XTEC



EXERCICIS REPÀS TEMA 11.

13, 19,53. Demostra que: [pic]

[pic]

31. Troba sense emprar la calculadora:

a) 5cosπ/2 – cos 0 + 2 cos π – cos 3π/2 + cos 2π = 5. 0 – 1 +2 (-1) – 0 +1 = -2

b) 5 tg π + 3 cos π/2 – 2tg 0 + sin 3π/2 – 2 sin 2 π = 5.0 + 3.0 – 2.0 + (-1) – 2.0 = -1

c) 2/3 sin π/2 – 4 sin 3 π/2 + 3 sin π – 5/3 sin π/2 = 2/3. 1 – 4 (-1) + 3. 0 – 5/3.1 = 3

32. Prova que :

a) 4sinπ/6 + [pic]cos π/4 + cos π = 2

4. ½ + [pic].[pic]-1= 2 + 1 -1 = 2

b) 2[pic]sin2π/3 + 4sinπ/6 -2sinπ/2 = 3

2[pic].[pic]+4. ½ - 2.1= 3 + 2 -2 = 3

34. Troba el valor exacte d’aquestes expressions sense usar la calculadora:

c) [pic]cos π/6 + sinπ/6 -[pic]cosπ/4 - 2[pic]sin π/3 =[pic]. [pic]+ ½ - [pic][pic]- 2.[pic].[pic]= 3/2 + ½ - 1 – 3 = -2

45. Resol les equacions següents:

a) 2cos2 x – sin2 x + 1 = 0

Per la identitat trigonométrica :[pic]

Substituint a l’equació : 2cos2 x – (1-cos2 x) + 1 = 0 ( 3cos2 x=0 ( cos x = 0

x1= 90º + 360ºk

x2= 270º + 360ºk

46. Resol:

a) sin2 x – cos2 x = 1 ( (1-cos2 x) - cos2 x = 1 ( - 2cos2 x = 0( cos2 x = 0 ( cos x = 0

Per tant : x1 = 90º + 360ºk

x2 = 270º + 360ºk

b) cos2 x – sin2 x = 0 ( cos2 x - (1-cos2 x) = 0 ( 2cos2 x = 1( cos2 x = 1/2

( cos x = ±[pic].

Per tant : x1 = 45º + 360ºk x2 = 315º + 360ºk

x3 = 135º + 360ºk x4 = 225º + 360ºk

c) 2cos2 x + sin x = 1( 2(1-sin2 x) +sin x = 1( 2 sin2 x-sinx-1=0 Es resol l’eq. de 2n grau i surt : sin x = 1 ( x1= 90º+360k

sin x = -1/2 ( x2= 210º+360k x3= 330º+360k

d) 3tg2 x – [pic]tg x = 0 ( tg x ( 3tgx – 1) = 0

( tg x = 0 ( x1=0º+360k ; x2=180º+360k

( tg x = [pic]/3 ( x3=30º+360k ;x2=210º+360k

47. Resol les següents equacions:

a) sin (π/6-x) + cos (π/3 - x) = ½ com l’enunciat és en rad la resposta també s’ha de donar en rad.

sin π/6 . cos x – cos π/6 . sin x + cos π/3 . cos x + sin π/3 . sin x = ½

½ . cos x - [pic]. sin x + ½ . cos x + [pic].sin x = ½

cos x = ½ ( x1= 60º + 360ºk = π/3 + 2 π k

( x2= 300º + 360ºk = 5π/3 + 2 π k

b) sin 2x – 2cos2 x = 0 ( 2sinx.cosx - 2cos2 x = 0 ( 2cos x.(sinx-cosx) = 0(

( cos x = 0 ( x1 = 90º+360ºk i x2=270º+360ºk

( sinx = cos x ( tg x = 1( x3 = 45º+360ºk i x4=225º+360ºk

48.Resol aquestes equacions:

a) 4sin 2x. cos2 x + 2cos2 x - 2 = 0

Aplico la identitat trigonométrica : 4(1- cos2x).cos2x + 2 cos2x – 2 = 0 (

-4cos4x + 6 cos2x – 2 = 0 i fent un canvi de variable cos x = y, tenim una equació biquadrada : 4y4 - 6 y2+2 = 0 on fem y2 = t : 2t2- 3t + 1 = 0 i resolem obtenim

t 1= 1 ( cos2x= 1(cos x= ±1( x1= 0º+360ºk i x2= 180º+360ºk

t2= 1/ 2 ( cos2x= ½ (cos x = ±[pic](x3=45º+360ºk; x4= 315º+360ºk

x5= 135º+360ºk ; x6 = 225º+360ºk

e) 2 sin2x/2 + cos 2x = 0

Apliquem la fòrmula de sin d’angle meitat i de cos de l’angle doble:

2.[pic]+cos 2x – sin2 x = 0 ( Apliquem la identitat trigonométrica per posar sin2 en funció de cos2 : 1 – cos x + cos2x – ( 1- cos2x) = 0 (2 cos2x – cos x = 0 (

cos x ( 2 cos x – 1) = 0 (cos x = 0 (x1= 90º+360ºk ; x2 = 270º+360ºk

(cos x = ½ (x3 = 60º + 360ºk i x4 = 300º + 360ºk

49. Demostra que: [pic][pic][pic]

Al segon pas divideixo tots els sumands per [pic]

50. Prova que 2 tg x cos2x/2 – sin x = tg x.

[pic] Ho substituim a l’expressió.

[pic]

51. Demostra que cos (x + π/3) – cos (x + 2π/3) = cos x.

cos (x + π/3) – cos (x + 2π/3) =

= [cos x.cos π/3-sinx.sin π/3] – [cos x.cos 2π/3-sinx.sin 2π/3] =

= [cos x.(1/2) - sinx. [pic]] - [cos x.(-1/2) - sinx. [pic]] = cos x

54. Simplifica [pic]

Aplico les fòrmules de suma, resta i angle doble:

[pic]

Al numerador hi ha suma per diferencia, apliquem la fòrmula:

[pic]

64. Resol els sistemes següents i dóna les solucions corresponents al primer quadrant:

a) x + y = 120°

sin x – sin y = ½

y = 120º - x ( sin x – sin(120º-x) = ½ ( sin x – ( sin120º.cosx - cos 120º.sin x) = ½

( sinx – ([pic].cos x + ½ . sin x) = ½ (1/2sin x - [pic]cos x = ½ (sin x - [pic]cos x =1

( Utilitzant la igualtat trigonométrica :

sin x - [pic][pic]= 1 ( sin x – 1 = [pic][pic]

( (sin x – 1)2 = ([pic][pic])2 ( sin2x-2sinx+1= 3(1-sin2x)

( 4sin2x-2sinx-2= 0 ( 2sin2x-sinx-1= 0 Resolem l’eq. de 2n grau:

sin x = 1 ( x= 90º i y= 30º

sin x = - ½ ( [pic]x ja que al 1r quadrant els sinus són +

b) sin2 x + cos2 y = 1

cos2 x – sin2 y = 1 Fes cos2 y = 1 – sin2 y i cos 2 x = 1 – sin2 x.

Substituint al sistema sin2 x + cos2 y = 1 ( sin2 x + 1 – sin2 y = 1( sin2 x – sin2 y = 0

cos2 x – sin2 y = 1 ( 1 - sin2 x – sin2 y = 1 ( - sin2 x – sin2 y = 0

Sumant les dues equacions: -2 sin2y = 0 ( sin y = 0 ( y= 0º

I substituint a la 2a equació: cos2x = 1 ( cos x = ±1 ( Només considerem cos x = 1, ja que els angles són del primer quadrant : x = 0º

Per tant la solució és (0º,0º)

c) sin x + cos y = 1

x + y = 90° ( x i y són complementaris i per tant sin x = cos y i ho substituim a la 1ª eq.:

sin x + sin x = 1 ( 2 sin x = 1 ( sin x = ½ ( x =30º i y = 60º

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download