CPV m a GV

CPV GV O Cursinho que Mais Aprova na

FGV ? Economia ? 2a Fase ? 18/dezembro/2011

matem?tica 01. Considere a sequ?ncia (4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, ...). O 3o termo da sequ?ncia ? igual ao algarismo da unidade da soma dos dois

termos imediatamente anteriores a ele, e essa mesma l?gica de forma??o se preserva para os demais termos ap?s o 3o.

a) Determine a soma dos 100 primeiros termos da sequ?ncia. b) Sendo n a quantidade de termos da sequ?ncia at? o n-?simo termo, e Sn a soma desses n termos, determine o menor valor

de n para o qual Sn > 10.000. Resolu??o:

a) Pela lei de forma??o, obtemos a seguinte sequ?ncia: 4, 7, 1, 8, 9, 7, 6, 3, 9, 2, 1, 3, 4, 7, 1... (a sequ?ncia obtida repete-se de 12 em 12 termos)

Assim, os 100 primeiros termos s?o formados por 8 repeti??es de 12 termos, mais 4 termos seguintes. Portanto, a soma deles ser?:

8 . (4 + 7 + 1 + 8 + 9 + 7 + 6 + 3 + 9 + 2 + 1 + 3) + (4 + 7 + 1 + 8) = 8 . 60 + 20 = 500

A soma dos 100 primeiros termos da sequ?ncia vale 500.

b) Pelo item a, obtemos que a soma dos 12 termos ? 60. Para a soma dos n termos ser maior que 10.000, precisamos de 166 repeti??es de 12 termos: 166 . 60 = 9.960, mais 7 termos seguintes: 4 + 7 + 1 + 8 + 9 + 7 + 6 = 42.

Portanto, o n?mero de termos ser?: n = 166 . 12 + 7 = 1.999

Para Sn > 10.000, n deve ser igual a 1.999.

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1

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o Cursinho que Mais Aprova na GV

02. Um losango ABCD de lado 12 cm e medida do ?ngulo B?D igual a ? rotacionado por um eixo sobre AB, gerando um s?lido de revolu??o denotado por S.

a) Calcule o volume de S, em cm3, quando = 30?. p

b) Considere 2 < < . Seccionando S por um plano que cont?m ED e ? perpendicular a AB, dividimos S em dois s?lidos, S1 e S2.

Sendo R a raz?o entre o maior volume dentre os dois s?lidos e o menor, determine R em fun??o de cos .

Resolu??o:

a) Para = 30?:

A

b)

Para

p 2

< < p, o plano que cont?m ED e ? perpendicular

a AB n?o secciona o s?lido S em duas partes, como podemos

observar na figura abaixo.

30?

E B

30? 12 6 12

F 6

E

D

Aa C

B Portanto, n?o existe uma raz?o R entre os volumes citados.

Como o ADE = BCF, podemos calcular o volume

como sendo o volume do cilindro formado pela rota??o do quadril?tero EDCF, assim:

V = p . (6)2 . 12 = 432p cm3

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CPV 3 o Cursinho que Mais Aprova na GV FGV ? 18/12/2011

03. No livro Teoria Microecon?mica, de Mario Henrique Simonsen, discute-se um caso em que existe uma certa quantidade fixa N de m?o de obra (trabalhadores) para fabricar dois produtos, A e B, cujas quantidades produzidas s?o x e y, respectivamente. Admite-se no problema que a fun??o de produ??o de x e y seja dada por x = N1 e y = 2 N2 , sendo N1 e N2 a quantidade de m?o de obra destinada ? fabrica??o de A e B, de forma que N1 + N2 + N. Considerando, no problema, que x, y, N1, N2 e N podem ser quaisquer n?meros reais n?o negativos, responda o que se pede a seguir.

a) Fa?a um esbo?o do gr?fico do lugar geom?trico dos pares (x; y) que atendem ?s restri??es do problema para o caso em que N = 81.

b) Assuma que N = 80,8 e que x e y est?o submetidos ? restri??o y = x ? 2. Determine o maior valor poss?vel de N1.

Resolu??o:

a) Para N = 81 e x, y, N1, N2 ? 0, temos:

N1 + N2 81 x = N1 y = 2 N2

?

N1 + N2

N1 = x2

N2

=

y2 4

81 ?

b) Para N = 80,8 e y = x ? 2, temos:

N1 + N2

y = x -2

N2

=

y2 4

x = N1

80, 8

?

N1 + N2 80,8

N2

=

(x

- 4

2)

?

x = N1

? x2 +

y2 4

?

81

?

x2 (9)2

+

y2

(18)2

1

?

N1 N2

+ =

N2 N1

80,8

- 4 N1 4

+

4

Portanto, o gr?fico representa uma elipse, mais o seu interior, no 1o quadrante, como abaixo:

? 5N1 ? 4 N1 ? 319,2 ? 0

y 18

Assim, 0 ? N1 ? 70,56 Portanto, o maior valor de N1 ? 70,56.

9

x

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o Cursinho que Mais Aprova na GV

04. Os pontos A(3; 9), B(1; 1), C(5; 3) e D s?o v?rtices de um quadril?tero ABCD, de diagonais AC e BD, no primeiro quadrante do plano cartesiano ortogonal. O pol?gono cujos v?rtices s?o os pontos m?dios de AB, BC, CD e DA ? um quadrado.

a) Denotando por o ?ngulo agudo de lados BA e BC , calcule cos . b) Determine as coordenadas do v?rtice D.

Resolu??o:

a) Chamando de P, Q, R e S os v?rtices do quadrado, a figura sugerida pode ser esbo?ada: y A 9

S

5

P

3

2

T

Q

1

B

C

D

R

1

3

5

x

Note que, como P ? ponto m?dio de AB, xP =

xA + xB 2

= 2

e

yP =

yA + yB 2

= 5.

Analogamente, xQ =

xB + xC 2

= 3

e

yQ =

yB + yC 2

= 2.

No DPBQ, temos:

PB = BQ = PQ =

(1)2 + (4)2 = 17 (2)2 + (1)2 = 5 (1)2 + (3)2 = 10

Aplicando o Teorema dos Cossenos, temos:

2

2

2

10 = 17 + 5 - 2 . 17 . 5 . cos

Portanto, cos =

6 85 85

.

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CPV 5 o Cursinho que Mais Aprova na GV FGV ? 18/12/2011

b) Para encontrarmos um terceiro v?rtice do quadrado PQRS, no primeiro quadrante, faremos a rota??o do DPTQ em torno do ponto Q, em 90?, no sentido hor?rio.

Com isso, obtemos: xR = xQ + 3 = 3 + 3 = 6 e yR = yT + 1 = 3.

Como o ponto R ? o ponto m?dio de CD, temos:

xR =

xC + xD 2

6

=

5

+ xD 2

xD = 7

yR =

yC

+ 2

yD

3=

3 + yD 2

yD = 3

As coordenadas do ponto D s?o (7; 3).

P

3

3

R

1

T1 Q

Coment?rio do CPV A prova da 2a fase de Matem?tica do Vestibular FGV Economia (Dez 2011), mostrou-se, como de costume, uma prova dif?cil e trabalhosa.

As quest?es, de modo geral, cobraram do candidato bastante concentra??o e paci?ncia, exigindo c?lculos detalhados e estrutura??o do racioc?nio para resolu??o.

Quanto aos temas abordados, notamos uma presen?a maior da Geometria (plana, espacial e anal?tica), a qual pode ser questionada quanto ?s necessidades do graduando em Economia.

No segundo item da quest?o 2, notamos uma incoer?ncia no enunciado que tornava a resposta incompat?vel.

Esperamos que mesmo com estes pequenos problemas, a banca alcance os seus objetivos, aprovando os candidatos mais bem preparados.

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