Exerc´ıcios Resolvidos de F ´ısica Basica´

LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF?UFPB

10 de Junho de 2013, a`s 13:45

Exerc?icios Resolvidos de F?isica Ba?sica

Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de f?isica teo?rica,

Doutor em F?isica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Universidade Federal da Para?iba (Joa~o Pessoa, Brasil)

Departamento de F?isica

Numerac?a~o conforme a SEXTA edic?a~o do "Fundamentos de F?isica", Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em:

Contents

11 ROTAC? A~ O

2

11.1 Questiona?rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

11.2 Exerc?icios e Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

11.3 As Varia?veis de Rotac?a~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

11.4 As Varia?veis Lineares e Angulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

11.5 Energia Cine?tica de Rotac?a~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

11.6 Ca?lculo do Momento de Ine?rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

11.7 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

11.8 A Segunda Lei de Newton para a Rotac?a~o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

11.9 Trabalho, Pote^ncia e Teorema do Trabalho-Energia Cine?tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

11.10Problemas Adicionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Comenta?rios/Sugesto~es e Erros: favor enviar para jasongallas @ (sem "br" no final...) (listaq3.tex)



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11 ROTAC? A~ O

11.1 Questiona?rio

Tem acelerac?a~o tangencial? Quando ela gira com acelerac?a~o angular constante, o ponto tem acelerac?a~o radial? Tem acelerac?a~o tangencial? Os mo?dulos dessas acelerac?o~es variam com o tempo?

Q11-3.

O vetor que representa a velocidade angular de rotac?a~o de uma roda em torno de um eixo fixo tem de estar necessariamente sobre este eixo?

Sim, a acelerac?a~o radial e? ar = 2 r. A acelerac?a~o tangencial e? nula nesse caso. Girando com acelerac?a~o

angular constante, o ponto da borda tem acelerac?a~o radial ar(t) = ( t)2 r e acelerac?a~o tangencial at = r, constante.

Sim, o vetor velocidade angular define o eixo de rotac?a~o. Mesmo quando o eixo na~o e? fixo, o vetor esta? dirigido ao longo desse eixo, como no caso do movimento de um pia~o. A velocidade angular de precessa~o tambe?m e? um vetor dirigido ao longo da direc?a~o em torno da qual o eixo do pia~o precessiona.

Q11-8.

Q11-15. Qual a relac?a~o entre as velocidades angulares de um par de engrenagens acopladas, de raios diferentes?

Pontos da borda das engrenagens tem a mesma velocidade linear: 1 r1 = 2 r2. Assim, a engrenagem que tem o menor raio, tem a maior velocidade angular.

Por que e? conveniente expressar em revoluc?o~es por

segundo

ao

quadrado

na

expressa~o

=

o

t

+

1 2

t2

e

na~o na expressa~o at = r?

Porque

na

equac?a~o

=

o

t

+

t2 2

,

e

o

tambe?m

sa~o quantidades mensura?veis em revoluc?o~es e revo-

luc?o~es por segundo, respectivamente. Mas na equac?a~o

at = r, para se obter a acelerac?a~o linear em m/s2, deve ser expressa em radianos/s2.

Q11-9.

Q11-21.

A Fig. 11.25a mostra uma barra de 1 m, sendo metade de madeira e metade de metal, fixada por um eixo no ponto O da extremidade de madeira. Uma forc?a F e? aplicada ao ponto a da extremidade de metal. Na Fig. 11.25b, a barra e? fixada por um eixo em O na extremidade de metal e a mesma forc?a e? aplicada ao ponto a da extremidade de madeira. A acelerac?a~o angular e? a mesma para os dois casos? Se na~o, em que caso ela e? maior?

Um corpo r?igido pode girar livremente em torno de um eixo fixo. E? poss?ivel que a acelerac?a~o angular deste corpo seja diferente de zero, mesmo que a sua velocidade angular seja nula (talvez, instantaneamente)? Qual o equivalente linear desta situac?a~o? Ilustre ambas as situac?o~es com exemplos.

A densidade dos metais e? maior do que das madeiras, tal que na situac?a~o (b), o momento de ine?rcia da barra em relac?a~o ao ponto O e? maior do que no caso (a). Assim, pela relac?a~o = I , vem que I(a) (a) = I(b) (b). As acelerac?o~es angulares na~o sa~o iguais nos dois casos, sendo (a) > (b).

Sim. Se o corpo r?igido for submetido a uma desacelerac?a~o, sua velocidade angular eventualmente sera? nula, e depois comec?ra? a crscer no sentido contra?rio. O equivalente linear dessa situac?a~o pode ser a de um corpo jogado verticalmente para cima; sua velocidade zera no ponto mais alto da trajeto?ria e ele torna a cair.

Q11-13.

Imagine uma roda girando sobre o seu eixo e considere um ponto em sua borda. O ponto tem acelerac?a~o radial, quando a roda gira com velocidade angular constante?

11.2 Exerc?icios e Problemas

11.3 As Varia?veis de Rotac?a~o

11-6P. Uma roda gira com uma acelerac?a~o angular dada por = 4at3 - 3bt2, onde t e? o tempo, e a e b sa~o constantes. Se o e? a velocidade inicial da roda, deduza as equac?o~es para (a) a velocidade angular e (b) o deslocamento angular em func?a~o do tempo.



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(a) Para obter a velocidade angular, basta integrar a acelerac?a~o angular dada:

t

d = dt

o

0

- o = a t4 - b t3 (t) = o + a t4 - b t3

(b) O deslocamento angular e? obtido integrando a velocidade angular:

t

d = dt

o

0

t5

t4

- o = o t + a 5 - b 4

t5

t4

(t) = o + a 5 - b 4

(a) Sendo o = 25, 0 rad/s, tem-se = o - t = 0

= o = 25, 0 = 1, 25 rad/s2. t 20, 0

(b) O a^ngulo percorrido e? t2

= o t - 2 = 250 rad.

(c) Para o nu?mero de revoluc?o~es N , temos

N = 2 = 39, 80 revoluc?o~es.

11-23P.

11-10P.

Uma roda tem oito raios de 30 cm. Esta? montada sobre um eixo fixo e gira a 2, 5 rev/s. Voce^ pretende atirar uma flecha de 20 cm de comprimento atrave?s da roda, paralelamente ao seu eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. Suponha que tanto a flecha quanto os raios sejam muito finos; veja a Fig. 11.26. (a) Qual a velocidade m?inima que a flecha deve ter? (b) A localizac?a~o do ponto que voce^ mira, entre o eixo e a borda da roda, tem importa^ncia? Em caso afirmativo, qual a melhor localizac?a~o?

Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso com acelerac?a~o angular constante ate? alcanc?ar a rotac? a~o de 10 rev/s. Depois de completar 60 revoluc?o~es, sua velocidade angular e? 15 rev/s. Calcule (a) a acelerac?a~o angular, (b) o tempo necessa?rio para completar as 60 revoluc?o~es, (c) o tempo necessa?rio para alcanc?ar a velocidade angular de 10 rev/s e (d) o nu?mero de revoluc?o~es desde o repouso ate? a velocidade de 10 rev/s.

(a) A velocidade angular do disco aumenta de 10 rad/s para 15 rad/s no intervalo necessa?rio para completar as 60 revoluc?o~es.

(a) O a^ngulo entre dois raios consecutivos e? /4 e o tempo necessa?rio para percorre^-lo e?

2 = o2 + 2

/4 t = = = 0, 05 s.

5

A velocidade m?inima da flecha deve ser enta~o

l 0, 20

v= =

= 4, 0 m/s.

t 0, 05

= 2 - o2 = 1, 04 rev/s2. 2

(b) O tempo necessa?rio para as 60 voltas e?

t = - o = 4.8 s.

(b) Na~o, se a velocidade angular permanece constante.

11-15E. O volante de um motor esta? girando a 25, 0 rad/s. Quando o motor e? desligado, o volante desacelera a uma taxa constante ate? parar em 20, 0 s. Calcule (a) a acelerac?a~o angular do volante (em rad/s2), (b) o a^ngulo percorrido (em rad) ate? parar e (c) o nu?mero de revoluc?o~es completadas pelo volante ate? parar.

(c) O tempo ate? alcanc?ar 10 rad/s e? t = o = 9.62 s.

(d) E o nu?mero de voltas dadas no intervalo e? = o2 = 48 revoluc?o~es. 2



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11.4 As Varia?veis Lineares e Angulares

11-29E.

Uma turbina com 1, 20 m de dia^metro esta? girando a 200 rev/min. (a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s? (b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda? (c) Que acelerac?a~o angular constante (rev/min2) aumentara? a sua velocidade para 1000 rev/min em 60 s? (d) Quantas revoluc?o~es completara? durante esse intervalo de 60 s?

(a) A velocidade angular em rad/s e?

(200)(2)

=

= 20.94 rad/s.

60

(b) A moeda e? projetada tangencilamente, seguindo uma trajeto?ria retil?inea.

11-36P. A turbina de um motor a vapor gira com uma velocidade angular constante de 150 rev/min. Quando o vapor e? desligado, o atrito nos mancais e a resiste^ncia do ar param a turbina em 2, 2 h. (a) Qual a acelerac?a~o angular constante da turbina, em rev/min2, durante a parada? (b) Quantas revoluc?o~es realiza antes de parar? (c) Qual a componente tangencial da acelerac?a~o linear da part?icula situada a 50 cm do eixo de rotac?a~o, quando a turbina esta? girando a 75 rev/min? (d) Em relac?a~o a` part?icula do ?item (c), qual o mo?dulo da acelerac?a~o linear resultante?

(b) Qualquer ponto da borda da turbina move-se a` ve-

(a) O intervalo dado corresponde a 132 min. A

locidade

acelerac?a~o angular e?

v = r = (20.94)(0.60) = 12.56 m/s.

= o = 1.136 rev/min2. t

(c) A acelerac?a~o angular necessa?ria e?

(b) O nu?mero de voltas ate? parar e?

= - o = 1000 - 200 = 800 rev/min2.

t

1.0

= o2 = 9903 rev. 2

(d) O nu?mero do voltas no intervalo de 1.0 minuto e? = 2 - o2 = 600 rev. 2

(c) Para obter a acelerac?a~o linear tangencial em

unidades SI, a acelerac?a~o angular deve estar expressa em

rad/s2. Fazendo a conversa~o, obtemos = 1.98 ? 10-3

rad/s2 e

at = r = 9.91 ? 10-4 m/s2.

11-34E.

Uma certa moeda de massa M e? colocada a uma dista^ncia R do centro do prato de um toca-discos. O coeficiente de atrito esta?tico e? ?e. A velocidade angular do toca-discos vai aumentando lentamente ate? o, quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. (a) Determine o em func?a~o das grandezas M, R, g e ?e. (b) Fac?a um esboc?o mostrando a trajeto?ria aproximada da moeda, quando e? projetada para fora do toca-discos.

(a) A moeda esta? sob a ac?a~o da forc?a centr?ipeta F = M 2R.

Quando o prato atinge a velocidade o, a forc?a centr?ipeta e? igual a` ma?xima forc?a de atrito esta?tico:

M 2R = ?oM g

o =

?og R

(d) A velocidade angular = 75 rev/min corresponde a 7.85 rad/s e

ar = 2r = 30.81 m/s2.

Portanto, o mo?dulo da acelerac?a~o linear resultante e?

a = a2t + a2r = 30.81 m/s2.

11-42P. Quatro polias esta~o conectadas por duas correias conforme mostrado na Fig. 11 - 30. A polia A (15 cm de raio) e? a polia motriz e gira a 10 rad/s. A B (10 cm de raio) esta? conectada a` A pela correia 1. A B (5, 0 cm de raio) e? conce^ntrica a` B e esta? rigidamente ligada a ela. A polia C (25 cm de raio) esta? conectada a` B pela correia 2. Calcule (a) a velocidade linear de um ponto na correia 1, (b) a velocidade angular da polia B, (c) a velocidade angular da polia B , (d) a velocidade linear de um ponto na correia 2 e (e) a velocidade angular da polia C.



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(a) A velocidade linear de qualquer ponto da correia 1 e?

v1 = ArA = 1.5 m/s.

(b) A velocidade v1 e? a velocidade dos pontos da borda da polia B, cuja velocidade angular e? enta~o

B

=

v1 rB

=

15 rad/s.

(c) As polias B e B giram em torno do mesmo eixo, de modo que

B' = B = 15 rad/s.

(d) A velocidade linear de qualquer ponto da correia 2 e?

v2 = r B' B' = 0.75 m/s.

(e) Os pontos da borda da polia C tem velocidade linear v2. Portanto,

C

=

v2 rC

=

3.0 rad/s.

11.6 Ca?lculo do Momento de Ine?rcia

11-49E.

As massas e as coordenadas de quatro part?iculas sa~o as seguintes: 50 g, x = 2, 0 cm, y = 2, 0 cm; 25 g, x = 0, y = 4, 0 cm; 25 g, x = - 3, 0 cm, y = - 3, 0 cm; 30 g, x = - 2, 0 cm, y = 4, 0 cm. Qual o momento de ine?rcia do conjunto em relac?a~o (a) ao eixo x, (b) ao eixo y e (c) ao eixo z? (d) Se as respostas para (a) e (b) forem, respectivamente, A e B, enta~o qual a resposta para (c) em func?a~o de A e B?

Este exerc?icio e? uma aplicac?a~o do teorema dos eixos perpendiculares, na~o apresentado dentro do texto. Este teorema e? va?lido para distribuic?o~es de massa contidas num plano, como placas finas. Aqui temos uma distribuic?a~o discreta da massa no plano xy. Vamos indicar as massas por mi e coordenadas xi e yi na ordem em que aparecem no enunciado. (a) Momento de ine?rcia em relac?a~o ao eixo x: a dista^ncia das part?iculas ao eixo e? medida no eixo y

Ix =

miyi2

i

= m1y12 + m2y22 + m3y32 + m4y42

11.5 Energia Cine?tica de Rotac?a~o

11-46P.

A mole?cula de oxige^nio, O2, tem massa total de 5.3?10-26 kg e um momento de ine?rcia de 1.94?10-46 kg?m2, em relac?a~o ao eixo que atravessa perpendicularmente a linha de junc?a~o dos dois a?tomos. Suponha que essa mole?cula tenha em um ga?s a velocidade de 500 m/s e que sua energia cine?tica de rotac?a~o seja dois terc?os da energia cine?tica de transla c ca~o. Determine sua velocidade angular.

= 1.305 ? 10-4 kg ? m2.

(b) Para o ca?lculo do momento de ine?rcia em relac?a~o ao eixo y, a dista^ncia da part?icula ao eixo e? medida ao longo do eixo x:

Iy =

mix2i

i

= m1x21 + m2x22 + m3x23 + m4x24

= 5.45 ? 10-2 kg ? m2.

(c) Para o eixo z, temos

Com a relac?a~o dada entre as energias cine?ticas, temos

2

K = 3 K rot.

trans.

1 I 2 = 2 1 m v2

2

32

Introduzindo os valores de m, I e v, obtemos = 6.75 ? 1012 rad/s.

Iz =

miri2, com ri2 = x2i + yi2.

i

Os ca?lculos fornecem Iz = 1.9 ? 10-4 kg? m2. (d) Somando os valores obtidos para Ix e Iy, confirmamos a relac?a~o

Iz = Ix + Iy,

que podemos identificar como o teorema dos eixos perpendiculares.



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11-51E.

Duas part?iculas, de massa m cada uma, esta~o ligadas entre si e a um eixo de rotac?a~o em O por dois basto~es delgados de comprimento l e massa M cada um, conforme mostrado na Fig. 11 - 32. O conjunto gira em torno do eixo de rotac?a~o com velocidade angular . Determine, algebricamente, as expresso~es (a) para o momento de ine?rcia do conjunto em relac?a~o a O e (b) para a energia cine?tica de rotac?a~o em relac?a~o a O.

M R 2 = 1 M R2 2

R = R 2

(b) Igualando os momentos de ine?rcia mencionados,

temos

I = IA = M k2.

Do que obtemos diretamente

(a) O momento de ine?rcia para o eixo passando por O e?

IO

=

ml2 + m(2l)2 + M l2 + M l2 + M ( 3l )2

3 12

2

= 5ml2 + 8M l2 3

11.7

Torque

I k= .

M

(b) A energia cine?tica de rotac?a~o e?

K = 1 I2 2

= 1 5ml2 + 8 M l2 2

2

3

=

54 m+ M

l22

23

11-58P.

(a) Mostre que o momento de ine?rcia de um cilindro

so?lido, de massa M e raio R, em relac?a~o a seu eixo cen-

tral e? igual ao momento de ine?rcia de um aro fino de massa M e raio R/ 2 em relac?a~o a seu eixo central. (b)

Mostre que o momento de ine?rcia I de um corpo qual-

quer de massa M em relac?a~o a qualquer eixo e? igual ao

momento de ine?rcia de um aro equivalente em relac?a~o a

esse eixo, se o aro tiver a mesma massa M e raio k dado

por

I

k= .

M

O raio k do aro equivalente e? chamado de raio de girac?a~o do corpo.

11-64P. Na Fig. 11 - 36, o corpo esta? fixado a um eixo no ponto O. Tre^s forc?as sa~o aplicadas nas direc?o~es mostradas na figura: no ponto A, a 8, 0 m de O, FA = 10 N; no ponto B, a 4, 0 m de O, FB = 16 N; no ponto C, a 3, 0 m de O, FC = 19 N. Qual o torque resultante em relac?a~o a O?

Calculamos o torque produzido por cada uma das forc?as dadas:

A = rAFAsen 45o = 56.57 N?m, anti-hora?rio,

B = rBFBsen 90o = 64 N?m, hora?rio,

C = rCFCsen 20o = 19.50 N?m, anti-hora?rio.

Tomando o sentido positivo para fora do plano da pa?gina, somamos os valores obtidos acima para ter o torque resultante:

R = A - B + C

= 12.07 N?m, anti-hora?rio

(a) Os momentos de ine?rcia, em relac?a~o aos eixos mencionados, do aro e do cilindro sa~o

IA

= M R2

e

IA

=

1 2

M R2.

Para que estes momentos de ine?rcia sejam iguais, o aro deve ter um certo raio R :

IA = IC

11.8 A Segunda Lei de Newton para a Rotac? a~ o

11-70P. Uma forc?a e? aplicada tangencialmente a` borda de uma polia que tem 10 cm de raio e momento de ine?rcia de 1, 0 ? 10-3 kg?m2 em relac?a~o ao seu eixo. A forc?a tem mo?dulo varia?vel com o tempo, segundo a relac?a~o



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F = 0, 50 t + 0, 30 t2, com F em Newtons e t em segundos. A polia esta? inicialmente em repouso. Em t = 3, 0 s, quais sa~o (a) a sua acelerac?a~o angular e (b) sua velocidade angular?

Com a acelerac?a~o obtida acima, a tensa~o T1 e? 2R

T1 = M g - t2 .

(a) O torque atuando sobre a polia no instante considerado e?

(t = 3.0) = rF (t = 3.0) = 0.42 N?m.

A acelerac?a~o angular neste instante e? (t = 3.0) = = 42 rad/s2. I

Aplicando a segunda Lei rotacional para a polia ( escolhendo o sentido hora?rio como positivo), temos

(T1 - T2)R = I.

Tirando T2, vem 2M R 2I

T2 = M g - t2 - Rt2 .

(b) Obtemos a velocidade angular integrando a func?a~o (t):

d =

t

(50t + 30t 2)dt

0

0

(t) = 25t2 + 10t3

(t = 3.0) = 495 rad/s.

11-77P.

Uma chamine? alta, de forma cil?indrica, cai se houver uma ruptura na sua base. Tratando a chamine? como um basta~o fino, de altura h, expresse (a) a componente radial da acelerac?a~o linear do topo da chamine?, em func?a~o do a^ngulo que ela faz com a vertical, e (b) a componente tangencial dessa mesma acelerac?a~o. (c) Em que a^ngulo a acelerac?a~o e? igual a g?

11-75P.

Dois blocos ide^nticos, de massa M cada um, esta~o ligados por uma corda de massa desprez?ivel, que passa por uma polia de raio R e de momento de ine?rcia I (veja Fig. 11-40). A corda na~o desliza sobre a polia; desconhecese existir ou na~o atrito entre o bloco e a mesa; na~o ha? atrito no eixo da polia. Quando esse sistema e? liberado, a polia gira de um a^ngulo , num tempo t, e a acelerac?a~o dos blocos e? constante. (a) Qual a acelerac?a~o angular da polia? (b) Qual a acelerac?a~o dos dois blocos? (c) Quais as tenso~es na parte superior e inferior da corda? Todas essas respostas devem ser expressas em func?a~o de M, I, R, , g e t.

(a) A componente radial da acelerac?a~o do topo da chamine? e? ar = 2h. Podemos obter usando o princ?ipio da conservac?a~o da energia. Para um a^ngulo qualquer, temos

h mg

=

h mg

cos

+

1

I2.

2

2

2

Com I = mh2/3, obtemos

2

=

3g(1

-

cos

) ,

h

e acelerac?a~o radial do topo enta~o e?

ar = 3g(1 - cos ).

(a) Se o sistema parte do repouso e a acelerac?a~o e? (b) Para obter a componente tangencial da acelerac?a~o do

constante, enta~o = t2/2 e

topo, usamos agora a segunda Lei na forma rotacional:

2 = t2 .

(b) Desconsiderando qualquer atrito, a acelerac?a~o das massas e? a acelerac?a~o dos pontos da borda da polia:

2R a = R = t2 .

(c) Chamemos T1 a tensa~o na parte vertical da corda. Tomando o sentido para baixo como positivo, escrevemos

M g - T1 = M a.

= I

h mg sen

=

1 mh2

2

3

Com = 3gsen /2h, chegamos a` acelerac?a~o pedida

3 at = h = 2 gsen . (c) A acelerac?a~o total do topo e? a2 = 9g2(1 - cos )2 + 9 g2sen2.

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Fazendo a = g, e alguma a?lgebra, obtemos uma

equac?a~o do segundo grau para a varia?vel cos , cuja

raiz fornece = 34.5o.

11-86P.

11.9 Trabalho, Pote^ncia e Teorema do Trabalho-Energia Cine?tica

11-82P.

Uma re?gua, apoiada no cha~o verticalmente por uma das extremidades, cai. Determine a velocidade da outra extremidade quando bate no cha~o, supondo que o extremo apoiado na~o deslize. (Sugesta~o: considere a re?gua como um basta~o fino e use o princ?ipio de conservac?a~o de energia.)

Seguindo a sugesta~o dada, temos

l1 mg =

1 ml2 2,

2 23

que fornece = 3g/l. Portanto, a velocidade da extremidade da re?gua, quando bate no cha~o, e?

v = l = 3gl.

Uma casca esfe?rica uniforme, de massa M e raio R, gira sobre um eixo vertical, sem atrito (veja Fig. 11 - 42). Uma corda, de massa desprez?ivel, passa em volta do equador da esfera e prende um pequeno corpo de massa m, que pode cair livremente sob a ac?a~o da gravidade. A corda prende o corpo atrave?s de uma polia de momento de ine?rcia I e raio r. O atrito da polia em relac?a~o ao eixo e? nulo e a corda na~o desliza na polia. Qual a velocidade do corpo, depois de cair de uma altura h, partindo do repouso? Use o teorema do trabalho-energia.

Seguindo a sugesta~o do enunciado, o trabalho realizado pela gravidade sobre a massa m e? W = mgh. Como o sistema parte do repouso, a variac?a~o da energia cine?tica e?

K

=

1 2

mv2

+

1 2

I2 p

+

1 2

IC

2 C

,

onde p e? a velocidade angular da polia e IC e C sa~o o momento de ine?rcia e a velocidade angular da casca esfe?rica. A velocidade de m e? tambe?m a velocidade linear dos pontos da borda da polia e dos pontos do equador da casca esfe?rica. Enta~o podemos expressar as velocidades angulares em termos da velocidade linear da massa m:

11-83P. Um corpo r?igido e? composto por tre^s hastes finas,

v

v

p = r

e

C

=

. R

ide^nticas, de igual comprimento l, soldadas em forma de Apo?s essas considerac?o~es, temos, finalmente H (veja Fig. 11 - 41). O corpo gira livremente em volta

de um eixo horizontal que passa ao longo de uma das pernas do H. Quando o plano de H e? horizontal, o corpo cai, a partir do repouso. Qual a velocidade angular do corpo quando o plano do H passa pela posic?a~o vertival?

W = K

mgh

=

1 2

mv2

+

1 2

I

v2 r2

+

1 2

2 M R2 3

v2 R2

O momento de ine?rcia do corpo r?igido para o eixo mencionado e?

=

1 2

I2 m + r2 + 3 M

v2

I = 1 ml2 + ml2 = 4 ml2.

3

3

Usando o princ?ipio da conservac?a~o da energia, temos

Tirando a velocidade v, obtemos

v2

=

m

+

2mgh I/r2 + 2M/3 .

l1 3mg =

4 ml2 2,

2 23

e, tirando a velocidade angular, resulta

3g

=

.

2l

Lembrando a equac?a~o de movimento v2 = 2ah, podemos facilmente destacar a acelerac?a~o do resultado obtido, a` qual chegamos se resolvemos o problema usando a segunda Lei.



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