GoniometrickØ funkce a rovnice, Trigonometrie

Goniometrick? funkce a rovnice, Trigonometrie

Soubor ?loh z matematiky pro 3. rocn?k stedn?ch odborn?ch skol

Kl?cov? slova. Pojem funkce, definicn? obor funkce Df , obor hodnot Hf , monotonie funkce (funkce rostouc?, klesaj?c?, nerostouc?, neklesaj?c?), omezenost funkce (funkce omezen? shora, omezen? zdola, omezen?), parita funkce (sudost a lichost funkce), periodick? funkce, funkce sin, cos, tg , cotg , jejich grafy a vlastnosti, goniometrick? vzorce, goniometrick? rovnice, trigonometrie obecn?ho troj?heln?ku, vta sinov? a kosinov?.

1. Velikost ?hlu v m?e stupov? vyj?dete v m?e obloukov?. V?sledek napiste jako n?sobek c?sla .

(a) = 20

(d) = 9

(g) = 30

(j) ? = 120 (m) = 240

(b) = 200

(e) = 100

(h) = 150

(k) = 135

(n) = 300

(c) = 210

(f) = 2230

(i) = 330

(l) = 6730 (o) = 345

2. Velikost ?hlu v m?e obloukov? vyj?dete v m?e stupov?.

7

(a)

x1

=

4

11

(c)

x3

=

12

7

(e)

x5

=

6

13

(g)

x7 =

8

2

(i)

x9

=

9

11

(b)

x2 =

6

6

(d)

x4

=

4

5

(f )

x6

=

16

11

(h)

x8

=

16

10

(j)

x10 =

9

3. Vyj?dete velikost dan?ho ?hlu ve tvaru + k ? 360, nebo x0 + 2k, kde k Z a 0 < 360,

nebo 0 x0 < 2, je-li d?no:

(a) 1484

(c) -2000

(e) 930

(g) 5432

(i) -544

31 (b)

4

17 (d) -

3

23 (f)

4

49 (h) -

6

11 (j)

2

4. Bez pouzit? kalkul?toru nebo matematick?ch tabulek vypoc?tejte:

(a)

sin

5 6

(b)

sin

15 3

(c)

sin

-

7 4

(d)

cos

3 4

(e)

cos

7 6

(f )

cos

-

4 3

(g) sin 210 (h) sin 330 (i) sin 720

(j) cos(-180) (k) cos 120 (l) cos 240

5. Vyuzit?m line?rn?ch transformac? grafu funkce f (x) = sin x nacrtnte graf funkce g. D?le urcete definicn? obor Dg a obor hodnot Hg, maximum a minimum, stanovte intervaly monotonie (tj. urcete, na kter?ch intervalech je funkce rostouc?, nebo klesaj?c?), rozhodnte, zda je funkce omezen? (p?p. omezen? shora, zdola) a zda je sud?, nebo lich?.

(a) g1(x) = sin x + 2

(b)

g2(x)

=

sin(x -

4

)

(c)

g3(x)

=

sin(x +

3

)

(d) g4(x) = 2 sin x

(e) g5(x) = - sin x + 2

(f) g6(x) = -2 sin(-x)

(g) g7(x) = sin 2x

(h)

g8(x)

=

sin

1 2

x

(i) g9(x) = sin(-2x)

(j)

g10(x) =

sin

x

-

1 2

(k) g11(x) = |2 sin x - 1|

(l)

g12(x) = | sin x| -

1 2

6. Vyuzit?m line?rn?ch transformac? grafu funkce f (x) = cos x nacrtnte graf funkce g. D?le urcete definicn? obor Dg a obor hodnot Hg, maximum a minimum, stanovte intervaly monotonie (tj. urcete, na kter?ch intervalech je funkce rostouc?, nebo klesaj?c?), rozhodnte, zda je funkce omezen? (p?p. omezen? shora, zdola) a zda je sud?, nebo lich?.

(a) g1(x) = cos x - 1

(b)

g2(x)

=

cos(x +

2

)

(c)

g3(x)

=

cos(x -

4

)

(d)

g4(x)

=

3 2

cos x

(e) g5(x) = - cos x + 1

(f) g6(x) = -2 cos(-x)

(g) g7(x) = cos 2x

(h)

g8(x)

=

cos

1 2

x

(i) g9(x) = cos(-2x)

(j)

g10(x) =

cos

x

-

1 2

(k) g11(x) = |2 cos x - 1|

(l)

g12(x) = | cos x| -

1 2

7. Bez pouzit? kalkul?toru nebo matematick?ch tabulek vypoc?tejte:

(a)

tg

7 6

(b) tg 4

(c)

tg

5 4

(d)

cotg

7 4

(e)

cotg

2 3

(f) cotg

-

2

(g) tg 135 (h) tg (-60) (i) tg 90

(j) cotg 210 (k) cotg (-300) (l) cotg 135

8. Vyuzit?m line?rn?ch transformac? grafu funkce f (x) = tg x nacrtnte graf funkce g. D?le urcete definicn? obor Dg a obor hodnot Hg, maximum a minimum, stanovte intervaly monotonie (tj. urcete, na kter?ch intervalech je funkce rostouc?, nebo klesaj?c?), rozhodnte, zda je funkce omezen? (p?p. omezen? shora, zdola) a zda je sud?, nebo lich?.

(a) g1(x) = tg x + 1

(b)

g2(x)

=

tg (x +

6

)

(c)

g3(x)

=

tg (x +

2

)

(d) g4(x) = 2 tg x

(e) g5(x) = -tg x + 1

(f) g6(x) = 1 - tg (-x)

(g) g7(x) = tg 2x

(h)

g8(x)

=

tg

1 2

x

(i) g9(x) = tg (-2x)

(j) g10(x) = |tg x - 1|

(k)

g11(x) = |tg x -

3 3

|

(l) g12(x) = |tg x| - 1

9. Vyuzit?m line?rn?ch transformac? grafu funkce f (x) = cotg x nacrtnte graf funkce g. D?le ur-

cete definicn? obor Dg a obor hodnot Hg, maximum a minimum, stanovte intervaly monotonie

(tj. urcete, na kter?ch intervalech je funkce rostouc?, nebo klesaj?c?), rozhodnte, zda je funkce

omezen? (p?p. omezen? shora, zdola) a zda je sud?, nebo lich?.

(a) g1(x) = 1 - cotg x

(e)

g5(x) = cotg x +

3 3

(i) g9(x) = cotg (-2x)

(b)

g2(x)

=

cotg (x -

4

)

(c)

g3(x)

=

cotg (x +

6

)

(f) g6(x) = -2 cotg (-x) (g) g7(x) = cotg 2x

(j) g10(x) = cotg (x -2 ) (k) g11(x) = |cotg x - 3|

(d) g4(x) = 2 cotg x

(h)

g8(x)

=

cotg

1 2

x

(l) g12(x) = |cotg x| - 1

10. Aniz urc?te hodnotu x, urcete hodnoty zb?vaj?c?ch goniometrick?ch funkc? v bod x, v?te-li, ze plat?:

(a)

cos x

=

4 5

,

x (0,

2

)

(b)

sin x

=

-

12 13

,

x (,

3 2

)

(c)

tg x =

15 8

,

x

(0,

2

)

(d)

cotg

x

=

-

7 24

,

x

(

3 2

,

2)

11. Zjednoduste dan? v?raz uzit?m vhodn?ch goniometrick?ch vzorc. Pedpokl?dejte p?pustn?

hodnoty promnn? x.

sin2 x - sin4 x (a) cos2 x - cos4 x

1

tg x

(f )

-

1 + cotg x 1 + tg x

cos 2x + sin2 x (k)

1 + cos 2x

cos x

cos x

(b)

+

1 - sin x 1 + sin x

sin 2x (g) cos 2x - cos2 x

2 sin2 x - sin 2x (l) 2 cos2 x - sin 2x

sin x 1 + cos x

(c)

+

1 + cos x sin x

1 + sin 2x (h)

cos 2x

1 + sin 2x (m) (sin x + cos x)2

tg x (d) 1 + tg 2x

1

cotg x

(e)

-

1 + tg x 1 + cotg x

cos4 x - sin4 x (i)

cos 2x 2 sin x + sin 2x (j) 2 sin x - sin 2x

2 cos x - cos 2x - 1 (n)

2 cos x + cos 2x + 1 1 + cotg 2x

(o) 1 + tg 2x

12. Za pedpokladu p?pustn?ch hodnot promnn? x dokazte spr?vnost dan?ch rovnost?.

(a)

1 cos2

x

=

1

+

tg 2x

cos2 x - cos 2x 1

(e)

= tg x

sin 2x

2

1 - tg 2x (i) 1 + tg 2x = cos 2x

(b)

1 sin2

x

=

1

+

cotg 2x

sin 2x

2tg x

(f) cos 2x - cos2 x = -2 cotg x (j) 1 + tg 2x = sin 2x

1 - tg x 2 1 + tg 2x

sin x + sin 2x

(c)

1 - cotg x

= 1 + cotg 2x

(g)

= tg x 1 + cos x + cos 2x

1 + sin 2x 1 + tg x

(k)

=

cos 2x 1 - tg x

1 + cos 2x

(d)

= cotg x

sin 2x

sin 2x - cos x

(h)

= cotg x

1 - cos 2x - sin x

1 + tg x cos 2x

(l)

=

1 - tg x 1 - sin 2x

13. Dokazte uzit?m souctov?ch vzorc.

(a) sin 75 = 2 + 6

7

2- 6

(c) cos =

4

12 4

(b) cos 105 = 2 - 6

7

2+ 6

(d) sin =

4

12

4

(e) tg 15 = 2 - 3

(f) tg 75 = 2 + 3

14. este rovnice s nezn?mou x R. esen? vyznacte na jednotkov? kruznici.

(a) sin x =

3 2

(c) tg x = 3

(e)

sin

x

=

-

2 2

(g) tg x = -1

(b)

cos x

=

1 2

(d) cotg x = 1

(f )

cos x = -

3 2

(h) cotg x = - 3

15. este rovnice s nezn?mou x R.

(a) sin x + 2 = 3 - sin x

(b) 4tg x = tg x + 3 (c) cotg x + 1 = 0

(d) 2 + sin x = 3 sin x (e) - cos x - 4 = 3 cos x

(f) 5 cos x = 3 cos x + 2

(g)

1 4

sin

x

=

-1

+

1 2

sin

x

(h)

5 3

=2+

1 3

sin x

(i) 4 + 2 = 2(cos x + 2)

16. este rovnice s nezn?mou x R.

(a) sin 3x = 1

(e)

sin

2x

-

4

=

2 2

(b) cos 10x =

2 2

(f) cos

3x

+

5 6

=

-

1 2

(c)

1 2

sin

3

-

x

=0

(d)

cos

5 2

x

=0

(g) tg (4x - 3) = 1

(h) cotg

6

-

x

=

3 3

(i) sin(1 - x) = 0

(j) cos

4

-

2x

= -1

(k) 2 cos(4 + 2x) = -1

(l)

sin

4x

-

3

=2

17. este rovnice s nezn?mou x R.

(a) cos2 x - 6 cos x + 5 = 0

(g) 2 sin2 x + 3 cos x = 0

(b) sin2 x + 5 sin x + 4 = 0 (c) cos2 x - cos x - 2 = 0 (d) sin2 x - 4 sin x + 3 = 0

(h) 2 cos2 x - 3 = 3 sin x

(i) 2 sin2 x + 3 2 cos x - 4 = 0

(j) sin2 x - cos2 x + 3 sin x - 2 = 0

(e) 2 cos2 x - cos x - 1 = 0

(f) 4 sin2 x - 2 sin x = 3(-1 + 2 sin x)

(k) tg 2x - tg x - 2 = 0 (l) tg x + cotg x - 2 = 0

18. este rovnice s nezn?mou x R. Rovnici nejprve upravte uzit?m goniometrick?ch vzorc.

(a) sin x + sin 2x = 0

(c) sin 2x cos x + sin2 x = 1

(b) sin x - sin 2x + 2 cos x - 1 = 0

(d) 2 sin2 x + sin2 2x = 2

19. Urcete d?lky vsech stran a velikosti vsech vnitn?ch ?hl troj?heln?ku ABC, je-li d?no:

(a) a = 10, = 62, = 34

(c) c = 8, 4, = 4105 , = 2655

(b) b = 5, = 110, = 28

(d) a = 5, 66, = 5632 , = 4447

20. Urcete d?lky vsech stran a velikosti vsech vnitn?ch ?hl troj?heln?ku ABC, je-li d?no:

(a) a = 6, c = 7, = 40

(c) b = 8, c = 5, = 2655

(b) b = 6, c = 9, = 75

(d) a = 6, b = 3, = 30

21. Urcete d?lky vsech stran a velikosti vsech vnitn?ch ?hl troj?heln?ku ABC, je-li d?no:

(a) a = 2, b = 3, c = 4

(c) a = 5, b = 7, = 2914

(b) a = 3, b = 8, c = 4

(d) a = 7, c = 12, = 124

22. V troj?heln?ku ABC zn?te velikosti ?hl = 45, = 60, = 75. Vypoc?tejte, v jak?m pomru jsou d?lky stran.

23. V troj?heln?ku ABC zn?te pomr d?lek stran a : b : c = 2 : 4 : 5. Vypoc?tejte velikost ?hl v troj?heln?ku ABC.

24. Z vze vysok? 15 m a vzd?len? od eky 30 m se jevila s?ka eky v ?hlu 15. Jak sirok? je eka v pozorovan?m m?st?

25. Vypoc?tejte s?ku eky, jestlize na jednom behu byla vyznacena ?secka KL d?lky 40 m a d?le byly zmeny ?hly | ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download