FONCTIONS COSINUS ET SINUS

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FONCTIONS COSINUS ET SINUS

I. Rappels

1) D?finitions :

( ) Dans le plan mu!ni!d'un rep?re

orthonorm? O ; i; j et orient? dans le sens direct, on consid?re un cercle trigonom?trique de centre O.

Pour tout nombre r?el x, consid?rons le

point N de la droite orient?e d'abscisse x.

? ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonom?trique. On appelle H et K les pieds respectifs des perpendiculaires ? l'axe des abscisses et ? l'axe des ordonn?es passant par M.

D?finitions : - Le cosinus du nombre r?el x est l'abscisse de M et on note cos x. - Le sinus du nombre r?el x est l'ordonn?e de M et on note sin x.

Propri?t?s :

Pour tout nombre r?el x, on a :

1) -1 cos x 1

2) -1 sin x 1

3) cos2 x + sin2 x = 1

2) Valeurs remarquables des fonctions sinus et cosinus :

x

cos x sin x

0

6

4

3

2

1

3

2

1

0

-1

2

2

2

0

1

2

3

1

0

2

2

2

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II. Propri?t?s des fonctions cosinus et sinus

1) P?riodicit?

Propri?t?s :

( ) 1) cos x = cos x + 2k o? k entier relatif

( ) 2) sin x = sin x + 2k o? k entier relatif

D?monstration : Aux points de la droite orient?e d'abscisses x et x + 2k ont fait correspondre le

m?me point du cercle trigonom?trique.

Remarque : On dit que les fonctions cosinus et sinus sont p?riodiques de p?riode 2 .

Cons?quence : Pour tracer la courbe repr?sentative de la fonction cosinus ou de la fonction sinus, il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur 2 et de la compl?ter par translation.

M?thode : R?soudre une ?quation trigonom?trique Vid?o

R?soudre dans ! l'?quation cos2 x = 1 . 2

cos2 x = 1 cos2 x - 1 = 0

2

2

cos x -

2

cos

x

+

2

=

0

2

2

cos x = 2 ou cos x = - 2

2

2

cos x = cos ou cos x = cos 3

4

4

Ainsi

:

S

=

4

+ 2k1

;- 4

+ 2k2

; 3 4

+ 2k3

;-

3 4

+ 2k4

avec ki

!

Soit

:

S

=

4

+

k 2

avec

k

! .

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2) Parit?

Propri?t?s : Pour tout nombre r?el x, on a : 1) cos(-x) = cos x 2) sin(-x) = - sin x

Remarque : On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire.

D?finitions : Une fonction f est paire lorsque pour tout r?el x de son ensemble de d?finition D, ?x appartient ? D et f (-x) = f (x) . Une fonction f est impaire lorsque pour tout r?el x de son ensemble de d?finition D, ?x appartient ? D et f (-x) = - f (x) .

Cons?quences : - Dans un rep?re orthogonal, la courbe repr?sentative de la fonction cosinus est sym?trique par rapport ? l'axe des ordonn?es. - Dans un rep?re orthogonal, la courbe repr?sentative de la fonction sinus est sym?trique par rapport ? l'origine.

M?thode : Etudier la parit? d'une fonction trigonom?trique Vid?o

( ) D?montrer que la fonction f d?finie sur ! par f (x) = sin x - sin 2x est impaire.

Pour tout x r?el, on a :

( ) ( ) ( ) f (-x) = sin -x - sin -2x = - sin x + sin 2x = - f (x) .

La fonction f est donc impaire. Sa repr?sentation graphique est sym?trique par rapport ? l'origine du rep?re.

3) Autres propri?t?s

Propri?t?s :

Pour tout nombre r?el x, on a :

( ) 1) cos + x = - cos x

et

( ) 2) cos - x = - cos x

et

3)

cos

2

+

x

=

- sin x

et

4)

cos

2

-

x

=

sin

x

et

( ) sin + x = - sin x sin( - x) = sin x

sin

2

+

x

=

cos

x

sin

2

-

x

=

cos

x

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III. D?rivabilit? et variations

1) D?rivabilit?

Propri?t? : Les fonctions cosinus et sinus sont d?rivables en 0 et on a : cos'(0) = 0 et sin'(0)=1.

- Admis -

Th?or?me : les fonctions cosinus et sinus sont d?rivables sur ! et on a : cos'(x) = -sin(x) et sin'(x) = cos(x)

D?monstration :

- Soit x un nombre r?el et h un nombre r?el non nul.

cos(x + h) - cos x = cos x cos h - sin x sin h - cos x

h

h

= cos x cos h - 1 - sin x sin h

h

h

Or, cosinus et sinus sont d?rivables en 0 de d?riv?es respectives 0 et 1 donc :

cosh - 1 lim

=0

et

lim sinh

=1

donc

cos(x + lim

h) - cos x

=

- sin x .

h0

h

h0 h

h0

h

- Soit x un nombre r?el et h un nombre r?el non nul.

sin(x + h) - sin x = sin x cos h + cos x sin h - sin x

h

h

= sin x cosh - 1 + cos x sinh

h

h

Donc lim sin(x + h) - sin x = cos x .

h0

h

2) Variations

x

0

cos' x = - sin x 0

-

0

1

cos x

-1

x

0

2

sin' x = cos x 1

+

0

1

sin x

0

-

-1

0

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5 3) Repr?sentations graphiques

Fonction cosinus

Fonction sinus M?thode : Etudier une fonction trigonom?trique

Vid?os dans la Playlist :



( ) On consid?re la fonction f d?finie sur ! par f (x) = cos 2x - 1 . 2 1) Etudier la parit? de f. 2) D?montrer que la fonction f est p?riodique de p?riode . 3) Etudier les variations de f. 4) Repr?senter graphiquement la fonction f.

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( ) ( ) 1) Pour tout x de ! , on a : f (-x) = cos -2x - 1 = cos 2x - 1 = f (x)

2

2

La fonction f est donc paire. Dans un rep?re orthogonal, sa repr?sentation graphique

est donc sym?trique par rapport ? l'axe des ordonn?es.

2) Pour tout x de ! , on a :

( ) ( ) f (x + ) = cos 2 x + - 1 2

= cos(2x + 2 ) - 1 2

( ) = cos 2x - 1 = f (x) 2 On en d?duit que la fonction f est p?riodique de p?riode .

( ) 3) Pour tout x de ! , on a f '(x) = -2sin 2x .

( ) Si

x

0;

2

,

alors

2x 0;

et donc

sin

2x

0.

Donc si

x

0;

2

,

alors

f '(x) 0 . Ainsi f est d?croissante sur

0;

2

.

x

0

2

f '(x)

0

-

0

1

f (x)

2

-3

2

4)

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