15EIT0011I



TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DE JOCOTITLÁN

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

MANUAL DE PRÁCTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

Número de Prácticas propuestas por la asignatura: 7

Número de prácticas propuestas: 4

ELABORÓ: Mtro. Isaias Vázquez Juárez

VIGENCIA: Ene. 2020 a Ene. 2021

|Revisado y Avalado por la Academia de Ing. En Sistemas Computacionales |

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|Nombre y firma del Presidente de Academia |Nombre y firma del Secretario de Academia |

|Dr. Leopoldo Gil Antonio |Mtra. TBD |

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|VoBo |

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|Nombre y firma del Jefe de División |

|Ing. Héctor Hernández García |

Jocotitlán, Edo. De Mèx. A 1 de febrero del 2020.

|NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Integrales definidas. |

| |

|Práctica No. 1 |

|Fecha de realización: 1 de febrero del 2020 |

|Asignatura: Cálculo integral |

|Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales |

|Unidad de Aprendizaje: Unidad1: Teorema fundamental del cálculo |

|Número de práctica: 1 |

|Objetivo: Resolver integrales definidas, por el método directo. |

|Lugar: Aula |Tiempo asignado: 2 h |

|Equipo |Materiales |Reactivos |

|calculadora |Lápiz, hojas blancas tamaño carta. |7 |

|Observaciones: |

1. Introducción:

La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.

El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.

2. Marco Teórico:

Integral definida

Dada una función f(x) y un intervalo [a, b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

[pic]

Tomado de: Integral Definida, con URL:

La integral definida se representa por:

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

[pic]

Tomado de: Integral Definida, con URL:

3. Indicaciones: Resolver las siguientes integrales definidas

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

d) [pic]

e) [pic]

f) [pic]

g) [pic]

4. Procedimiento: Resolver las integrales definidas anteriores aplicando el teorema fundamental del cálculo, y las propiedades de la parte dos de la práctica.

5. Disposición de residuos: No aplica.

6. Resultados:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

7. Análisis de Resultados:

8. Cuestionario:

a) Explica el concepto de integral definida

b) Escribe el teorema fundamental del cálculo

c) Escribe los tres elementos de una integral

d) Cuál es la interpretación geométrica de la integral definida?

9. Conclusiones:

|NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Integral indefinida y métodos de integración |

| |

|Práctica No. 2 |

|Fecha de realización: 1 de febrero del 2020 |

|Asignatura: Cálculo integral |

|Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales |

|Unidad de Aprendizaje: Unidad2: Integral indefinida y métodos de integración |

|Número de práctica: 2 |

|Objetivo: |

|Resolver integrales indefinidas aplicando los métodos de integración directo, por partes, cambio de variable y descomposición en fracciones |

|simples. |

|Lugar: Aula |Tiempo asignado: 2 h |

|Equipo |Materiales |Reactivos |

|Calculadora |Lápiz, hojas blancas tamaño carta. |4 |

|Observaciones: |

1. Introducción:

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

Integral indefinida

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Se representa por ∫ f(x) dx.

Se lee : integral de f de x diferencial de x.

∫ es el signo de integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

2. Marco Teórico:

[pic]

Tomado de: Cálculo Diferencial e Integral, con URL: . P. 138.

[pic]

Tomado de: Cálculo Diferencial e Integral, con URL: . P. 147.

[pic]

Tomado de: Cálculo Diferencial e Integral, con URL: . P. 150.

[pic]

Tomado de: Cálculo Diferencial e Integral, con URL: . P. 150.

[pic]

Tomado de: Cálculo Diferencial e Integral, con URL: . P. 151.

3. Indicaciones: Resolver las siguientes integrales indefinidas aplicando el método de integración más apropiado.

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

d) [pic]

e) [pic]

f) [pic]

g) [pic]

h) [pic]

i) [pic]

j) [pic]

k) [pic]

4. Procedimiento: Resolver la integrales indefinidas anteriores aplicando los métodos de integración indicados en la parte dos de la práctica.

5. Disposición de residuos: No aplica.

6. Resultados:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

7. Análisis de Resultados: No aplica.

8. Cuestionario:

a) Al resolver una integral indefinida se agrega una constante, explicar porque.

b) Escribir la fórmula para integrar por partes.

c) Escribir los cambios de variable al integrar por el método de sustitución.

d) Describir los casos que se nos pueden presentar para integrar por descomposición en fracciones simples.

9. Conclusiones:

|NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Aplicaciones de la integral |

| |

|Práctica No. 3 |

|Fecha de realización: 1 de febrero del 2020 |

|Asignatura: Cálculo integral |

|Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales |

|Unidad de Aprendizaje: Unidad3: Aplicaciones de la integral |

|Número de práctica: 3 |

|Objetivo: |

|Calcular áreas bajo curvas, longitud de curvas, volúmenes de sólidos de revolución, centroides de áreas. Aplicando diversos métodos de |

|integración. |

|Lugar: Aula |Tiempo asignado: 2 h |

|Equipo |Materiales |Reactivos |

|Calculadora |Lápiz, hojas blancas tamaño carta. |3 |

|Observaciones: |

1. Introducción:

2. Marco Teórico:

Cálculo de área bajo una curva.

[pic]

[pic]

Cálculo de longitud de una curva.

[pic]

Volumen de sólidos de revolución

[pic]

Tomado de: Cálculo Diferencial e Integral, con URL: . P. 184.

Centroides de áreas

[pic]

Tomado de: Cálculo Diferencial e Integral, con URL: . P. 183.

3. Indicaciones: Obtener lo que se pide en cada caso:

1. Hallar el área limitada por la curva y = x3, el eje x y las ordenadas en los puntos x = 1 y x = 3.

2. Calcular la longitud de arco de la curva [pic]desde x =0 hasta x = 5

3. Hallar el volumen generado en la rotación de área plana dad alrededor del eje indicado

Y=x3. x =0 , x = 5 . Eje x.

4. Procedimiento: Resolver los problemas planteados en la parte 3 de la práctica, aplicando la parte conceptual mostrada en la parte 2

5. Disposición de residuos: No aplica

6. Resultados:

a)

b)

c)

7. Análisis de Resultados: No aplica

8. Cuestionario:

a) Escribir tres ejemplos de la vida real de aplicaciones de la integral definida.

9. Conclusiones:

|NOMBRE DE LA PRÁCTICA: Series |

| |

|Práctica No. 4 |

|Fecha de realización: 1 de febrero del 2020 |

|Asignatura: Cálculo integral |

|Carrera: Ing. En Sistemas Computacionales |

|Unidad de Aprendizaje: Unidad 4: Series |

|Número de práctica: 4 |

|Objetivo: |

|• Determinar la convergencia de una serie infinita. |

|• Usar el teorema de Taylor para |

|representar una función en |

|serie de potencias y aplicar esta |

|representación para calcular la |

|integral de la función. |

|Lugar: Aula |Tiempo asignado: 2 h |

|Equipo |Materiales |Reactivos |

|Calculadora |Lápiz, hojas blancas tamaño carta. |2 |

|Observaciones: |

1. Introducción:

[pic]

2. Marco Teórico:

[pic]

[pic]

[pic]

3. Indicaciones.

3.1 En cada caso. Escribir los cinco primeros términos de an, determinar si la sucesión converge o diverge y si converge, determinar lim an.

N ꚙ

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

2. Determinar la serie de Taylor en x-a hasta el término (x-a)3

a) F(x) = ex, a=1

b) F(x) = cos x, a = π/3

c) F(x) = 2 – x + 3x2- x3, a = 2

4. Procedimiento: Obtener los planteamientos mostrados en el punto 3, aplicando la parte conceptual de la parte 2.

5. Disposición de residuos: No aplica.

6. Resultados:

3.1

a)

b)

c)

3.2

a)

b)

c)

7. Análisis de Resultados: N/A

8. Cuestionario:

a) Explicar cuando una serie es convergente o divergente.

b) Escribir la serie de Taylor

c) Escribir tres fórmulas para calcular el límite de una sucesión.

d) Mencionar un ejemplo de aplicación de la serie de Taylor

9. Conclusiones:

[pic]

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