INTEGRAL
INTEGRAL
1. ANTI TURUNAN
Definisi
Contoh :
1. F(x) = cos x anti turunan dari f (x) = (sin x sebab F’(x) = (sin x
1. a(x) = 2x2 anti turunan dari f (x) = 4x sebab a’ (x) = 4x
1. v(x) = [pic] x 3 anti turunan dari g(x) = x2 sebab v’ (x) = x2
Definisi
Definisi
Bentuk [pic]f (x) dx dinamakan integral tak tentu dari fungsi y = f (x)
Lambang “[pic]” dinamakan “ integral ” yaitu merupakan operasi “anti differensial”
Dalil 1
Dalil 2
Contoh :
1. Hitung [pic]
Jawab :
[pic] = [pic] = [pic] + 5x + C
2. Tentukan [pic]
Jawab :
[pic] =[pic]
= [pic]
3. Tentukan [pic]
Jawab :
[pic] = [pic]
= [pic]
= [pic]
4. Tentukan [pic]
Jawab :
[pic] = [pic] = [pic]
= [pic]
5. Tentukan [pic]dx
Jawab :
[pic]dx = [pic]dx = [pic]
= [pic]
= [pic]
6. Gradien garis singgung pada grafik y = (x) di setiap titik (x , y) dinyatakan oleh bentuk dy/dx = 2x ( 5. Bila grafik y = f (x) melalui titik A (1 , 7), tentukan persamaan fungsi y = f (x) !
Jawab :
[pic] = 2x ( 5 ( dy = (2x - 5) dx
( dy = (2x ( 5) dx ( y = [pic] = x2 ( 5x + C
Grafik melalui titik A(1 , 7), jadi 7 = 12 ( 5(1) + C didapat C = 11
Akibatnya persamaan y = f (x) adalah y = f (x) = x2 ( 5x + 11
2. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Misalkan u = u (x) dan y = f (u) masing-masing anti turunan dari u'(x) dan f ' (u), maka :
Bentuk integral di atas, dikenal dengan bentuk integral dengan subtitusi.
Dalil 3
Contoh :
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
= [pic]= [pic]
= [pic]
3. INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u = u(x) dan v = v(x) fungsi-fungsi yang differensiabel pada daerahnya, maka
dinamakan bentuk integral parsial.
Contoh :
1. Tentukan [pic]
Jawab :
Misalkan u = x dan dv = sin x dx, maka didapat du=dx dan v = (cos x
[pic] = ( x cos x ([pic] = …….. dst.
2. Tentukan [pic] dengan rumus integrasi parsial
Jawab :
Misalkan u = x dan dv = [pic] maka du = dx dan v = 2[pic]
[pic]=2x[pic]([pic]……… dst.
4. INTEGRAL TERTENTU
Definisi
Bentuk integral di atas disebut integral tertentu dari y = f(x)
a dan b disebut batas integral dengan a merupakan batas bawah dan b merupakan batas atas.
Dalil 4
Contoh :
1. Hitung [pic]
Jawab :
[pic]= 1/3 x3 – ½ x2 ([pic] = [pic]
2. Hitung [pic]
Jawab : [pic]= ½ .sin (2t (() ([pic] = ½ [sin (2( ( () – sin (0 ( ()]
= ½ [sin ( – sin (( ()] = 0
3. Hitung [pic]
Jawab : [pic] = [pic][pic]([pic] = [pic]
= [pic]
5. LUAS DAERAH
Misalkan y = f(x) berharga positif pada daerah a ( x ( b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah
Bila y = f(x) berharga negatif pada daerah a ( x ( b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dengan semubu x dari x = a ke x = b adalah
Misalkan f(x) ( g (x) pada daerah a ( x ( b maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dan y = g(x) adalah
1. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = (x2 + 2x dengan sumbu x
Jawab : L =[pic]
= [pic]([pic]
= (([pic]. 8 + 4) – 0 = [pic]
2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dengan garis y = x + 8
Jawab :
y = x2 ……... (1)
y = x + 6 ……… (2)
Dari (1) dan (2) didapat
x2 = x + 6
x2 – x – 6 = 0
x1 = 3 ; x2 = (2
Luas daerah, L =[pic]
= ([pic]+ 18 – 9) ( (2 – 12 + [pic]) = 4 ½ + 51/3 = 21 [pic]
6. ISI BENDA PUTAR
Misalkan y = f(x) terdefinisi dan integrabel pada daerah a ( x ( b, bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dan sumbu x dari x = a ke x = b diputar mengelilingi sumbu x, maka isi benda putar yang terjadi adalah :
Contoh :
1. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dari x = 0 ke x =1 diputar mengeliling sumbu x
Jawab :
Isi benda putar yang terjadi
I = ([pic]
2. Tentukan isi benda putar bila daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 dan garis y = x + 2 diputar mengeliling sumbu x
Jawab :
Batas integral
[pic]( x2 = x + 2
x2 – x – 2 = 0 didapat x1 = (1 dan x2 = 2. Isi benda putar yang terjadi :
I= ([pic]
= [pic]=[pic]
LATIHAN SOAL
1. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
5. [pic]
6. [pic]
7. Hitung luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh parabola f(x) = 4x ( x2, garis x=1 dan sumbu X.
8. Tunjukkan bahwa [pic]
-----------------------
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I. Fungsi F yang memenuhi F’ (x) = f (x) pada I dinamakan anti turunan atau fungsi primitif dari fungsi f pada I.
Anti diferensial dari fungsi f pada selang terbuka I adalah bentuk yang paling umum dari anti turunan atau fungsi primitif dari f pada selang tersebut. Jika F'(x) = f(x) pada selang terbuka I, maka anti diferensial dari fungsi f pada I adalah y = F(x) + C, C konstanta.
Misalkan y = F(x) + C adalah anti turunan dari y = f (x) maka : [pic]= F(x) + C
1. [pic]dx = ax + C 5. [pic] dx = ln x + C
2. [pic]dx = [pic]+ C ; n ( (1 6. [pic]dx = [pic] + C
3. [pic] dx = ( cos x + C 7. [pic] dx = tg x + C
4. [pic]dx = sin x + C 8. [pic]dx = ( ctg x + C
1. [pic]dx = [pic]f (x) dx ( [pic]g (x) dx
2. [pic]dx = k. [pic]f (x) dx ; k suatu konstanta.
[pic]
1. [pic] 5. [pic]
2. [pic]
3. [pic]
4. [pic]
[pic]
Misalkan y = F(x) anti turunan dari y = f(x) dan masing-masing terdefinisi pada daerah :
a ( x ( b, maka [pic]= F(x) ([pic] = F(b) – F(a)
1. Bila f(a) terdefinisi, maka[pic]
2. [pic]
3. [pic]
[pic]
L = [pic]
[pic]
L = ([pic]
[pic]
L = [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
I = ([pic]
[pic]
[pic]
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.