834 CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales

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CAP?TULO 12 Funciones vectoriales

En la secci?n 10.2 se defini? una

como un conjunto de pares ordenados

junto con sus ecuaciones param?tricas

y

donde y son funciones continuas de en un intervalo . Esta definici?n puede exten-

derse de manera natural al espacio tridimensional como sigue. Una curva en el espacio C

es un conjunto de todas las ternas ordenadas

junto con sus ecuaciones

param?tricas

y

donde , y son funciones continuas de en un intervalo . Antes de ver ejemplos de curvas en el espacio, se introduce un nuevo tipo de funci?n,

llamada funci?n vectorial. Este tipo de funci?n asigna vectores a n?meros reales.

y

r(t1) r(t0)

r(t2) C

DEFINICI?N DE FUNCI?N VECTORIAL

Una funci?n de la forma

r

i

j

Plano.

o

r

i

j

k

Espacio.

es una funci?n vectorial, donde las funciones componentes , y son funciones

del par?metro . Algunas veces, las funciones vectoriales se denotan como

r

o r

Curva en un plano

x

T?cnicamente, una curva en el plano o en el espacio consiste en una colecci?n de pun-

tos y ecuaciones param?tricas que la definen. Dos curvas diferentes pueden tener la misma

gr?fica. Por ejemplo, cada una de las curvas dadas por

r(t1) r(t0)

x

Figura 12.1

z Curva en el espacio r(t2)

C

y

r t sen t i cos t j y r t sen t2 i cos t2 j

tiene como gr?fica el c?rculo unidad o unitario, pero estas ecuaciones no representan la

misma curva porque el c?rculo est? trazado de diferentes maneras.

Es importante asegurarse de ver la diferencia entre la funci?n vectorial r y las fun-

ciones reales , y . Todas son funciones de la variable real , pero r( ) es un vector, mien-

tras que ( ), ( ) y ( ) son n?meros reales (para cada valor espec?fico de ).

Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representaci?n de curvas.

Tomando como par?metro , que representa el tiempo, se puede usar una funci?n vecto-

rial para representar el

a lo largo de una curva. O, en el caso m?s general, se

puede usar una funci?n vectorial para

de una curva. En ambos casos, el

punto final del vector posici?n r( ) coincide con el punto ( , ) o ( , , ) de la curva dada

por las ecuaciones param?tricas, como se muestra en la figura 12.1. La punta de flecha

en la curva indica la

de la curva apuntando en la direcci?n de valores cre-

cientes de .

SECCI?N 12.1 Funciones vectoriales

835

A menos que se especifique otra cosa, se considera que el dominio de una funci?n

y

vectorial r es la intersecci?n de los dominios de las funciones componentes , y . Por

ejemplo, el dominio de r

ln i

j k es el intervalo

2

1

x

Dibujar la curva plana representada por la funci?n vectorial

3

1

1

3

r

i sen j

Funci?n vectorial.

r(t) = 2 cos ti 3 sen tj

Soluci?n A partir del vector de posici?n r( ), se pueden dar las ecuaciones param?tricas

2 cos y

3 sen . Despejando cos y sen y utilizando la identidad cos2

sen2 1 se obtiene la ecuaci?n rectangular

Ecuaci?n rectangular.

Figura 12.2

z (4, 0, 4 )

4

Cilindro: x2 + y2 = 16

La gr?fica de esta ecuaci?n rectangular es la elipse mostrada en la figura 12.2. La curva

est? orientada en el

. Es decir, cuando aumenta de 0 a

2 , el vector de posici?n r( ) se mueve en el sentido de las manecillas del reloj, y sus pun-

tos finales describen la elipse.

(4, 0, 0)

4y

x r(t) = 4 cos ti + 4 sen tj + tk

Figura 12.3

Dibujar la curva en el espacio representada por la funci?n vectorial

r

i sen j k

Funci?n vectorial.

Soluci?n De las dos primeras ecuaciones param?tricas obtiene

y 4 sen , se

Ecuaci?n rectangular.

Esto significa que la curva se encuentra en un cilindro circular recto de radio 4, centrado

en el eje . Para localizar en este cilindro la curva, se usa la tercera ecuaci?n param?trica

En la figura 12.3, n?tese que a medida que crece de 0 a el punto

sube

en espiral por el cilindro describiendo una h?lice. Un ejemplo de una h?lice de la vida real

se muestra en el dibujo inferior de la izquierda.

En los ejemplos 1 y 2 se dio una funci?n vectorial y se pidi? dibujar la curva correspondiente. Los dos ejemplos siguientes se refieren a la situaci?n inversa: hallar una funci?n vectorial para representar una gr?fica dada. Claro est? que si la gr?fica se da en forma param?trica, su representaci?n por medio de una funci?n vectorial es inmediata. Por ejemplo, para representar en el espacio la recta dada por

3y

se usa simplemente la funci?n vectorial dada por

r

ij

k

Si no se da un conjunto de ecuaciones param?tricas para la gr?fica, el problema de representar la gr?fica mediante una funci?n vectorial se reduce a hallar un conjunto de ecuaciones param?tricas.

836

CAP?TULO 12 Funciones vectoriales

Representar la par?bola

mediante una funci?n vectorial.

Soluci?n Aunque hay muchas maneras de elegir el par?metro , una opci?n natural es

tomar

Entonces

y se tiene

r

i

j

Funci?n vectorial.

N?tese en la figura 12.4 la orientaci?n obtenida con esta elecci?n particular de par?metro.

Si se hubiera elegido como par?metro

, la curva hubiera estado orientada en direc-

ci?n opuesta.

Figura 12.4

Dibujar la gr?fica representada por la intersecci?n del semielipsoide

y el cilindro parab?lico gr?fica.

Despu?s, hallar una funci?n vectorial que represente la

Soluci?n En la figura 12.5 se muestra la intersecci?n de las dos superficies. Como en el

ejemplo 3, una opci?n natural para el par?metro es

Con esta opci?n, se usa la

ecuaci?n dada

para obtener

Entonces

Las curvas en el espacio pueden especificarse de varias maneras. Por ejemplo, la curva del ejemplo 4 se describe como la intersecci?n de dos superficies en el espacio.

Como la curva se encuentra sobre el plano hay que elegir para la ra?z cuadrada positiva. As? se obtienen las ecuaciones param?tricas siguientes.

y

La funci?n vectorial resultante es

Funci?n vectorial.

(Obs?rvese que el componente k de r( ) implica

De los puntos ( 2, 4, 0)

y (2, 4, 0) que se muestran en la figura 12.5, se ve que la curva es trazada a medida que

crece de 2 a 2.

Cilindro parab?lico

z

(0, 0, 2) 2

Elipsoide

C: x = t y = t2

z = (6 t2)

t2

6

4 x

(2, 4, 0)

Curva en el espacio

( 2, 4, 0)

5

y

Figura 12.5

Figura 12.6

SECCI?N 12.1 Funciones vectoriales

837

Muchas de las t?cnicas y definiciones utilizadas en el c?lculo de funciones reales se pueden aplicar a funciones vectoriales. Por ejemplo, las funciones vectoriales se pueden sumar y restar, multiplicar por un escalar, tomar su l?mite, derivarlas, y as? sucesivamente. La estrategia b?sica consiste en aprovechar la linealidad de las operaciones vectoriales y extender las definiciones en una base, componente por componente. Por ejemplo, para sumar o restar dos funciones vectoriales (en el plano), se tiene

r

r

r

r

i

j

i

i

j

i

i

j

j

i

j

j

Suma. Resta.

De manera similar, para multiplicar y dividir una funci?n vectorial por un escalar se tiene

r

i

j

i

j

r

i

j

Multiplicaci?n escalar. Divisi?n escalar.

i

j

Esta extensi?n, componente por componente, de las operaciones con funciones reales a funciones vectoriales se ilustra m?s ampliamente en la definici?n siguiente del l?mite de una funci?n vectorial.

DEFINICI?N DEL L?MITE DE UNA FUNCI?N VECTORIAL 1. Si r es una funci?n vectorial tal que r t f t i g t j entonces

l?m r t

ta

l?m f t i l?m g t j

ta

ta

siempre que existan los l?mites de f y g cuando t a

2. Si r es una funci?n vectorial tal que r t f t i g t j

Plano.

h t k entonces

l?m r t

ta

l?m f t i l?m g t j l?m h t k

ta

ta

ta

siempre que existan los l?mites de f y h cuando t a

Espacio.

Si r tiende al vector L cuando decir,

la longitud del vector r L tiende a 0. Es

rL

cuando

Esto se ilustra de manera gr?fica en la figura 12.6. Con esta definici?n del l?mite de una funci?n vectorial, se pueden desarrollar versiones vectoriales de la mayor parte de los teoremas del l?mite dados en el cap?tulo 1. Por ejemplo, el l?mite de la suma de dos funciones vectoriales es la suma de sus l?mites individuales. Tambi?n, se puede usar la orientaci?n de la curva r( ) para definir l?mites unilaterales de funciones vectoriales. La definici?n siguiente extiende la noci?n de continuidad a funciones vectoriales.

838

CAP?TULO 12 Funciones vectoriales

DEFINICI?N DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCI?N VECTORIAL Una funci?n vectorial r es continua en un punto dado por t a si el l?mite de r t cuando t a existe y

l?m r t r a

ta

Una funci?n vectorial r es continua en un intervalo si es continua en todos los puntos del intervalo.

De acuerdo con esta definici?n, una funci?n vectorial es continua en t a si y s?lo si cada una de sus funciones componentes es continua en t a

Analizar la continuidad de la funci?n vectorial

r t ti aj a t k

es una constante.

cuando t

Soluci?n Cuando tiende a 0, el l?mite es

l?m r t

t

Como

l?m t i l?m a j

t

t

i aj a k

aj a k

l?m a

t

tk

r

ij

k

Figura 12.7

se concluye que r es continua en t Mediante un razonamiento similar, se concluye que la funci?n vectorial r es continua en todo valor real de .

Para cada a la curva representada por la funci?n vectorial del ejemplo 5,

r t ti aj a t k

es una constante.

es una par?bola. Uno se puede imaginar cada una de estas par?bolas como la intersecci?n del plano vertical y a con el paraboloide hiperb?lico

yxz

como se muestra en la figura 12.7.

Casi cualquier tipo de dibujo tridimensional es dif?cil hacerlo a mano, pero trazar curvas en el espacio es especialmente dif?cil. El problema consiste en crear la impresi?n de tres dimensiones. Las herramientas de graficaci?n usan diversas t?cnicas para dar la "impresi?n de tres dimensiones" en gr?ficas de curvas en el espacio: una manera es mostrar la curva en una superficie, como en la figura 12.7.

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