DIFERENSIAL - UNY

[Pages:17]DIFERENSIAL (Derivatif)

A. Simbol Deferensial

Jika ada Persamaan y = 3x , maka simbol dari

Turunan pertama

y 1

atau

atau

ditulis

(3)

Turunan kedua y 11 atau ()

atau

2 2

B. Rumus Dasar Deferensial

Jika y = xn maka dy nxn1 dx

Contoh : y = 10 x 2 maka harga = 20 x

C. Kaidah-kaidah Deferensial

1. Diferensiasi Penjumlahan/Pengurangan fungsi

y = U + V dimana U = g(x), V = h(x),

maka

dy du dv dx dx dx

contoh : y = 8x5 + 4x3 ,

maka dy 40x4 12x2 dx

2. Diferensiasi Perkalian Fungsi

y = U . V dimana U = g(x), V = h(x),

maka dy U. dv V du dx dx dx

contoh : y = ( 6x2 ) ( 5x3 ) dy (6x2)(15x2) (5x3)(12x) = 90x4 + 60x4 = 150x4 dx

3. Diferensiasi Pembagian Fungsi y = U ;U g(x);V h(x) maka harga V

1

dy dx

V . du U . dv

dx

dx

V2

contoh :

y

=

5x5 3x2

dy dx

3x2 (25x4 ) 5x5(6x) (3x2 )2

75x6 30x6 9x4

= 45 x2 5x2 9

4. Diferensiasi Fungsi Berpangkat y = Un ; u = g(x), n = konstanta

dy nU n1 du

dx

dx

contoh :

y

=

(

x2

+

3x

)2

du dx

2x

3

dy 2(x2 3x)(2x 3) 2(2x3 6x2 3x2 9x) dx

= 4x3 + 18x2 + 18x

5. Diferensiasi Fungsi Logaritmik

y = a log x , maka

dy 1 atau a log e

dx x ln a

x

contoh : y = 5 log 7

maka

harga

=

1 7 ln 5

= 5log

7

6. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik

y = a log u ; u = g(x) maka dy a log e . du dx u dx

2

y = log (x 5) U (x 5)

(x 7)

(x 7)

du dx

(x

7)(1) (x (x 7)2

5)(1)

(x

2 7)2

dy dx

(

x

log e 5) /(x

7)

.

(

x

2 7)2

2log e (x 5)(x 7)

7. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Berpangkat y = ( a logU )n;U g(x) dimana n = konstanta, maka harga

dy n(a logU )n1. a log e . du

dx

U dx

contoh :

y = ( log 6x2 )3 U = 6x2 ; jadi du 12x dx

dy dx

3(log

x2

)2

.

log e 6x2

(12

x)

=

36x(log 6x2)2 log e 6x2

6(log 6x2)log e x

8. Diferensiasi Fungsi Komposit Logaritmik Napier

Log. Napier

logaritma yang bilangan pokoknya e

Harga bilangan e = 2,71828

Bilangan e log a ditulis dengan ln = a

Jadi harga ln 10 bisa ditulis e log 10 Turunan logaritma napier :

y = ln u;

u = g(x)

dy 1 . du dx u dx 3

contoh : y = ln ( 5x2 + 7 ) U = 5x2 + 7 harga du 10x dx

dy dx

1 (5x2

.10x 7)

10x (5x2

7)

9. Diferensiasi Fungsi Komposit logaritmik Napier Berpangkat Y = ( lnU )n ; U = g(x) ; n = konstanta

dy n(lnU )n1. 1 . du

dx

U dx

contoh :

y = ( ln 3x2 )4 U = 3x2 du 2x dx

dy V.U v1 du U v lnU du

dx

dx

dx

contoh

y = 7x x5 U 7x du 7 dx

V = x5 du 5x4 dx

dy x5.7xx5 1.7 7xx5 ln 7x.5x4 dx

= 49x x5 4 +35x x5 4 ln .7x

= 35x x5 4 ( 9/7 + ln 7x )

10. Deferensial Fungsi Eksponensial

Jika y = a x dimana a = konstanta, maka harga

=

ln

Contoh y = 6 x

maka harga

=

6 ln 6

11. Deferensial Fungsi Komposit Eksponensial 4

Jika y = a u dimana u = g(x) maka harga

=

ln

Contoh : y = 5(2- 4) maka harga = 5(2- 4) ln 5 2x

12. Deferensial Fungsi kompleks Jika y = u v dimana u = g (x) dan v = h (x)

Maka harga

=

-1

+ ln

13. Diferensiasi Fungsi Balikan

Jika y = f(x)dan x = g(y) adalah fungsi-fungsi yang berbalikan, maka

dy 1 dx dx / dy

contoh : x = 10y + 3y4

maka

dx dy

10 12 y3

sehingga

dy dx

10

1 12

y

3

D. Deferensial Baku Fungsi Trigonometri

1. y = sin x maka dy/dx = cos x

2. y = cos x 3. y = lg x 4. y = cotg x

dy/dx = -sin x dy/dx = sec2x dy/dx = -cosec2 x

5. y = sec x 6. y = cosec x

dy/dx = sec x tg x dy/dx = -cosec x ctg x

7. y = sinh x

dy/dx = cosh x

5

8. y = cosh x

dy/dx = sinh x

Bila U = f(x) dapat diturunkan, maka

d sinU cosU du no.2 s/d 8 identik

dx

dx

contoh 1.

Hitunglah dy dari y = cos3 5x dx

Penyelesaian : dy 3(cos2 5x) d cos 5x rumus no.2

dx

dx

contoh 2.

= 3(cos25x)(-sin5x) d5x dx

= -15 sin 5x cos2 5x

Hitunglah dy dari y = ctg 2x cosec 2x dx

Penyelesaian : ingat y = U.V maka dy U dv V du dx dx dx

dy ctg 2x d cos ec2x dx cos ec2x dctg 2x

dx

dx

= ctg 2x ( - cosec 2x.ctg 2x ) 2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2

= ctg2 2x ( - cosec 2x ).2 + cosec 2x ( - cosec2 2x )2 = -2 cosec 2x ( ctg2 2x + cosec2 2x ) Karena ctg2 cos ec2 1, maka :

= -2 cosec 2x [( cosec2 2x ? 1 ) + cosec2 2x] = -2 cosec 2x ( 2 cosec2 2x ? 1 ) = 2 cosec 2x ? 4 cosec3 2x

6

INGAT ! sin2 + cos2 1 1 + ctg2 cos ec2 1 + tg2 sec2

E. Deferensial Fungsi Implisit y = x2 ? 4x + 2 fungsi eksplisit dari x x2 ? 4x ? y = 2 fungsi implisit dari x

contoh :

jka x2 + y2 ? 2x ? 6y + 5 = 0, tentukan dy di titik x = 3, y = 2 dx

Penyelsaian : x2 + y2 ? 2x ? 6y + 5 = 0

2x + 2y dy 2 6 dy 0

dx

dx

( 2y ? 6 ) dy 2 2x dx

dy 2 2x 1 x dx 2y 6 y 3

di ( 3, 2 ) dy 1 3 2 2 dx 2 3 1

F. Diferensiasi Logaritmik Lebih Dari Dua Faktor

Jika y = U.V U = f(x) W

V = g(x) ; W = h(x)

Maka untuk mencari turunan pertamanya adalah dengan logaritma

dengan bilangan dasar e

e log y e log U.V W

ingat Sifat bil logaritma

Persamaan tersebut dirubah menjadi

ln a.b = ln a + ln b ln a/b = ln a ? ln b

atau lg a.b = log a + log b log a/b = log a-log b

7

ln y = ln U + ln V ? ln W 1 . dy 1 . du 1 dv 1 . dw

y dx U dx V dx W dx

dy y 1 . du 1 . dv 1 . dw dx U dx V dx W dx

jadi jika

y = U .V maka W

dy U.V 1 . du 1 . dv 1 . dw dx W U dx V dx W dx

Catatan : Gunakanlah selalu cara diferensial logaritmik bila ada lebih dari dua fungsi dalam suatu perkalian atau pembagian maupun duaduanya.

Contoh:

Carilah harga dy dari persamaan y = x2.sin x

dx

cos 2x

Penyelesaian : ln y = ln (x2) + ln ( sin x ) ? ln ( cos 2x )

1/y dy/dx =

1 x2

.2x

1 sin

x

.cos

x

1 cos 2x

(2sin

2x)

ingat : cos x ctgx ; sin x tgx

sin x

cos x

jadi

1 y

. dy dx

2x x2

cos x sin x

2sin 2x cos 2x

1 . dy 2 ctgx 2tg 2x y dx x

dy x2 sin x (2 / x ctgx 2tg 2x) dx cos 2x

8

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download