Lazarovi.com



12 К Л А С – БРОЙ -12-2018 год. НЯКОИ МЕТОДИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ТРИГОНОМЕТРИЧНИ УРАВНЕНИЯ I. Умножаване на двете страни на уравнението с една и съща тригонометрична функция Пример 1. Да се реши уравнението 22cos4x+1cosx=1. Разкриваме скобите 4cos4x.cosx+2cosx=1 и изразът 4cos4xcosx преобразу- ваме в сума и получаваме уравнението 2cos5x+2cos3x+2cosx=1. Тъй като x=πn, n∈Z не са решения на даденото уравнение, можем да умножим двете страни на уравнението със sinx и ще получим: 2sinxcos5x+2sinxcos3x+2cosxsinx=sinx ?sin6x-sin4x+sin4x-sin2x + +sin2x=sinx ?sin6x=sinx ?2sin5x2cos7x2=0. Тогава sin5x2=0 или cos7x2=0 , откъдето x=2πn5,k∈Z, x=π7+2πm7,m∈Z и получаваме: а)2πk5≠πn, n∈Z, k≠5n2, n∈Z. Тогава n е четно число, n=2l, l∈Z и k≠5l. б) π1+2mn7≠πn, n∈Z, m=7n-12 ,n∈Z. Тъй като m∈Z, то n=2p+1, p∈Z, но тогава m≠7π+3, p∈Z. Окончателно получаваме, че решенията на даденото уравнение са x=2πk 5 при k∈Z, k≠5l, l∈Z и x=π71+2m при m∈Z, m≠7p+3, p∈Z.Пример 2. Да се реши уравнението cosx.cos2x.cos4x.cos8x.cos16x=132. Умножаваме двете страни на уравнението с 32 sinx понеже x=nπ при n∈Z не са решения на даденото уравнение и получаваме sin32x=sinx ?sin32x-sinx=0 т.е. 2sin32x-x2cos32x+x2=0, откъдето sin31x2=0 и cos33x2=0 или x=2πk31 ,k∈Z и x=π33+2πm33 , m∈Z. От получените корени изключваме корените от вида x=πn n∈Z и получаваме а) От 2πk31≠πn, n∈Z, и k≠31n2 , n∈Z следва, че n е четно число . Тогава n=2l, l∈Z и k≠31l. б) От π1+2m33 ≠πn, n∈Z, m≠33n-12 , n∈Z, тъй като m∈Z, то n=2p+1, p∈Z и тогава m≠33p+16, p∈Z. Окончателно получаваме x=2πk31 , k?Z, k≠31l, l∈Z l∈Z и x=π1+3m 33, m∈Z, m≠33p+16, p∈Z. II. Прибавяне към двете страни на уравнението една и съща тригонометрична функция или ед- но и също число Пример 3. Да се реши уравнението tgx.tg2x=tg3x.tg4x. Уравнението има смисъл при x≠π2+πn, x≠π4+πn2, x≠π6+πn3 ,x≠π8+πn4 , n∈Z. Прибавяме към двете страни на уравнението еденица и получаваме tgx.tg2x+1=cos3x.cos4x+1?cosxcosx.cos2x=cosxcos3xcos4x. Раздляме двете страни на уравнението на cosx и получаваме cosx.cos2x=cos3x.cos4x?cosx+cos3x=cos7x+cosx?cos7x-tg3x=0 sin2x.sin5x=0. Тогава x=π2k, k∈Z и x=π5t, t?Z. От първата серия корени само x=πm, m∈Z принадлежи на дефиниционната област на уравнението. Тази серия отговори обаче се съдържа в серията отговориx=π5t, t∈Z. Установява се че, x=π5t , t∈Z принадлежи на дефиниционната област на уравне- нието. Следователно решенията на даденото уравнение са x=π5.t, t∈Z. III.Тъждествени преубразования на едната или на двете страни на уравнението Пример 4. Да се реши уравнението sinx-π6+2cos2x=1. Преобразуваме лявата страна на уравнението и получаваме sinx-π6+cos2x=0? ?cos2π3-x+cos2x=0?cosx2+π3cos3x2-π3=0. От cosx2+π3=0 и cos3x2-π3=0 получаваме x=π3+2πk, k∈Z и x=5π9+2πn3,n∈Z. Пример 5. Да се реши уравнението sinπ-x+cotgπ2-x=1cosx-cosx2sinx. Преобразуваме дясната страна на уравнението и получаваме 1cosx-cosx2sinx=1-cos2x2sinxcox. Съкращаваме дробта на sinx. При това предполагаме, че sinx≠0. Ако получим решение, за което sinx=0, това решение трябва да се изключи. Даденото уравнение приема вида sinx+tgx=12tgx?sinx+12tgx=0. Или sinx1+12cosx=0, откъдето sinx=0 и 1+12cosx=0. Първото уравнение има корени, които трябва да изключим.Тогава 1+12cosx=0 ?2cosx+1=0 ?cosx=-12 . Корените на това уравнение са x=2π33n±1, n∈Z. Пример 6. Да се реши уравнението 1-2sin2x-cos2x.tgx3cos2x=cos4x-sin4x. Преобразуваме дробта в лявата страна на уравнението и получаваме 23sin2x-cos2x.tgxcos2x=23sin2xcsx-cos2xsinxcosx=23sinxcosx. Дясната страна на уравнението записваме във вида cos2x-sin2xcos2x+sin2x=cos2x-sin2x. Даденото уравнение приема вида 1-cos2x+sin2x-23sinxcosx=0. Тогава 2sin2x-23sinxcosx?sinxsinx-13cosx, откъдето sinx=0 и tgx=33 . Следователно решенията на уравнението са x=π.n, n∈Z и x=π6+πk, k∈Z. Пример 7. Да се реши уравнението cos4x=-2cos3xsin2x-cosx. Записваме уравнението във вида cos7x+cosx=-2cos3xsin2x,т.е 2cos4x.cos3x=-2cos3xsin2x?cos3xcos4x+sin2x=0 Получаваме cos3x=0 и cos4x+sin2x=0. От cos3x=0 намираме x=π6+π2.k1, k1∈Z. Преобразуваме уравнението cos4x+sin2x=0?cos22x-sin2x+sin2x=0 Или 1-sin2x+sin2x=0?2sin22x-sin2x-1=0. Оттук намираме sin2x=1 и sin2x=-12. Решенията на тези две уравнения са :x=π4+πk2, k2∈Z, x=-π12+πk3, k3∈Z и x=-π12+π+πk4, k4∈Z. Пример 8. Да се реши уравнението sinx+3cosx=2+3cos22x+π6. Преобразуваме лявата страна на уравнението и получаваме sinx+3cosx=2+3cos22x+π6?sinx+π3=1+32cos22x+π6. Тъй като cos22x+π6≥0 и sinx+π3≤1, то равенството е възможно само при cos2x+π6=0 . и sinx+π3=1. Следователно x+π3=π2+2πn, n∈ Или x=π6+2πn, n∈Z2x+π6=12+π+πk, k∈Z x=π6+π2k, k∈Z.Тогава решението на даденото уравнение е x=π6+2nπ, n∈Z. Използване на свойствата на пропорцията ab=cd Трябва да не се забравя че използването на равенствата a+ba-b=c+dc-d , a-ba+b=c-dc+d , a-cb-d=ab, ab=a+cb+d и т.н. довежда до изменение на дефиниционната област на уравнението. Така например в пропорцията ab=cd има ограничението b≠0 иd≠0, а в пропорцията a-ba+b=c-dc+d има ограничението a≠-b и c≠-d. Пример 9. Да се реши уравнението sin5xsinx=tgπ4-2x. За да го решим използваме формулата за тангенс на разликата на два ъгъла и полу- чаваме sin5xsinx=1-tg2x1+tg2x. Използваме свойството на пропорцията и намираме, че sin5x+sinxsin5x-sinx=2-tg2x ?2sin3xcos2x2sin2xcos3x=-cos2xsin2x , откъдето tg3x=-1 и x=-π13+π3.n, n∈Z. От дефиниционната област на даденото уравнение имаме x≠πq, q∈Z, x≠-π8+π2.k, k∈Z. При решавне на уравнението се налагат нови ограничения, а имен- но sin5x-sinx≠0, sin2x≠0 и cos2x≠0. Оттук x≠π2p, p∈Z, x≠πq, q∈Z и x≠π4+π2t, t∈Z. Да проверим удовлетворяват ли даденото уравнение стойностите x=π2+2πl, l∈Z, x=32π+2πd, d∈Z, x=π4+π2t, t∈Z. а) Заместваме x=π2+2πl в даденото уравнение и получаваме sin52πsinπ2=tgπ4-π?1=1. Равенството е вярно, следователно x=π2+2πl, l∈Z е решение на даденото уравнение. б) Заместваме x=32π+2πd в даденото уравнение. Получаваме sin152πsin32π=tgπ4-3π, т.е. 1.вярно числово равенство, следователно x=32π+2πd, d∈Z е корен на даденото уравнение. в) Заместваме x=π4+π2t, t∈Z в даденото уравнение и получаваме sin54π+52πtsinπ4+π2t=tg-π4-πt?-sinπ4+π2tsinπ4+π2t=-tgπ4 или 1=1-вярно числово равенство. Следователно x=π4+π2t, t∈Z е решение на даденото уравнение. Окончателно вси- чки решения са: -π12+π3n, π2+πf, π4+π2t, където n, f, t∈Z.С А М И Р Е Ш Е Т Е У Р А В Н Е Н И Я Т А: 1.cos2x+cos5x=12cos4x. ; 2. cosx+cos3x=12. ; 3. 3-4cos2x+cos4x=16sin6x. 4. 3+tgx+2tg2x+4tg4x+8cot8x=0.; 5. sin7x=cosπ2-xcotgπ4+3x . Type equation here. ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download