XTEC



INTEGRACI?Un dels ingredients fonamentals del càlcul de Leibniz són les regles per a la manipulació dels símbols "∫" i "d" de la integral i la diferencial. Això reflecteix les seves idees filosòfiques de buscar un llenguatge simbòlic i operacional per representar els conceptes i idees del pensament de tal manera que els raonaments i arguments es puguin escriure per símbols i fórmules.CALCUL DE PRIMITIVESF és una primitiva de f si F’(x)=f(x)Immediatament podem afegir que:Si F és una primitiva de f, també ho és F(x)+C on C és una constant qualsevol.Això és degut a que la derivada d’una constant és 0.Si F és una primitiva de f, totes les primitives de f són del tipus F(x)+C, on C és una constant qualsevol.Exercicis:1) Troba tres primitives de f(x)=x2+x2) Troba les primitives de f(x)=x/2 que passen per: (0,-2), (0,0) i (0,2)3) Troba la primitiva de la funció f(x)= x2 que passa per l’origen.4)Troba la primitiva de f(x)=1-x-x2 que talla l’eix OX en el punt 3.El símbol fxdx designa qualsevol primitiva de f(x)Per tant, escriurem fxdx =F(x) + C quan sigui F’(x)=f(x)TAULA DE PRIMITIVES IMMEDIATESLINEALITAT DE LA INTEGRACI?fx+gxdx=fxdx+gxdxAixò es pot llegir així: Per obtenir una primitiva de f+g se suma una primitiva de f amb una altra de g.kfxdx=kfxdxExercicis:Troba aquestes integrals:x2+x-13x2dx 5x2-6x+43xdx 5sinx-2cosx3dx x+23x2xdxcosx-sinxdxTroba aquestes integrals:(sin32x)cos2xdx x2+2xx+1dx x2x3+5dx dx1-4x e-5x-1dx cosx-53dx 4cosx3sinxdx114-3xdx x1-x2dx x2sinx3-1dxINTEGRACI? PER PARTSAquest mètode d’integració prové també de l’aplicació d’una regla de derivació: la derivada d’un producte de funcions.Sabem que[f(x)·g(x)]’ = f’(x)·g(x)+f(x)·g’(x)Integrem aquests dos membres. Com que la integració és l’operació inversa de la derivació, s’obté per al primer membre:fx·gx'dx=fx·gxPer tant:f(x)·g(x)=f'x·gxdx+fx·g'xdxSi sabem calcular una de les integrals ja hem trobat l’altra.La regla d’integració per parts s’enuncia així:f'x·gxdx=fx·gx- fx·g'xdxPer aplicar-la és necessari:-Adonar-se que la funció que s’integra és de la forma f’(x)·g(x)-Ser capa?os de trobar una primitiva de g’(x)-Integrar la funció f(x)·g’(x)Exercicis:xcosxdx xexdx lnxdx xlnxdx xsinxdx xe2xdxINTEGRACI? PER CANVI DE VARIABLEDe vegades volem calcular una integral: fxdx però sabem calcular fut·u'tdt per a una determinada funció u(x)Un cop s’ha trobat la integral: fut·u'tdt només cl a?llar t a x=u(t) i fer la substitució t=u-1(x) per arribar al resultat que busquem.Per arribar a bon port cal que la funció x=u(t) tingui inversa.Exemple:Suposem que volem trobar la integral 1x+xdxFem el canvi: x=t2, aleshores dx=2tdt i per tant la integral es transforma:1t2+t22tdt = 2tt2+tdt= 2t+1dt=2lnt+1Desfent aquest canvi: t=x obtenim:1x+xdx = 2ln(x +1)Per què hem fet aquest canvi x=t2? Perquè x=t2=t De fet es bastant lògic pensar aquest canvi.Exercicis:Calcula les següents integrals:xx-1dx canvi: t=x-11-exe2xdx canvi: t=exe2xex-1dx canvi t=ex-1Calcula les següents integrals:(x-1)20xdx canvi: x-1=txx-1dx canvi: x-1=t1+ex1-exdx canvi: ex = t11-xdx canvi: 1-x=t1x1-xdx canvi: 1-x=tEL PROBLEMA DE L’?REA. LA DEFINICI? D’INTEGRALQuè sabem sobre àrees?Sabem trobar l’àrea de figures planes com ara:Polígons: Figures relacionades amb la circumferència: Però no sabem anar més enllà, Així som incapa?os de trobar l’àrea que hi ha continguda dins una el·lipse o la que és limitada per la paràbola de la figura i una de les seves corbes. De moment calcularem l’àrea limitada pel gràfic d’una funció y=f(x) , l’eix OX , i les verticals per dos punts qualsevol: x=a, x=b.Estudi d’un problema. L’àrea del segment parabòlic:El procediment d’aproximacions successives que seguirem queda plasmat en la seqüència de gràfics que veurem tot seguit.Potser pot sorprendre que no es trianguli la zona, com es fa amb els polígons. La raó per la qual dividim el segment parabòlic en rectangles és simplement per la comoditat de càlcul i per l’èxit final de l’operació.Observeu amb deteniment els gràfics:Les aproximacions buscades donen àrees per excés. Si observes la seqüència de figures te’n adonaràs que, a mesura que creix el nombre de parts en què dividim l’interval [0,1], les aproximacions són cada vegada millors: cada vegada ens passem menys i , per tant, cada vegada ens aproximem més al valor vertader de l’àrea.Geomètricament, la cosa és clara: si ombregem l’error comès a cada una de les aproximacions, observarem que l’error total va disminuint. Arribarà un moment en què, pràcticament, és imperceptible.Deixem volar la imaginació i atrevim-nos un moment a pensar què passaria si dividíssim l’interval [0,1] en infinites parts. Si fóssim capa?os de trobar la suma dels infinits rectangles és segur que obtindríem el valor vertader de l’àrea sense cap error.El procediment seria:limn→∞Sn= 1n3(12+22+32+....+n2) ( aquest límit és relativament senzill)Però en altres casos la cosa es complica.APROXIMACI? DE L’?REA SOTA UNA CORBA Si coneixem l’equació d’una corba y=f(x) com calcularem l’àrea entre la corba, l’eix X i dues abscisses, x=a i x=b?Una idea consisteix en aproximar l’àrea mitjan?ant rectangles amb base a l’eix X i altura el mínim valor que pren la funció en aquest tram.Si l’interval [a,b] s’ha partit en n trossos no necessàriament iguals,a=x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn=bi anomenem mi al valor més petit que pren la funció en el tram [xi-1 , xi] l’àrea que obtenim és ( blava):m1(x1-x0) + m2(x2-x1) + m3(x3-x2) +...+mn(xn-xn-1)=i=1nmi(xi-xi-1)Aquesta àrea és evidentment més petita ( o com a molt igual) que l’àrea que estem buscant.També podríem haver aproximat per excés, prenent com altura de cada rectangle el valor més gran Mi que pren la funció a l’interval corresponent.M1(x1-x0) + M2(x2-x1) + M3(x3-x2) +...+Mn(xn-xn-1)=i=1nMi(xi-xi-1)Com aproximar-nos més al valor de l’àrea que busquem? Evidentment, si prenem uns rectangles més fins, és a dir, si els punts xi els prenem cada un més a prop del següent, tant l’àrea per defecte com l’àrea per excés s’aproximen més que abans a l’àrea del recinte. I si enlloc de prendre el valor màxim o el mínim de cada interval, prenem un valor entremig, l’aproximació podria ser millor encara.INTEGRAL D’UNA FUNCI?Si f és una funció continua a l’interval [a,b], l’àrea entre la gràfica de f, l’eix X i les abscisses x=a i x=b l’anomenem:abfQue es llegeix dient integral entre a i b de f.Mirem com calcular-la:L’interval [a,b] el partim en trossos mitjan?ant una sèrie de punts:a=x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn=bA aquesta col·lecció de punts l’anomenem partició de [a,b]. A la major de les distàncies entre punts consecutius xi-xi-1, és a dir, al major dels segments en que ha quedat partit [a,b] l’anomenem diàmetre de la partició.A cada partició, P, de [a,b] li associem, com hem fet abans, una àrea per defecte, s, i una àrea per excés, S:s=i=1nmi(xi-xi-1)S=i=1nMi(xi-xi-1)Per a les quals es verifica, evidentment: s ≤ abf ≤ SSi el diàmetre P és molt petit, la diferència S-s és, també, petita, i en conseqüència, tant s com S són molt pròximes a abf . I també ho serà, amb més raó, qualsevol àrea intermèdia, s* que s’obtingui de la següent manera:s* = f(ci)(xi-xi-1) ci, és un punt qualsevol de (xi-xi-1)Aleshores: s ≤ s* ≤ SD’aquesta manera la abf la podem obtenir amb tanta aproximació com necessitem, prenent una partició suficientment fina ( és a dir amb el diàmetre suficientment petit), escollint un punt c, en cada sub-interval i calculat la suma s*El valor exacte s’obtindria per un mecanisme de pas al límit, fent que el diàmetre de la partició tendeixi a 0.Una altra notació habitual de la integral és: abfxdx Aquest símbol el va fer servir per primera vegada Leibniz, i dona una idea resumidament del procés que segueix:El símbol ∫ recorda una S, que és la primera lletra de la paraula llatina Summa.Els nombre a i b són els extrems de l’interval d’integració.Dx representa una part infinitament petita de l’eix OX, la divisió de cada subdivisió quan n tendeix a infinit. D’aquesta manera f(x)dx representa l’àrea de rectangles infinitament prims: dx seria la base i f(x) l’altura. Quan x es mou des de a fins a b, es van obtenint aquests rectangles i la integral ∫ s’encarrega de sumar-ne les àrees.En conjunt, i d’un punt de vista intu?tiu, la integral es converteix en una suma d’infinits sumands, cadascun dels quals és infinitament petit. Aquesta idea és molt suggestiva, però nosaltres sabem que és un límit.PROPIETATS DE LA INTEGRALTotes les següents propietats són raonables, intu?tives.aaf(x)dx=0Si fx>0 en a,b aleshores abfxdx>0Si fx<0 en a,b aleshores abf(x)dx<0Si a<c<b aleshores:acf(x)dx+cbf(x)dx=abf(x)dx5-abf(x)dx+abg(x)dx=ab(fx+gx)dx6-abkf(x)dx=kabf(x)dx si k és una constantEn general no és compleix:(abf(x)dx)·(abgxdx)=ab(fx·gx)dx ni altres moltes que suposin fer compatible la integració amb altres operacions: quocients, arrels, potències, etc.LA INTEGRAL I LA SEVA RELACI? AMB LA DERIVADALa funció àrea:Donada una funció f, continua en [a,b] podem calcular: acf(x)dx per cada c ? [a,b]Considerem la nova funció:F(x)= axf(x)dx on x ?[a,b]Que és l’àrea continguda sota f entre a i un punt variable x. Es veu intu?tivament que la rapidesa de creixement de F ( és a dir F’) augmenta si augmenta f.De fet es dona la següent relació, senzilla però importantíssima:F’(x)=f(x)?s a dir, la funció sota la qual està l’àrea que estem considerant és igual a la derivada de la funció àrea.En aquesta relació se l’anomena TEOREMA FONAMENTAL DEL C?LCUL. Conseqüència d’aquest teorema és la següent regla:REGLA DE BARROWVolem calcular abfxdx i coneixem una funció F(x) que té per derivada f(x):F’(x)=f(x)Una tal funció s’anomena una primitiva de f(x). Aleshores podem dir que:abfxdx =Fb-F(a)APLICACIONS AL C?LCUL D’?REES?rea entre una corba i l’eix OX Observa el gràfic:Si per calcular l’àrea entre una corba f(x), l’eix X i dues abscisses a i b ens limitem a obtenir el valor de la integral:abf(x)dx Ens exposem a equivocar-nos, ja que si la corba talla a l’eix X, la integral compensa àrees positives i negatives i el seu valor no coincideix amb el que nosaltres volem trobar. El més correcte és calcular per separat la integral de cada tram que queda a un mateix costat de l’eix X. Per a que no us veieu en la necessitat de representar la corba et suggerim que segueixis aquest esquema:Resol l’equació f(x)=0 per saber els punts de tall de la corba amb l’eix XSelecciona les arrels que estiguin entre a i b ( en el dibuix anterior c i d) i ordena-les a < c < d < bCalcula les següents integrals en valor absolut i suma-les, així tindràs l’àrea real que volies calcular:acf(x)dx+cdf(x)dx+dbf(x)dx?rea entre dues corbes:L’àrea compresa entre dues corbes f i g és igual a l’àrea compresa entre la funció diferència f-g i l’eix X.Exercicis:1-2-3-4-Troba les àrees limitades per les funcions donades:y=x2+1 l’eix OX des de x=1 a x=3y=ex l’eix OX des x=0 a x=1y=x2-1 l’eix OX x=0 i x=3y=x2 i y = 2xy=3x2+x+1 l’eix OX x=1 i x=2y=x2+x-2 l’eix OX amb x ?[-2,1]y=(x2+x-2)(x-3) i l’eix OXy=-x2+6x-4 i y=x2+45y=-x2+x i la recta y=-xy=x3+2x2-x+3, y=x3+x+3 , x=2 i x=-2y=x2-4x i y=6x-x2y=x22-2x , y=12x amb x ?[0,6]y=x3+x2, y=x3+3x+4, x=3 i x=6y=x3-5x2+6x i l’eix OXy=4x-x2 i y=xy=x2-2x-8 i l’eix OXy=x2-5 i y=2x+3y=x2-4 i y=-2x2+85-6- ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download