23 EJERCICIOS de DERIVADAS

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Derivada de una funci?n en un punto [f'(a)]:

F?rmulas: f (a) = lim f(a + h) - f(a) (1)

h 0

h

f (a) = lim f(x) - f(a) x a x - a

(2)

1. Para cada una de las funciones que figuran a continuaci?n, hallar el valor de su derivada en el punto indicado, utilizando la f?rmula que se se?ala:

a) f(x)=x2 en x=2 mediante (1) b) f(x)=2x2-1 en x=-3 mediante (1) c) f(x)=2x-5 en x=1 mediante (2) d) f(x)=x3 en x=2 mediante (1)

e) f(x) = x en x=4 mediante (2) f) f(x)=1/x en x=-1 mediante (1) g) f(x)=x2+x+1 en x=0 mediante (2)

(Soluc: a) 4; b) -12; c) 2; d) 12; e) 1/4; f) -1; g) 1)

2. Volver a hacer el ejercicio anterior por la f?rmula alternativa en cada caso, y comprobar que se obtiene id?ntico resultado.

3. Hallar la derivada de f(x)=x2-x en x=1. Dibujar la funci?n y trazar la recta tangente en dicho punto. Hallar el ?ngulo que dicha tangente forma con OX+ e interpretar el resultado.

Funci?n derivada f'(x):

F?rmula: f (x) = lim f(x + h) - f(x) (3)

h 0

h

4. Hallar la derivada de las funciones del ejercicio 1 y sustituir el punto indicado en cada caso, para comprobar que se obtiene el mismo resultado.

5. Hallar la derivada de cada una de las siguientes funciones, y a partir de ella obtener f `(2), f `(-1) y f `(0):

a) f(x)=3x-2

b) f(x)=x2-5x+6

c) f(x)=x3+1

d) f(x) = x 2 + 1

e) f(x) = 1 x +1

6. Hallar la derivada de f(x)=x2-3x en x=1 mediante la definici?n de derivada (es decir, mediante un l?mite). (Sol: -1)

Reglas de derivaci?n. Tabla de derivadas: 7. Utilizando la derivada de la funci?n potencial, y=xn y'=n?xn-1 (nR) , hallar la derivada, simplificada,

de las siguientes funciones:

Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilizaci?n did?ctica as? como su reproducci?n impresa o digital siempre y cuando se respete la menci?n de su autor?a, y sea sin ?nimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es)

Matem?ticas I DERIVADAS

ALFONSO GONZ?LEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEM?TICAS

a) y=x2

f) y = x2 4

k) y = 1 x

b) y=x3 g) y = x l) y = x2 x

c) y=3x4

h) y = x3

m) y =

x x2

d) y=-2x5 i) y = 3 x 2 n) y=-2x6

e) y = 3 x 4 2

j) y = 2 4 x 3

o) y = x 8 4

p) y = 2 x

q) y = 3 5 x3

r) y = x

x

(Soluc: a) y'=2x; b) y'=3x2; c) y'=12x3; d) y'=-10x4; e) y'=6x3;

f) y'=x/2;

g) y' = 1 ; 2x

h) y' = 3 2

x ; i) y' = 2 ; 33x

j) y' = 3 ;

24x

k) y' = -1 ; 2x x

l) y' = 5 x 3 ; 2

m) y' = -3 x ;

2x 3

n) y'=-12x5;

o) y '=2x7;

p) y' = 1 ; x

) q) y' = 9 ; 5 5 x2

r) y' = - x 2x 2

8. Utilizando la f?rmula de la derivada de la suma de funciones, hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones:

a) y=x2+x+1

b) y=2x3-3x2+5x-3

c) y = x 2 - x + 1 35

( ) Soluc: a) y'=2x+1; b) y'=6x2-6x+5; c) y' = 2 x - 1 ; d) y' = 1 - 3 + 1

35

3 3 x2 4 4 x

x

d) y = 3 x - 4 x 3 + 2 x

9. Utilizando en cada caso la f?rmula m?s apropiada de la tabla de derivadas, hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones compuestas:

a) y =

1 x2

b)

y=

x2

1 + 2x

-3

f) y = (x 2 + x + 1) 3 g) y = 3 2x 3 - 3

k)

y=

(x 2

2 + 1)3

c) y = x 2 + 1 h) y = 1

x2 + 4

d) y = (x 2 - 3) 2 i) y = 3(x 2 + 1) 10

e)

y

=

2 x3

j) y = 2(3x 2 - 1) 4

(Sol: a) y' = -2 ; x3

b)

y'

=

- (x 2

2x + 2 + 2x - 3)2

;

c) y' =

x ; d) y'=4x3-12x; e) y' = -6 ; f) y'=3(2x+1)(x2+x+1)2;

x2 +1

x4

g) y' =

2x2

; h) y' =

-x

) ; i) y'=60x(x2+1)9; j) y'=48x(3x2-1)3; k) y' = -12x

3 (2x 3 - 3)2

(x2 + 4)3

(x 2 + 1)4

10. ?dem:

a) y = x x3

b) y = (2x - 3)(x 2 - 5)

f)

y=

x

x

1 +

1

2

(Soluc: a) y' = 5 x 3 ; b) y'=6x2-6x-10; 2

) f) y' = -3x + 1 2(x + 1)3 x

c) y = x 2 3 x c) y' = 7 3 x4 ;

3

d) y = (2x - 3) 4 x 3

e) y = (2x + 1)(x 2 - 3) 2

d) y' = 14x - 9 ; e) y '=10x4+4x3-36x2-12x+18;

4 4x

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11. Utilizando la f?rmula para el cociente de funciones, hallar la derivada simplificada de las siguientes funciones:

a) y = x 2 - 5 x+2

b)

y=

x x2

c)

y

=

x+2 x2 -5

d)

y=

3x (2x 2 + 1)2

e) y = x 2 x +1

( ) Sol:

a) y'

=

x2 + 4x + 5 (x + 2)2

;

b) y' = - 3 2x 2

x

;

c)

y'

=

-

x2 + (x 2

4x + - 5)2

5

;

d) y' = 3 - 18x2 ;

(2x 2 + 1)3

e) y' = 3x 2 + 4x 2(x + 1) x + 1

12. Derivar las siguientes funciones, utilizando en cada caso el procedimiento m?s apropiado, y simplificar:

a) y

=

x2 + 1 x2

( ) f) y = 3x2 + 5 5

(Sol:

a)

y

'

=

-x

2

3

;

b)

b) y = 2x2 - 3x +1 x

c) y = x + 1 1- x

d) y = x2 x

g)

y

=

x2

2x + x +1

y' =

2x2 1 x 2- ;

c)

y' =

1 2x 2 ;

d)

y' =

3x 2;

e)

y' = 6x3 2x -;

(- )

e) y = 3x4 - 2x2 + 5 2

( ) y ' = 3 0 x 3 x 2 + 5 4

f)

) ( ) g)

y' =

2x2 + 2 -x 2 + x + 1 2

13. Hallar la f?rmula para la derivada de y = u e y = u ?v , siendo u, v y w funciones.

v?w

w

Ecuaci?n de la recta tangente:

14. Hallar la ecuaci?n de la recta tangente a las curvas en los puntos que se indican:

a) f(x)=3x2+8 en x=1 b) y=2x5+4 en x=-1

(Sol: 6x-y+5=0) c) f(x)=x4-1 en x=0

(Sol: 10x-y+12=0)

d)

f(x) =

x3 -2 x2 -3

en x=2

(Sol: y=-1) (Sol: y=-12x+30)

15. ?En qu? punto de la gr?fica de la par?bola f(x)=x2-6x+8 la tangente es paralela al eje de abscisas? ?Qu?

nombre recibe ese punto? ?Cu?l es la ecuaci?n de la tangente? Dibujar la situaci?n.

(Soluc: y=-1; v?rtice (3,-1))

16. ?En qu? punto de la gr?fica de la funci?n anterior la tangente es paralela a la bisectriz del primer

cuadrante? Dibujar la situaci?n. (Soluc: (7/2,-3/4))

17. (S) Determinar los puntos de la curva y=x3+9x2-9x+15 en los cuales la tangente es paralela a la recta

y=12x+5 (Soluc: (1,16) y (-7,176))

Intervalos de crecimiento. M y m. Representaci?n de funciones:

18. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los M y m de las siguientes funciones. Representarlas gr?ficamente.

a) f(x) = x2

b) f(x) = x 4 - 2x2

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c) y = x3 - 3x2 + 1 d) f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 8 e) f(x) = x3 - 4x2 + 7x - 6 f) f(x) = x3 g) f(x) = x4 +8x3 +18x2 -10 h) y = x3 -3x2 -9x +1

i) f(x) = x4 - 4x3 +1 j) y = x3 - x2 - 6x + 3

32 k) y=2x3-9x2 l) f(x)=x3-6x2+9x m) y=x3-12x

(Soluc: a) (0,) (-,0); b) (-1,0)U(1,) (-,-1)U(0,1); c) (-,0)U(2,) (0,2); d) (-,1)U(3,) ) e) xR; f) xR; g) (-,0) (0,); h) (-,-1)U(3,) (-1,3); i) (-,3) (3,)

(1,3);

19. Dada f(x)=2x3-3x2 se pide: i) Dom (f) ii) Posible Simetr?a. iii) Posibles cortes con los ejes. iv) Intervalos de crecimiento a partir de f ' (x), y posibles M y m que se deducen. v) Ecuaci?n de las as?ntotas, en caso de existir. vi) Con la informaci?n anterior, representarla gr?ficamente.

20. ?dem para: a) f(x)=x3-3x

f)

f(x)=

x

x2 2 +1

k)

y

=

x2

x -x

+1

b) y = x + 2 x -1

g) y=-x3+12x

l)

y

=

4x

(x - 1)2

c) y=x4-2x2

h)

f(x) =

9 x2 -9

m) y = -x2 + 4x + 5

d)

y=

2x x2 +1

i)

f(x)

=

16 - 8x x2

e) f(x)=x3-3x2

j)

y

=

x2

x +x

+1

21. Hallar los m?ximos y m?nimos de las siguientes funciones , y a partir de ellos los intervalos de monoton?a y su representaci?n gr?fica:

a) y= x2 x+2

b) f(x)= 1 x 2+1

c) f(x)= 1 x 4+3

1 d) y=

x3 + x

(Soluc: a) M(-4,-8) m(0,0); b) M(0,1); c) M(0,1/3); d) no tiene; e) m(0,0))

e) f(x)=|x|

22. Hallar los M y m y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci?n

f(x) = 3 x2 + 2x + 3

(Soluc: m(-1, 3 2 ); (-,-1) (-1,))

23. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funci?n f(x) = 4x + 5 2x - 3

(Soluci?n: decreciente x Dom(f))

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