В



Агентство образования администрации

Красноярского края

КГОУ СПО «Канский педагогический колледж»

Неопределенный и

определенный интегралы

(методические рекомендации для самостоятельной

работы студентов II курса)

Канск

2004

Печатается по решению кафедры технологии Канского педагогического колледжа.

Автор-составитель: В.С. Головкова, преподаватель кафедры математики Канского педагогического колледжа

Рецензент: Л.В. Шкерина, доктор педагогических наук, профессор кафедры математического анализа и методики его преподавания КГПУ

Неопределенный и определенный интегралы (методические рекомендации для самостоятельной работы студентов II курса): Методические рекомендации, Канск: Канский педагогический колледж, 2004 -68 с.

Методические рекомендации посвящены основным методам интегрирования и содержат теоретический материал с примерами его использования. Приведены варианты для домашней контрольной работы.

Методическая разработка вполне может быть использована в организации самостоятельной работы студентов.

© Автор – составитель:

В.С. Головкова

© КГОУ СПО «Канский педагогический колледж»

Содержание

Предисловие 4

§ 1. Первообразная, неопределенный интеграл и простейшие способы нахождения 5

§ 2. Интегрирование по частям 11

§ 3. Замена переменного 12

§ 4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен 22

§ 5. Интегрирование рациональных дробей 26

§ 6. Интегрирование некоторых тригонометрических функций 35

§ 7. Интегрирование выражений, содержащих радикалы 40

Задания для индивидуальной работы 47

Литература 67

Предисловие

Методические рекомендации по разделу «Первообразная и интеграл» составлена в соответствии с программой математического анализа. Она рассчитана на самостоятельную работу студентов.

Цель пособия заключается в воспитании самостоятельности, творческой инициативы, в том чтобы помочь студентам найти общие критерии, общие подходы к изучению данного раздела.

Проблема, связанная с самостоятельной деятельностью студента как реального источника приобретения знаний, активного и прочного усвоения, глубоко не разрешимо без наличия достаточной, соответствующей учебной и методической литературы.

Настоящее пособие предназначено частично решать эту проблему. В нем рассматриваются основные приемы нахождения неопределенного интеграла в строгой последовательности. Кроме краткого изложения теории, подобрано достаточное количество нестандартных примеров, показывающих практическое приложение свойств интеграла, методов интегрирования, показано как осуществлять проверку правильности решения.

Этот методический материал можно использовать и при изучении раздела «Определенный и неопределенный интегралы», показав при этом принципиальные отличия и сходство определенного и неопределенного интеграла, а так же при решении повариантной индивидуальной работы, которая учитывается в планировании учебного процесса как зачетная.

§ 1. Первообразная, неопределенный интеграл

и простейшие способы нахождения

Определение. Функция F(х) называется точной первообразной для функции f(x) на (a, b), если F((x) = f(x), x ( (a, b), или, что то же самое, f(x) dx служит дифференциалом для F(x): dF(x) = f(x) dx.

Определение. Функция F(х) называется обобщенной первообразной для f(x) на (a, b), если F(х) непрерывна на (a, b) и для любого x ( (a, b)\ Кn, где Кn – множество, состоящее не более чем из n точек, имеем F((x) = f(x). Если нет необходимости подчеркивать, что мы имеем дело именно с точной или обобщенной первообразной, то называем F(х) первообразной.

Пример 1. Функция ln(x + [pic]) есть первообразная для функции 1 /[pic] на всей числовой прямой, т.к. (ln (x + [pic]))( = 1 /[pic]. Функция |х| есть обобщенная первообразная для функции sign x на (–1, 1), так как |х | ( С(–1, 1) и |х |( = sign x, х ( 0.

Соотношение F((x) = f(x) определяет F(х) неоднозначно.

Пример 2. а) (cos 2x)( = –2sin 2x,

(–2sin2x) ( = –4sin x cos x = –2sin 2x;

б) [pic],

[pic].

Основным свойством первообразной является следующее: если F(х) и G(x) – первообразные для одной и той же функции f(x) на одном и том же промежутке, то F(х) - G(x) = const.

Определение. Множество всех первообразных для данной функции f(x) на промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается [pic](промежуток (a, b) – обычно это промежуток непрерывности f(x) и поэтому не указывается).

Следовательно, если F(х) есть первообразная для f(x) на (a, b), то [pic].

Пример 3. Найдем точную первообразную для функции f(x) = е|x| на всей числовой прямой.

Решение. При х ( 0 имеем е|x|= ех, и для этой функции в области G = {x; x ( R, x > 0} одна из первообразных будет ех. При х < 0 имеем е|x|= е–х, для этой функции в области х < 0 первообразной будет функция (–ех + k) при любой постоянной k. Так как первообразная функция е|x| по определению должна быть функцией непрерывной, то должно выполняться условие [pic] , т.е. 1 = –1 + k, откуда k = 2.

Итак, функция

[pic]

является непрерывной на всей числовой оси. Для х > 0 имеем F((x) = е–х = е|x|. Докажем, что эта функция будет точной первообразной для функции е|x| на всей числовой прямой. Для этого осталось проверить, что F((0) = е0 = 1.

Имеем

[pic]

[pic]т.е.

F(+(0) = F(–(0) = F((0) = 1 = е| 0|.

Следовательно, можно записать

[pic]

Доказывается, что любая непрерывная на [a, b] функция имеет на (a, b) точную первообразную, но в отличии от производной первообразная элементарной функции не всегда представляется элементарной функцией, например, первообразные для функций [pic]

Основные свойства неопределенного интеграла

1) [pic]

2) [pic]

3) [pic]

Таблица простейших интегралов

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

Нахождение первообразной или вычисление неопределенного интеграла в основном состоит в преобразовании подинтегрального выражения так, чтобы получить интегралы из этой таблицы («табличные интегралы»).

Правила вычисления неопределенных интегралов

1. [pic].

2. [pic].

3. Если [pic] непрерывно дифференцируема, то [pic].

Правило 3 показывает, что таблица интегралов справедлива независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или функцией. Заметим, что

1) [pic]

2) [pic]

Покажем это. Обозначим ах + b = t. Найдем дифференциал функции adx = dt. Выразим [pic] или [pic].

[pic] хndx = at [pic] [pic] .**

Как видно из 1,2 это правило основано на методе замены переменной, но замена проста и очевидно, что ее легко выполнить «в уме».

[pic] [pic] cos x dx = d sin x, sin x dx = –d cos x,

[pic].

Пример 4.

[pic].

Проверка.

[pic].

При дифференцировании получим подинтегральную функцию, следовательно интеграл взят верно.

Пример 5.

[pic].

Проверка.

[pic]

[pic].

Получим подинтегральную функцию, значит интеграл взят верно.

Заметим, что под знаком интеграла выражение в скобках можно возвести в степень 51 и взять интеграл как линейную комбинацию интегралов от степенных функций. Понятно, что этот метод здесь крайне громоздок, и наглядно видно преимущество предложенного здесь метода.

Пример 6.

[pic]

[pic]

[pic].

Пример 7.

[pic].

Пример 8.

[pic]

[pic].

Пример 9.

[pic].

Пример 10.

[pic]

[pic].

§ 2. Интегрирование по частям

Если u(x) и v(x) – непрерывно дифференцируемые функции, то [pic].

Суть применения этого метода интегрирования состоит в том, что интеграл [pic]. Этот метод часто применяется, когда под интегралом стоит произведение «разнородных» функций, например, еdx и х(, е2х и sin ( x, x и ln x, и arctg x и т.п.

Пример 1.

[pic].

Здесь в интеграле [pic]подынтегральная функция не является произведение «разводных» функций х и cos x.

Пример 2.

[pic]

[pic].

Здесь в интеграле [pic]подынтегральная функция является алгебраической функцией, а не трансцендентной, как в данном интеграле.

Иногда, применяя метод интегрирования по частям, удается получить нетривиальное уравнение для нахождения первообразной функции.

Пример 3. Вычислим [pic].

Решение. Имеем

[pic]

[pic].

2 I = ex(cos x + sin x).

Поэтому

[pic].

Пример 4. Вычислим [pic].

Решение. Имеем

[pic]

[pic],

поэтому

[pic].

§ 3. Замена переменного

Пусть функция f(x) непрерывна, функции х(t) и t(x)взаимно обратны и непрерывно дифференцируемы на соответствующих промежутках. Тогда первообразная для функции f(x) имеет вид F(x) = Ф(t(x)), где Ф(t) есть первообразная для функции f(x (t)) x(t). Коротко это утверждение записывается так:

[pic].

Функция х(t) подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор ее определяется конкретно видом подынтегрального выражения. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся замены:

А. Вычисление интегралов [pic] n, m – целые

I. Если оба показателя n и m – неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:

[pic] .

II. Если n и m – натуральные числа такие, что хотя бы одно из них нечетное, то в случае нечетного m полагаются sin x = t, а в случае нечетного n полагаются cos x = t и применяют либо формулу 1 – сos2 x = sin2 x = cos2 x/

III. Если n и m – целые неотрицательные числа такие, что оба числа |m| и |n| либо четные, либо нечетные, то полагают tg x = t и применяют формулы:

[pic].

К этому типу сводятся интеграл вида

[pic].

В самом деле,

[pic]

[pic].

IV. Если n и m – целые отрицательные числа, причем одно из числе |n| и |m| нечетное, то в случае нечетного |m| полагают sin x = t, а в случае нечетного |n| полагают сos x = t. Иногда в случае больших степеней |n| и |m| полезно в числителе подынтегральной функции неоднократно заменить единицу суммой sin2x + cos2x.

V. Если n – четное число, а m – целое отрицательное число, то можно заменить sin2x по формуле sin2x = 1 – сos2 х, и в этом случае интегралы сводятся к интегралам вида

[pic] ( ( N.

В случае четного m и целого n заменяют cos2 x на 1 – sin2 х. В некоторых специальных случаях полагают tg x = t.

VI. Если n нечетное и m – целое отрицательное число, то полагают cos x = t и применяют формулу sin2x = 1 – cos2x. В случае, когда m нечетное, а n – целое отрицательное число, полагают sin x = t и применяют формулу cos2x = 1– sin2x.

При вычислении рассматриваемых интегралов часто используются следующие формулы:

[pic],

[pic],

[pic].

Пример 1.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic].

Пример 2.

[pic]

[pic].

Пример 3.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic].

Пример 4.

[pic]

[pic]

[pic].

Пример 5.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic].

Пример 6.

[pic]

[pic].

Пример 7.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic].

В. Интегрирование выражений, содержащих радикалы [pic];

[pic]; а ( 0.

I. Если подынтегральная функция содержит радикал [pic], а > 0, то можно положить = = а sin t.

Так как выражение [pic]имеет смыл только при |x| ( a, то и первообразная ищется на промежутке –а < x < a, следовательно, можно считать, что [pic] тогда [pic]= а cos t.

II. Если подынтегральная функция содержит радикал [pic], а > 0, то можно положить [pic].

В этом случае первообразная ищется на луче х > а или на луче х < –а. Так как нет никаких оснований предпочесть один луч другому, то можно выбрать тот луч, на котором будет более простая запись преобразованного подынтегрального выражения, т.е. луч х > а, тогда берем [pic]и [pic]= a tg t.

В этом же случае можно сделать замену х = а ch t, тогда [pic].

III. Если подынтегральная функция содержит радикал [pic], а > 0, то можно положить х = а tg t. Функция х = а tg t непрерывно дифференцируема на интеграле ([pic]), при этом промежутком изменения х является числовая прямая, поэтому

[pic].

Пример 8. Вычислим

[pic]

Решение. Положим х = а tg t, тогда [pic]и [pic][pic]

[pic].

Так как [pic], то

[pic]

[pic].

Пример 9. Вычислим

[pic]

Решение. Положим х = a sin t, тогда

[pic].

Так как

[pic], [pic], [pic] где |x| ( a

то [pic].

Пример 10. Вычислим

[pic]

Решение. Положим х = a sh t, тогда

[pic]

[pic].

Так как [pic]

[pic], то [pic]

и [pic].

С. Вычисление интегралов вида

[pic].

где R- рациональная функция.

Полагая е = z, имеем R (ex, e2x, …, enx) = R (z, z2, …, zn) и [pic].

Пример 11. Вычислим

[pic].

Решение. Полагая ex = z, имеем R (ex, e2x, …, enx) = R (z, z2, …, zn) и

[pic]

[pic].

D. Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Так называются дифференциалы вида хm(a + bxn)p dx, где а, b – постоянные, отличные от нуля, m, n, p – рациональные числа.

Первообразная для функции хm(a + bxn)p является элементарной функцией в следующих трех случаях: а) р – целое, б) [pic]- целое, в) [pic]- целое;

а) если р – целое, то полагают x = z где N – общий знаменатель дробей m и n.

Пример 12. Вычислим

[pic].

Решение. Положим x = z6, поскольку р = –2 – целое. Тогда [pic],

[pic], dx = 6z5dz.

[pic]

[pic]

[pic].

Следовательно,

[pic].

б) если [pic] – целое, тогда полагают а + bxn = zN , где N – знаменатель дроби р.

Пример 13. Вычислим

[pic].

Решение. Положим 1 + х2/3 = z2, поскольку [pic] – целое. Тогда х = (z2 – 1)3/2, [pic].

Следовательно,

[pic], [pic].

в) если [pic] – целое, тогда полагают ах–n + b = z, где N – знаменатель дроби р.

Пример 14. Вычислим

[pic].

Решение. Положим z4 = 1 + x–4, поскольку [pic] - целое. Тогда х = (z4 – 1)-1/4, dx = –z3(z4 – 1)–5/4 dz, [pic].

Следовательно,

[pic]

[pic].

Если подынтегральная функция содержит трансцендентальную функцию сложного аргумента j(x), то полезно для упрощения подынтегрального выражения сделать замену j(x) = t.

Пример 15. Вычислим [pic].

Решение. Положим [pic], тогда [pic] и [pic].

Интегрируя по частям, имеем

[pic].

Следовательно,

[pic].

Пример 16. Вычислим

[pic].

Решение. Положим [pic], тогда х + 1= –t3, dx = –3t2dt.

Следовательно,

[pic]

[pic].

§ 4. Простейшие интегралы,

содержащие квадратный трехчлен

Рассмотрим интегралы вида

|I. [pic]. |II. [pic]. |

| |IV. [pic]. |

|III. [pic]. | |

Выделяя из квадратного трехчлена ах2 +bx + c полный квадрат запишем его в виде ах2 +bx + c = а(х +b)2 + q. Если в интегралах I, II, III сделать замену х + b = z, то получим интегралы

|I(. [pic]. |II(. [pic]. |

| |

|III(. [pic]. |

Вычисление этих интегралов в зависимости от знака числа а сводится к вычислению интегралов вида

[pic], [pic], [pic],

[pic], [pic],

каждый из которых представляет собой комбинацию двух интегралов, один из которых табличный, а другой сводится к табличному, применяя равенство d(z2 ( a2) = 2z dz. Интегралы [pic] и [pic] не входят в таблицу (см. таблицу простейших интегралов), но они уже были вычислены ранее. Так как интегралы такого вида часто встречаются в приложениях, а вычисление их технически сложно, то предлагается соответствующие первообразные просто запомнить. Поэтому эти интегралы также называют табличными:

[pic].

[pic].

Пример 1. Вычислим

[pic].

Решение. Так как х2 + 4х + 7 = (х + 2)2 + 3, то полагая х + 2 = z,

имеем [pic]

[pic].

Пример 2. Вычислим

[pic].

Решение. Так как

[pic], то полагая [pic], имеем [pic]

[pic]

[pic].

Пример 3. Вычислим

[pic].

Решение. Так как [pic], то

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic].

Для вычисления интеграла [pic]( делаем в нем замену х – а = z, тогда получаем интеграл

[pic].

Подынтегральная функция непрерывна на лучах х > a, а тогда z > 0. Такой же выбор в подобных ситуациях применяется и далее без особой оговорки. Полагая [pic], получаем табличный интеграл

[pic].

Пример 4. Вычислим

[pic].

Решение. Полагая х – 2 = z, имеем при z > 0

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic].

§ 5. Интегрирование рациональных дробей

В параграфе рассматривается интегрирование функций вида [pic], где Т(х) и R(x) – многочлены от х. Если степень многочлена Т(х) больше или равна степени многочлена R(x) то делением многочлена Т(х) на многочлен R(x) выделяем целую часть – многочлен Ф(х), т.е. [pic], где степень многочлена Q(x) меньше степени многочлена R(x). Интегрирование рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Интегрирование правильной рациональной дроби [pic]основано на теореме о представлении этой дроби конечной суммой простейших дробей. Вид этого разложения зависит от разложения многочлена Q(x) на множители. Множителям вида (х – а)k (а – действительный корень многочлена Q(x) кратности k) соответствуют k простейших дробей:

[pic],

где Аm – постоянные.

Множителям вида (x2 + px + q)i l (трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней) соответствует i простейших дробей вида:

[pic],

где B, D – постоянные.

Если разложение многочлена Q(x) на множители имеет вид [pic]

Где а1, …, аi - действительные корни многочлена, соответственно кратности k1, k2 …, ki, а трехчлены x2 +p1x +q1, x2 +pj x + qj не имеют действительных корней, то разложение [pic]в сумму простейших дробей ищется в виде:

[pic]

[pic].

Здесь в (1) [pic] - некоторые, пока неопределенные коэффициенты, способ отыскания которых будет указан ниже.

Итак, интегрирование рациональной функции приводится к интегрированию дробей вида:

I. [pic]; II. [pic];

III. [pic]; IV. [pic].

(трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней). Для дробей вида I, II, III соответственно имеем :

[pic];

[pic];

[pic]

[pic]

(так как x2 + px + q не имеет действительных корней, то [pic]). При вычислении интеграла IV поступим следующим образом: представим линейную функцию в числителе в виде комбинации производной квадратного трехчлена и константы, т.е.

[pic]

[pic].

Рассмотрим интеграл

[pic].

Выделением полного квадрата [pic] и заменой [pic]он приводится к виду [pic].

Для вычисления такого интеграла используется подстановка z = b tg u или выводится рекуррентное соотношение, позволяющее понизить степень m в знаменателе интегрированием по частям. Действительно, представляя Im в виде комбинации Im-1 и [pic]и вычисляя последний интегрированием по частям, получим:

[pic]

[pic][pic].

Для нахождения неопределенных коэффициентов при разложении правильной рациональной дроби [pic]в сумму простейших дробей правую часть искомого разложения (1) приводят к общему знаменателю (им будет многочлен Q(x)) и у получившегося в числителе многочлена, и у многочлена Р(ч) приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х. Таким образом, получается система линейных уравнений, из которой находятся неопределенные коэффициенты (в алгебре доказывается ее однозначная разрешимость).

Пример 1. Вычислим

[pic].

Решение. Разложение дроби [pic] в сумму простейших дробей ищем в виде

[pic] (2)

Приводя в (2) к общему знаменателю правую часть, имеем

[pic].

Приравнивая числители дробей, получаем тождество:

х = А(х – 2)2 +В(х + 1)(х – 2) + С(х + 1) (3)

Перепишем его в виде:

х = (А + В)х2 + С – В – 4А)х + (4А – 2В + С).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

[pic]

Откуда [pic].

Следовательно,

[pic].

Иногда полезно, полученное приравниванием многочлена Р(х) к числителю дроби, полученной после приведения к общему знаменателю простейших дробей, подставлять вместо х некоторое специально подобранные числа (обычно действительные корни знаменателя данной рациональной дроби). В результате получаются линейные уравнения относительно искомых коэффициентов, хотя следует помнить, что подстановке произвольных чисел полученные уравнения могут быть зависимыми.

Применим этот метод к предыдущему примеру, полагая в тождестве (3) х = 2, имеем 2 = 3С, откуда с = 2/3. Полагая х = –1, имеем –1 = 9А, откуда А = –1/9. Полагая х = 0, имеем 0 = 4А – 2В + С, откуда с учетом найденных А = –1/9 и С = 2/3 имеем В = 4А + С/2 = 1/9.

Пример 2. Вычислим

[pic].

Решение. Разложение дроби [pic] в сумму простейших дробей ищем в виде: [pic].

Коэффициенты А, В, С, D и Е определим, исходя из тождества 3х – х + 2 = = А(1 + х2)2 +(Вх + С)(х – 1)(1 + х)2 +(Dx + Е)(х – 1).

Полагая х = 1, находим А = 1. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим к системе уравнений:

[pic]

Откуда находим, что А = 1, остальные коэффициенты: В = –1, С = –1, D = 1, Е = 0.

Следовательно,

[pic]

[pic].

Так как разложение на простейшие дроби часто требует громоздких выкладок, то иногда при вычислении интегралов от рациональной функции полезно производить некоторые преобразования, делать замены переменных, позволяющие упростить вычисления данных интегралов.

Пример 3.

[pic]

[pic]

Пример 4.

[pic]

[pic].

Пример 5.

[pic]

[pic]

[pic].

Пример 6.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic].

Пример 7.

[pic]

[pic].

Пример 8. Для х ( 0

[pic].

Пример 9.

[pic]

[pic].

Пример 10.

[pic]

[pic]

[pic].

Пример 11.

[pic]

[pic].

Пример 12. Вычислим

[pic].

Решение.

[pic]

[pic];

[pic]

[pic]

[pic].

Следовательно,

[pic].

§ 6. Интегрирование некоторых

тригонометрических функций

Интегралы вида R (sin x, cos x) dx, где в общем случае R – рациональная функция, приводятся к интегралам отрицательных функций с помощью универсальной подстановки [pic].

[pic].

[pic].

x = 2arctg t [pic].

Обратим внимание, что применение подстановки tg(x/2) = t возможно только на промежутках, не содержащих точек вида 2kp, k ( Z. В дальнейшем это подразумевается.

Пример 1.

[pic]

[pic].

Подстановка t = tg(x/2), являющаяся универсальной для интегралов от рациональных выражений, содержащих функции sin x и cos x, приводит иногда к довольно сложным выкладкам. Ниже рассматриваются некоторые случаи, когда подынтегральная функция приводится к рациональной дроби более простым способом.

I. Если R (–sin x, cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

II. Если R (sin x, –cos x) = –R (sin x, cos x), то применяется подстановка sin x = t.

III. Если R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то применяется подстановка tg x = t.

Замечание. Любое рациональное выражение R (u, v) всегда можно представить в виде суммы трех выражений, рассмотренных в пунктах I, II, III:

[pic].

Пример 2. Вычислим

[pic].

Решение.

[pic].

Так как R (–sin x, –cos x) = R (sin x, cos x), то полагая tg x = t, имеем

[pic].

Пример 3. Вычислим

Решение. Пусть

[pic].

Так как R(–sin x, cos x) = –R(sin x, cos x), то полагая cos x = t, имеем

[pic]

[pic]

Пример 4. Вычислим

[pic].

Решение.

[pic]

[pic]

[pic]

Иногда, если это не нарушает рациональности подынтегрального выражения, полезно понизить степени sin x и cos x, используя переход к кратным углам.

Пример 5. Вычислим

[pic].

Решение. Применяя формулы

[pic],

имеем

[pic].

Полагая tg 2x = t, находим

[pic].

Рассмотрим некоторые специальные методы.

Приме 6. Вычислим

[pic].

Решение. Представим числитель (sin x – 3 cos x) в виде линейной комбинации знаменателя (4sin x + 5cos x) и его производной, т.е.

sin x – 3cos x = A(4sin x + 5cos x) + В(4cos x – 5sin x).

Для нахождения коэффициентов А и В имеем систему

[pic],

поэтому

[pic]

[pic].

Пример 7. Вычислим

[pic].

Решение. Представим числитель (2sin x + cos x –1) в виде линейной комбинации знаменателя (sin x – cos x + 2), его производной и константы, т.е.

2sin x + cos x – 1 = A(sin x – cos x + 2) + B(cos x + sin x) + C.

Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему

[pic].

Поэтому

[pic]

[pic]

[pic]

[pic].

Пример 8. Вычислим

[pic].

Решение. Представим выражение 2sin2x + 3sin x cos x + 5cos2x в виде

2sin2x + 3sin x cos x + 5cos2x = (А sin x + B cos x) (sin x – 2cos x) + + С (sin2x +cos2x).

Для нахождения коэффициентов А, В и С имеем систему

[pic].

Поэтому

[pic]

[pic].

§ 7. Интегрирование выражений,

содержащих радикалы

I. Интегрирование функций вида [pic], где R – рациональная функция аргументов, m – натуральное число, а, b, g, d – некоторые константы.

При интегрировании таких функций полагают [pic], тогда х будет некоторая рациональная функция j(t) и интеграл запишется в виде:

[pic],

где подынтегральная функция есть рациональная функция t.

Пример 1. Вычислим

[pic].

Решение. Положим [pic], тогда [pic], т.е. dx = 2tdt.

[pic].

Разлагая рациональную функцию [pic]в сумму простейших дробей, имеем

[pic][pic]

[pic].

Пример 2. Вычислим

[pic]; [pic].

Решение. Положим [pic]тогда [pic], т.е. dx = 4t3dt и

[pic]

[pic].

Пример 3. Вычислим

[pic].

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию к виду

[pic].

Полагая [pic] имеем

[pic], [pic], [pic],

тогда

[pic]

[pic].

II. Интегрирование функций вида [pic], где R(x) – рациональная функция.

Выделяя из рациональной дроби R(x) целую часть – многочлен [pic] и раскладывая дробь [pic] в сумму простейших дробей, видим, что интегрирование функций [pic] приводится к вычислению интегралов следующих типов:

а) [pic], Р(х) – многочлен;

б) [pic], А – константа;

в) [pic], M, N – константы и трехчлен х2 +px+q не имеет действительных корней.

Укажем методы вычисления этих интегралов.

а) Можно показать, что первообразную для функции [pic], где Р(х) – многочлен степени n, следует искать в виде [pic] (1)

где Q(x) – многочлен степени (n – 1) с неопределенными коэффициентами, ( - неизвестная константа.

Коэффициенты многочлена Q(x) и число ( находятся при помощи дифференцирования тождества (1).

Пример 4. Вычислим

[pic].

Решение. Полагаем

[pic].

Дифференцируя это тождество, имеем

[pic]

[pic],

откуда

2(х3 – 2) = (4ах + 2b)(x2 + x + 1) + (ax2 + bx + c)(2x + 1) + 2(.

Для нахождения неопределенных коэффициентов а, b, c и ( получаем систему уравнений:

[pic].

Следовательно,

[pic]

[pic].

б) Интеграл вида [pic] подстановкой [pic] приводится к виду, рассмотренному в предыдущем пункте.

Пример 5. Вычислим

[pic].

Решение. Положим [pic] , тогда [pic] и для t > 0 имеем

[pic]

[pic].

в) Рассмотрим вычисление интеграла [pic].

Предположим вначале, что ах2 + bx + c = ((x2 +px + q).

Тогда

[pic].

Поскольку

[pic],

то

[pic].

Первый из полученных интегралов табличный.

Для вычисления интеграла [pic] применяется подстановка Абеля: [pic].

В общем случае, т.е. если отношение трехчленов ах2 + bx + c и x2 + px + q непостоянно, в интеграле делают замену переменного так, чтобы во вновь полученных трехчленах одновременно исчезли члены с первой степенью. Это достигается, например, с помощью дробно-линейной подстановки [pic], если [pic], и [pic], если [pic].

В результате получаем интеграл [pic].

Для вычисления этого интеграла представим его в виде

[pic].

К первому из этих интегралов применяем подстановку [pic]; а ко второму – подстановку [pic].

Пример 6. Вычислим

[pic].

Решение. Полагаем [pic],

тогда

4t2(x2 + x + 2) = 4x2 + 4x + 1 = 4(x2 + x+ 2) – 7,

откуда

[pic].

Дифференцируя равенство

[pic],

имеем

[pic],

откуда

[pic].

Итак,

[pic],

поэтому

[pic]

[pic].

Задания для индивидуальной работы

Задача 1. Найти неопределенные интегралы.

|1.1. [pic]. | |1.2. [pic]. |

|1.3. [pic]. | |1.4. [pic]. |

|1.5. [pic]. | |1.6. [pic]. |

|1.7. [pic]. | |1.8. [pic]. |

|1.9. [pic]. | |1.10. [pic]. |

|1.11. [pic]. | |1.12. [pic]. |

|1.13. [pic]. | |1.14. [pic]. |

|1.15. [pic]. | |1.16. [pic]. |

|1.17. [pic]. | |1.18. [pic]. |

|1.19. [pic]. | |1.20. [pic]. |

|1.21. [pic]. | |1.22. [pic]. |

|1.23. [pic]. | |1.24. [pic]. |

|1.25. [pic]. | |1.26. [pic]. |

|1.27. [pic]. | |1.28. [pic]. |

|1.29. [pic]. | |1.30. [pic]. |

|1.31. [pic]. | | |

Задача 2. Вычислить определенные интегралы.

|2.1. [pic]. | |2.2. [pic]. |

|2.3. [pic]. | |2.4. [pic]. |

|2.5. [pic]. | |2.6. [pic]. |

|2.7. [pic]. | |2.8. [pic]. |

|2.9. [pic]. | |2.10. [pic]. |

|2.11. [pic]. | |2.12. [pic]. |

|2.13. [pic]. | |2.14. [pic]. |

|2.15. [pic]. | |2.16. [pic]. |

|2.17. [pic]. | |2.18. [pic]. |

|2.19. [pic]. | |2.20. [pic]. |

|2.21. [pic]. | |2.22. [pic]. |

|2.23. [pic]. | |2.24. [pic]. |

|2.25. [pic]. | |2.26. [pic]. |

|2.27. [pic]. | |2.28. [pic]. |

|2.29. [pic]. | |2.30. [pic]. |

|2.31. [pic]. | | |

Задача 3. Найти неопределенные интегралы.

|3.1. [pic]. | |3.2. [pic]. |

|3.3. [pic]. | |3.4. [pic]. |

|3.5. [pic]. | |3.6. [pic]. |

|3.7. [pic]. | |3.8. [pic]. |

|3.9. [pic]. | |3.10. [pic]. |

|3.11. [pic]. | |3.12. [pic]. |

|3.13. [pic]. | |3.14. [pic]. |

|3.15. [pic]. | |3.16. [pic]. |

|3.17. [pic]. | |3.18. [pic]. |

|3.19. [pic]. | |3.20. [pic]. |

|3.21. [pic]. | |3.22. [pic]. |

|3.23. [pic]. | |3.24. [pic]. |

|3.25. [pic]. | |3.26. [pic]. |

|3.27. [pic]. | |3.28. [pic]. |

|3.29. [pic]. | |3.30. [pic]. |

|3.31. [pic]. | | |

Задача 4. Найти неопределенные интегралы.

|4.1. [pic]. | |4.2. [pic]. |

|4.3. [pic]. | |4.4. [pic]. |

|4.5. [pic]. | |4.6. [pic]. |

|4.7. [pic]. | |4.8. [pic]. |

|4.9. [pic]. | |4.10. [pic]. |

|4.11. [pic]. | |4.12. [pic]. |

|4.13. [pic]. | |4.14. [pic]. |

|4.15. [pic]. | |4.16. [pic]. |

|4.17. [pic]. | |4.18. [pic]. |

|4.19. [pic]. | |4.20. [pic]. |

|4.21. | |4.22. |

|[pic]. | |[pic]. |

|4.23. [pic]. | |4.24. [pic]. |

|4.25. [pic]. | |4.26. [pic]. |

|4.27. [pic]. | |4.28. [pic]. |

|4.29. [pic]. | |4.30. [pic]. |

Задача 5. Найти неопределенные интегралы.

|5.1. [pic]. | |5.2. [pic]. |

|5.3. [pic]. | |5.4. [pic]. |

|5.5. [pic]. | |5.6. [pic]. |

|5.7. [pic]. | |5.8. [pic]. |

|5.9. [pic]. | |5.10. [pic]. |

|5.11. [pic]. | |5.12. [pic]. |

|5.13. [pic]. | |5.14. [pic]. |

|5.15. [pic]. | |5.16. [pic]. |

|5.17. [pic]. | |5.18. [pic]. |

|5.19. [pic]. | |5.20. [pic]. |

|5.21. [pic]. | |5.22. [pic]. |

|5.23. [pic]. | |5.24. [pic]. |

|5.25. [pic]. | |5.26. [pic]. |

|5.27. [pic]. | |5.28. [pic]. |

|5.29. [pic]. | |5.30. [pic]. |

|5.31. [pic]. | | |

Задача 6. Вычислить определенный интеграл.

|6.1. [pic]. | |6.2. [pic]. |

|6.3. [pic]. | |6.4. [pic]. |

|6.5. [pic]. | |6.6. [pic]. |

|6.7. [pic]. | |6.8. [pic]. |

|6.9. [pic]. | |6.10. [pic]. |

|6.11. [pic]. | |6.12. [pic]. |

|6.13. [pic]. | |6.14. [pic]. |

|6.15. [pic]. | |6.16. [pic]. |

|6.17. [pic]. | |6.18. [pic]. |

|6.19. [pic]. | |6.20. [pic]. |

|6.21. [pic]. | |6.22. [pic]. |

|6.23. [pic]. | |6.24. [pic]. |

|6.25. [pic]. | |6.26. [pic]. |

|6.27. [pic]. | |6.28. [pic]. |

|6.29. [pic]. | |6.30. [pic]. |

|6.31. [pic]. | | |

Задача 7. Вычислить определенные интегралы.

|7.1. [pic]. | |7.2. [pic]. |

|7.3. [pic]. | |7.4. [pic]. |

|7.5. [pic]. | |7.6. [pic]. |

|7.7. [pic]. | |7.8. [pic]. |

|7.9. [pic]. | |7.10. [pic]. |

|7.11. [pic]. | |7.12. [pic]. |

|7.13. [pic]. | |7.14. [pic]. |

|7.15. [pic]. | |7.16. [pic]. |

|7.17. [pic]. | |7.18. [pic]. |

|7.19. [pic]. | |7.20. [pic]. |

|7.21. [pic]. | |7.22. [pic]. |

|7.23. [pic]. | |7.24. [pic]. |

|7.25. [pic]. | |7.26. [pic]. |

|7.27. [pic]. | |7.28. [pic]. |

|7.29. [pic]. | |7.30. [pic]. |

|7.31. [pic]. | | |

Задача 8. Найти неопределенные интегралы.

|8.1. [pic]. | |8.2. [pic]. |

|8.3. [pic]. | |8.4. [pic]. |

|8.5. [pic]. | |8.6. [pic]. |

|8.7. [pic]. | |8.8. [pic]. |

|8.9. [pic]. | |8.10. [pic]. |

|8.11. [pic] | |8.12. [pic]. |

|8.13. [pic]. | |8.14. [pic]. |

|8.15. [pic] | |8.16. [pic]. |

|8.17. [pic]. | |8.18. [pic]. |

|8.19. [pic]. | |8.20. [pic]. |

|8.21. [pic].*** | |8.22. [pic]. |

|8.23. [pic]. | |8.24. [pic]. |

|8.25. [pic]. | |8.26. [pic]. |

|8.27. [pic]. | |8.28. [pic]. |

|8.29. [pic] | |8.30. [pic]. |

|8.31. [pic]. | | |

Задача 9. Вычислить определенные интегралы.

|9.1. [pic]. | |9.2. [pic]. |

|9.3. [pic]. | |9.4. [pic]. |

|9.5. [pic]. | |9.6. [pic]. |

|9.7. [pic]. | |9.8. [pic]. |

|9.9. [pic]. | |9.10. [pic]. |

|9.11. [pic]. | |9.12. [pic]. |

|9.13. [pic]. | |9.14. [pic]. |

|9.15. [pic]. | |9.16. [pic]. |

|9.17. [pic]. | |9.18. [pic]. |

|9.19. [pic]. | |9.20. [pic]. |

|9.21. [pic]. | |9.22. [pic]. |

|9.23. [pic]. | |9.24. [pic]. |

|9.25. [pic]. | |9.26. [pic]. |

|9.27. [pic]. | |9.28. [pic]. |

|9.29. [pic]. | |9.30. [pic]. |

|9.31. [pic]. | | |

Задача 10. Найти неопределенные интегралы.

|10.1. [pic]. | |10.2. [pic]. |

|10.3. [pic]. | |10.4. [pic]. |

|10.5. [pic]. | |10.6. [pic]. |

|10.7. [pic]. | |10.8. [pic]. |

|10.9. [pic]. | |10.10. [pic]. |

|10.11. [pic]. | |10.12. [pic]. |

|10.13. [pic]. | |10.14. [pic]. |

|10.15. [pic]. | |10.16. [pic]. |

|10.17. [pic]. | |10.18. [pic]. |

|10.19. [pic]. | |10.20. [pic]. |

|10.21. [pic]. | |10.22. [pic]. |

|10.23. [pic]. | |10.24. [pic]. |

|10.25. [pic]. | |10.26. [pic]. |

|10.27. [pic]. | |10.28. [pic]. |

|10.29. [pic]. | |10.30. [pic]. |

|10.31. [pic]. | | |

Задача 11. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

|11.1. [pic]. | |11.2. [pic]. |

|11.3. [pic]. | |11.4. [pic]. |

|11.5. [pic]. | |11.6. [pic]. |

|11.7. [pic]. | |11.8. [pic]. |

|11.9. [pic]. | |11.10. [pic]. |

|11.11. [pic]. | |11.12. [pic]. |

|11.13. [pic]. | |11.14. [pic]. |

|11.15. [pic]. | |11.16. [pic]. |

|11.17. [pic]. | |11.18. [pic]. |

|11.19. [pic]. | |11.20. [pic]. |

|11.21. [pic]. | |11.22. [pic]. |

|11.23. [pic]. | |11.24. [pic]. |

|11.25. [pic]. | |11.26. [pic]. |

|11.27. [pic]. | |11.28. [pic]. |

|11.29. [pic]. | |11.30. [pic]. |

|11.31. [pic]. | | |

Задача 12. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями, заданными уравнениями.

|12.1. [pic]. | |12.2. [pic]. |

|12.3. [pic]. | |12.4. [pic]. |

|12.5. [pic]. | |12.6. [pic]. |

|12.7. [pic]. | |12.8. [pic]. |

|12.9. [pic]. | |12.10. [pic]. |

|12.11. [pic]. | |12.12. [pic]. |

|12.13. [pic]. | |12.14. [pic]. |

|12.15. [pic]. | |12.16. [pic]. |

|12.17. [pic]. | |12.18. [pic]. |

|12.19. [pic]. | |12.20. [pic]. |

|12.21. [pic]. | |12.22. [pic]. |

|12.23. [pic]. | |12.24. [pic]. |

|12.25. [pic]. | |12.26. [pic]. |

|12.27. [pic]. | |12.28. [pic]. |

|12.29. [pic]. | |12.30. [pic]. |

|12.31. [pic]. | | |

Задача 13. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.

|13.1. у = –х2.+ 5х – 6, у = 0. | |13.2. 2х – х2 +у = 0, 2х2 – 4х + у = 0. |

|13.3. у = 3sin х, y = sin х, 0 ( x ( ( . | |13.4. у = 5 cos х, y = cos х, x = 0, |

| | | |

| | |x ( 0. |

|13.5. [pic]. | |13.6. [pic]. |

|13.7. y = xex, y = 0, x = 1. | |13.8. у = 2x – х2.,y = –х + 2, x = 0. |

|13.9. у = 2x – х3.,y = –х + 2. | |13.10. y = e1–x, y = 0, x = 0, x = 1. |

|13.11. y = x3, y – x = 0. | |13.12. x2 +(y – 2)2 = 1. |

|13.13. [pic]. | |13.14. y = x2, e = 1, x = 2. |

|13.15. [pic]. | |13.16. [pic]. |

|13.17. | |13.18. |

|[pic] | |[pic] |

|13.19. y = x2, x = 2, y = 0. | |13.20. y = x2 + 1, y = x, x = 0, x = 1. |

|13.21. [pic]. | |13.22. y = ln x, x = 2, y = 0. |

|13.23. y = (x – 1)2, y = 1. | |13.24. y3 = x – 2, y = 0, y = x3, y = 1. |

|13.25. | |13.26. |

| | |[pic]. |

|y = x3, y = x2. | | |

|13.27. y = arcsin x, y=arccos x, y=0. | |13.28. y = x2 – 2x +1, x = 2, y = 0. |

|13.29. y = x3, y = x. | |13.30. y = arccos x, y = arcsin x, x = 0 |

|13.31. y = (x – 1)2, x = 0, x=2, y = 0. | | |

Задача 14. Вычислить длины дуг кривых, заданных уравнениями в прямоугольной системе координат.

14.1. [pic].

14.2. [pic].

14.3. [pic].

14.4. [pic].

14.5. [pic].

14.6. [pic].

14.7. [pic].

14.8. [pic].

14.9. [pic].

14.10. [pic].

14.11. [pic].

14.12. [pic].

14.13. [pic].

14.14. [pic].

14.15. [pic].

14.16. [pic].

14.17. [pic].

14.18. [pic].

14.19. [pic].

14.20. [pic].

14.21. [pic].

14.22. [pic].

14.23. [pic].

Литература

1. Г. М. Фихтенгольц. Интегральное исчисление. т. 1, 2. -М.: Наука, 1963.

1. Н. Я. Виленкин. Интегральное исчисление. М.: Просвещение, 1973.

1. А. С. Мордкович. Математический анализ. М.: Высшая школа, 1990.

1. К. А. Бохан. Курс математического анализа. М.: Просвещение, 1972.

1. Н. Я. Виленкин. Задачник по математическому анализу. М.: Просвещение, 1971.

1. И. А. Виноградов. Задачи и упражнения по курсу математического анализа. МГУ, 1988.

1. М. В. Елин. Кратные интегралы. КГПУ, 1993.

1. Л. В. Шкерина. Начала математического анализа. КГПУ, 1993.

1. Г. Н. Берман. Сборник задач по математическому анализу. М.: Наука, 1985.

1. Учебник. Алгебра и начала анализа. 10, 11 класс.

Оригинал – макет и компьютерная верстка:

А.П. Афанасьева, Т.Н Вахрушева, Е.Н.Федоров

( В интеграле IV можно положить [pic]

-----------------------

[pic]

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download