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Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra
Teoria das eleições
MATEMÁTICA
Fundamentos e Ensino da Álgebra
2004/2005
Trabalho realizado por:
Ana Sofia Conceição Castanheira
Catarina Soares Dias
Cláudia Maria Ferreira Sebastião
José Alberto Almeida Serra dos Santos
ÍNDICE
INTODUÇÃO ………………………………………………………………………… 3
Capítulo I – Métodos de Votação …………………………………….... 5
1.1 Condições de Arrow ………………………………………………………….. 5
1.2 Métodos de votação …………………………………………………………… 6
1.2.1 O Método da Pluralidade ……………………………………………..... 12
1.2.2 O Método de Contagem de Borda ………………………………………18
1.2.3 O Método de Copeland ………………………………………………..... 32
1.2.4 O Método da Pluralidade com Eliminação …………………………… 35
1.2.5 O Método da Comparação Par a Par …………………………………. 52
1.2.6 Rankings ………………………………………………………………… 64
CAPÍTULO II – MÉTODOS DE VOTAÇÃO COM PESO ……………………… 77
2.1 Terminologia e Notação ……………………………………………………… 77
2.2 O Índice de Poder de Banzhaf ……………………………………………….. 81
2.2.1 Aplicações do Índice de Poder de Banzhaf ……………………………. 87
2.3 O Índice de Poder de Shapley-Shubik ………………………………………. 91
2.3.1 Aplicações do Índice de Poder de Shapley-Shubik …………………... 96
2.3.2 Eleições Europeias: comparação dos índices de poder apresentados .. 99
CAPÍTULO III – ELEIÇÕES EM PORTUGAL ………………………………… 104
CAPÍTULO IV – TEORIA DAS ELEIÇÕES NA ESCOLA ……………………. 110
CONCLUSÃO ………………………………………………………………………. 122
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ……………………………………………. 124
INTRODUÇÃO
No mundo actual é frequente encontrar, em revistas e jornais, artigos relacionados com vários tipos de eleições: eleições Presidenciais, eleições Legislativas, referendos, eleições em clubes desportivos para a escolha do seu presidente, eleição do vencedor do festival da canção, eleições que decidem o país onde se realizam os jogos Olímpicos ou o mundial de futebol. Numa Universidade, vota-se para a eleição do seu Reitor, para a eleição dos corpos dirigentes das associações académicas; nas escolas, vota-se para eleger o delegado de turma e nas famílias para eleger o destino das próximas férias. Daqui concluímos que na sociedade democrática em que estamos inseridos, somos constantemente solicitados para tomar decisões e é neste facto que reside a pertinência do tema do nosso trabalho.
Podemos dizer que uma eleição é um processo pelo qual as sociedades ou grupos democráticos, tentam resolver os muitos conflitos de opinião entre os seus membros através de uma única escolha do grupo, escolha essa feita através do voto. É a partir do voto que cada elemento de um grupo manifesta a sua posição sobre determinado assunto. Numa democracia, todos os cidadãos têm o direito e o dever de expressarem a sua opinião numa eleição, qualquer que seja a natureza da discussão em causa.
O processo eleitoral divide-se em dois momentos, a votação e a contagem dos votos. Mas votar é a parte mais simples de um processo eleitoral e também a parte com a qual toda a sociedade está mais familiarizada. O cerne do processo democrático encontra-se na contagem dos votos, ou melhor ainda, na maneira como se descobre a voz colectiva de um grupo, a partir dos votos individuais de cada membro desse grupo. É por isso que grande parte das pessoas ficará intrigada com a existência de uma teoria das eleições, pois pensará que basta fazer a eleição, contar os votos e com base nessa contagem decidir o resultado da eleição de uma maneira consistente e justa. De facto, o processo não é complicado quando se trata de escolher uma de entre apenas duas hipóteses. No entanto, a situação é muito diferente se a escolha envolver três ou mais alternativas pois não existe um processo razoável e totalmente justo, para a partir da
votação obtida, retirar o vencedor da eleição. É daqui que surge a necessidade da existência de uma teoria das eleições.
No capítulo um do nosso trabalho abordaremos os diferentes métodos de votação, desenvolvendo alguns aspectos teóricos ilustrados com muitos exemplos. Por sua vez no capítulo dois teremos como objecto de estudo os sistemas de votação ponderada: este assunto será desenvolvido de forma análoga ao capítulo anterior.
Numa sociedade democrática todas as pessoas são iguais. No que respeita a direitos de votação este ideal de igualdade traduz-se pelo princípio uma pessoa - um voto. Será este princípio sempre justo? Será que se deve aplicar quando os eleitores são mais que indivíduos, por exemplo, organizações ou países? Desde já salientamos que cada pessoa ou instituição deve escolher o sistema de voto que acha mais justo e que melhor se aplica à situação. Em qualquer sociedade diversificada e pluralista os eleitores, sejam eles pessoas, organizações ou instituições, não são iguais e é por vezes necessário reconhecer as suas diferenças, atribuindo diferentes pesos a cada um dos seus votos. Este princípio designado como o princípio uma pessoa - x votos é usualmente conhecido por votação ponderada e é precisamente o contrário do princípio uma pessoa - um voto.
O melhor exemplo de um sistema de voto com peso é a controversa eleição do Presidente dos Estados Unidos da América. Temos ainda outros exemplos tais como: os quadros governamentais regionais e locais, os quadros das escolas, no consulado de segurança das Nações Unidas, nas cooperações de accionistas em que os votos são de acordo com o número de acções que cada um possui e muitos mais...
A qualquer arranjo formal no qual os eleitores não estejam em pé de igualdade no que respeita ao número de votos que controlam, dá-se o nome de sistema de votação ponderada. Nestes sistemas, a questão fulcral é a relação entre a quantidade de votos e o poder de cada eleitor.
No capitulo três descreveremos, embora de forma sucinta, a forma como se processam os actos eleitorais em Portugal, com especial relevo para o método usado na conversão dos votos obtidos, no número de assentos parlamentares de dado partido.
Finalmente no capítulo quatro faremos uma exposição acerca da forma como este tema, é hoje abordado no ensino secundário: quais os objectivos e conceitos leccionados, qual o tipo de exercícios e exemplos propostos e a maneira como contextualizam este assunto.
CAPÍTULO I
MÉTODOS DE VOTAÇÃO
1. CONDIÇÕES DE ARROW
Existirá um sistema de votação justo?
Na tentativa de criar um sistema de votação perfeito, durante vários séculos, alguns Matemáticos debruçaram-se sobre este assunto. Foi apenas em 1951 que o matemático e economista americano Kenneth J. Arrow apresentou um conjunto de condições, que cada método de votação deveria de satisfazer, para ser considerado um sistema de votação perfeitamente justo. Estas condições ficaram conhecidas como condições de Arrow, as quais passamos a enunciar:
Não à ditadura: a preferência de um só indivíduo não deve vir a ser uma classificação de grupo, sem que sejam consideradas todas as outras preferências individuais;
Soberania individual: a cada indivíduo é permitido ordenar as escolhas de qualquer maneira e este pode ainda indicar empates;
Unanimidade: se cada indivíduo prefere uma escolha a outra, a classificação de grupo deve ser a mesma;
Liberdade de alternativas irrelevantes: a classificação de grupo entre um par de escolhas não depende das preferências individuais relativamente às restantes;
Classificação única de grupo: o método de produzir a classificação de grupo deve levar a um único resultado, sempre que é aplicado ao mesmo conjunto de preferências. A classificação de grupo também deve ser transitiva.
Arrow investigou muitos dos métodos tradicionalmente usados para determinar uma classificação de grupos, averiguando se eles obedeciam aos cinco critérios. No entanto, começou a suspeitar que tal seria impossível. Aplicou o raciocínio lógico e provou o seguinte facto, o mais famoso da teoria das eleições:
Em suma, a imparcialidade, a justiça total e consistente são impossíveis numa democracia!
2. MÉTODOS DE VOTAÇÃO
No nosso trabalho vamos apresentar vários métodos de votação: como funcionam, quais as suas implicações, quais os princípios básicos de justiça que violam…
Estes métodos têm por base eleições cujos boletins de voto são por ordem de preferência, ou seja, actos eleitorais em que é pedido ao eleitor para ordenar todos os
candidatos pela sua preferência. Embora não seja a forma mais comum, este tipo de votação permite ao eleitor expressar a sua opinião, relativamente ao mérito de todos os candidatos. Uma forma lógica de organizar este tipo de votos, é agrupar os boletins que são idênticos e elaborar uma tabela de preferências, onde de uma forma simples e compacta se resume a quantidade de diferentes votos e a posição de cada candidato.
EXEMPLO 1.1
Realizaram-se, no passado mês de Setembro de 2004, as eleições para eleger o novo secretário-geral do Partido Socialista. Sabemos que se apresentaram como candidatos José Sócrates, Manuel Alegre e João Soares, que votaram 23433 militantes do partido e que o vencedor foi José Sócrates. Suponhamos agora que os boletins de voto eram por ordem de preferência, ou seja, que cada militante tinha três espaços para colocar por ordem da sua preferência, os candidatos. Ora, como se candidataram três pessoas à referida eleição, existem 3! = 6 boletins de voto diferentes:
|[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |
| | | |
|1º opção: José Sócrates |1º opção: João Soares |1º opção: Manuel Alegre |
|2º opção: Manuel Alegre |2º opção: José Sócrates |2º opção: José Sócrates |
|3º opção: João Soares |3º opção: Manuel Alegre |3º opção: João Soares |
|[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |
| | | |
|1º opção: Manuel Alegre |1º opção: José Sócrates |1º opção: João Soares |
|2º opção: João Soares |2º opção: João Soares |2º opção: Manuel Alegre |
|3º opção: José Sócrates |3º opção: Manuel Alegre |3º opção: José Sócrates |
Figura 1.1: Os 6 boletins de voto por ordem de preferência possíveis para a eleição do Secretário-Geral do Partido Socialista
Consideremos agora a seguinte situação hipotética: Na distrital socialista de Coimbra existem 15 militantes. Todos eles participaram no escrutínio em questão, e os resultados obtidos foram os seguintes:
|[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |
| | | |
|1º opção: José Sócrates |1º opção: João Soares |1º opção: Manuel Alegre |
|2º opção: Manuel Alegre |2º opção: José Sócrates |2º opção: José Sócrates |
|3º opção: João Soares |3º opção: Manuel Alegre |3º opção: João Soares |
|[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |
| | | |
|1º opção: José Sócrates |1º opção: José Sócrates |1º opção: José Sócrates |
|2º opção: Manuel Alegre |2º opção: João Soares |2º opção: Manuel Alegre |
|3º opção: João Soares |3º opção: Manuel Alegre |3º opção: João Soares |
|[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |
| | | |
|1º opção: José Sócrates |1º opção: José Sócrates |1º opção: Manuel Alegre |
|2º opção: Manuel Alegre |2º opção: Manuel Alegre |2º opção: José Sócrates |
|3º opção: João Soares |3º opção: João Soares |3º opção: João Soares |
|[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |
| | | |
|1º opção: José Sócrates |1º opção: José Sócrates |1º opção: José Sócrates |
|2º opção: Manuel Alegre |2º opção: João Soares |2º opção: Manuel Alegre |
|3º opção: João Soares |3º opção: Manuel Alegre |3º opção: João Soares |
|[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |
| | | |
|1º opção: José Sócrates |1º opção: José Sócrates |1º opção: José Sócrates |
|2º opção: Manuel Alegre |2º opção: João Soares |2º opção: Manuel Alegre |
|3º opção: João Soares |3º opção: Manuel Alegre |3º opção: João Soares |
Figura 1.2: Boletins de voto por ordem de preferência, obtidos após o acto eleitoral na distrital de Coimbra.
Analisando a Figura 1.2 verificamos que há muitas repetições entre os boletins de voto preenchidos, ou seja, diferentes militantes colocaram os candidatos exactamente da mesma forma. Como já referimos, uma forma lógica de organizar os boletins é agrupar os que são iguais, e isso conduz-nos ao agrupamento feito na figura 1.3. e seguidamente à tabela 1.1.
|[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |
| | |
|1º opção: José Sócrates |1º opção: João Soares |
|2º opção: Manuel Alegre |2º opção: José Sócrates |
|3º opção: João Soares |3º opção: Manuel Alegre |
|[pic] Boletim de Voto |[pic] Boletim de Voto |
| | |
|1º opção: José Sócrates |1º opção: Manuel Alegre |
|2º opção: João Soares |2º opção: José Sócrates |
|3º opção: Manuel Alegre |3º opção: João Soares |
Figura 1.3: Os distintos boletins de voto obtidos.
|Número de votos |9 |3 |2 |1 |
|1ª opção |José Sócrates |José Sócrates |Manuel Alegre |João Soares |
|2ª opção |Manuel Alegre |João Soares |José Sócrates |José Sócrates |
|3ª opção |João Soares |Manuel Alegre |João Soares |Manuel Alegre |
Tabela 1.1
Em alternativa a este formato, existe um outro formato para os boletins de voto por ordem de preferência, no qual o nome dos candidatos aparece no boletim por uma ordem aleatória e o eleitor põe a seguir ao nome de cada candidato a sua preferência (1, 2,...).
|[pic] Boletim de Voto |
| |
|1º opção: ____________ |
|2º opção: ____________ |
|3º opção: ____________ |
Figura 1.4 - Exemplo de um boletim de voto da suposta eleição do Secretário-Geral do PS, no formato habitual .
|[pic] Boletim de Voto |
| |
|João Soares: ___________ |
|Manuel Alegre:_________ |
|José Sócrates: __________ |
Figura 1.5 - Exemplo de um boletim de voto da suposta eleição do Secretário-Geral do PS, no formato alternativo.
Obviamente a lista de preferências terá outro aspecto. Por exemplo, a lista de preferências apresentada na Tabela 1.1 toma o seguinte aspecto:
|Número de votos |9 |3 |2 |1 |
|João Soares |3º |2º |3º |1º |
|Manuel Alegre |2º |3º |1º |3º |
|José Sócrates |1º |1º |2º |2º |
Tabela 1.2
Existem duas particularidades a ter em conta quando trabalhamos com boletins de voto por ordem de preferência:
• A transitividade da preferência individual
Se um eleitor prefere A a B e B a C então segue-se automaticamente que este leitor prefere A a C.
• A eliminação de candidatos
A preferência relativa a um eleitor não é afectada pela eliminação de um ou mais candidatados.
EXEMPLO 1.2
Recorrendo ao exemplo anterior, consideremos novamente o seguinte boletim de voto:
|[pic] Boletim de Voto |
| |
|1º opção: José Sócrates |
|2º opção: Manuel Alegre |
|3º opção: João Soares |
Figura 1.6 – Exemplo de um boletim de voto para a suposta eleição do Secretário-Geral do PS.
Suponhamos que depois dos boletins de voto estarem preenchidos, Manuel Alegre desistiu da competição. Assim, o boletim de voto tomaria a forma abaixo representada:
|[pic] Boletim de Voto |
| |
|1º opção: José Sócrates |
|2º opção: João Soares |
Figura 1.7 – Transformação do boletim de voto da Figura 1.6 após Manuel Alegre desistir da sua candidatura.
Deduzimos assim que a posição relativa dos restantes candidatos não é afectada: José Sócrates permanece na primeira opção e João Soares move-se da terceira para a segunda posição.
1. O MÉTODO DA PLURALIDADE
O método da pluralidade é talvez o método mais comum e simples para encontrar o vencedor de uma eleição. Este método apresenta como vencedor de uma eleição, o candidato (ou candidatos em caso de empate) que obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar. Salientamos que neste método a única informação retirada dos boletins de voto diz respeito à escolha do primeiro lugar. Outro dado relevante é o facto deste método ser uma extensão natural do princípio da regra da maioria: numa eleição entre dois candidatos, o que tiver a maioria (mais do que metade) dos votos vence.
EXEMPLO 1.3
Há alguns anos a televisão portuguesa começou a ser invadida por uma grande quantidade de programas, conhecidos por muitos pela falta de qualidade, mas que são líderes de audiência! Recentemente surgiu mais um destes programas: “A Quinta das Celebridades”.
Neste programa entram dentro de uma quinta doze concorrentes, supostamente conhecidos na sociedade, os quais têm como objectivo permanecer nessa mesma quinta, sem contacto com a realidade exterior, o máximo de tempo. Todas as semanas é expulso um concorrente e o último será o vencedor. Semanalmente quer os concorrentes, quer o “grande público” nomeiam para sair, dois dos residentes da quinta. Posteriormente o “grande público” vota novamente, mas agora para expulsar um dos 4 ou mais ( em caso de empates ) nomeados.
|[pic] | |[pic] | |
|1º opção |República Checa |Holanda |Inglaterra |
|2º opção |Holanda |Suécia |Holanda |
|3º opção |Inglaterra |França |Suécia |
|4º opção |França |Inglaterra |França |
|5º opção |Suécia |República Checa |República Checa |
Tabela 1.4
Se fosse utilizado o método da pluralidade a selecção mais bem comportada seria a República Checa, com 72 votos em primeiro lugar. Mas notemos que a Holanda tem 70 votos em primeiro lugar e 80 em segundo. O senso comum diz-nos que a Holanda é uma melhor escolha para expressar o desejo de todos os elementos do júri. De facto, comparando a Holanda, par a par, com todas as outras selecções, ela é sempre a escolha favorita. Vejamos, comparando a Holanda com a República Checa temos 78 votos para a Holanda (70 da segunda coluna e 8 da terceira) contra 72 votos para a República Checa. Do mesmo modo, comparando a Holanda com a Inglaterra resulta 142 votos para a Holanda (72 da primeira coluna e 70 da segunda) e 8 para a Inglaterra. Finalmente quando a Holanda é comparada com qualquer uma das restantes selecções obtém 150 votos.
Sumariemos agora o problema do Exemplo 1.4. Embora a selecção Holandesa vença na disputa par a par com qualquer outra opção, o método da pluralidade não a escolhe para vencedora. Podemos por isso afirmar que o método da pluralidade transgride um princípio básico de justiça designado por critério de Condorcet.
Outras das limitações da pluralidade é o facto de poderem surgir votos estratégicos que possam alterar os resultados. Uma votação é considerada estratégica quando um eleitor muda a verdadeira ordem das suas preferências no boletim de voto, no sentido de manipular o resultado da eleição contra um dado candidato. No mundo actual o voto estratégico pode ter consequências sérias e inesperadas.
EXEMPLO 1.5
Durante a última legislatura em que António Guterres foi Primeiro-Ministro de Portugal, verificou-se uma situação muito particular na disposição dos deputados na Assembleia da República: 115 deputados pertenciam ao partido do Governo e os outros 115 aos partidos que compunham a oposição.
No decorrer do ano 2000, José Daniel Rosas Campelo da Rocha, na altura deputado do CDS/PP (partido da oposição), pelo círculo de Viana do Castelo, fez uma greve de fome durante duas semanas, nos próprios corredores da Assembleia da República, em protesto contra a decisão do Governo de transferir a fábrica de queijo Limiano para Vale de Cambra.
Em Novembro desse mesmo ano, decorreu a votação para o Orçamento de Estado de 2001. Habitualmente neste género de votações os deputados estão obrigatoriamente sujeitos à disciplina partidária. E se assim acontecesse, como a oposição pretendia votar contra, o Orçamento não passaria. Mas Daniel Campelo, forte defensor dos interesses do seu concelho, acordou com o Governo que se absteria se fossem concedidos alguns benefícios para a sua região (tais como, a construção de várias estradas e vias rápidas, investimentos nos portos e no sector da saúde, apoios à construção de uma nova fábrica de queijo Limiano). Deste modo o Governo teria a maioria e o Orçamento de Estado passaria. Assim foi.
Como Daniel Campelo pertencia ao CDS/PP deduzimos que concordava com os princípios desse mesmo partido, ou seja, seguindo as suas crenças votaria contra o Orçamento de Estado. Isto significa que ele alterou o seu voto para influenciar o resultado da eleição, ou seja, fez uma votação estratégica.
1 O MÉTODO DE CONTAGEM DE
BORDA
O método de contagem de Borda surgiu como alternativa ao método da pluralidade e foi, durante muitos anos, tomado como um método justo e eficaz. Ainda hoje o referido método é muito utilizado nos mais variados actos eleitorais do mundo real, sobretudo quando o número de candidatos é elevado.
Neste método a cada posição da tabela de preferências é atribuída uma pontuação. Por exemplo, dada uma eleição com n candidatos distribuímos os pontos do seguinte modo:
• 1 Ponto ao último lugar;
• 2 Pontos ao penúltimo lugar;
.
.
.
• n Pontos ao primeiro lugar;
Depois somam-se os pontos de todos os candidatos e ordenam-se os mesmos de acordo com o número total de pontos obtidos por cada um. Sai vencedor o candidato que obtiver a pontuação máxima, o que ilustramos com o seguinte exemplo:
EXEMPLO 1.6
Recorramos novamente ao exemplo da Quinta das Celebridades. A tabela que abaixo apresentamos mostra, em cada coluna, os valores da pontuação de cada concorrente nomeado, baseada no processo que atrás apresentámos: uma vez que existem 5 candidatos, o primeiro lugar merece 5 pontos, o segundo merece 4, o terceiro 3, o quarto 2 e finalmente o quinto merece apenas 1 ponto.
|Número de votos |18000 |12000 |
|F |90000+12000+10000+9000+4000+2000 |127000 |
|J |18000+60000+40000+18000+16000+4000 |156000 |
|A |36000+24000+50000+36000+8000+8000 |162000 |
|PC |72000+36000+20000+45000+12000+6000 |191000 |
|P |54000+48000+30000+27000+20000+10000 |189000 |
Tabela 1.6
Concluímos então que, pela aplicação do método da Contagem de Borda, será o Pedro Camilo que abandonará a Quinta das Celebridades na semana em questão.
Salientamos ainda que para além desta forma de atribuição de pontos existem outras duas:
1) Na primeira, sendo n o número total de candidatos são atribuídos:
• 0 Pontos para o último lugar;
• 1 Ponto para o penúltimo lugar;
.
.
.
• n-1 Pontos para o primeiro lugar;
Novamente o vencedor é o candidato que obtiver mais pontos.
2) Na segunda, sendo uma vez mais n o número total de candidatos, são atribuídos:
• n Pontos para o último lugar;
• n-1 Pontos para o penúltimo lugar;
.
.
.
• 1 Ponto para o primeiro lugar;
Neste caso sai vencedor o candidato que obtiver menos pontos.
EXEMPLO 1.7
Vamos agora ilustrar as duas variantes do método de Contagem de Borda, recorrendo ao exemplo anterior:
1) Na primeira variante as tabelas com a pontuação tomam o seguinte aspecto:
|Número de votos |18000 |12000 |
|F |72000 |72000 |
|J |48000+30000+9000+12000+2000 |101000 |
|A |18000+12000+40000+27000+4000+6000 |107000 |
|PC |54000+24000+10000+36000+8000+4000 |136000 |
|P |36000+36000+20000+18000+16000+8000 |134000 |
Tabela 1.8
Observamos então que nesta variante do método de contagem de Borda obtemos a mesma conclusão que no método original: o Pedro Camilo vai ser expulso da quinta, com 136000 pontos.
2) Por sua vez na segunda variante, as tabelas com a pontuação tomam o seguinte aspecto:
|Número de votos |18000 |12000 |
|A |72000+48000+10000+18000+16000+4000 |168000 |
|F |18000+60000+50000+45000+20000+10000 |203000 |
|J |90000+12000+20000+36000+8000+8000 |174000 |
|PC |36000+36000+40000+9000+12000+6000 |139000 |
|P |54000+24000+30000+27000+4000+2000 |141000 |
Tabela 1.10
Como não podia deixar de ser quem terá de abandonar a quinta é o Pedro Camilo, com 139000 pontos.
Dos exemplos anteriores concluímos então que:
Independentemente da variante do método em questão, o vencedor será sempre o mesmo.
O método de contagem de Borda considera, fundamentalmente, toda a informação que provém da ordem de preferências do eleitor, ao contrário do método da pluralidade que apenas valoriza a primeira opção do eleitor. Facilmente se verifica que o método em estudo satisfaz o critério de Pareto, pois se perante dois candidatos X e Y, todos os votantes preferirem X a Y, obviamente X obterá mais pontos e portanto Y nunca poderá ganhar. Satisfaz ainda o critério perdedor de condorcet, pois se houver um candidato Y que perde no confronto par a par com todos os outros candidatos, esse obterá um número reduzido de pontos, logo nunca ganhará a eleição. Além destes, é ainda satisfeito por este método, o critério da monotonia, que passamos a anunciar.
Se numa reeleição apenas for reforçada a opção X, essa opção obterá um número ainda maior de pontos, logo permanece vencedora da eleição.
• Lacunas no método de contagem de Borda
É de referir que este método viola o critério da maioria, uma vez que um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar pode perder a eleição. Uma violação do critério da maioria conduz sempre a uma violação do critério ganhador de Condorcet. Portanto, podemos concluir que o método de contagem de Borda também viola o critério ganhador de Condorcet. Ilustramos estes dois factos no seguinte exemplo:
EXEMPLO 1.8
[pic] [pic] [pic] [pic]
Todos os dias somos confrontados com a “guerra das audiências” entre os quatro canais generalistas da televisão Portuguesa. Desenvolvem-se esforços, investem-se milhares de euros e mobilizam-se todos os meios no sentido de captar a atenção dos espectadores e de rentabilizar cada uma das referidas estações. Suponhamos que os estudantes de Jornalismo da Faculdade de Letras da Universidade de Coimbra decidiram levar a cabo uma pesquisa, no sentido de avaliar as preferências da população universitária, no que respeita a este assunto. Para tal, abordaram 39 alunos e pediram-lhes que ordenassem por ordem de preferências os 4 canais: RTP1, 2:, SIC, TVI. O resultado da votação foi o seguinte:
|Número de votos |20 |15 |4 |
|1º opção |TVI |SIC |RTP1 |
|2º opção |SIC |RTP1 |2 : |
|3º opção |RTP1 |2: |SIC |
|4º opção |2: |TVI |TVI |
Tabela 1.11
Utilizando o método de contagem de Borda, obtiveram a pontuação expressa na tabela seguinte:
|Número de votos |20 |15 |4 |
|1º opção: 4 pontos |TVI: 4x20 |SIC: 4x15 |RTP1: 4x4 |
|2º opção: 3 pontos |SIC: 3x20 |RTP1: 3x15 |2: : 3x4 |
|3º opção : 2 pontos |RTP1 : 2x20 |2: : 2x15 |SIC: 2x4 |
|4º opção: 1 ponto |2: : 1x20 |TVI: 1x15 |TVI: 1x4 |
Tabela 1.12
Simplificando temos,
|Estações de Televisão |Pontuação discriminada |Pontuação Total |
|TVI |80+15+4 |99 |
|RTP1 |40+45+16 |101 |
|SIC |60+60+8 |128 |
|2: |20+30+12 |62 |
Tabela 1.13
Concluíram assim que, pelo método de contagem de Borda, a SIC é o canal preferido dos estudantes de Coimbra. Embora, o critério da maioria diga que a TVI é a estação predilecta. Além disso também pelo critério ganhador de Condorcet deveria ser a TVI a ganhar pois ela vence nas comparações par a par com todos os outros candidatos por 20-19.
• Variantes do método da contagem de Borda
Mais tarde foram propostas as seguintes variantes ao método de contagem de borda:
• A variante proposta por Duncan Black que consistia no seguinte: usa-se primeiro o critério ganhador de Condorcet, ou seja, efectuam-se comparações entre todos os pares. Se um candidato ganhar a todos os outros nestas comparações, será o vencedor. Se nenhum ganhar a todos os outros, usa-se o método de Borda.
Este método transgride um critério chamado Smith que diz o seguinte:
EXEMPLO 1.9
Admitamos que o “24 Horas”, um conceituado jornal português, decidiu eleger o político mais popular da actualidade. Depois de várias entrevistas de rua a cidadãos anónimos, constituíram um grupo de 7 individualidades, do mundo da política, que foi sujeito posteriormente ao veredicto de um júri composto por 3 elementos. Os políticos mais carismáticos para “o povo” são:
- Pedro Santana Lopes (P);
- José Sócatres (J);
- Paulo Portas (PP);
- Jorge Sampaio (JS);
- Carlos Carvalhas (C);
- Francisco Louçã (F);
- Ferro Rodrigues (FR);
Suponhamos que o júri optou por votar os 7 candidatos por ordem de preferência, usando como método de votação a variante de Duncan Black, do método de contagem de Borda. Consideremos ainda as seguintes partições: α = { P, J, PP }, β = { JS, C, F, FR }. Feita a votação, os resultados obtidos foram:
|1 Votante |1 Votante |1 Votante |
|P |J |PP |
|J |PP |P |
|JS |JS |JS |
|C |C |C |
|F |F |F |
|FR |FR |FR |
|PP |P |J |
Tabela 1.14
Efectuando as sucessivas comparações par a par concluímos que cada um dos candidatos de α, ou seja P, J, PP, vence cada um dos candidatos de β, ou seja JS, C, F, FR, por 2-1. Comparando P, J, PP temos que:
P versus J: 2 – 1;
J versus PP: 2 – 1;
PP versus P: 2 – 1;
Concluímos então que não há um candidato de Condorcet, logo vamos aplicar o método de contagem de Borda:
|Número de votos |1 |1 |1 |
|1º opção: 7 pontos |P: 7 |J: 7 |PP: 7 |
|2º opção: 6 pontos |J: 6 |PP: 6 |P: 6 |
|3º opção : 5 pontos |JS: 5 |JS : 5 |JS: 5 |
|4º opção: 4 pontos |C: 4 |C: 4 |C: 4 |
|5ª opção: 3 pontos |F: 3 |F: 3 |F: 3 |
|6ª opção: 2 pontos |FR: 2 |FR: 2 |FR: 2 |
|7ª opção: 1 ponto |PP: 1 |P : 1 |J: 1 |
Tabela 1.15
|Candidatos |Pontuação discriminada |Pontuação Total |
|P |7+1+6 |14 |
|J |6+7+1 |14 |
|PP |1+6+7 |14 |
|JS |5+5+5 |15 |
|C |4+4+4 |12 |
|F |3+3+3 |9 |
|FR |2+2+2 |4 |
´
Tabela 1.16
Pela variante de Ducan Black, Jorge Sampaio é o político mais popular da actualidade. JS é um candidato da partição β e como já vimos todos os candidatos de α vencem na comparação par a par os candidatos de β, logo esta variante transgride o critério de Smith.
• A variante proposta por Nanson consiste num método do tipo eliminatório, que sucessivamente elimina o candidato com menor pontuação de Borda. Vejamos com o seguinte exemplo:
EXEMPLO 1.10
O Futebol é desporto preferido do povo português! É causa de muitas alegrias, também de muitos dissabores, podemos vê-lo ainda como um negócio que move milhões de euros ou até mesmo como uma religião. Enfim é o “desporto rei”! A “1ª Liga” está já em pleno e os adeptos começam já a fazer prognósticos relativamente a quem sairá vencedor deste campeonato. Os 20 funcionários de uma dada empresa decidiram ir a votos ( por ordem de preferência ) para ver quem, segundo as convicções de cada um, será o campeão! Escolheram como método de votação a variante de Nanson do método da contagem de Borda. Os resultados obtidos são os descritos na seguinte tabela de preferências:
|Número de votos |8 |5 |
|SLB |24+10+5+2 |41 |
|SCP |16+5+15+4 |40 |
|FCP |8+15+10+6 |39 |
Tabela 1.19
Eliminamos o Futebol Clube do Porto. Reconstruindo a tabela de preferências temos:
|Número de votos |8 |5 |
|SLB |16+10+5+2 |33 |
|SCP |8+5+10+4 |27 |
Tabela 1.22
Eliminamos o Sporting Clube de Portugal e desta forma, segundo os funcionários da referida empresa, o Sport Lisboa e Benfica será o novo campeão de 1ª Liga Portuguesa.
É fácil de ver, como está evidenciado no exemplo a seguir, que também na variante proposta por Nanson falha o critério da monotonia.
EXEMPLO 1.11
Retomemos o exemplo anterior e suponhamos que, por qualquer motivo, os intervenientes decidiram repetir a votação. Admitamos ainda que os 2 últimos votantes decidiram, nesta nova votação, favorecer o Benfica da seguinte forma:
|Número de votos |8 |5 |
|SLB |24+10+5+4 |43 |
|SCP |16+5+15+2 |38 |
|FCP |8+15+10+6 |39 |
Tabela 1.25
Agora eliminamos o Sporting Clube de Portugal. Reconstruindo a tabela de preferências temos:
|Número de votos |8 |5 |
|SLB |16+5+5+2 |28 |
|FCP |8+10+10+4 |32 |
Tabela 1.28
Eliminamos o Sport Lisboa e Benfica e nesta 2ª votação, segundo os funcionários da referida empresa, o Futebol Clube do Porto será o novo campeão de 1ª Liga Portuguesa. Logo esta variante transgride o Critério da monotonia, como havíamos já afirmado.
1 O MÉTODO DE COPELAND
O método de Copeland assenta no seguinte procedimento: compara-se cada candidato com cada um dos outros. Atribuímos a cada candidato os números G - número de candidatos a que ele vence- e L - o número de candidatos que o venceu. Associamos a todos os candidatos o valor G – L. Ganha o candidato para o qual G – L é máximo. Neste método surgem empates frequentes.
Este método satisfaz o critério ganhador de Condorcet, pois se um candidato vence todos os outros, e sendo n o número de candidatos, então L = 0 e G = n – 1, logo esse candidato é o vencedor. É também de referir que este método entra em contradição com as contagens de Borda. Vejamos o seguinte exemplo:
EXEMPLO 1.12
O Gabinete de informação de uma dada estação de televisão, decidiu constituir um júri para avaliar, em vários aspectos, as seguintes rádios: Antena 3 (A), RFM, Comercial (C), Cidade (RC) e TSF. O objectivo é identificar a rádio que melhor satisfaz as necessidades dos ouvintes no que respeita a serviços noticiosos, entretenimento, passatempos, música entre outros. Consideremos que o júri é composto por 9 elementos e que estes decidiram votar por ordem de preferência as rádios, usando como método de votação o método de Copeland. A tabela de preferências é:
|Número de |1 |4 |
|votos | | |
|A |5+4+4+12 |25 |
|RFM |4+12+2+9 |27 |
|C |3+20+1+3 |27 |
|RC |2+16+3+6 |27 |
|TSF |1+8+5+15 |29 |
Tabela 1.31
Por sua vez o método de Contagem de Borda dita como vencedora a TSF, sendo a Antena 3 a pior classificada.
1 O MÉTODO DA PLURALIDADE COM ELIMINAÇÃO
O método da pluralidade com eliminação consiste em eliminar progressivamente os candidatos menos aptos, um por um, até se obter um vencedor, ou seja, este método é uma versão do princípio da sobrevivência dos mais aptos. Seguidamente descrevemos como se processa o método em estudo:
1º Passo:
• Tal como no método da pluralidade contam-se os votos em primeiro lugar de cada candidato.
• Se houver algum candidato que tenha a maioria ( pelo menos metade mais um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor.
• Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos no caso de empate) que tenha o menor número de votos em primeiro lugar.
2º Passo:
• O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior são agora excluídos da tabela de preferências. Relembramos que uma vez retirado da lista de preferências um candidato, na sua coluna, os candidatos abaixo colocados movem-se para cima um lugar. Contam-se novamente os votos em primeiro lugar.
• Se houver algum candidato que tenha a maioria (pelo menos metade mais um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor.
• Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos no caso de empate) que tenha o menor número de votos em primeiro lugar.
O processo é repetido indefinidamente até haver um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar, o qual é considerado vencedor.
EXEMPLO 1.13
Vamos utilizar novamente o exemplo da Quinta das Celebridades, aplicando-lhe agora o método da pluralidade com eliminação.
1º Passo:
|Número de votos |18000 |12000 |10000 |
|1º opção |F |J |A |
|2º opção |A |A |J |
|3º opção |J |F |F |
Tabela 1.34
É fácil verificar que José Castelo Branco será eliminado, pois é o concorrente com menos votos em primeiro lugar.
4º Passo:
Finalmente, excluímos José Castelo Branco e obtivemos a tabela que se segue:
|Número de votos |18000 |37000 |
|1º opção |F |A |
|2º opção |A |F |
Tabela 1.35
Daqui concluímos que Alexandre Frota será expulso, pois é ele que tem a maioria dos votos em primeiro lugar.
Então, segundo o método da pluralidade com eliminação, Alexandre Frota abandonará, na semana em questão, a “quinta mais vigiada de Portugal”.
Analisemos agora mais alguns exemplos, onde se utiliza o método da pluralidade com eliminação.
EXEMPLO 1.14
Um grupo de 26 docentes do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra está a preparar uma acção de formação, para professores do ensino básico e secundário, sobre o tema “Teoria das Eleições “. Esse evento será organizado numa das escolas secundárias da cidade de Coimbra. Mas eis que surgem problemas relativamente a escolha do referido estabelecimento de ensino e os docentes decidem votar por ordem de preferência as seguintes escolas: Escola Secundária Quinta das Flores (QF), Escola Secundária Infanta Dona Maria (DM), Escola Secundária de Avelar Brotero (AB), Escola Secundária Jaime Cortesão (JC) e Escola Secundária José Falcão (JF). A lista de preferências obtida foi:
|Número de votos |10 |5 |2 |1 |
|1º opção |PC |F |T |N |
|2º opção |F |N |N |F |
|3º opção |N |T |PC |PC |
|4º opção |T |PC |F |T |
Tabela 1.40
O número de quartanistas eleitores é 8+6+2+19=35, ou seja, são necessários 18 ou mais votos em primeiro lugar para obter uma maioria. “O Napolitano” tem 19 votos, então é automaticamente o vencedor desta eleição.
Com os dois exemplos anteriores verificamos que o método da pluralidade com eliminação satisfaz o critério da maioria.
• Lacunas no método da pluralidade com eliminação
Este método transgride o critério da monotonia e o critério ganhador de Condorcet, com verificamos nos seguintes exemplos:
EXEMPLO 1.16
Bastante tempo antes de se realizarem os Jogos Olímpicos é necessário escolher qual a cidade anfitriã ou seja a cidade à qual caberá a nobre tarefa de organizar este famoso evento. Essa é uma eleição que levanta muitas controvérsias pois provoca grandes alterações no desenvolvimento da cidade, quer a nível económico quer a nível político. Os eleitores são os membros do Comité Olímpico Internacional e o método actualmente utilizado é o método da pluralidade com eliminação com uma pequena alteração. Essa alteração consiste no facto de que cada eleitor apresenta as suas preferências em cada ronda em vez de as mostrar ordenadas, todas de uma só vez.
Suponhamos que para a organização dos Jogos Olímpicos de Verão 2004 concorreram três cidades: Beijing (China), Atenas (Grécia), Istambul (Turquia) e que eram 29 os membros do Comité Internacional Olímpico. Além disso, vamos utilizar o método da pluralidade com eliminação sem a pequena alteração utilizada na realidade.
Admitamos agora que dois dias antes da eleição se efectuou uma sondagem apenas para analisar as tendências da votação. Os resultados dessa sondagem são apresentados na tabela seguinte:
|Número de votos |7 |8 |10 |
|Número de votos em primeiro lugar |10 |11 |8 |
Tabela 1.42
Atenas é a cidade com menos votos em primeiro lugar, logo será a eliminada.
2º Passo:
Como Atenas foi eliminada os 8 votos que no primeiro passo lhe pertenciam passam para Beijing. Temos então,
|Candidatos |B |I |A |
|Número de votos em primeiro lugar |18 |11 | |
Tabela 1.43
Encontramos um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar: Beijing é a cidade vencedora desta sondagem.
Admitamos que a divulgação da referida sondagem influenciará alguns eleitores a alterar a sua tendência de voto. Suponhamos que os 4 eleitores da última coluna da tabela 1.41 decidem alterar os seus votos, pondo em primeiro lugar Beijing em vez de Istambul.
Eis que o grande dia chegou! O Comité Olímpico foi a votos e os resultados da eleição são os apresentados na tabela seguinte:
|Número de votos |7 |8 |14 |
|1º opção |I |A |B |
|2º opção |A |B |I |
|3º opção |B |I |A |
Tabela 1.44
Vamos agora aplicar o método da pluralidade com eliminação aos resultados apresentados nesta tabela:
1º Passo:
|Candidatos |B |I |A |
|Número de votos em primeiro lugar |14 |7 |8 |
Tabela 1.45
Istambul é a cidade com menos votos em primeiro lugar logo será eliminada.
2º Passo:
Sendo Istambul eliminada, os 7 votos que lhe pertenciam passam para Atenas. Originando uma nova tabela.
|Candidatos |B |I |A |
|Número de votos em primeiro lugar |14 | |15 |
Tabela 1.46
Atenas é a cidade vencedora da eleição pois é a que tem mais votos em primeiro lugar.
É um facto bastante estranho não ser Beijing a vencedora. Se repararmos a única alteração que ocorreu da sondagem para a eleição oficial foi alguns eleitores alterarem Beijing de segunda para primeira preferência. Em princípio isso deveria favorecer Beijing. Mas o que realmente acontece é que esta situação é uma falha deste método: o método da pluralidade com eliminação viola o critério da monotonia, como havíamos já referido.
EXEMPLO 1.17
O ano lectivo 2004/2005 ficará marcado pelo irremediável atraso na colocação dos professores. Dada a gravidade do assunto, é do conhecimento de todos que o nosso Governo, liderado por Pedro Santana Lopes, constituiu uma comissão de inquérito com o objectivo averiguar responsabilidades. Suponhamos que a já citada comissão é composta por 30 elementos e que são apontadas como causas de tal problema as seguintes entidades ou situações:
A – A empresa contratada para a realização do concurso.
B – A actual ministra.
C – O ministro anterior.
D – Os serviços do ministério.
E – A dissolução do Governo de Durão Barroso.
Admitamos ainda que, a fim de se apurarem os responsáveis, cada elemento da comissão votou por ordem de preferência as possíveis causas acima enunciadas; colocando em primeiro a situação ou entidade que acha culpada e terminando com aquela que considera isenta de culpa. O resultado de tal processo eleitoral encontra-se na seguinte tabela:
|Número de votos |10 |8 |
|1º opção |F |J |
|2º opção |J |F |
Tabela 1.53
Agora é José Castelo Branco quem tem a maioria dos votos em primeiro lugar, ou seja vai ter de ser ele a abandonar a “quinta mais vigiada de Portugal”.
Método de Coombs
Este método assemelha-se em tudo ao método da pluralidade com eliminação, mas neste eliminamos a cada passo o candidato com maior número de votos em último lugar.
Ou seja,
1º Passo:
• Contam-se os votos em primeiro lugar e os votos em último lugar;
• Se houver algum candidato que tenha a maioria (pelo menos metade mais um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
• Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que tem maior número de votos em último lugar;
2º Passo:
• O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior são excluídos da tabela de preferências;
• Se houver algum candidato que tenha a maioria (pelo menos metade mais um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;
• Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que tem maior número de votos em último lugar.
O processo é repetido indefinidamente até haver um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar, o qual é considerado vencedor.
EXEMPLO 1.19
Retomemos, novamente, o exemplo da Quinta das Celebridades para ilustrar o método de Coombs.
1º Passo:
Relembremos a lista de preferências:
|Número de votos |18000 |12000 |10000 |9000 |
|1º opção |PC |A |P |P |
|2º opção |P |P |A |PC |
|3º opção |A |PC |PC |A |
Tabela 1.5
Como anteriormente, nenhum candidato tem uma maioria de votos em primeiro lugar, por isso vamos proceder como nos outros passos.
O Alexandre Frota tem 29000 votos em último lugar e o Pedro Camilo 26000. A Paula Coelho continua a não ter nenhum. Então o Alexandre Frota será eliminado.
4º Passo:
Obtemos uma nova lista de preferências:
|Número de votos |27000 |28000 |
|1º opção |PC |P |
|2º opção |P |PC |
Tabela 1.57
Finalmente, a Paula Coelho tem 28000 votos em primeiro lugar, ou seja, uma maioria (mais que 27500). Isso significa que será ela, a celebridade, a abandonar a quinta.
Sistematizando agora a informação relativa às aplicações do método da pluralidade com eliminação e suas variantes, no exemplo da Quinta das Celebridades, concluímos que:
|Método / Variante |Concorrente vencedor |
|Pluralidade com Eliminação |Alexandre Frota |
|Pluralidade com Runoff |José Castelo Branco |
|Coombs |Paula Coelho |
Tabela 1.58
As diferentes modalidades do método da pluralidade com eliminação dão-nos diferentes vencedores.
1 O MÉTODO DA comparação par a par
O método da comparação par a par consiste em comparar todos os candidatos dois a dois. Designamos por comparação par a par cada uma destas comparações.
Dados dois candidatos X e Y, é atribuído numa comparação par a par, 1 ponto ao vencedor, que é o candidato que se encontra com melhor posição num maior número de colunas da tabela de preferências. Em situação de empate é atribuída ½ ponto a cada um dos candidatos. Será declarado vencedor da eleição o candidato que após terem sido realizadas todas as comparações par a par, obtiver maior número de pontos. Neste método é frequente ocorrerem casos de empate, ou se aceita a existência de mais do que um vencedor ou, caso contrário, usa-se um método pré-determinado de desempate.
EXEMPLO 1.20
Para ilustrar este método, consideremos de novo o exemplo da votação nos concorrentes da “Quinta das Celebridades”.
Analisemos a tabela seguinte:
|Número de votos |18000 |
|José Castelo |1 pontos |
|Branco | |
|Alexandre Frota |2 pontos |
|Pedro Camilo |3 pontos |
|Paula Coelho |4 pontos |
Tabela 1.62
Conclusão:
O vencedor da eleição é o concorrente P! Ou seja, é a Paula Coelho que vai abandonar a “ vida rural”.
Como é óbvio o critério ganhador de Condorcet é satisfeito por este método, pois o candidato que é sempre preferido nas comparações par a par é que vai obter um maior número de pontos, logo será o vencedor neste método.
Satisfaz também o critério da maioria, pois o candidato que tem a maioria dos votos em primeiro lugar será o vencedor segundo este método; como demonstramos no raciocínio seguinte:
Consideremos uma eleição em que existem N candidatos: X1, X2,..., XN e que o candidato X1 tem a maioria dos votos em primeiro lugar. Apliquemos o método da comparação par a par. O candidato X1 é comparado com cada um dos outros N-1 candidatos e, como tem a maioria dos votos em primeiro lugar, ganha as N-1 comparações e obtém N-1 pontos. O candidato X2 é comparado com todos os outros candidatos excepto com X1, visto que os dois já foram comparados anteriormente. E portanto, são feitas N-2 comparações. Deste modo, X2 pode vencer no máximo N-2 comparações e ganhar N-2 pontos. E assim sucessivamente. Até que o (N-1) - ésimo candidato é comparado apenas com o N-ésimo, visto que as comparações com os outros N-2 candidatos já foram efectuadas e portanto, é apenas feita uma comparação par a par. Caso o (N-1) -ésimo vença esta comparação, ganha, na melhor das hipóteses, 1 ponto. Mas,
N-1 ( N-2 ( ... ( 1,
Portanto X1 tem o maior número de pontos e vence a eleição.
Mostrámos assim que o candidato que possui a maioria dos votos em primeiro lugar no boletim de voto é de facto o vencedor da eleição e portanto este método satisfaz o critério da maioria.
É ainda satisfeito o critério da monotonia: se um candidato X é vencedor de uma eleição e se são efectuadas alterações no boletim de voto, todas elas favoráveis a X, X vai vencer ainda mais comparações par a par e portanto obterá ainda mais pontos, o que conduzirá a que ele seja o vencedor.
• Lacunas no método da comparação par a par
O exemplo seguinte irá demonstrar que apesar de serem satisfeitos os critérios de justiça atrás mencionados, o método da comparação par a par não satisfaz um princípio básico de justiça designado por critério da independência.
EXEMPLO 1.21
Admitamos a seguinte situação:
Uma Escola Secundária da Região Centro do país decidiu atribuir um prémio ao melhor aluno do ano lectivo 2003/2004. Numa primeira fase do concurso seleccionaram os 5 alunos que mais se destacaram positivamente durante o ano. Foram eles: Cátia (C), Luís (L), Margarida (M), Ruben (R) e Sofia (S). Na segunda fase os 22 elementos do conselho pedagógico reuniram extraordinariamente e votaram por ordem de preferência os alunos seleccionados. Decidiram ainda usar como método de votação o método de comparação par a par. Os resultados obtidos são expressos na seguinte tabela:
|Número de votos |2 |
|Ruben |2 + ½ pontos |
|Margarida |2 pontos |
|Luís |1+ ½ pontos |
|Sofia |1 ponto |
Tabela 1.64
Conclusão: o vencedor é a Cátia!
Ao saber que era uma das seleccionadas, para a votação que decidiria quem era o melhor a aluno da escola, a Margarida informou o conselho executivo que não estava interessada em tal prémio. Desta forma a Margarida foi eliminada da votação.
Será que este facto afectará de algum modo o resultado da eleição?
Suponhamos então que o candidato M é eliminado da eleição original e que o método de comparação par a par volta a ser aplicado. Então, os resultados obtidos são os que a tabela seguinte apresenta:
|Número de |2 |
|Votos | |
|Ruben |2 + ½ pontos |
|Luís |1+ ½ pontos |
|Sofia |0 pontos |
Tabela 1.66
Conclusão: O vencedor é o Ruben e não a Cátia!
Evidenciamos assim que o método da comparação par a par não satisfaz o critério da independência.
Outra lacuna a referir, é o facto deste método poder desencadear resultados que anunciam como vencedores todos os candidatos, isto é, resultado em que há um empate generalizado. Normalmente não existe um processo fixo para desempatar mas, na realidade, é fundamental pré-estabelecer regras para que caso seja necessário se proceda a um desempate.
EXEMPLO 1.22
Os 11 elementos da direcção do Núcleo de Estudantes de Farmácia, decidiram realizar um convívio na noite da Serenata da Latada 2004. Ao prepararem o referido evento surgiram algumas desavenças no que respeitava à escolha da marca de cerveja que venderiam durante essa noite. Dada esta situação, concordaram em votar por ordem de preferência, as seguintes marcas: Super Bock (SB), Sagres (S), Tagus (T). Decidiram ainda usar como método de votação o método de comparação par a par.
A tabela seguinte mostra os resultados obtidos e a ordem de preferências:
|Número de Votos |4 |2 |5 |
|1ª opção |SB |S |T |
|2ª opção |S |T |SB |
|3ª opção |T |SB |S |
Tabela 1.67
As comparações par a par a efectuar são:
SB versus S: (4 + 5) = 9 votos para 2
SB vence e obtém 1 ponto.
SB versus T: 4 votos para (2 + 5) = 7
T vence e obtém 1 ponto.
S versus T: (4 + 2) = 6 votos para 5
S vence e obtém 1 ponto.
Após a contagem dos pontos obtemos:
|SB |1 ponto |
|S |1 ponto |
|T |1 ponto |
Tabela 1.68
Conclusão: As marcas de cerveja estão todas empatadas! Como é óbvio, neste caso e em todos os outros casos, não é possível, nem razoável considerar que todos os candidatos sejam vencedores.
• Quantas comparações par a par têm de ser feitas numa eleição?
Uma desvantagem proporcionada por este método, é o dispendioso trabalho relacionado com o número de comparações par a par, que têm de ser desenvolvidas, numa eleição, no sentido de determinar o vencedor. Dado que são necessárias comparações entre todos os candidatos, este número irá variar consoante a quantidade de candidatos envolvidos no processo eleitoral. Durante este processo é imprescindível contar o número de comparações par a par sistematicamente, tendo o cuidado de não repetir nenhuma.
Suponhamos uma dada eleição com n candidatos.
• O primeiro candidato vai ser comparado com os restantes n – 1, portanto resultam daí n – 1 comparações;
• O segundo candidato vai ser comparado com todos os outros, excepto com o primeiro, uma vez que essa comparação já foi realizada. Daqui resultam n – 2 comparações;
• Por sua vez o terceiro candidato será comparado com todos os outros à excepção do primeiro e do segundo. Efectuam-se portanto n – 3 comparações;
.
.
.
• O (n – 1) - ésimo candidato será comparado com todos os outros à excepção dos (n – 2) primeiros, ou seja, é comparado apenas com o n-ésimo. Daqui resulta apenas uma comparação;
Obtemos então que o número de comparações par a par é: 1 + 2 + 3 + … + (n -1).
Esta expressão, é a soma dos primeiros n – 1 termos de uma progressão aritmética de razão 1. Assim resulta que numa eleição com n candidatos o número de comparações par a par é:
1 + 2 + 3 + … + (n -1) = ( (n – 1) n) / 2
(O que se demonstra facilmente por indução.)
Neste momento é pertinente afirmar, que este método não é viável em eleições com muitos candidatos, dado que o número de comparações a efectuar aumenta rapidamente em função do número de candidatos.
• Comparação dos Resultados Obtidos
Recorrendo uma vez mais ao exemplo da Quinta das Celebridades vamos mostrar, na tabela seguinte, que a aplicação de métodos de votação distintos origina vencedores distintos:
|Vencedor |Método de Votação |
|Fátima Preto |Pluralidade |
|Pedro Camilo |Contagem de Borda |
|Alexandre Frota |Pluralidade com Eliminação |
|Paula Coelho |Comparação Par a Par |
Tabela 1.70
Concluímos assim que o concorrente eleito para sair da quinta “mais vigiada de Portugal” varia de método para método.
1 RANKINGS
Em muitas situações da vida real é fundamental, não só ter conhecimento do vencedor de uma eleição, mas também dos candidatos que ocupam o segundo lugar, o terceiro lugar, etc. Perante esta situação, é necessário que para além de indicar o vencedor, o método forneça um ranking dos candidatos. Para tal dispomos de dois métodos:
• Métodos de Ranking extensivos ou alargados;
• Métodos de Ranking recursivos;
Métodos de ranking extensivos ou alargados
É possível obter uma extensão natural de cada um dos métodos de eleição analisados anteriormente, de forma a encontrarmos a classificação geral dos candidatos. De seguida apresentamos a extensão de alguns dos métodos referidos anteriormente:
• Método da pluralidade alargado
• Segundo este método é eleito para a primeira posição do ranking o candidato que obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar.
• A segunda posição do ranking será ocupada pelo candidato, que à excepção do candidato já eleito, obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar.
• Por sua vez, a terceira posição do ranking será ocupada pelo candidato, que à excepção dos já eleitos, obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar.
• E assim, sucessivamente.
EXEMPLO 1.23
Para exemplificar este método, consideremos de novo a eleição no concurso televisivo “Quinta das Celebridades”. A tabela com a lista de preferências da votação, já apresentada, é a seguinte:
|Número de votos |18000 |12000 |
|1º |F |18000 |
|2º |J |12000 |
|3º |A |10000 |
|4º |PC |9000 |
|5º |P |6000 |
Tabela 1.72
• Método da contagem de Borda alargado
É também, relativamente, simples estabelecer a ordem de classificação geral dos candidatos de uma eleição aplicando este método. Como já referimos, a cada candidato está associado um número de pontos, sendo o candidato eleito o que obtiver um maior número de pontos. Logo o ranking será elaborado em função dessa pontuação, ou seja, a posição do ranking aumenta à medida que os pontos também aumentam.
EXEMPLO 1.24
Aplicando no exemplo do reality show, “Quinta das Celebridades”, o Método de Contagem de Borda obtivemos:
|Concorrentes |Pontuação Total |
|F |127000 |
|J |156000 |
|A |162000 |
|PC |191000 |
|P |189000 |
Tabela 1.73
Logo, os resultados do ranking baseados no método de contagem de Borda Alargado são os seguintes:
|Posição no Ranking |Candidato |Votos em 1º lugar |
|1º |PC |191000 |
|2º |P |189000 |
|3º |A |162000 |
|4º |J |156000 |
|5º |F |127000 |
Tabela 1.74
• Método da pluralidade com eliminação alargado
A forma como encontramos o ranking dos candidatos numa dada eleição, recorrendo a este método é a seguinte:
O primeiro candidato que é eliminado ocupará a ultima posição, o segundo candidato eliminado, será por sua vez, colocado no penúltimo lugar do ranking e assim sucessivamente até ser colocado na primeira posição o último candidato a ser eliminado.
EXEMPLO 1.25
Retomemos mais uma vez o exemplo da eleição no reality show “Quinta das Celebridades”. A tabela seguinte expressa os resultados do ranking baseado neste método:
|Posição no Ranking |Candidato |Eliminado na |
|1º |A | |
|2º |F |4ª volta |
|3º |J |3ª volta |
|4º |PC |2ª volta |
|5º |P |1ª volta |
Tabela 1.75
• Método de comparação par a par alargado
A base para se elaborar o ranking com recurso a este método, é o número de comparações par a par ganhas por cada candidato, isto é, o número de pontos que cada um ganhou após essa comparações. Portanto, aquele que mais comparações tiver ganho será o candidato a ocupar a primeira posição do ranking, seguindo-se o candidato, que à excepção do candidato já colocado, ganhou mais comparações. E assim sucessivamente até obter o ranking de todos os candidatos.
EXEMPLO 1.26
Voltando ao exemplo do concurso televisivo “Quinta das Celebridades” verificamos que os resultados baseados neste método são:
|Posição no Ranking |Candidato |Pontos |
|1º |P |4 |
|2º |PC |3 |
|3º |A |2 |
|4º |J |1 |
|5º |F |0 |
Tabela 1.76
• Comparação dos Resultados Obtidos
|Método de Ranking Alargado |Ordem de Classificações Gerais |
| |1º |
|1º |Fátima Preto |
|2º |Pedro Camilo |
|3º |Paula Coelho |
|4º |Alexandre Frota |
|5º |José Castelo Branco |
Tabela 1.82
Note-se que este resultado é diferente daquele que foi obtido com a aplicação do método da pluralidade alargado. De facto, só o primeiro lugar é que se manteve igual.
EXEMPLO 1.28
Vamos determinar agora, o ranking do exemplo da “Quinta das Celebridades” utilizando o método de contagem de Borda recursivo. Para tal vamos recorrer as tabelas 1.5 e 1.6 :
|Número de votos |18000 |12000 |
|F |90000+12000+10000+9000+4000+2000 |127000 |
|J |18000+60000+40000+18000+16000+4000 |156000 |
|A |36000+24000+50000+36000+8000+8000 |162000 |
|PC |72000+36000+20000+45000+12000+6000 |191000 |
|P |54000+48000+30000+27000+20000+10000 |189000 |
Tabela 1.6
Portanto o vencedor é o Pedro Camilo, sendo este colocado automaticamente no primeiro lugar do ranking. Eliminando o Pedro Camilo da tabela 1.5 temos as seguintes tabelas:
|Número de votos |18000 |12000 |
|F |72000+12000+10000+9000+4000+2000 |109000 |
|J |18000+48000+30000+18000+12000+4000 |130000 |
|A |36000+24000+40000+36000+8000+6000 |140000 |
|P |54000+36000+20000+27000+16000+8000 |161000 |
Tabela 1.84
Agora o vencedor é a Paula Coelho (P), colocando-se desta forma no segundo lugar do ranking.
Ao eliminarmos o candidato (P), as tabelas reduzem-se ao seguinte:
|Número de votos |18000 |12000 |
|F |54000+12000+10000+9000+4000+2000 |91000 |
|J |18000+36000+20000+18000+12000+4000 |108000 |
|A |36000+24000+30000+27000+8000+6000 |131000 |
Tabela 1.86
Verificamos que Alexandre Frota é desta vez o vencedor, colocando-se em terceiro lugar do ranking. Eliminando (A) das tabelas obtemos o seguinte:
|Número de votos |18000 |12000 |
|F |36000+12000+10000+9000+4000+2000 |73000 |
|J |18000+24000+20000+18000+8000+6000 |94000 |
Tabela 1.88
Verificamos que José Castelo Branco é desta vez o vencedor, colocando-se em quarto lugar do ranking. Finalmente, a 5ª e última posição será ocupada pela Fátima Preto.
Sintetizando obtemos o seguinte quadro:
|Lugar |Candidato |
|1º |Pedro Camilo |
|2º |Paula Coelho |
|3º |Alexandre Frota |
|4º |José Castelo Branco |
|5º |Fátima Preto |
Tabela 1.89
CAPÍTULO II
MÉTODOS DE VOTAÇÃO COM PESO
2.1 TERMINOLOGIA E NOTAÇÃO
Em todo o sistema de votação ponderada intervêm três elementos:
• Os Jogadores, que são os próprios eleitores. De agora em diante usaremos o termo “eleitores” quando se trata de um sistema de votação uma pessoa - um voto e o termo jogadores quando nos referimos a um sistema de votação uma pessoa - x votos. O número de jogadores será designado pela letra N e os respectivos jogadores por P1, P2, ... , PN;
• O Peso dos seus votos, que consiste no número de votos que cada jogador possui e que é representado por W1, W2, ... , WN, respectivamente.
• Quota, que consiste no número mínimo de votos necessário para aprovar uma moção ( proposta apresentada para ser discutida em assembleia ). Representamos quota pela letra q. O valor da quota tem de ser sempre maior do que a metade do total dos votos e menor ou igual que o próprio total.
Formalmente,
[pic]
Os Jogadores que possuem um peso de voto superior ou igual à quota são designados por ditadores. Os outros que ficam submetidos a eles são chamados Jogadores Neutros.
Pode acontecer também que dado um jogador P1, apesar de não ser ditador mas tendo maior número de votos que qualquer um dos outros, tenha o poder de impedir que uma moção seja aprovada, ou seja, este jogador tem poder de veto: mesmo que todos os outros jogadores votem juntos nunca conseguirão aprovar uma moção contra a vontade de P1, dado que não têm votos superiores à quota.
A notação usada para representar um sistema de voto com peso é a seguinte:
[ q : W1, W2, ... , WN ]
Salientamos, que é costume pôr os diferentes pesos por ordem decrescente de grandeza.
EXEMPLO 2.1
Consideremos que a direcção de uma dada empresa possui quatro membros, P1, P2, P3 e P4, com a seguinte distribuição de votos:
|Membros |Votos |
|P1 |8 |
|P2 |6 |
|P3 |5 |
|P4 |1 |
Tabela 2.1
Seguindo as regras da direcção, são necessários dois terços dos vinte votos para aprovar uma moção. Usando a nossa notação este sistema de votação ponderada pode ser descrito por [14: 8, 6, 5,1].
Note-se que q = 14 pois catorze é o primeiro inteiro superior a dois terços de vinte.
EXEMPLO 2.2
Consideremos agora o sistema de votação ponderada [7: 5, 4, 4, 2]. A quota q = 7 é inferior a metade da totalidade dos votos. Neste caso se os jogadores P1 e P4 votarem a favor e os outros dois jogadores votarem contra, os dois grupos ganham! Isto é a versão matemática de anarquia. Como tal, não consideraremos este sistema de votação ponderada válido.
EXEMPLO 2.3
Seja [17: 5, 4, 4, 2] um sistema de votação ponderada. A quota excede o número total de votos. Assim é impossível aprovar qualquer moção. Este sistema será por isso invalidado.
EXEMPLO 2.4
Analisemos agora o sistema de votação ponderada [11: 4, 4, 4, 4, 4]. Neste caso os cinco jogadores têm igual número de votos. Para que uma moção seja aprovada basta que três quaisquer jogadores votem a favor. Note-se que se a quota fosse alterada para q = 12 a situação manter-se-ia igual. O que se apresenta neste caso, embora disfarçado, é o sistema uma pessoa – um voto, com a simples necessidade de uma maioria de votos para aprovar uma moção.
EXEMPLO 2.5
Estudemos agora o sistema de votação ponderada [15: 5, 4, 3, 2, 1]. Os cinco jogadores têm quinze votos no total. Para uma moção ser aprovada é necessária a unanimidade. Assim, em termos práticos, os sistemas de votação ponderada [15: 5, 4, 3, 2, 1] e [5: 1, 1, 1, 1, 1] são equivalentes.
Vamos continuar com mais alguns exemplos, introduzindo agora, informalmente, a noção de poder:
EXEMPLO 2.6
Seja [11: 12, 5, 4] um sistema de votação ponderada. Nesta simulação o jogador P1 controla um número de votos suficiente para fazer passar qualquer moção. Desta forma o jogador P1 detém todo o poder e é chamado ditador.
EXEMPLO 2.7
No sistema de votação ponderada [12: 9, 5, 4, 2] o jogador P1 não é um ditador mas tem o poder de impedir que qualquer moção seja aprovada. De facto mesmo que todos os outros jogadores estivessem de acordo, a soma dos seus votos não seria suficiente para fazer passar uma moção, contra a vontade do P1.
EXEMPLO 2.8
Analisemos o sistema de votação ponderada [101: 99, 98, 3]. À primeira vista parece que os jogadores P1 e P2 têm muito poder em comparação com o jogador P3. Contudo, se repararmos melhor, chegamos à conclusão que só é possível aprovar uma moção com dois jogadores a favor. Mais, quaisquer dois jogadores juntos têm uma coligação vencedora! Pois bem, na verdade os três jogadores têm exactamente o mesmo poder.
2.2 O ÍNDICE DE PODER DE BANZAHAF
Em 1965 John Banzahaf introduziu uma interpretação matemática de poder nos sistemas de votação ponderada, a qual passamos a descrever.
Em primeiro lugar, vamos definir conceitos fundamentais que nos permitirão conhecer melhor a sua teoria:
• Coligação: grupo de jogadores que unem forças e votam em conjunto ( a expressão “coligação” é também usada para grupos de um só elemento );
• Peso da coligação: número total de votos controlados por uma coligação;
• Coligações vencedoras: coligações que têm votos suficientes para aprovar uma moção. As outras coligações são designadas por coligações perdedoras. Uma coligação que contém todos os jogadores e portanto que é sempre a vencedora, é chamada Grande Coligação;
A notação usada para representar uma coligação genérica de N jogadores é: { P1, P2, ... , PN }.
• Jogador crítico: jogador que ao abandonar a coligação, transforma uma coligação vencedora em perdedora.
Referimos ainda que as coligações vencedoras podem ter mais do que um jogador crítico, pelo contrário, uma coligação perdedora não tem um único jogador crítico. Este conceito, de jogador crítico, é a base do índice de poder de Banzhaf. O princípio chave desta teoria é que o poder de um jogador é proporcional ao número de coligações em que esse jogador é crítico: quanto mais vezes ele for crítico maior poder detém.
Para determinarmos o indicador de poder de Banzhaf de um qualquer jogador P num sistema de votação ponderado genérico, com N jogadores, seguimos os seguintes passos:
Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações possíveis;
Passo 2: Determinar quais as coligações vencedoras;
Passo 3: Em cada coligação vencedora identificar os jogadores críticos;
Passo 4: Contar o número total de vezes que o jogador P é crítico ( seja esse valor representado por B);
Passo 5: Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos (seja este número T);
O Índice de poder de Banzhaf do jogador P é dado pela fracção [pic].
Uma lista completa com os indicadores de poder de cada jogador é designada por distribuição de poder de Banzhaf. É também comum escrever os indicadores de poder em percentagem. Realçamos ainda, que a soma dos índices de poder é sempre igual a um.
EXEMPLO 2.9
Vejamos no exemplo 2.8 (sistema de votação ponderada [101: 99, 98, 3] ) quais são as coligações possíveis, o seu peso e quais as que podem reunir forças de modo a conseguir a aprovação de uma moção:
|Coligação |Peso da coligação |Vence ou perde |
|{P1} |99 |Perde |
|{P2} |98 |Perde |
|{P3} |3 |Perde |
|{P1, P2} |197 |Ganha |
|{P1, P3} |102 |Ganha |
|{P2, P3} |101 |Ganha |
|{P1, P2, P3} |200 |Ganha |
Tabela 2.2
Pela observação da tabela concluímos que existem quatro coligações vencedoras possíveis. Dentro destas, verifica-se que nas coligações {P1, P2}, {P1, P3}e {P2, P3}os dois jogadores são necessários para a coligação ter votos suficientes para ganhar (isto é P1, P2 e P3 são jogadores críticos em cada uma destas coligações), enquanto que na coligação {P1, P2, P3} qualquer jogador pode abandonar a coligação sem que esta deixe de ser vencedora.
Em suma, cada jogador é crítico duas vezes, assim todos têm o mesmo índice de poder de Banzhaf: um terço de poder.
EXEMPLO 2.10
Uma das mais importantes decisões que uma equipa de basquetebol profissional tem que tomar é como fazer o recrutamento de jogadores colegiais. Em muitos casos a decisão de como escolher um jogador específico é feita através de votos decisivos. Tome, por exemplo, o caso de Akron Fleyers. No seu sistema, o treinador principal (TP) tem 4 votos, o director geral (DG) tem 3 votos, o director de operações de exploração (DE) tem 2 votos e o psiquiatra da equipa (PE) tem 1 voto. Destes 10 votos, uma simples maioria de 6 votos é necessária para um jogador ser recrutado. Em suma, os Akron Fleyers funcionam como um sistema de votação ponderada [6: 4, 3, 2 ,1].
Iremos agora encontrar a distribuição do poder de Banzhaf deste sistema decisivo de voto. A tabela seguinte mostra as 15 possíveis coligações, quais são as vencedoras e quais são as perdedoras e, para cada coligação vencedora, os jogadores críticos (estão a negrito).
|Coligação |Peso da coligação |Vence ou perde |
|{TP} |4 |Perde |
|{DG} |3 |Perde |
|{DE} |2 |Perde |
|{PE} |1 |Perde |
|{TP, DG} |7 |Ganha |
|{TP, DE} |6 |Ganha |
|{TP, PE} |5 |Perde |
|{DG, DE} |5 |Perde |
|{DG, PE} |4 |Perde |
|{DE,PE} |3 |Perde |
|{TP, DG, DE} |9 |Ganha |
|{TP, DG, PE} |8 |Ganha |
|{TP, DE, PE} |7 |Ganha |
|{DG, DE, PE} |6 |Ganha |
|{TP, DG, DE, PE} |10 |Ganha |
Tabela 2.3
Tudo o que temos de fazer agora é contar o número de vezes em que cada jogador é crítico (ou seja o número de vezes em cada um se encontra a negrito) e dividir pelo número total de jogadores críticos.
A distribuição de poder de Banzhaf é
TP : 5/12 = 41,67 %
DG : 3/12 = 25 %
DE : 3/12 = 25 %
PE : 1/12 = 8, 33 %
Note que, como já afirmámos, a soma dos índices de poder é sempre 1. Este facto fornece um controle útil nos seus cálculos.
Se agora em vez de quatro tivéssemos N jogadores, quantas coligações seriam possíveis formar?
É óbvio que em casos cujo número de jogadores é reduzido é mais fácil determinar o número de coligações possíveis, do que em casos em que esse número é elevado. Para estes casos é necessária a introdução de uma forma simples e rápida para calcular o número de coligações possíveis.
A resposta a esta questão assenta nas noções de conjunto e subconjunto. Todo o subconjunto do conjunto dos jogadores pode ser identificado como uma coligação à excepção do conjunto vazio. Daqui deduzimos que podemos obter o número total de coligações fazendo a diferença entre o número de subconjuntos do conjunto dos jogadores e a unidade. Matematicamente:
[pic] + [pic] + … + [pic] + [pic] - 1 = 2[pic]-1[pic]
EXEMPLO 2.11
Suponhamos que a direcção geral da Associação Académica de Coimbra é constituída por cinco elementos: presidente, vice-presidente e três secretários. No que diz respeito ao peso de cada um, numa determinada decisão, o presidente (P) tem três votos, o vice-presidente (VC) dois votos e os três secretários têm um voto cada (S1, S2, S3). São necessários cinco votos para aprovar uma moção. Descrevemos então do seguinte modo este sistema de votação ponderada: [5: 3, 2,1, 1, 1, 1].
Sabemos agora que o número total de coligações será,
25 – 1 = 31.
Na tabela seguinte apresentam-se apenas as coligações vencedoras e em cada uma encontram-se a negrito os jogadores críticos:
|Coligação vencedora |
|{P, VP} |
|{P, VP, S1} |
|{P, VP, S2} |
|{P, VP, S3} |
|{P, S1, S2} |
|{P, S1, S3} |
|{P, S2, S3} |
|{P, VP, S1, S2} |
|{P, VP, S1, S3} |
|{P, VP, S2, S3} |
|{P, S1, S2, S3} |
|{VP, S1, S2, S3} |
|{P, VP, S1, S2, S3} |
Tabela 2.3
A distribuição de poder Banzhaf neste sistema de votação ponderada é:
P: [pic][pic] ( 44%
VP: [pic]( 20%
S1, S2, S3: [pic] ( 12%
2.2.1 APLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE BANZHAF
EXEMPLO 2.12
O conselho de segurança das Nações Unidas
O principal responsável por manter a paz internacional e segurança das nações é o Conselho de Segurança das Nações Unidas. O Conselho de Segurança é um exemplo clássico de um sistema de votação ponderado. Consiste em 15 nações votantes – 5 delas são membros permanentes – Reino Unido, China, França, Rússia e E.U.A; as outras 10 nações são membros não permanentes, eleitos por um período de dois anos numa base rotativa. Para aprovar uma moção no Conselho de Segurança é necessário um voto positivo de cada um dos membros permanentes (dando efectivamente a cada membro permanente o poder de veto) mais um voto positivo de pelo menos quatro dos dez membros não permanentes. Desta forma a coligação vencedora consiste em cinco membros permanentes e quatro ou mais membros não permanentes. Temos:
[pic]= 210
coligações com 5 membros permanentes e exactamente 4 membros não permanentes, e
[pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic]= 638
coligações com 5 membros permanentes e mais de 4 membros não permanentes.
Há um total de
[pic]([pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic]+[pic]= 210+ 638= 848
coligações com 5 membros permanentes e 4 ou mais membros não permanentes.
Em cada uma destas coligações vencedoras, cada membro permanente é crítico. Os membros não permanentes apenas são críticos nas coligações vencedoras mínimas, isto é nas coligações constituídas por 5 permanentes e 4 não permanentes (existem 210 coligações deste tipo). Em cada uma destas coligações com 9 elementos um membro não permanente é crítico em
[pic]= 84
coligações, pois neste caso fixamos os 5 permanentes e o não permanente é considerado como crítico. Nas coligações com 10 ou mais elementos um membro não permanente nunca é crítico.
O número total de vezes em que todos os jogadores são críticos é de
5 x 848 + 10 x 84 = 5080
Sendo assim o poder de cada membro permanente é
[pic] = [pic] = 0,167.
O poder de um membro não permanente é
[pic] = [pic] = 0,0167.
Repare-se na discrepância de poder entre membros permanentes e não permanentes: um membro permanente tem dez vezes mais poder que um membro não permanente.
Fica a dúvida se seria esta a intenção do decreto das Nações Unidas ou então se houve um erro de cálculo, baseado na falta de conhecimento da matemática dos votos ponderados.
EXEMPLO 2.13
O Colégio Eleitoral.
O Presidente dos E.U.A é escolhido usando uma instituição chamada Colégio Eleitoral. Na escolha do presidente é permitido a cada estado ganhar um certo número de votos, igual ao total de membros do congresso (Senadores e Representantes) desse estado. Os votos são distribuídos por indivíduos chamados eleitores, que são escolhidos para representantes dos cidadãos dos respectivos estados. A regra geral é de que todos os eleitores de um estado particular, votem no candidato presidencial que tem a pluralidade dos votos nesse estado. Esta regra é conhecida pela regra da Unidade ou pela regra “O vencedor ganha tudo”. Apesar de ter havido desafios à constitucionalidade desta regra de unidade, (e em alguns instantes a regra foi violada por eleitores individuais), é normalmente o procedimento pelo qual o colégio eleitoral se rege.
Outro aspecto importante é o facto de, sob o sistema de dois partidos mais fortes americanos, muitas eleições presidenciais culminam na escolha entre apenas dois candidatos viáveis. Sob esta regra da unidade e numa eleição entre apenas dois candidatos viáveis, o colégio eleitoral representa um dos mais importantes exemplos de um sistema de voto ponderado, bem como o único sistema – os E.U.A são o único país no mundo com tal sistema.
Os jogadores neste sistema de voto são os 50 estados mais o Distrito da Colômbia.
A cada estado é associado um número de eleitores (peso do estado) igual ao número de senadores (que são sempre dois) mais o número dos seus representantes. A quota é definida também por uma maioria absoluta do voto eleitoral. Desde 1964, o número total de votos eleitorais foi estabelecido em 538 e a quota em 270. Os cálculos para os índices de poder requerem a utilização de métodos matemáticos sofisticados e um poderoso computador.
Figura 3.1 O Jogador Pivotal
Passamos agora a apresentar a descrição formal do procedimento para encontrar o Índice de Poder de Shapley- Shubik, para qualquer jogador num sistema de voto ponderado genérico com N jogadores:
• Passo 1: elaborar uma lista de todas as coligações sequenciais contendo os N jogadores; há N! destas coligações.
• Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar um jogador pivotal; há 1 em cada coligação.
• Passo 3: Contar o número total de vezes em que o jogador P é pivotal e designar esse número por S.
O Índice de Poder de Shapley- Shubik de um certo jogador P é dado pela fracção [pic].
A listagem dos Índices de Poder de Shapley-Shubik para todos os jogadores dá origem à distribuição de poder de Shapley-Shubik para o sistema de voto ponderado.
EXEMPLO 2.14
Vamos considerar o exemplo 2.10. A distribuição é [6: 4, 3, 2, 1] e agora vamos encontrar a distribuição de poder de Shapley-Shubik.
Há 24 coligações sequenciais diferentes (4!) envolvendo 4 jogadores. Listam-se na tabela 2.4 as coligações e os jogadores pivotais estão a negrito.
|(TP, DG, DE, PE( |(DG, TP, DE, PE( |(DE, TP,DG, PE( |(PE, TP, DG, DE( |
|(TP, DG, PE, DE( |(DG, TP, PE, DE( |(DE, TP, PE, DG( |(PE, TP, DE, DG( |
|(TP, DE, DG, PE( |(DG, DE, TP, PE( |(DE, DG, TP, PE( |(PE, DG, TP, DE( |
|(TP, DE, PE, DG( |(DG, DE, PE, TP( |(DE, DG, PE, TP( |(PE, DG, DE, TP( |
|(TP, PE, DG, DE( |(DG, PE, TP, DE( |(DE, PE, TP, DG( |(PE, DE, TP, DG( |
|(TP, PE, DE, DG( |(DG, PE, DE, TP( |(DE, PE, DG, TP( |(PE, DE, DG, TP( |
Tabela 2.5
A distribuição de poder de Shapley-Shubik é:
TP: [pic] = 0,42 ( 42%
DG: [pic] = 0.25 ( 25%
DE: [pic] = 0,25 ( 25%
PE: [pic] = 0,08 ( 8%
Vale a pena mencionar que a distribuição de poder de Shapley-Shubik é exactamente igual à distribuição de poder de Banzhaf. Contudo, de modo geral, escolhendo aleatoriamente situações reais é muito pouco provável que os métodos de Banzahf e de Shapley-Shubik nos dêem a mesma resposta.
EXEMPLO 2.15
Suponhamos que a cidade de Coimbra rege-se sob aquilo a que se chama “sistema de presidente forte do município”. Este sistema funciona da seguinte forma: existem 5 membros na assembleia, nomeadamente o presidente do município e 4 membros ordinários da assembleia. Uma moção só é aceite se o presidente e pelo menos 2 membros da assembleia votarem a favor, ou em alternativa, se todos os 4 membros ordinários votarem a favor (nesta situação diz-se que o presidente tem poder de veto, mas um voto unânime dos outros 4 membros da assembleia pode sobrepor-se ao veto do presidente).
O senso comum diz-nos que de acordo com estas regras, os 4 membros ordinários da assembleia têm o mesmo poder, mas o presidente tem mais. Iremos agora usar a interpretação de poder de Shapley-Shubik para determinar exactamente quanto mais poder tem o presidente.
Uma vez que existem 5 jogadores neste sistema de voto, existem 5! = 120 coligações sequenciais a considerar. Vamos em primeiro lugar tentar encontrar o índice de poder de Shapley-Shubik para o presidente. Em que posição é que o presidente tem de estar numa coligação sequencial para ser jogador pivotal ? Terá de estar em primeiro lugar? De modo algum! Nenhum jogador que esteja na primeira posição pode ser pivotal, a não ser que seja um ditador. Em segundo? Não. Um membro ordinário e o presidente não são suficientes para passar uma moção. Em terceiro lugar? Sim. Se o presidente está na terceira posição ele é o jogador pivotal nessa coligação sequencial. (Ver figura 3.2(a)). Igualmente se o presidente estiver na quarta posição ele é o jogador pivotal nessa coligação sequencial porque os três membros ordinários precedentes não são suficientes para passar uma moção. (Ver figura 3.2(b)). Finalmente, quando o presidente está na quinta posição não é o jogador pivotal, pois os 4 membros ordinários precedentes são suficientes para passar a moção. (Ver figura 3.2(c)).
| Ganha | Ganha | |
| |[pic] |Ganha |
|Perde |Perde | |
|[pic][pic][pic] |[pic][pic][pic] |[pic][pic][pic] |
|1 |2 |3 |
Figura 3.2
Surge agora uma questão pertinente: em quantas coligações sequenciais está o presidente em primeiro lugar? Em segundo? … Em quinto? A simetria das posições indica-nos que haverá tantas coligações sequenciais em que o presidente está em primeiro lugar como em qualquer outra posição. As 120 coligações sequenciais (5!) podem ser divididas em cinco grupos de vinte e quatro – 24 com o presidente em primeiro lugar, 24 com o presidente em segundo, etc. Finalmente, o presidente é jogador pivotal em todas as coligações que esteja em terceiro ou quarto lugar, havendo 24 de cada. Assim o índice de poder do presidente é [pic] = 40%. Dado que os 4 membros ordinários da assembleia têm que repartir igualmente os restantes 60% de poder, cada um terá um índice de poder de Shapley-Shubik de 15%.
2.3.1 APLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK
O regresso ao colégio eleitoral
Calcular o índice de poder de Shapley-Shubik dos diferentes estados não é tarefa fácil. Existem 51 estados, o que dá um total de 51! coligações sequenciais; um número muito grande (com 67 dígitos!). Fazer a análise de todas as coligações possíveis é um processo que requer muito tempo, podendo chegar mesmo a levar milhares de anos! Desta maneira uma análise directa está fora de questão. Existem, no entanto, alguns atalhos matematicamente sofisticados, que, quando juntos a um computador e a um software adequado permitem eficiência nos cálculos.
|Estado |N.º de votos eleitorais |Percentagem do poder de |Percentagem do poder de |
| | |índice de Banzhaf |índice de Shapley-Shubik |
|PS |1516001 |46.36 |12 |
|PPD/PSD.CDS-PP |1132769 |34,64 |9 |
|CDU (PCP-PEV) |309401 |9,46 |2 |
|B.E. |167313 |5,12 |1 |
|PND |33833 |1,03 |0 |
|PCTP/MRPP |36294 |1,11 |0 |
|PPM |15454 |0,47 |0 |
|MD |13840 |0,42 |0 |
|MPT |13671 |0,42 |0 |
|P.H. |13272 |0,41 |0 |
|P.N.R |8405 |0,26 |0 |
|PDA |5588 |0,17 |0 |
|POUS |4275 |0,13 |0 |
Admitamos ainda que para aprovar uma dada moção são necessários 13 mandatos. Analisemos então o poder de cada partido segundo os dois métodos estudados (para tornar o estudo mais simples consideramos apenas os quatro partidos que obtiveram mandatos):
Índice de Poder de Banzhaf
Segundo a nossa notação este sistema de votação ponderada pode ser descrito da seguinte forma, [13: 12, 9, 2, 1]. A tabela seguinte ilustra as coligações vencedoras e os jogadores pivotais (que estão a negrito):
|Coligação vencedora |
|{PS, PPD/PSD.CDS-PP } |
|{PS, CDU} |
|{PS, B.E} |
|{PS, PPD/PSD.CDS-PP, CDU} |
|{PS, PPD/PSD.CDS-PP, B.E} |
|{PS, CDU, B.E} |
|{PS, PPD/PSD.CDS-PP, CDU, B.E} |
Tabela 2.8
A distribuição de poder Banzhaf é:
PS: [pic]= 0,7 ► 70 %
PPD/PSD.CDS-PP: [pic] = 0,1 ► 10 %
CDU: [pic] = 0,1 ► 10 %
B.E: [pic] = 0,1 ► 10 %
Índice de poder de shapley-shubik:
Há 4! = 24 coligações sequenciais diferentes, uma vez que temos 4 partidos! (Para facilitar a escrita na tabela ,em vez de PPD/PSD.CDS-PP escreveremos apenas PPD).
|Coligação Sequencial |Jogador Pivotal |
|(PS,PPD,CDU,BE ( |PPD |
|(PS,PPD,BE,CDU( |PPD |
|(PS,CDU,PPD,BE ( |CDU |
|(PS, CDU,BE,PPD( |CDU |
|(PS,BE,PPD,CDU( |BE |
|(PS,BE,CDU,PPD( |BE |
|(PPD,PS,CDU,BE( |PS |
|(PPD,PS,BE,CDU( |PS |
|(PPD,BE,PS,CDU( |PS |
| (PPD,BE,CDU,PS( |PS |
|(PPD,CDU,PS,BE( |PS |
|(PPD,CDU,BE,PS( |PS |
|(CDU,PPD,PS,BE( |PS |
|(CDU,PPD,BE,PS( |PS |
|(CDU,BE,PPD,PS( |PS |
|(CDU,BE,PS,PPD( |PS |
|(CDU,PS,BE,PPD( |PS |
|(CDU,PS,PPD,BE( |PS |
|(BE,PS,PPD,CDU( |PS |
|(BE,PS,CDU,PPD( |PS |
|(BE,PPD,PS,CDU( |PS |
|(BE,PPD,CDU,PS( |PS |
|(BE,CDU,PPD,PS( |PS |
|(BE,CDU,PS,PPD( |PS |
Tabela 2.9
PS é pivotal 18 vezes.
PPD/PSD.CDS-PP é pivotal 2 vezes.
CDU é pivotal 2 vezes.
BE é pivotal 2 vezes.
A distribuição de poder de Shapley-Shubik é a seguinte:
PS: [pic]= 0,75 ► 75 %
PPD/PSD.CDS-PP: [pic] = 0,08 ► 8 %
CDU: [pic] = 0,08 ► 8 %
B.E: [pic] = 0,08 ► 8 %
Comparação dos índices de poder:
|Partido |Índice de poder Banzhaf |Índice de Poder |
| | |Shapley-Shubik |
|PS |70% |75% |
|PPD/PSD.CDS-PP |10% |8% |
|CDU (PCP-PEV) |10% |8% |
|B.E. |10% |8% |
Tabela 2.10
É de referir que existe uma diferença significativa entre o índice de poder do PS e o dos restantes partidos. Os resultados obtidos usando os dois métodos não diferem muito. No entanto é de salientar que calcular o índice de poder de Banzhaf é muito mais simples do que calcular o índice de poder Shapley-Shubik!
CAPÍTULO III
ELEIÇÕES EM PORTUGAL[pic]
Este capítulo surge neste trabalho devido, não só à extrema importância do assunto, mas também porque que na sua esmagadora maioria, os Portugueses não sabem como funciona o método de eleição em Portugal e quase ninguém sabe sequer o nome do processo utilizado.
Em Portugal, na eleição do Presidente da República, é utilizado o sistema maioritário a duas voltas. Este método consiste em eleger a opção que recolhe, pelo menos metade de todos os votos mais um. Caso este resultado não seja atingido por nenhuma das opções, procede-se a uma segunda votação à qual são submetidas apenas as duas opções mais votadas na primeira volta.
No que diz respeito às eleições para Presidente da Junta de Freguesia ou da Câmara Municipal, o sistema utilizado é o maioritário simples. Neste é eleito, numa única votação a opção que reúne maior número de votos, independentemente dos resultados obtidos pelas outras opções.
Em relação às eleições para a Assembleia da República, Assembleias das Autarquias Locais ( e também no Parlamento Europeu ) o sistema utilizado é o sistema de representação proporcional utilizando o Método de Hondt.
A Constituição da República Portuguesa, no n.º 1 do artigo 149º (Círculos eleitorais) estabelece que "Os Deputados são eleitos por círculos eleitorais geograficamente definidos na lei, a qual pode determinar a existência de círculos plurinominais e uninominais, bem como a respectiva natureza e complementaridade, por forma a assegurar o sistema de representação proporcional e o método da média mais alta de Hondt na conversão dos votos em número de mandatos."
O Método de Hondt é um dos métodos eleitorais possíveis dentro do sistema de representação proporcional e converte votos em mandatos.
Numa eleição, caso seja utilizado este método, deve observar-se o seguinte:
a) As listas propostas à eleição devem conter a indicação de candidatos em número igual ao dos mandatos atribuídos ao respectivo colégio eleitoral.
b) Os candidatos de cada lista considerar-se-ão ordenados segundo a sequência constante da respectiva declaração de candidatura.
c) Dentro de cada lista, os mandatos serão conferidos aos candidatos pela ordem de precedência indicada na declaração de candidatura.
A conversão dos votos em mandatos far-se-á em obediência às seguintes regras (método de representação proporcional de Hondt):
1. Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no colégio eleitoral respectivo.
2. O número de votos apurado por cada lista será dividido sucessivamente por 1,2,3,4,5, etc., e alinhados os quocientes pela ordem decrescente da sua grandeza numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao colégio eleitoral respectivo.
3. Os mandatos pertencerão às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos são os seus termos na série.
4. No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato caberá à lista que tiver obtido menor número de votos.
EXEMPLO 3.1
Consideremos a seguinte situação real: em cada acto eleitoral para a autarquia de Coimbra são eleitos 33 deputados para a Assembleia Municipal. Iremos então, com base nos resultados reais das eleições autárquicas de 2001, efectuar a distribuição dos mandatos na referida assembleia.
1o Passo
|PARTIDO |PPD/PSD-CDS-PP-PPM |PS |PCP-PEV |B.E. |
|N.º DE VOTOS |34263 |26194 |10197 |2016 |
Tabela 3.1
2º Passo
|Divisores |PPD/PSD-CDS-PP-PPM |PS |PCP-PEV |B.E. |
|1 |34263 |26194 |10197 |2016 |
|2 |17131,5 |13097 |5098,5 |1008 |
|3 |11421 |8731,33* |3399 |672 |
|4 |8565,75 |6548,5 |2549,25 |504 |
|5 |6852,6 |5238,8 |2039,4 |403,2 |
|6 |5710,5 |4365,67* |1699,5 |336 |
|7 |4894,71* |3742 |1456,71* |288 |
|8 |4282,875 |3274,25 |1274,625 |252 |
|9 |3807 |2910,44* |1133 |224 |
|10 |3426,3 |2619,4 |1019,7 |201,6 |
|11 |3114,82* |2381,27* |927 |183,27* |
|12 |2855,25 |2182,83* |849,75 |168 |
|13 |2635,62* |2014,92* |748,38* |155,08* |
|14 |2447,36* |1871 |728,36* |144 |
|15 |2284,2 |1746,27* |679,8 |134,4 |
|16 |2141,44* |1637,125 |637,31* |126 |
|17 |2015,47* |1540,82* |599,82* |118,59* |
Tabela 3.2
(Os número assinalados com * são números que foram sujeitos a aproximações)
|Câmara Municipal |Assembleia Municipal |
| | |
|Lista |Lista |
|Votos |Votos |
|[%] |[%] |
|Mandatos |Mandatos |
| | |
|PPD/PSD-CDS-PP-PPM |PPD/PSD-CDS-PP-PPM |
|38 335 |34 263 |
|50,8 |45,4 |
|6 |16 |
| | |
|PS |PS |
|22 512 |26 194 |
|29,8 |34,7 |
|4 |12 |
| | |
|PCP-PEV |PCP-PEV |
|9 611 |10 197 |
|12,7 |13,5 |
|1 |5 |
| | |
|B.E. |B.E. |
|1 385 |2 016 |
|1,8 |2,7 |
|0 |0 |
| | |
|PCTP/MRPP |[pic] |
|587 | |
|0,8 |Votantes |
|0 |75 453 |
| |60,2 |
|P.H. |- |
|260 | |
|0,3 |Brancos |
|0 |1 842 |
| |2,4 |
|[pic] |- |
| | |
|Votantes |Nulos |
|75 463 |941 |
|60,2 |1,2 |
|- |- |
| | |
|Brancos | |
|1 882 | |
|2,5 | |
|- | |
| | |
|Nulos | |
|891 | |
|1,2 | |
|- | |
| | |
Tabela 3.4
NOTAS HISTÓRICAS
Hondt
Victor D'Hondt ( Gand, 1841-1901 ), jurista belga e professor de direito civil na Universidade de Gand ( Ghent ), adepto da representação proporcional [ consiste na repartição dos mandatos pelos partidos, proporcionalmente à importância da respectiva votação ], concebeu o método que leva o seu nome.
Na Bélgica este sistema foi aplicado pela primeira vez nas eleições parlamentares de 1900.
Em Portugal, em 1909-10, através de proposta de reforma eleitoral e em artigos na imprensa [ Leão Azedo, "A representação proporcional", Alma Nacional, n.º 21, 30-Jun-1910 ], o Partido Republicano (PR) advogava a utilização da representação proporcional. Seria contemplada na Lei Eleitoral de 14-Março-1910 para os círculos de Lisboa e Porto. Face à disparidade dos resultados eleitorais, o PR obteve nas duas cidades mais de 93 % dos votos, o método de Hondt acabou por não ter aplicação prática. A legislação posterior, Lei n.º 3, de 3-Julho-1913, terminaria com a inovação, regressando ao sistema de lista incompleta da anterior legislação monárquica e que se manteria até 1925.
Entre as características do método de Hondt importa assinalar o encorajamento à formação de coligações, uma vez que o agrupamento de partidos leva a conseguir maior número de mandatos do que se concorressem isoladamente. Favorece no entanto os grandes partidos, não satisfazendo o critério da quota. A análise dos resultados eleitorais em Portugal, após 1975 mostra isso mesmo.
A comissão de redacção da primeira lei eleitoral após a revolução de 25 de Abril de 1974 ( Decreto-Lei n.º 621-C/74, de 15-Nov ) , " ... optou - por unanimidade - pelo método de Hondt por ser aquele que melhor poderá traduzir a vontade do corpo eleitoral, ... " ( Relatório da Eleição para a Assembleia Constituinte 1975, volume
I - Projecto de Lei Eleitoral, Ministério da Administração Interna, Secretariado Técnico dos Assuntos Políticos ).
O n.º 1 do artigo 155º [ actual 149º, com nova redacção ] da Constituição da República (1976) estabelece que « Os Deputados são eleitos segundo o sistema de representação proporcional e o método da média mais alta de Hondt » foi aprovado com 31 abstenções ( PCP, MDP, UDP e oito Deputados ex-PPD ) - in "Constituição da República Portuguesa 1976 (anotada), Victor Silva Lopes, [Lisboa], Editus, 1976.
CAPÍTULO IV
TEORIA DAS ELEIÇÕES NAS ESCOLAS
Hoje em dia os conceitos matemáticos são desenvolvidos mais numa "perspectiva cultural" do que numa perspectiva de "formação estritamente técnica". De entre inúmeros assuntos interessantes que ligam a Matemática ao nosso dia à dia, são seleccionados alguns temas mais atractivos, nomeadamente a Teoria Matemática das Eleições. Este tema faz parte do conteúdo do programa da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, que é leccionada nos Cursos Geral de Ciências Sociais e Humanas e Tecnológico de Ordenamento do Território.
A disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais pretende contribuir para o desenvolvimento da capacidade de resolução e discussão de problemas matemáticos, aplicados a situações reais e além disso, tem em vista propósitos de Educação para a cidadania.
Mais do que dominar questões técnicas, pretende-se que os alunos tenham experiências matemáticas significativas que lhes permitam dar a devida importância das abordagens matemáticas nas suas futuras actividades.
São portanto os objectivos desta disciplina:
• Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida activa;
• Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real;
• Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em situações do dia a dia e no domínio das Ciências Sociais;
• Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem matemática, a capacidade de comunicar e o espírito crítico;
• Contribuir para formar uma atitude positiva face à ciência e particularmente com a Matemática;
• Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e solidariedade;
• Desenvolver capacidades de intervenção social pela compreensão e discussão de sistemas e instâncias de decisão que influenciam a vida dos cidadãos, participando desse modo na formação para uma cidadania activa e participativa;
• Considerar a matemática como uma ferramenta fundamental para a vida !!!
A Teoria Matemática das Eleições tem como fundamento o facto de vivermos numa sociedade democrática e estarmos constantemente a ser solicitados para tomar decisões. Este tema surge como módulo inicial no programa, apresentando as seguintes vantagens:
• aborda um assunto muito importante para qualquer regime político democrático;
• ajuda a recordar técnicas e conceitos matemáticos já abordados no ensino básico, tais como cálculo, percentagens e desigualdades;
• alerta os estudantes para a importância de modelos matemáticos em áreas fora das ciências e da engenharia;
• mostra as limitações de um modelo matemático;
• permite uma forma de trabalho em que o investigar situações, o recolher dados, o analisar situações e o escrever de pequenos relatórios desempenham um papel preponderante.
Nesta ordem de ideias apresenta-se uma planificação possível na seguinte tabela:
| |Estudo de algumas eleições |Como melhorar o sistema de votação |
|Objectivos |Perceber como se contabilizam os mandatos em algumas eleições; |Estudar algumas situações paradoxais; |
| |Perceber que os resultados podem ser diferentes se os métodos de |Analisar algumas condições para ter um sistema adequado; |
| |contabilização dos mandatos forem diferentes. |Perceber que há limitações à melhoria dos sistemas. |
|Explicação dos |Todo o trabalho ganha se for feito a partir de exemplos concretos que |Os diferentes sistemas de votação e métodos de |
|objectivos |tanto podem vir de votações feitas entre os próprios estudantes (cores, |contabilização de mandatos que poderão ser estudados são: |
| |sabores, clubes, etc.), como podem vir de dados de eleições já |por ordem de preferência, maioritário com duas ou mais |
| |realizadas, com particular relevância para as eleições nacionais, |voltas, proporcional (com diferentes métodos de traduzir a |
| |regionais e locais portuguesas; devem contudo evitar-se exemplos |proporcionalidade), de aprovação. Cada sistema estudado |
| |demasiado recentes passíveis de gerar efervescência desnecessária na |deve ser acompanhado de uma pequena análise das suas |
| |sala de aula. Devem também ser usados alguns exemplos históricos |principais consequências. |
| |significativos, de diferentes épocas e países que tenham usado |O teorema de Arrow, que mostra as limitações de um sistema |
| |diferentes sistemas de votação. |matemático de votação e de contabilização dos mandatos em |
| |O professor deve usar a metodologia que achar mais adequada de modo a |eleições, pode ser trabalhado com diferentes níveis de |
| |que os estudantes participem activamente no estudo dos exemplos e |aprofundamento, podendo contudo fazer-se apenas uma breve |
| |modelos propostos. |referência à sua existência. Esta é uma boa oportunidade |
| |Os estudantes devem recorrer à tecnologia (calculadoras gráficas ou |para fazer uma referência histórica ao matemático Kenneth |
| |computadores) para simular variações das situações estudadas e tentar |Arrow que foi galardoado com o prémio Nobel da Economia em |
| |retirar algumas conclusões, elaborando pequenos relatórios. |1972. |
Não se pretende desenvolver uma teoria matemática das eleições, mas tão só alertar os estudantes para uma área de importância fundamental na sociedade actual e como a matemática é uma ferramenta incontornável (embora de modo nenhum seja a única ferramenta relevante).
Seguidamente apresentamos a forma como é exposta a teoria matemática das eleições na escola.
De entre os vários sistemas de votação existentes, são apenas seleccionados para exposição lectiva os seguintes:
• Maioritário;
• Por ordem de preferência ou preferencial;
• Proporcional;
• Aprovação.
• Sistema Maioritário
• é feita a distinção entre maioria absoluta e maioria simples;
Maioria absoluta: é eleita a opção que recolhe, pelo menos metade de todos os votos mais um. Caso este resultado não seja atingido por nenhuma das opções, procede-se a uma segunda votação à qual ou são submetidas apenas as duas opções mais votadas na 1ª volta (como é o caso da eleição do Presidente da República Portuguesa) ou são submetidas novamente todas as opções (como é por exemplo o caso das eleições das comissões dos clubes de futebol);
Maioria simples ou relativa: é eleita, numa única votação a opção que reúne maior número de votos, independentemente dos resultados obtidos pelas outras opções (é o sistema utilizado nas eleições para Presidente da Junta de Freguesia ou da Câmara Municipal).
• são expostos alguns exemplos que permitem ao aluno verificar que os resultados de uma votação podem ser diferentes, dependendo do sistema de votação utilizado;
• são feitas referências históricas do estudo desta teoria, nomeadamente a Condorcet e a Kenneth Arrow;
• é apresentado o Paradoxo do voto (designado também por Paradoxo de Condorcet) através de exemplos, tais como;
EXEMPLO 4.1
Consideremos um grupo de três amigos, João, Ricardo e Vasco que pretendem fazer uma viagem a três países, Alemanha, Suíça e Itália. Cada um deles tem uma sugestão quanto à ordem de visita dos países, as quais são apresentadas a seguir:
|Prioridades |João |Ricardo |Vasco |
|1.º |Alemanha |Itália |Suíça |
|2.º |Suíça |Alemanha |Itália |
|3.º |Itália |Suíça |Alemanha |
Tabela 4.1
Vejamos o que acontece quando comparamos cada uma das opções par a par:
• Alemanha/Suíça: 2 votos contra 1 voto;
• Suíça/Itália: 2 votos contra 1 voto;
• Itália/Alemanha: 2 votos contra 1 voto.
Temos que a Alemanha ganha à Suíça, a Suíça ganha à Itália e a Itália à Alemanha. Ocorre portanto o chamado Paradoxo do voto, ou seja, não existe nenhuma opção que obtenha a maioria frente a todas as restantes opções.
• é referido que a regra da maioria não avalia a intensidade das preferências pois cada indivíduo só tem direito a um voto: não considera, por isso, os interesses das minorias.
• Sistema por ordem preferência ou preferencial
• É definido este tipo de sistema: é um sistema em que o votante não escolhe apenas um de entre todos os candidatos que se apresentam a votação, mas expressa a sua ordem de preferência relativamente a todos os candidatos.
• Abordam alguns métodos tais como: o método de Borda, o método de Runoff.
• são apresentados alguns exemplos, da seguinte forma:
EXEMPLO 4.2
Numa aula de Educação Física, o professor apresentou aos alunos quatro possíveis modalidades, de entre as quais estes teriam de escolher uma para começar a ser praticada nas aulas. Seis alunos da turma ficaram responsáveis por essa escolha, sendo essa efectuada através do preenchimento de boletins de voto por ordem de preferência. Tinham como modalidades possíveis: basquetebol (B), voleibol (V), futebol (F) e andebol (A).
|Ordem de preferência |Ana |João |
|Futebol |2 x 4 + 3 x 3 + 1 x 2 + 0 x 1 |19 |
|Basquetebol |2 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 4 x 1 |12 |
|Voleibol |1 x 4 + 3 x 3 + 1 x 2 +1 x 1 |16 |
|Andebol |1 x 4 + 0 x 3 + 4 x 2 + 1 x 1 |13 |
Tabela 4.3
A modalidade vencedora é o futebol! Com este sistema o basquetebol, que inicialmente estava empatado com o futebol, ficou em último lugar.
• são feitas ainda algumas referências históricas.
• Sistema Proporcional
• Define-se este tipo de sistema;
Este sistema de votação requer que o candidato, para ser eleito, obtenha determinada proporção dos votos.
Em Portugal, as leis eleitorais da Assembleia da República e Autarquias locais (Parlamento Europeu seguem o sistema de representação proporcional utilizando o Método de Hondt. O Método de Hondt é um dos métodos eleitorais possíveis dentro do sistema de representação proporcional e converte votos em mandatos.
• Vejamos de seguida como é apresentado nas escolas este método:
Método de Hondt
1º passo: Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no respectivo cículo eleitoral.
2º passo: O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1, 2, 3, 4, 5, ... até ao número de mandatos a atribuir (se necessário) sendo os quocientes alinhados pela ordem decrescente da sua grandeza numa sequência de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo;
3º passo: Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da sequência estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos quantos os seus termos na sequência;
4º passo: No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes da sequência serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver obtido menor número de votos.
• são apresentados alguns exemplos do género do seguinte:
EXEMPLO 4.3
Suponhamos que temos 9 mandatos a distribuir num determinado círculo eleitoral sendo o número de votos obtido pelas listas X, Y, Z e W, respectivamente 10000, 6000, 5500 e 2000.
|Divisores |X |Y |Z |W |
|1 |10000 |6000 |5500 |2000 |
|2 |5000 |3000 |2750 |1000 |
|3 |3333,3 |2000 |1833,3 |666,7 |
|4 |2500 |1500 |1375 |500 |
Tabela 4.4
Como temos 9 mandatos para atribuir, vamos ordenar nove quocientes por ordem decrescente da sua grandeza:
10000 > 6000 > 5500 > 5000 > 3333,3 > 3000 > 2750 > 2500 > 2000
- A lista X recebe o 1º, o 4º, o 5º e o 8º mandato.
- A lista Y recebe o 2º e o 6º mandato.
- A lista Z recebe o 3º e o 7º mandato.
- A lista W recebe o 9º mandato (pois em caso de empate o mandato é atribuído ao que tem menor número de votos).
• são feitas ainda referências históricas a Victor d’Hondt;
• abordam-se também mais dois métodos proporcionais:
• O Método Hagenbach-Bischof, que consiste na divisão do número de votos apurados por cada partido pela quota eleitoral, a qual se obtém dividindo o total de votos apurados em cada círculo pelo número de mandatos mais um. Este método é utilizado na Suíça, Áustria, Grécia e Luxemburgo.
• O Método de Sainte-Lague, que tem uma aplicação semelhante à do Método de Hondt, mas em que a série de divisores é 1, 3, 5, 7, etc. Este método encontra-se em vigor nos países escandinavos
• Sistema de Aprovação
• É descrito o sistema e são anunciadas algumas vantagens;
É um procedimento através do qual os votantes podem votar em tantos candidatos quantos quiserem. Cada candidato aprovado recebe um voto e o candidato com mais votos ganha.
É um método simples de perceber e de utilizar sendo usado actualmente por vários governos e organizações.
Este método tem algumas vantagens relativamente aos outros:
- Confere aos eleitores uma opção mais flexível;
- Ajuda a eleger o candidato mais forte;
- Fomenta a adesão ao voto;
- Dá aos candidatos minoritários o seu real valor;
- É muito prático.
• são apresentados também alguns exemplos da forma:
EXEMPLO 4.4
Uma turma do 12º ano pretende efectuar uma viagem de finalistas e, para isso, organizar uma eleição para determinar o país de destino. As opções eram México (M), Cuba (C), Venezuela (V) e Brasil (B). As opiniões recolhidas foram as seguintes:
[pic]
- 13 estudantes votaram México e Cuba;
- 12 estudantes votaram Venezuela e Cuba;
- 10 estudantes votaram Brasil e Cuba;
- 5 estudantes votaram Cuba, Brasil e México.
Calculamos de seguida quantos votos recebeu cada país.
|PAÍS |CONTAGEM |
|México |13 + 5 = 18 |
|Cuba |13 + 12 + 10 + 5 = 40 |
|Venezuela |12 |
|Brasil |10 + 5 = 15 |
Tabela 4.5
Como se verifica na tabela, Cuba é o destino escolhido pelos estudantes.
• É referido que numa eleição usando o Sistema de aprovação, a adição ou exclusão de candidatos ou alternativas não altera a pontuação total dos outros candidatos ou alternativas.
• No final do capítulo, é finalmente referido o famoso Teorema de Arrow da seguinte forma:
TEOREMA DE ARROW
É impossível constituir um sistema de votação democrático que obedeça às cinco condições:
• Não ditadura – A preferência de um indivíduo não pode reflectir a preferência de todos sem a consulta destes;
• Transitividade – Se um indivíduo prefere a alternativa A à alternativa B e prefere B a C então deverá preferir A a C;
• Domínio ilimitado – Qualquer ordenação individual de alternativas é aceitável;
• Independência de alternativas irrelevantes – Se um grupo prefere a alternativa A a B, a desistência de uma terceira alternativa, C, não deve modificar essa preferência;
• Postulado de Pareto – Se um indivíduo preferir a alternativa A em relação a B e ninguém se opuser a isso, o grupo deverá reflectir essa preferência.
CONCLUSÃO
No 1º capítulo tentámos dar resposta à questão da existência de um método eleitoral justo e totalmente imparcial, o que é fundamental numa democracia. Verificámos que todos os métodos que apresentámos têm lacunas, pois todos eles violam pelo menos um dos critérios essenciais à coerência, à imparcialidade e à justiça. Este facto, inicialmente é surpreendente, dada a relevância das eleições numa democracia, e dada a inteligência e imaginação colectiva dos cientistas sociais e matemáticos. Mas de facto, foi provado que para eleições envolvendo mais de dois candidatos é matemáticamente impossível encontrar um método, democrático e justo para determinar um vencedor. Foi assim encontrada a resposta para uma das mais pertinentes questões da Teoria das Eleições.
Em qualquer sociedade, por muito que se prezem os valores da democracia, alguns indivíduos e grupos têm mais poder do que outros. Este aspecto foi tratado no 2º capítulo, onde discutimos a noção de poder, como este se aplica nas situações formais de votação, chamadas sistemas de voto com peso e vimos como os métodos matemáticos nos permitem medir o poder de um indivíduo ou grupo como um índice de poder. Em particular, vimos dois diferentes tipos de índice de poder: o índice de poder segundo Banzhaf e o indicador de poder de Shapley-, Shubik. Estes dois indicadores fornecem-nos diferentes maneiras de medir o poder, as quais ocasionalmente estão de acordo; contudo, na maioria das vezes diferem significativamente. Ambos são úteis, e em alguns casos a escolha entre eles é subjectiva. Talvez a melhor maneira de os avaliar é pensar neles como sendo baseados num conjunto de suposições ligeiramente diferentes. A ideia subjacente ao poder segundo Banzhaf é a de que os “jogadores” são livres de entrar e sair de uma coligação, negociando a suas alianças de poder. Segundo a interpretação de Shapley-Shubik, a ideia inerente ao poder é a suposição de que quando um jogador entra numa coligação, ele faz um compromisso para ficar. No último caso o poder do jogador é gerado pela sua habilidade de estar no lugar certo, na hora exacta. Contrariamente ao que nós esperavamos, os matemáticos não nos dão as respostas, apenas as ferramentas que nos podem ajudar a tomar uma decisão certa.
Relativamente à exposição que é feita nas escolas sobre teoria das eleições é de referir que se trata de uma abordagem superficial, que visa mostrar a aplicabilidade do assunto e não tanto o rigor matemático que lhe está subjacente. É sobretudo uma abordagem prática que recorre aos mais variados exemplos para dar a conhecer alguns métodos e conceitos. Referimos por fim que essa visão “leve” do tema, segundo o nosso parecer, pode conduzir o aluno a construir raciocínios pouco esclerecedores e até mesmo incorrectos.
Não podíamos terminar o nosso trabalho sem descrever, embora de forma sucinta, o modo como se processam os vários actos eleitorais em Portugal, uma vez que também nós desconheciamos tais processos e achamos fundamental que todo e qualquer cidadão, enquanto eleitor, os conheça.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
• Apontamentos de Aplicações da Matemática, do Doutor J. M. Simões Pereira;
• Gazeta de Matemática, publicação bianual da Sociedade Portuguesa da Matemática, Ano LXIV, Julho 2003;
• Consulta de jornais: Expresso, Público, Diário de Coimbra;
• LONGO, Elisabete; BRANCO, Isabel; Matemática Aplicada às Ciências Sociais; Texto Editora; 2004;
• MAGALHÃES, Fernanda Maria Ladeiro Monteiro Gouveia de; Teoria das Eleições; Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra; Maio de 2001;
• TANNENBAUM, Peter; ARNOLD, Robert; Excursions in Modern Mathematics; Prentice Hall, Inc; 2001;
PESQUISA NA INTERNET:
• http:// i.iol.pt;
• http:// rtp.pt;
• http:// cne.pt;
• http:// mat.uc.pt;
[pic]
FIM[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]
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Critério da maioria:
Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em primeiro lugar, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.
Critério de Condorcet:
➢ Critério ganhador: Se houver uma opção, a qual comparada par a par é sempre preferida pelos eleitores, então essa opção deverá ser considerada vencedora da eleição. Um candidato nesta situação designa-se por candidato condorcet.
➢ Critério perdedor: Se houver uma opção que perde no confronto par a par com qualquer outra, então essa opção não deve ser a vencedora da eleição.
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Critério da monotonia:
[pic]?@ACDXde‚…?äͺ¬º™„nXE2E%h}(5?B*CJ(OJQJX?aJ(ph½Ôê%h}(5?B*CJ(OJQJX?aJ(phÌìÿ+h~25?9?:?B*CJ(OJQJ\?aJ(phÌìÿ+h}(5?9?:?B*CJ(OJQJ\?aJ(phÌìÿ(h}(5?6?B*CJHOJQJX?aJHphÌìÿ$h}(5Se a opção X vence numa eleição e numa reeleição as únicas alterações, nas preferências dos eleitores, são a favor de X, então X deve permanecer o vencedor da eleição.
Critério de Smith:
Sejam α e β subconjuntos do conjunto dos candidatos, que formam partição. Se cada X pertencente a α vence cada Y pertencente a β, então nenhum candidato Y do subconjunto β pode ser vencedor.
Critério da independência:
Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um ou mais dos outros candidatos é removido, sendo os boletins de voto contados de novo, então X continua a ser o vencedor da eleição.
Borda,Jean Charles
1733-1799
Borda, Jean Charles
ARROW J. KENNET
1921-….
Coombs, Clyde F.
1912 - 1988
Condorcet, Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat
1743-1794
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Critério de Pareto:
Se relativamente a dois candidatos X e Y todos os votantes preferirem X a Y, então Y não deverá ganhar.
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Número total de subconjuntos de um conjunto com N elementos
Pareto, Vilfredo
1848 - 1923
Conjunto Vazio
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Teorema da impossibilidade de Arrow:
Para eleições envolvendo mais do que dois candidatos é matematicamente impossível encontrar um método, democrático e justo, para determinar o vencedor.
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Lloyd Shapley
1923
Martin Shubik
1926
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