferramenta de pesquisa na internet: Google |

|Software de matemática dinâmica: Geogebra |

|Software para notação matemátca: MathType |

| |

|2. Hardware |

|Microcomputador ou tablet |

|Glossário (05 palavras / termos) |

| |

|Álgebra: é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinômios e estruturas algébricas. (Wikipedia, versão em|

|português) |

|Expressão algébrica: é uma expressão matemática que apresenta números e (ou somente) quantidades desconhecidas ou generalizadas. (definição do |

|autor) |

|Variável: é o nome dado à quantidade desconhecida ou generalizada em uma expressão algébrica. (definição do autor) |

|Valor numérico: é o valor obtido ao substituir as variáveis de uma expressão algébrica por números e a efetuação dos cálculos indicados |

|(GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 1996) |

|Número literal: é o uso das letras do alfabeto para representar números. (GIOVANNI, CASTRUCCI, GIOVANNI JR., 1996) |

| |

|1. PERGUNTA(S) - PROBLEMATIZADORA(S) |

| |

|[pic] |

|Como você faria para expressar relações entre quantidades que você não conhece? |

| |

|[pic] |

|Como eu sei as propriedades de uma operação sem ter que testar todos os casos? |

| |

|[pic] |

| |

|Como você consegue descobrir quantidades desconhecidas em um problema? |

| |

|2. PROPÓSITOS |

|2.1. Conceituais |

| |

|1. Conceituais |

| |

|D30-EF2-MAT – Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica. |

| |

|D32-EF2-MAT – Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões). |

|2.2. Procedimentais |

| |

|Aplicar conhecimentos existentes para gerar novas ideias, produtos ou processos. |

|Desenvolver trabalhos originais como um meio de expressão individual e coletiva. |

|Identificar e definir problemas autênticos e questões significativas para investigação. |

|Usar os principais recursos dispositivos digitais e móveis, tais como: computador, notebook, netbook, filmadora digital, câmera fotográfica, |

|impressora, scanner, pendrive, smartphones e tablets; |

|Encontrar e utilizar tecnologias, soluções e ferramentas gratuitas na internet. |

|2.3. Atitudinais |

| |

|Produzir conteúdos de acordo com as orientações, escopo e regras estabelecidas para cada tipo de gênero. |

| |

|Trabalhar colaborativamente e cooperativamente, de acordo com regras de convivência que contribuam para ambientes harmoniosos. |

| |

|3. PLANEJAMENTO |

|3.1. Prazo |

| |

|2 aulas de 50 minutos |

|3.2. Produto(s) |

| |

|Atividade escrita individual |

|3.2.1. Critérios de avaliação dos produtos |

| |

|Clareza na situação problema avaliada, complexidade do raciocínio indutivo observado e organização das informações. |

|3.3. Exercícios de fixação |

| |

|De 85% até 100% de acertos – Ótimo |

|De 65% até 85% de acertos – Bom |

|De 50% até 64,9% de acertos – Regular |

|De 0% até 49,9% de acertos – Precisa melhorar |

| |

|3.4. Funções dos Alunos |

|Investigar relações, padrões e propriedades partindo do mundo aritmético para o algébrico, além de proporcionar a criação de charadas |

|matemáticas como introdução ao formalismo algébrico. |

|3.5. Conteúdo/Conhecimento formal / Fundamentos |

| |

| |

| |

|Álgebra – uma introdução às generalidades |

| |

| |

| |

|3.5.1. INTRODUÇÃO |

|Vamos tomar a seguinte situação: |

|Clara é uma confeiteira. Para produzir 12 bolos, o custo de cada bolo é de R$ 15,00 e ela sempre tem um custo fixo, independente da quantidade |

|produzida, de R$ 20,00. Quanto custou a produção? |

|Naturalmente, se serão produzidos 12 bolos a um custo de 15 reais, a resposta será dada pelo produto de 15 por 12, isto é, [pic] Temos ainda |

|que adicionar o custo fixo de R$ 20,00, portanto, o custo será de [pic] ou seja, R$ 200,00. |

|Mas e se ao invés de 12 fossem 15 bolos? |

|O problema seria resolvido multiplicando o mesmo custo de R$ 15,00 para 15 bolos e somando o custo fixo de R$ 20,00, isto é, [pic] ou seja, R$ |

|245,00. |

|Será que é possível expressar o custo de Clara através de uma expressão que seja válida para qualquer que seja a quantidade de bolos? |

| |

|3.5.2. CONTEXTO HISTÓRICO |

|Na Antiguidade, a falta de símbolos para indicar as operações e expressar os cálculos necessários à resolução de um problema levou o homem a |

|recorrer ao uso das palavras. Isso tornava o cálculo longo, cansativo e complicado. |

|O filósofo grego Aristóteles (384 – 322 a.C.) e o matemático grego Euclides (século III a.C.) foram os primeiros a usar letras e símbolos, |

|embora de forma muito limitada, para indicar números e expressar a solução de um problema. |

|Em seguida, foi utilizado o recurso da abreviação para sintetizar de maneira mais racional o cálculo. Foi, porém, o matemático e astrônomo |

|François Viète (1540 – 1603) o introdutor do uso de letras para indicar números e dos atuais símbolos das operações que usamos até hoje. Por |

|esse motivo, Viète é considerado o pai da Álgebra. O uso das letras e o cálculo literal trouxeram enormes progressos para a Matemática, que |

|assumiu a forma atual ao longo do tempo. |

|A palavra álgebra deriva da expressão árabe al-jabr (reunir), usada no título do livro Al-jabr w’al mugabalah ou, em português, A arte de |

|reunir desconhecidos para igualar uma quantidade conhecida, escrito no século IX por Al-Khwarizmi, o mesmo que levou os atuais algarismos (nota|

|alguma semelhança entre o nome e a palavra algarismo?) indoarábicos juntamente ao sistema decimal para a Europa. Este estudo de Al-Khwarizmi |

|foi traduzido para o latim e então a álgebra passou a ser utilizada pelos matemáticos europeus. |

| |

|3.5.3. REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA |

|Cada símbolo matemático corresponde a um conceito. Com regras apropriadas, relacionamos uns aos outros e com os demais elementos da linguagem |

|matemática para exprimir uma ideia. Vamos a alguns exemplos: |

|Frase na linguagem comum |

|Expressão na linguagem matemática |

| |

|Oito adicionado a sete. |

|[pic] |

|Expressões aritméticas |

| |

|O quadrado de três multiplicado por cinco. |

|[pic] |

| |

| |

|O dobro de um número qualquer adicionado a outro número qualquer. |

|[pic] |

|Expressões literais |

| |

|O dobro da soma de dois números quaisquer |

|[pic] |

| |

| |

|Um número ímpar qualquer |

|[pic] |

| |

| |

|As expressões aritméticas que contém somente símbolos numéricos são denominadas expressões aritméticas, e aquelas que contêm letras são |

|denominadas expressões literais. |

|Note que, nos três últimos casos da tabela, nós temos termos que designam números de forma vaga (um número qualquer, o dobro de um número |

|qualquer...). Nesses casos, quando não sabemos que número é esse, ou seja, é um número que pode, naquela circunstância assumir diversos |

|valores, representamos o dito número por uma letra qualquer, que em Matemática chamamos de variável. |

|Obs.: A multiplicação entre variáveis ou entre números e variáveis não precisa ser indicada, isto é, se tivermos uma expressão [pic](dois vezes|

|um número qualquer), podemos reduzi-la a [pic] |

| |

|3.5.4. UTILIZAÇÃO |

|As expressões literais são muito úteis quando tratamos de explicar um evento de forma genérica, porque se escrevemos sentenças ou expressões em|

|função de variáveis, o que soubermos ser válido para essas variáveis será válido para qualquer outro número que seja colocado no lugar da |

|variável. |

|Por exemplo, a propriedade comutativa da adição (a ordem das parcelas não altera a soma) pode ser reescrita como: |

|“Sejam a e b dois números quaisquer. Então [pic]”. |

|Note que a e b são variáveis. Se a propriedade vale para qualquer a e b, então vale para quaisquer outros números que colocarmos no lugar de a |

|e de b: |

|a |

|b |

|a + b |

|b + a |

| |

|2 |

|3 |

|[pic] |

|[pic] |

| |

|4 |

|12 |

|[pic] |

|[pic] |

| |

|Ela também nos permite expressar padrões reconhecíveis para sequências de números. Por exemplo: |

|Coluna 1 |

|Coluna 2 |

| |

|1 |

|1 |

| |

|2 |

|4 |

| |

|3 |

|9 |

| |

|4 |

|16 |

| |

|5 |

|25 |

| |

|Podemos verificar nessa sequência de números que a relação entre os números da coluna 1 e da coluna 2 é que os números da coluna 2 são os |

|quadrados dos números da coluna 1. Mas como eu posso expressar esse padrão de forma matemática? |

|Se chamarmos de n um número qualquer da coluna 1, temos que o correspondente dele na coluna 2 é o quadrado de n, isto é, [pic]. Então temos na |

|tabela: |

|Coluna 1 |

|Coluna 2 |

| |

|1 |

|1 |

| |

|2 |

|4 |

| |

|... |

|... |

| |

|n |

|n2 |

| |

| |

|3.5.5. VALOR NUMÉRICO |

|Dada uma expressão algébrica, podemos atribuir a ela um valor numérico, isto é, substituímos a variável por um número bem definido e fazemos os|

|cálculos necessários. Por exemplo: |

|Expressão algébrica |

|Valor para a variável x |

|Valor para a variável y |

|Valor para a variável z |

|Como fica a expressão? |

|Valor numérico |

| |

|[pic] |

|2 |

|Não há |

|Não há |

|[pic] |

|17 |

| |

|[pic] |

|-1 |

|1 |

|Não há |

|[pic] |

|1 |

| |

|[pic] |

|[pic] |

|2 |

|3 |

|[pic] |

|-6 |

| |

| |

|3.5.6. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS EQUIVALENTES |

|Vejamos o seguinte exemplo: |

|[pic] |

|Podemos expressar o perímetro deste triângulo com lados medindo x, [pic] e 2x através da soma desses termos: |

|[pic] |

|No entanto, há algumas propriedades das operações que nós já conhecemos que podemos aplicar nesta expressão: |

|[pic] |

|Entretanto, as expressões [pic] e [pic] significam a mesma coisa: o perímetro do triângulo Δ ABC. Dizemos que as expressões são equivalentes. |

|Podemos obter expressões equivalentes conforme a nossa necessidade. |

|Fonte: |

|DANTE, Luís Roberto. Tudo é matemática – 6ª série. São Paulo: Ática, 2002, 1ª edição |

|GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., José Ruy. A conquista da matemática de acordo com a proposta curricular de São Paulo: 6ª|

|série. São Paulo: FTD, 1996, edição renovada. |

|BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Ayrton. Matemática: fazendo a diferença – 6ª série/7º ano. São Paulo: FTD, 2006, 1ª |

|edição. |

| |

| |

| |

|3.6. Matemático (Breve Biografia) |

| |

|[pic] |

| |

|4. PESQUISA |

| |

|1. Acesse o site , e obtenha uma descrição mais detalhada e precisa sobre a história da álgebra pelos|

|árabes, babilônios, gregos até se popularizar na Europa. |

|2. Acesse o site para rever os tópicos de álgebra. Atenção, pode conter alguns |

|vídeos em inglês. |

| |

|5. PRODUÇÃO |

|5.1. Professores - Procedimentos/Ações/Atividades |

| |

|Caro professor, seguem algumas orientações e atividades possíveis de serem realizadas nas aulas introdutórias de álgebra: |

| |

|Sabemos que o aparecimento de letras para representar quantidades é algo que pode chocar os alunos logo de início. É importante, antes de |

|introduzir o caráter literal, se os alunos têm bom conhecimento das propriedades da adição e da subtração. |

| |

|Exercício 1: Cheque se os alunos conhecem as propriedades que envolvem a adição e a multiplicação. Vá listando vários exemplos para depois |

|enunciar o nome técnico, inclusive ao dar os exemplos, se essas propriedades valem para a subtração e a divisão. Ao citar os exemplos, |

|aproveite para checar se os alunos tem domínio das operações envolvendo números inteiros e fracionários. |

| |

|É importante ressaltar aos alunos qual é o significado de variável e qual a sua função na expressão. Muitos livros didáticos definem expressão |

|algébrica (ou literal) como aquela que contém letras. Essa definição, embora não totalmente incorreta, é incompleta, pois não elucida a razão |

|pela qual as letras são utilizadas naquele contexto. |

| |

|Exercício 2: Comece a discutir situações bem simples onde os valores podem variar, como por exemplo o número de quadradinhos em uma malha, o |

|quanto uma pessoa irá receber em uma venda dependendo do número de produtos comercializados, entre outros. Possivelmente os alunos irão |

|compreender que há termos que não mudam nos cálculos e outros que tem a natural característica de variarem |

| |

|Exercício 3: Reforce que as letras tem a função de substituir uma quantidade desconhecida ou ignorada, e além disso, que qualquer letra pode |

|ser escolhida dependendo da necessidade e do que facilitar o entendimento. Por exemplo, se quisermos falar de como descrever uma operação onde |

|a variável seja o número de pessoas, a natural escolha para a letra que representa a variável é p. |

| |

|Exercício 4: Esta é a hora de deixar os alunos investigarem padrões. Apresente listas de tabelas e peça aos alunos para identificarem o padrão |

|que está envolvido e para que descrevam esse padrão em português mesmo. Feito isso, convide os alunos a vir à lousa, e com sugestões da classe |

|e a sua ajuda, a construir as expressões algébricas que descrevam adequadamente os padrões. |

|5.2. Produção - Alunos - Procedimentos/Ações/Atividades |

| |

|Para começar... |

| |

|A álgebra que você começou a estudar agora irá mudar completamente a maneira sobre a qual você conhece a Matemática. Você passará a investigar |

|padrões e resolver problemas sob uma ótica muito mais organizada e simplificada, o que poderá ajudá-lo a entender melhor essa área magnífica do|

|conhecimento. |

| |

|Missão |

| |

|Para este estudo você precisará investigar alguns jogos de adivinhação de números. Como você deve saber, não há nenhuma mágica nesses jogos, e |

|claramente deve haver algum padrão que explique porque eles sempre dão certo. |

| |

|Etapas |

| |

|1. Leia com atenção essas três charadas matemáticas. Para facilitar, treine com seus amigos várias vezes para ver se identifica, ainda que de |

|maneira não formal. |

| |

|1 - Pense em um número de 1 a 9. |

|2 - Multiplique por 2. |

|3 - Some 10. |

|4 - Divida o resultado por 2. |

|5 - Subtraia esse resultado pelo número que você pensou no passo 1. |

| |

|1 – Peça para que seu amigo pense em um número, de preferência de 1 a 10. |

|2 – Diga para que ele multiplique esse número por 2 |

|3 – Depois, que some 3 a esse resultado |

|4 – Então, peça para que ele triplique esse valor |

|5 – Depois, subtraia 9 |

|6 – Peça para que ele diga quanto deu. Dado esse resultado, divida-o por 6 e pronto, você descobriu o valor. |

| |

|1 – Escolha um número |

|2 – Adicione 5 a esse número |

|3 – Multiplique o resultado por 2 |

|4 – Subtraia 6 |

|5 – Divida por 2 |

|6 – Subtraia o número que você pensou. |

| |

| |

|2. Tente, para cada um dos casos, a formular expressões matemáticas que descrevam o porquê de sempre ser possível adivinhar ou poder fazer |

|alguma afirmação através de algum dado oferecido por seu amigo(a). |

| |

|3. Após isso, é a sua vez de criar uma charada matemática. Ao criá-la, descreva de maneira matemática utilizando a álgebra para explicar porque|

|ela funciona. Utilize livros didáticos e consulte o professor em caso de dúvidas. |

| |

|6. PUBLICAÇÃO |

|6.1. Produtos |

| |

|Uma pequena composição escrita com a descrição de três charadas matemáticas citadas no item anterior e a liberdade de criação de uma charada |

|com a devida demonstração algébrica. |

| |

| |

| |

|7. PROCESSO (DE AVALIAÇÃO) |

|7.1. Autoavaliação dos Alunos - Registro das Lições Aprendidas |

|Critérios |

|Desempenho |

|Avançado |

|Desempenho |

|Médio |

|Desempenho Iniciante |

| |

|Consegui compreender a funcionalidade de se expressar situações matemáticas de forma literal. |

| |

| |

| |

| |

|Consegui compreender os conceitos de variável, expressão literal, valor numérico e expressão equivalente. |

| |

| |

| |

| |

|Consegui fornecer explicação algébrica para as três charadas de maneira satisfatória e compreensível |

| |

| |

| |

| |

|Consegui criar uma charada matemática de modo que ele pudesse ter fundamentação algébrica satisfatória |

| |

| |

| |

| |

| |

| |

|7.2. Avaliação - Exercícios de Fixação – Prova Brasil, ENEM, PISA, OBMEP,... |

Exercícios para avaliação

1. (Prova Brasil) Uma prefeitura aplicou R$ 850 mil na construção de 3 creches e um parque infantil. O custo de cada creche foi de R$ 250 mil. A expressão que representa o custo do parque, em mil reais, é:

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

d) [pic]

Resolução: O parque custou no total R$ 850,00 e esse custo foi dividido para o parque e as três creches

[pic]

2. (Prova Brasil) As figuras mostradas a seguir estão organizadas dentro de um padrão que se repete:

[pic]

Mantendo essa disposição, a expressão algébrica que representa o total de pontos T em função da ordem n ([pic]):

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

d) [pic]

Resolução: Para cada ordem, notamos que há um quadrado cuja quantidade de pontos por lado é da mesma ordem (3º na ordem, 3 pontos no lado). Portanto, calculamos a quantidade de pontos por [pic], e em cada um deles tem um ponto fora do quadrado. Então, [pic].

3. (Prova Brasil) Paulo é dono de uma fábrica de móveis. Para calcular o preço V de venda, em reais, de cada móvel que fabrica, ele usa a seguinte fórmula: [pic], sendo C o preço de custo em reais desse móvel. Considere que o preço de custo de um móvel que Paulo fabrica é R$ 100,00.

Então, ele vende esse móvel por:

a) R$ 110,00

b) R$ 150,00

c) R$ 160,00

d) R$ 210,00

Resolução: Basta calcular o valor numérico trocando C por R$ 100,00:

[pic]

4. (Caderno de questões OBMEP) A expressão [pic], onde [pic], é igual a:

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

d) [pic]

e) [pic]

Resolução: Temos uma série de manipulações algébricas que devem obedecer ao que foi visto nas propriedades de potências:

[pic]

5. (Caderno de questões OBMEP) Se [pic] então [pic] é igual a:

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

d) [pic]

e) [pic]

Resolução: Aplicamos a regra da proporcionalidade [pic]

| 7.3. Avaliação - Rubricas |

Rubrica para avaliação da produção da atividade

| | | | | |

| |Iniciante |Insatisfatório |Aceitável |Avançado |

| | | | | |

| |Categoria e Peso |Abaixo dos padrões esperados |Desempenho aceitável |Demonstra desempenho excelente |

| | | | | |

|1 |Organização |A distribuição dos elementos |A distribuição dos elementos (texto|A distribuição dos elementos (texto|

| |(50%) |(texto e linguagem matemática) |e linguagem matemática) é |e linguagem matemática) é correta, |

| | |está confusa. |satisfatória. |clara e permite o entendimento de |

| | | | |qualquer leitor. |

| | | | | |

|2 |Mensagem / Conteúdo |Conteúdo pouco claro ou |Conteúdo com alguma clareza, mas |Demonstrações claras e notável |

| |(50%) |demonstração incorreta por erros |apresenta alguns erros conceituais |criatividade na criação da charada |

| | |conceituais ou operatórios e/ou |que podem comprometer o |com fundamentação matemática. |

| | |não conseguiu criar uma charada |entendimento. | |

| | |com demonstração correta. | | |

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE, Luís Roberto. Tudo é matemática – 6ª série. São Paulo: Ática, 2002, 1ª edição

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI Jr., José Ruy. A conquista da matemática de acordo com a proposta curricular de São Paulo: 6ª série. São Paulo: FTD, 1996, edição renovada.

BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES, Ayrton. Matemática: fazendo a diferença – 6ª série/7º ano. São Paulo: FTD, 2006, 1ª edição.

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François Viète

1540 – 1603

• Apesar de ser mais conhecido como matemático, esta área era um passatempo para ele, que era advogado

• Serviu o governo inglês em guerra com a Espanha em decodificação de cartas

• In artem analyticum isagoge foi seu grande e decisivo trabalho sobre matemática simbólica utilizado até hoje

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