Exo7 - Exercices de mathématiques

Exo7

Trigonom?trie

Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur maths-france.fr

* tr?s facile ** facile *** difficult? moyenne **** difficile ***** tr?s difficile I : Incontournable T : pour travailler et m?moriser le cours

Exercice 1 *IT R?soudre dans R puis dans [0, 2] les ?quations suivantes :

1. sin x = 0, 2. sin x = 1, 3. sin x = -1, 4. cos x = 1, 5. cos x = -1, 6. cos x = 0, 7. tan x = 0, 8. tan x = 1.

Correction

[005063]

Exercice 2 *IT

R?soudre dans R puis dans [0, 2] les ?quations suivantes :

1.

sin x =

1 2

,

2. sin x = - 1 ,

2

3. tan x = -1,

4. tan x = 1 ,

3

5.

cos x =

3 2

,

6. cos x = - 1 .

2

Correction

[005064]

Exercice 3 **IT R?soudre dans R puis dans I les ?quations suivantes :

1.

sin(2x) =

1 2

,

I = [0, 2],

2. sin

x 2

=

- 1 ,

2

I

=

[0, 4],

3. tan(5x) = 1, I = [0, ],

4. cos(2x) = cos2 x, I = [0, 2],

5. 2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0, I = [0, 2],

6. cos(nx) = 0 (n N),

7. | cos(nx)| = 1,

8. sin(nx) = 0,

9. | sin(nx)| = 1,

1

10. sin x = tan x, I = [0, 2], 11. sin(2x) + sin x = 0, I = [0, 2], 12. 12 cos2 x - 8 sin2 x = 2, I = [-, ].

Correction

[005065]

Exercice 4 **IT

R?soudre dans I les in?quations suivantes :

1. cos x

1 2

,

I

=

[-, ],

2. sin x

- 1 ,

2

I

=

R,

3.

cos

x

>

cos

x 2

,

I = [0, 2],

4. cos2 x cos(2x), I = [-, ],

5. cos2 x

1 2

,

I

=

[0, 2],

6.

cos

x 3

sin

x 3

,

I

=

[0, 2].

Correction

[005066]

Exercice 5 *I

Calculer

cos

8

et

sin

8

.

Correction

[005067]

Exercice 6 *I

Calculer

cos

12

et

sin

12

.

Correction

[005068]

Exercice 7 *** Montrer que cos (?a1 ? a2 ? ... ? an) = 2n cos a1 cos a2... cos an (la somme comporte 2n termes).

Correction

[005069]

Exercice 8 ***I

1. Calculer nk=1 cos

a 2k

pour a ?l?ment donn? de ]0, [ (penser ? sin(2x) = 2 sin x cos x).

2.

D?terminer limn+ nk=1 ln

cos(

a 2k

)

.

Correction

[005070]

Exercice 9 ** R?soudre dans R l'?quation 24cos2 x+1 + 16.24sin2 x-3 = 20.

Correction

[005071]

Exercice 10 ***

Soit a un r?el distinct de 1 et - 1 .

3

3

1. Calculer tan(3 ) en fonction de tan .

2. R?soudre dans R l'?quation :

3x - x3 3a - a3 1 - 3x2 = 1 - 3a2 . On trouvera deux m?thodes, l'une alg?brique et l'autre utilisant la formule de trigonom?trie ?tablie en 1).

2

Correction

[005072]

Exercice 11 **** On veut calculer S = tan 9 - tan 27 - tan 63 + tan 81.

1. Calculer tan(5x) en fonction de tan x. 2. En d?duire un polyn?me de degr? 4 dont les racines sont tan 9, - tan 27, - tan 63 et tan 81 puis la

valeur de S.

Correction

[005073]

Exercice 12 *** Combien l'?quation

tan x + tan(2x) + tan(3x) + tan(4x) = 0,

poss?de-t-elle de solutions dans [0, ] ?

Correction

[005074]

Exercice 13 **I

On

veut

calculer

cos

2 5

et

sin

2 5

.

Pour

cela,

on

pose

a

=

2 cos

2 5

,

b

=

2 cos

4 5

et

z

=

e2i /5 .

1. V?rifier que a = z + z4 et b = z2 + z3.

2. V?rifier que 1 + z + z2 + z3 + z4 = 0.

3.

En

d?duire

un

polyn?me

de

degr?

2

dont

les

racines

sont

a

et

b

puis

les

valeurs

exactes

de

cos

2 5

et

sin

2 5

.

Correction

[005075]

Exercice 14 **I Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes :

1. x cos2 x, 2. x cos4 x, 3. x sin4 x, 4. x cos2 x sin2 x, 5. x sin6 x, 6. x cos x sin6 x, 7. x cos5 x sin2 x, 8. x cos3 x.

Correction

[005076]

Exercice 15 **

Calculer I =

/3 /6

cos4

x

sin6

x

dx

et

J

=

/3 /6

cos4

x

sin7

x

d

x.

Correction

[005077]

Exercice 16 **

D?montrer les identit?s suivantes, en pr?cisant ? chaque fois leur domaine de validit? :

1.

1-cos x sin x

=

tan

x 2

,

2.

sin

x

-

2 3

+ sin x + sin

x

+

2 3

= 0,

3. tan

4

+x

+ tan

4

-

x

=

2 cos(2x)

,

3

4.

1 tan x

- tan x

=

2 tan(2x)

.

Correction

Exercice 17 *** Soit k un r?el distinct de -1 et de 1.

1.

Etudier les variations de

fk

:

x

sin x 1-2k cos

x+k2

.

2.

Calculer

0

fk(x)

dx.

Correction

Exercice 18 ***I Calculer les sommes suivantes :

1. nk=0 cos(kx) et nk=0 sin(kx), (x R et n N donn?s).

2.

n

k=0

cos2(kx)

et

n

k=0

sin2

(kx),

(x

R

et

n

N

donn?s).

3.

n

k=0

n k

cos(kx)

et

n

k=0

n k

sin(kx), (x R et n N donn?s).

Correction

Exercice 19 *** R?soudre le syst?me

Correction

cos a + cos b + cos c = 0 sin a + sin b + sin c = 0

o? a, b et c sont trois r?els.

Exercice 20 **

Montrer

que

cos4

8

+ cos4

3 8

+ cos4

5 8

+ cos4

7 8

=

3 2

.

Correction

Exercice 21 ***

1. R?soudre dans R l'?quation cos(3x) = sin(2x).

2. En d?duire les valeurs de sin x et cos x pour x ?l?ment de

10

,

5

,

3 10

.

Correction

[005078] [005079]

[005080] [005081] [005082] [005083]

4

Correction de l'exercice 1

1. sin x = 0 x Z. De plus, S[0,2] = {0, , 2}.

2.

sin x = 1 x

2

+

2 Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

2

.

3.

sin

x

=

-1

x

-

2

+

2 Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

3 2

.

4. cos x = 1 x 2Z. De plus, S[0,2] = {0, 2}.

5. cos x = -1 x + 2Z. De plus, S[0,2] = {}.

6.

cos x = 0 x

2

+ Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

2

,

3 2

.

7. tan x = 0 x Z. De plus, S[0,2] = {0, , 2}.

8.

tan x = 1 x

4

+ Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

4

,

5 4

.

Correction de l'exercice 2

1.

sin x =

1 2

x

6

+

2 Z

5 6

+ 2Z

. De plus, S[0,2] =

6

,

5 6

.

2. sin x = - 1 x

2

-

4

+

2 Z

-

3 4

+ 2Z

. De plus, S[0,2] =

-

4

,

-

3 4

.

3.

tan

x

=

-1

x

-

4

+

Z.

De

plus,

S[0, ]

=

3 4

.

4.

tan x =

1 3

x

6

+ Z.

De

plus,

S[0, ]

=

6

.

5. cos x =

3 2

x

-

6

+

Z

6

+Z

. De plus, S[0,2] =

6

,

11 6

.

6. cos x = - 1 x

2

-

3 4

+Z

3 4

+Z

. De plus, S[0,2] =

3 4

,

5 4

.

Correction de l'exercice 3

1.

sin(2x)

=

1 2

2x

6

+

2 Z

5 6

+ 2Z

x

12

+

Z

5 12

+

Z

. De plus, S[0,2] =

12

,

5 12

,

13 12

,

17 12

.

2.

sin

x 2

= - 1

2

x 2

5 4

+

2 Z

7 4

+

2 Z

x

5 2

+ 4Z)

(

7 2

+

4 Z

.

De

plus,

S[0,4 ]

=

5 2

,

7 2

.

3.

tan(5x) = 1 5x

4

+

Z

x

20

+

5

Z.

De

plus,

S[0, ]

=

20

,

4

,

9 20

,

13 20

,

17 20

.

4.

cos(2x)

=

cos2

x

cos(2x)

=

1 2

(1

+

cos(2x))

cos(2x)

=

1

2x

2 Z

x

Z.

De

plus,

S[0,2 ]

=

{0, , 2}.

5.

2 cos2

x - 3 cos

x+1

=

0

(2 cos x

-

1)(cos x

- 1)

=

0

cos x

=

1 2

ou

cos x

=

1

x

-

3

+

2 Z

3

+

2 Z

2Z. De plus, S[0,2] =

0,

3

,

5 3

,

2

.

6.

cos(nx) = 0 nx

2

+

Z

x

2n

+

n

Z.

7.

| cos(nx)| = 1 nx Z x

n

Z.

8.

sin(nx) = 0 nx Z x

n

Z.

9.

| sin(nx)| = 1 nx

2

+Z x

2n

+

n

Z.

10.

sin x

=

tan x

sin x

-

sin x cos x

=

0

sin

x

cos x-1 cos x

= 0 sin x = 0 ou

cos x = 1 x Z. De plus, S[0,2] =

{0, , 2}.

11.

sin(2x) + sin x = 0 sin(2x) = sin(x + ) (k Z/ 2x = x + + 2k) ou (k Z/ 2x = -x + 2k)

(k

Z/

x

=

+

2k

)

ou

(k

Z/

x

=

2k 3

)

De

plus,

S[0,2 ]

=

{0,

2 3

,

,

4 3

,

2 }.

5

12.

12 cos2 x - 8 sin2 x = 2 6 cos2 x - 4(1 - cos2 x) = 1 cos2 x = 1 cos x = 1 ou cos = - 1

2

2

2

x

-

4

+

Z

4

+

Z

x

4

+

2

Z.

Correction de l'exercice 4

1. Pour x [-, ], cos x

1 2

x

-

,

-

3

3

,

.

2. Pour x R, sin x

- 1 x

2 kZ

- + 2k, 5 + 2k

4

4

.

3. Pour x [0, 2],

cos x > cos x 2 cos2 x - cos x - 1 > 0 (2 cos x + 1)(cos x - 1) > 0 2 cos x + 1 < 0 et cos x = 1

2

2

2

2

2

2

2

cos

x 2

<

-1 2

et

x 2

/

2 Z

x 2

kZ

2 3

+

2k ,

4 3

+

2k

et x / 4Z

x

kZ

4 3

+

4k ,

8 3

+

4k

et

x

/

4 Z

x

]

4 3

,

2 ]

4. Pour x [-, ], cos2 x 5. Pour x [0, 2], cos2 x 6. Pour x [0, 2],

cos(2x)

1 2

(1

+

cos(2x))

cos(2x) cos(2x)

1 2

- 1

2

cos x

1 x

2

4

,

3 4

5 4

,

7 4

.

1 x [-, ].

x cos

3

sin x 1

sin x - 1

x cos

0 sin x -

3 23 2 3

34

0 k Z/ 2k

k

Z/

3 4

+

6k

x

3 + 3 + 6k 3

4

4

x

2

x- 34

+ 2k

Correction de l'exercice 5

cos2

8

=

1 2

1

+

cos(2

?

8

)

=

1 2

1+

2 2

=

2+ 4

2,

et

puisque

cos

8

>

0,

cos

8

=

1 2

2+

2.

De

m?me,

puisque

sin

8

>

0,

sin

8

=

1 2

1

-

cos(2

?

8

)

et

sin

8

=

1 2

2-

2.

Correction de l'exercice 6

De m?me,

cos = cos 12

sin = sin 12

- 34 - 34

= cos cos + sin sin =

6+

2 .

34

34

4

= sin cos - sin sin = 6 - 2 .

34

34

4

6

cos

12

=

6+ 4

2

et

sin

12

=

6- 4

2.

Correction de l'exercice 7

Pour n naturel non nul, on pose Sn = ei(?a1?...?an). ? S1 = eia1 + e-ia1 = 2 cos a1 ? Soit n Sn = 2n cos a1... cos an alors

1. Supposons que

Sn+1 = ei(?a1?...?an+1) = eian+1 ei(?a1?...?an) + e-ian+1 ei(?a1?...?an)

= 2 cos(an+1)Sn = 2n+1 cos a1... cos an+1. On a montr? par r?currence que : n 1, Sn = 2n cos a1... cos an. Ensuite, pour n 1, cos(?a1 ? ... ? an) = Re(Sn) = 2n cos a1... cos an (et on obtient aussi sin(?a1 ? ... ? an) = Im(Sn) = 0).

n N, cos(?a1 ? ... ? an) = 2n cos a1... cos an.

Correction de l'exercice 8

1.

Soit n N. Puisque a est dans ]0, [ alors, pour tout entier naturel non nul k,

a 2k

est dans ]0, [ et donc

sin

a 2k

=

0.

De

plus,

puisque

sin

a 2k-1

= sin

2

?

a 2k

= 2 sin

a 2k

cos

a 2k

, on a :

n

cos

k=1

a 2k

=

n k=1

sin

a 2k-1

2 sin

a 2k

=

1 2n

sin(a) sin

a 2

sin

a 2

. . . sin

. . . sin

a 2n-1

a 2n-1

sin

a 2n

sin a

=

2n

sin

a 2n

.

a ]0, [, n N, nk=1 cos

a 2k

=

sin a

2n

sin

a 2n

.

2. k N, cos

a 2k

>0

car

a 2k

est

dans

]0,

2

[.

Puis

n

a

n

a

sin a

ln

k=1

cos( 2k )

= ln

k=1 cos( 2k )

= ln

2n

sin

a 2n

= ln

sin a a

- ln

sin

a 2n

a

2n

.

Maintenant,

limn+

sin

a 2n

a

2n

=

limx0

sin x x

= 1 et donc,

n

a

lim ln

n+ k=1

cos( 2k )

= lim

n+

ln(

sin a

a

)

-

ln(

sin

a 2n

a

2n

)

= ln

sin a a

.

a ]0, [, limn+ nk=1 ln

cos(

a 2k

)

= ln

sin a a

.

Correction de l'exercice 9 Soit x R.

24cos2 x+1 + 16.24sin2 x-3 = 20 24cos2 x+1 + 16.21-4cos2 x = 20 24cos2 x - 10 + 16 ? 2-4cos2 x = 0

24cos2 x - 10 +

16 24 cos2 x

=

0

(24cos2 x)2 - 10 ? 24cos2 x + 16

=

0

24cos2 x = 2 ou 24cos2 x = 8 4 cos2 x = 1 ou 4 cos2 x = 3

cos x = 1 ou cos x = - 1 ou cos x = 3 ou cos x = - 3

2

2

2

2

x

6

+

2

Z

3

+

2

Z

.

7

Correction de l'exercice 10 1. Tout d'abord, d'apr?s la formule de MOIVRE,

cos(3 ) + i sin(3 ) = (cos + i sin )3 = (cos3 - 3 cos sin2 ) + i(3 cos2 sin - sin3 ), et par identification des parties r?elles et imaginaires,

R, cos(3 ) = cos3 - 3 cos sin2 et sin(3 ) = 3 cos2 sin - sin3 .

Ensuite,

tan(3 )

et

tan

existent

3

/

2

+Z

et

/

2

+Z

3

/

2

+Z

/

6

+

3

Z.

Soit

donc

/

6

+

3

Z.

tan(3 ) =

sin(3 ) cos(3 )

=

3 cos2 sin - sin3 cos3 - 3 cos sin2

=

3

tan - tan3 1 - 3 tan2

,

apr?s division du num?rateur et du d?nominateur par le r?el non nul cos3 .

R \

6

+

3

Z

,

tan(3 )

=

3

tan 1-3

-tan3 tan2

.

2. Soit a = ? 1 . 1?re m?thode. a est bien s?r racine de l'?quation propos?e, ce qui permet d'?crire :

3

3x - x3 1 - 3x2

=

3a - a3 1 - 3a2

(3x - x3)(1 - 3a2)

=

(1 - 3x2)(3a - a3)

(car

?

1 3

ne

sont

pas

solution

de

l'?quation)

(x - a)((3a2 - 1)x2 + 8ax - a2 + 3) = 0.

Le discriminant r?duit du trin?me (3a2 - 1)x2 + 8ax - a2 + 3 vaut :

= 16a2 - (3a2 - 1)(-a2 + 3) = 3a4 + 6a2 + 3 = ( 3(a2 + 1))2 > 0.

L'?quation propos?e a donc trois racines r?elles :

S=

a,

4a- 3(a2+1) 1-3a2

,

4a+ 3(a2+1) 1-3a2

.

2?me m?thode. Il existe un unique r?el

-

2

,

2

\

-

6

,

6

tel que a = tan . De m?me, si x est

un

r?el

distinct

de

? 1 ,

3

il

existe

un

unique

r?el

-

2

,

2

\

-

6

,

6

tel que x = tan (? savoir

=

arctan a

et

=

arctan x).

Comme

? 1

3

ne

sont

pas

solution

de

l'?quation

propos?e,

on

a

:

3x - x3 1 - 3x2

=

3a - a3 1 - 3a2

3 tan - tan3 1 - 3 tan2

=

3 tan - tan3 1 - 3 tan2

tan(3 ) = tan(3)

3

3

+

Z

+

3

Z.

Ceci refournit les solutions x = tan = a, puis

x = tan

+

3

=

tan

+

tan

3

1

-

tan

tan

3

=

a + 3

(a + =

1 - 3a

3)(1 + 1 - 3a2

3a) 4a + 3(a2 + 1)

=

1 - 3a2

,

et x = tan

-

3

=

4a- 3(a2+1) 1-3a2

.

8

 ................
................

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