Tarea 11 Ejercicios resueltos - CIMAT

Tarea 11 Ejercicios resueltos

1. Dibujar la gr?afica de una funcio?n que cumpla las siguientes condiciones:

a) l?imx3+ f (x) = 4, l?imx3- f (x) = 2, l?imx-2 f (x) = 2, f (3) = 3, f (-2) = 1.

b) l?imx0- f (x) = 1, l?imx0+ f (x) = -1, l?imx2- f (x) = 0, l?imx2+ f (x) = 1, f (2) = 1, f (0) no esta? definida.

2. Dar una condicio?n necesaria y suficiente sobre A y B para que la

funcio?n:

Ax - B

f (x) = 3x

si x 1 si 1 < x < 2

Bx2 - A si 2 x

sea continua en x = 1 pero discontinua en x = 2.

Soluci?on.

Para que f sea continua es necesario que l?imx1 f (x) = f (1), es decir que

l?im f (x) = l?im (Ax - B) = A - B

x1-

x1-

y

l?im f (x) = l?im 3x = 3

x1+

x1+

sean iguales, esto sucede cuando A - B = 3.

Si pedimos discontinuidad en x = 2 debe suceder que l?imx2- f (x) = l?imx2- 3x = 6 sea distinto de l?imx2+ f (x) = l?imx2+ Bx2 - A =

4B - A, es decir 4B - A = 6.

1

3. Encuentre todos los valores de a para los que f es continua en R:

x + 1 si x a

f (x) =

x2

si x > a

Soluci?on.

f sera? continua so?lo si l?imxa-(x + 1) = l?imxa+ x2, es decir si a +

1 = a2. Resolviendo esta ecuacio?n obtenemos dos posibles soluciones:

a1

=

1+ 2

5

y

a2

=

1- 2

5.

4. Encontrar los siguientes l?imites.

(i)

l?imx

2x+3 5x+7

.

(ii)

l?imx-

. 2x2+3

5x2+7

(iii)

l?imx-

. x2-4x+8 3x2

(iv)

l?imx

1 x2-7x+1

.

(v)

l?imx-

x2-7x x+1

.

(vi)

l?imx

. x4+x3x

12x3+128

(vii)

l?imx

sen x [x]

.

(viii)

l?im

cos -1

.

(ix)

l?imx

x+sen x+2 x+sen x

x.

(x)

l?imx

. x2/3+x-1

x2/3+cos2(x)

Soluci?on.

(i)

l?imx

2x+3 5x+7

=

l?imx

2+

3 x

5+

7 x

=

2+0 5+0

=

2 5

.

(ii)

l?imx-

2x2+3 5x2+7

=

l?imx

2+

3 x2

5+

7 x2

=

2+0 5+0

=

2 5

.

(iii)

l?imx-

x2-4x+8 3x2

= l?imx-

1 3

-

4 3x2

+

8 3x3

=

1 3

.

1

(iv)

l?imx

1 x2-7x+1

=

l?imx

x2

1-

7 x

+

1 x2

=

0 1-0+0

= 0.

(v)

l?imx-

x2-7x x+1

= l?imx-

x-7

1+

1 x

= -.

(vi)

l?imx

x4+x3x 12x3+128

=

l?imx

x+1

12+

128 x3

= .

(vii)

l?imx

sen x [x]

l?imx

1 [x]

=

0

ya

que

[x]

cuando

x

.

Entonces

l?imx

sen x [x]

=

0.

2

(viii)

l?im

cos -1

l?im

|-2|

= 0 Entonces

l?im

cos -1

= 0.

(ix)

l?imx

x+sen x+2 x+sen x

x

= l?im 1+

sen x

x

+

2 x

x

1+

sen x

x

=

1+0+0 1+0

= 1.

(x)

l?im x2/3+x-1 x x2/3+cos2(x)

= l?im x+x-5/3

x

1+

cos2 (x) x2/3

=

1+0 1+0

= 1.

5. Aplicar la continuidad para evaluar el l?imite en los siguientes ejercicios.

(i)

l?imx4

5+ x 5+x

=

5+ 4 5+4

=

7 3

.

(ii) l?imx sen(x + sen x) = sen( + sen ) = sen( + 0) = sen = 0. (iii) l?imx1 e(x2-x) = e(12-1) = e0 = 1.

(iv) l?imx1 arctan

x2-1 3x2-6x

= arctan

12-1 3(1)2-6(1)

= arctan

0 3

= 0.

6. Si f (x) = x2 + 10 sen x, demuestre que existe un nu?mero c tal que f (c) = 1000. Demostraci?on. f es una funcio?n continua en R, tomemos x1 = 0 y x2 = 100. Notemos que f (x1) = 10 < 1000 y f (x2) = 10000 + 10 sen(10000) > 1000. Entonces, por el Teorema del Valor Medio existe c (0, 100) tal que f (c) = 1000.

7. En los siguientes ejercicios: a) Comprobar que la ecuaci?on tiene al menos una ra?iz real. b) Usar la calculadora para encontrar un intervalo de longitud 0.01 que contenga una ra?iz. (i) cos x = x3. (ii) ln x = 3 - 2x.

Soluci?on.

3

(i) Definamos f (x) = x3 - cos x, la cual es una funcio?n continua en R. Notemos que f (0) = -1 < 0 y f (/2) = 2 > 0, entonces por el Teorema del Valor Medio existe c (0, /2) tal que f (c) = 0, es decir tal que cos c = c3

(ii) Ahora definamos g(x) = ln x-3+2x, ?esta es una funci?on continua en R+. Notemos que g(1) = -1 < 0 y g(e) = -2 + 2e > 0; as?i, por el Teorema del Valor Medio existe c (1, e) tal que g(c) = 0, es decir tal que ln c = 3 - 2c.

8. ?Existe un nu?mero que sea exactamente 1 ma?s que su cubo? Soluci?on. Queremos ver si existe x tal que x+1 = x3. Definamos f (x) = x3 -x- 1, esta funci?on es continua. Adema?s f (1) = -1 < 0 y f (2) = 5 > 0, entonces por el Teorema del Valor Medio, existe x (1, 2) tal que f (c) = 0, es decir c + 1 = c3.

4

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download