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Physique TD 9. Interféromètre de MichelsonLocalisation des franges d'égale épaisseurUn interféromètre de Michelson est réglé en coin d'air d'angle α=3.10-3 rad. Il est éclairé par une source monochromatique de longueur d'onde λ0=683 nm, placée à l'infini.La source est ponctuelle à l’infini et l'onde plane incidente arrive sous un angle β sur le miroir M1. Déterminer les directions des ondes réfléchies par les miroirs M1 et M’2 et en déduire leurs vecteurs d'onde respectifs k1et k2. L'origine des phases et de l'espace étant prise au point O de l'arête du coin d'air, exprimer l'ordre d'interférences p en un point M en fonction de λ0, x, y, α et β.k1 fait l’angle -β avec Oz?: k1=2πλ0cosβez-sinβexk2 fait l’angle α-β avec la normale à M2' donc 2α-β avec Oz?: k2= 2πλ0cos2α-βez+sin2α-βexOnde plane?: a1M=A1cosωt+φ0-k1.ra2M=A2cosωt+φ0-k2.r avec r=OM φM=φ2M-φ1M=k2-k1.r=2πδMλ0=2πp avec δM=SM1-SM2→ p=k2-k1.r2π=1λ0cos2α-β-cosβz+sin2α-β+sinβxLa source est étendue, c'est à dire que β varie entre -βM et +βM. ?valuer la variation de l'ordre d'interférences en fonction de βM en un point M du miroir M1 à d=1 cm de O, pour βM=10-2 rad, puis pour βM=1 rad. Commenter.x=d et z=0 → p=1λ0sin2α-β+sinβd=dλ0sin2αcosβ-sinβcos2α+sinβComme α?1?: sin2α≈2α et cos2α≈1→ p=d2αcosβλ0pβ=0=2αdλ0pβM=p-βM=2αdλ0cosβMΔp=p0-p±βM=2αdλ01-cosβMΔp=4.10-3?1 pour βM=10-2 radΔp=40 pour βM=1 radDans le premier cas, il n’y a pas brouillage, dans le second, il y a brouillage.Déterminer le lieu des points M(x,z) où dpdβ est nul pour β=0 et commenter.dpdβ=1λ0sinβ+sin2α-βz+cosβ-cos2α-βxPour β=0 : dpdβ=1λ0sin2αz+1-cos2αxdpdβ=0 ? sin2αz=-1+cos2αx → z=-1+cos2αsin2αx=-2sin2α2sinαcosαxz=-tanα → Les franges sont localisées sur M2'Mesure de la largeur d'une raie spectrale, cohérence temporelleUn interféromètre de Michelson réglé en lame d'air d'épaisseur e est éclairé par une radiation dont le profil spectral est : dEdσ=fσ=Cexp-σ-σ02a2 où σ0, C et a sont des constantes positives ( a?σ0et σ=1λ). Pour simplifier, on étendra la fonction f aux valeurs négatives de σ, domaine où elle prend des valeurs négligeables.Quelle est la signification de σ0? Calculer la largeur Δσ du profil à mi-hauteur et interpréter la constante a. dEdσ=fσ=Cexp-σ-σ02a2 : profil Gaussienσ0 est le nombre d’onde ??central?? , λ0=1σ0 est la longueur d’onde de la raie (quasi monochromatique). Largeur à mi-hauteur?: exp-σ-σ02a2=12 ? σ-σ02a2=ln2 ? σ-σ0=±aln2 ? σ=σ0±aln2Δσ=2aln2 → a=Δσ2ln2=0,6 Δσa caractérise la largeur de la raie.On fait varier l'épaisseur e en translatant l'un des miroirs avec un moteur. ?tablir l'expression de l'éclairement E(e) en fonction des constantes et de la fonction Fx=-∞+∞fσe2jπxdσ, transformée de Fourier de fσ.Une bande de largeur dσ (comprise entre σ et σ+dσ) est une source élémentaire monochromatique d’éclairement dε0=dεdσdσ=fσdσ. En M, l’onde produit l’éclairement dεM=2dε01+cos2πδλ=2dε01+cos2πσδPour toute la raie εM=dε(M) (additivité des éclairements car les ondes de fréquences différentes sont distinctes). εM=-∞+∞2fσdσ1+cos2πδσ avec δ=2eεM=-∞+∞2fσdσ1+cos4πσe=-∞+∞2fσdσ1+ej4πσe+e-j4πσe2→ εM=-∞+∞2fσdσ+-∞+∞ej4πσefσdσ+-∞+∞e-j4πσefσdσOn pose : -∞+∞fσdσ=ε0 → εe=2ε0+F2e+F(-2e)Sachant que -∞+∞exp-u2a2exp(2jπux)du=aπexp(-π2a2x2), établir l'expression de E(e) et tracer l'allure de son graphe pour Δσ?σ0. Comment évolue la visibilité des franges ? Comment peut-on mesurer Δσ ? Quelle valeur de e doit-on pouvoir atteindre ? Retrouver l'ordre de grandeur de la longueur de cohérence de la source en fonction de Δσ.-∞+∞ej4πσefσdσ=-∞+∞ej4πσeCexp-σ-σ02a2dσ=Cte-∞+∞exp-u2a2exp2jπuxduavec u= σ-σ0 et x=2e → exp2jπux=exp2jπσ-σ02e→ Cte=C e4ejπσ0→ F2e= C e4ejπσ0 aπexp-π2a24e2De même, F-2e= C e-4ejπσ0 aπexp-π2a24e2 et F0=-∞+∞fσdσ=Caπ=ε0→ εe=2 Caπ+ C e4ejπσ0 aπexp-π2a24e2+ C e-4ejπσ0 aπexp-π2a24e2→ εe=2 Caπ1+e4ejπσ0+e-4ejπσ02 exp-π2a24e2→ εe=2 Caπ1+cos(4eπσ0)exp-π2a24e2=2ε01+cos(4eπσ0)exp-π2a24e2La fonction cos(4eπσ0) a une période de 12σ0=λ02. (Fonction habituelle?: cos2πδλ0)Sur une distance e=12σ0, e-4π2a2e2 décro?t très peu puisque a?σ0 par hypothèse. On a donc une fonction cos(4πσ0e) enveloppée par ±e-4π2a2e2La visibilité des franges?V=e-4π2a2e2=εMax-εMinεMax+εMin décro?t exponentiellement avec e.On peut accéder à la valeur de a en mesurant par exemple, la valeur de e pour laquelle e-4π2a2e2=12 (largeur à mi-hauteur)e-4π2a2Δe2=12 ? 4π2a2Δe2=ln2 ? Δe=ln22πa=ln22π2ln2Δσ d'après 1.La mesure de Δe donne :Δσ=ln2πΔePartant de e=0, il faut pouvoir atteindre e=ln2πΔσ?: on peut être limité par des contraintes mécaniques (translation limitées à quelques cm pour un appareil usuel)Longueur de cohérence?: e*=δmax=2emax≈2ΔeRemarque?: e*=2Δe=2ln2πΔσ → e*=cτΔσ=Δνc → cτ=2ln2πΔνcOn retrouve le résultat classique?: τΔν=2ln2π=0,44 → τΔν≈1Spectre canneléUn interféromètre de Michelson est réglé en coin d'air. Il est éclairé en lumière parallèle gr?ce à une source S placée au foyer d'une lentille convergente. Les franges sont observées sur un écran plan (E) gr?ce à un lentille (L) de distance focale f'=12,5 cm, placée à D=15 cm de M2.La source étant monochromatique de longueur d'onde λ=0,6943 μm, on mesure sur l'écran une interfrange i=4,63 mm. Calculer l'angle α du dièdre formé par les deux miroirs.On sait que δM=2e, d’où l’interfrange sur le plan (M1)?:e=αx → δM=2αx=pλxp=pλ2α frange brillante dordre p si p∈Zxp+1=p+1λ2α frange brillante d'ordrep+1 si p∈Z → xp+1-xp=i0=λ2αProjection?: X=γ=D'D avec 1D'-1-D=1f→ D'=DfD-f et X'=γX=fD-f D'=75 cm ; γ=-5→ i=γi0 donc i=λf2αD-f → α=λf2iD-f=3,75.10-4 rad (α=1,3')?tablir, en fonction de α, D, f' et λ l'expression de l'éclairement sur l'écran en un point M' repéré par X=A'M' dans le plan de section principale (A' est le conjugué de l'arête A à travers (L)).Eclairement?: E=2E01+cos2πδMλ avec δM=2αx=2αXγ=2αD-fXf→ E(X)=2E01+cos2π2αD-fXλf=1+cos2πXiLa source S émet une lumière blanche: λ∈[0,4 μm ;0,75 μm]. Déterminer le nombre de cannelures noires observées au spectroscope dont la fente est disposée à la place de l'écran (E), à la distance X=50 mm de A'. Calculer les longueurs d'onde des radiations éteintes.EX=0 pour cos2πXi=-1 → 2πXi=2q+1π avec q∈Z→ 4παD-fXλf=2q+1π → λq=4αX2q+1D-ff=152q+1 avec λ en μm∈0,4;0,75→ 0,8q≤14,6≤1,5q d'où q≤18,25q≥9,73 → q=10,11,…,18 → 9 canneluresLes longueurs de radiations absentes sont (en μm)λ10=0,7143λ11=0,6522λ12=0,6000λ13=0,5556λ14=0,5172λ15=0,4839λ16=0,4545λ17=0,4286λ18=0,4054 ................
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