Logaritmi. - LICEUL BRATIANU

[Pages:3]Logaritmi.

loga x b se citeste : logaritm in baza a, din b Conditii de existenta pt logaritm : - Baza a este un numar pozitiv, diferit de 1

- Argumentul x este un numar pozitiv

Definitie : loga x b x ab - adica : la ce putere trebuie ridicata baza a, ca sa obtin numarul x ?

Ex : log2 8 3 , pentru ca 23 8

log3 9 2 , pentru ca 32 9

log4

1 16

2 ,

pentru

ca

4 2

1 16

log1

2

1 16

4

,

pentru

ca

1 4 2

1 16

Proprietati ale logaritmilor :

P1) loga a 1 ; loga1 0

P2) loga xn n loga x

P3) loga(x y) loga x loga y

P4)

loga (

x) y

loga

x

loga

y

Notatie lg x log10 x

Exemple :

La

P1

:

log7 7

1;

log5

3

5 3

1

;

La P2 : log2 32 log225 5 log2 2 5 1 5

log101 0

log316 log3(2)4 4 log3 2

La

P3-4

:

Calculati

log3 6

log312 log3 8= log3

6 12 8

log3 9

2

Exercitii

1)

log5 10+ log5 3- log5 6

=

log5

10 6

3

=

log5 5

=

1

2) 2 log3 4 - 4 log3 2 log3 42 log3 24 0

Ecuatii logaritmice 1) Rezolvati ecuatia log4(x 3) 2 Punem conditii de existenta pentru logaritm :

- Argumentul, x 3 0 deci x 3. - Baza este 4, deci nu mai sunt necesare conditii asupra ei. Domeniul de definitie va fi D= (3,)

Rezolvare : x 3 42 , adica x 3 16, deci x 13

2) Rezolvati ecuatia logx(2x 4) 1

Punem conditii de existenta pentru logaritm : - Baza x 0 si diferita de 1. - Argumentul 2x 4 0 deci x 2 .

Domeniul de definitie va fi D= (2,) Rezolvare : 2x 4 x1, adica x 4

3) Rezolvati ecuatia log3(6x 18) log3(4x 8) Punem conditii de existenta pentru logaritm :

- Argumentul 6x 18 0 deci x 3 - Argumentul 4x 8 0 deci x 2 Domeniul de definitie va fi D= (3,) Rezolvare : Renuntam la logaritm, 6x 18 4x 8 , deci 6x 4x 18 8 ,

deci 2x 10 , x 5

4) Rezolvai ecuaia logx3(x2 3x 2) 2 . Punem condiii de existen pentru logaritm : Argumentul x2 3x 1 0 . Este inecuaie de gradul II.

Aflam soluiile ecuaiei de gradul II i apoi facem tabelul. x2 3x 1= 0 ; a = 1 , b = -3, c = 2. Calculm : b2 4 a c = (3)2 4 1 2 = 9-8 = 1

x1,2

b 2a

= (3) 2

1 , deci

x1

3

2

1

2,

x2

3 1 =1 2

Facem acum,tabelul de semn :

x

-

1

2

+

x2 3x 2

+++++0 - - - - - - - - - -

0 +++++++

Semnul lui a

semn opus lui a

Semnul lui a

Pe noi ne intereseaza c?nd x2 3x 2 0 . Din tabel, observm c ?ntre rdcini,avem semnul +, deci >0

x (,1) (2,) condiia 1

Baza >0 i diferit de 1

x x

3 3

0 1

x x

3 4

condiia 2

domeniul de definiie este D = (,1) (2,) (3,) \ {4} (3,) \ {4}

Rezolvarea ecuaiei : logx3(x2 3x 2) 2

x2 3x 2 = x 32

x2 3x 2 = x2 4x 9 3x 4x 9 2 deci x 7 ; cum 7 aparine domeniului, este soluie a ecuaiei.

5) Rezolvai Ecuaia logx(2x 4) 1 Punem condiii de existen pentru logaritm :

Baza x 0 , Baza x 1 i Argumentul 2x 4 0 deci x 2 .

Domeniul de definiie va fi D= (2,)

Rezolvare : 2x 4 x , adic x 4

6)

log2 (x 2) log2 x 3

.

Condiii de existen :

x 2 0, x 2 x 0

D = ( 0,)

Rez. log2 (x 2) x 3 (x 2) x 23 x2 2x 8 0 x1 4 , x2 2 . Doar 2 e soluie x 2 0, x 2

7) log2 (x 2) log2 (x 5) 3 Condiii de existen : x 5 0, x 5 D = ( 5,)

Rez.

log2

x2 x5

3

x2 x5

23

x 2 8x 40

x

6D

Tema

1. Calculai : a) log2 32 = b) log3 81 =

c)

log4

1 64

d)

log1

1 25

5

e ) log9 3 f) log3 3 g) log3 1 2. Determinai domeniul de definiie pentru logaritmii urmtori ( adic condiiile de existen )

a) logx1(2x 4) ; b ) logx1(x2 5x 6) 3. Rezolvai ecuaiile logaritmice :

a) log5(x 4) log5(8 x)

b) log2(2x 5) 3 c) log3(x 1) log3(x 1) 2

d) log3(x 6) log3(x 2) 2 e) log2 (2x 5) 0 f) logx1(2x 5) 2

4. Calculai a) lg5 + lg 40 - lg 2 = b) log3 6 + log3 12- log3 8 =

5. Calculai a)

log2

8

+

log3

1 9

-

3

27 =

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download