MATH 36000: Real Analysis I Lecture Notes

MATH 36000: Real Analysis I Lecture Notes

Created by: Dr. Amanda Harsy c Harsy 2020 July 20, 2020

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c Harsy 2020 ii

Contents

1 Syllabus and Schedule

v

2 Syllabus Crib Notes

vii

2.1 Office Hours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

2.2 Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

2.2.1 Exams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii

2.3 Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

3 Mathematical and Proof Writing

xv

3.1 Example of a Basic Proof Rubric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

3.1.1 Delivery & Organization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

3.1.2 Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

3.1.3 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

3.1.4 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

3.1.5 Central Idea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

3.2 More Advanced Proof Rubric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

4 Review and Preliminaries

1

5 Ordered Fields

5

5.1 Fields -but I thought this was Real Analysis! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

5.2 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

5.3 ICE 1: Ordered Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6 The Axiom of Completeness

11

6.1 Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.2 Suprema, Infima, and Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6.3 Least Upper Bound Property of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

6.4 ICE 2: The Completeness Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

7 Density of Rationals

19

7.1 The Archimedean Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

8 Sequences

23

8.1 Introduction to Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.1.1 ICE 3: Intro to Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.2 More Advanced Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.2.1 ICE 4: Sequences Continued . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

8.3 Sequence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8.3.1 Ice 4: Sequence Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.4 Monotonic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.4.1 Ice 5: Monotonic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

iii

8.5 Subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 8.5.1 Ice 6: Subsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.6 Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8.6.1 Ice 7: Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9 Limits of Functions

59

9.1 The Precise Definition of the Limit of a Function . . . . . . . . . . . . . . . 61

9.2 One-sided and Infinite Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

9.3 Proving a limit does not exist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

9.4 Ice 8: Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10 Continuity

69

10.1 Ice 9: Continuity of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.2 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

10.2.1 Uniform Continuity Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

10.2.2 ICE 10: Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

10.3 Continuity Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

10.3.1 Extreme Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

10.3.2 Intermediate Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.3.3 ICE 11: Continuity Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11 Differentiation

99

11.1 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.2 Ice 12: Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

11.3 Derivative Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.3.1 Fermat's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.3.2 Rolle's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

11.3.3 Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11.4 ICE 13: Consequences of the Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . 115

11.5 Taylor's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

11.5.1 Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

12 The Riemann Integral

121

12.1 Darboux Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

12.2 Darboux Integrals (Riemann Integrals) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

12.3 Ice Darboux Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

12.4 Properties of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

13 The Fundamental Theorem of Calculus

141

13.1 ICE Fundamental Theorem of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

iv

14 Finale

149

14.1 Goals for our Math Majors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

14.2 Problem Solving . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

14.3 Proof Writing Skills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

14.4 Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

A Review Materials and Mastery Concepts

153

B Supplemental Topics

173

B.1 Review and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

B.2 Density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

B.3 A Taste of Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

B.4 Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

B.5 Open and Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

B.6 Complete Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

B.7 Compact Metric Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

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