Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7
Trigonom?trie
Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur maths-france.fr
* tr?s facile ** facile *** difficult? moyenne **** difficile ***** tr?s difficile I : Incontournable T : pour travailler et m?moriser le cours
Exercice 1 *IT R?soudre dans R puis dans [0, 2] les ?quations suivantes :
1. sin x = 0, 2. sin x = 1, 3. sin x = -1, 4. cos x = 1, 5. cos x = -1, 6. cos x = 0, 7. tan x = 0, 8. tan x = 1.
Correction
[005063]
Exercice 2 *IT R?soudre dans R puis dans [0, 2] les ?quations suivantes :
1.
sin x =
1 2
,
2. sin x = - 1 ,
2
3. tan x = -1,
4. tan x = 1 ,
3
5.
cos x =
3 2
,
6. cos x = - 1 .
2
Correction
[005064]
Exercice 3 **IT R?soudre dans R puis dans I les ?quations suivantes :
1.
sin(2x) =
1 2
,
I = [0, 2],
2. sin
x 2
=
- 1 ,
2
I
=
[0, 4],
3. tan(5x) = 1, I = [0, ],
1
4. cos(2x) = cos2 x, I = [0, 2], 5. 2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0, I = [0, 2], 6. cos(nx) = 0 (n N), 7. | cos(nx)| = 1, 8. sin(nx) = 0, 9. | sin(nx)| = 1, 10. sin x = tan x, I = [0, 2], 11. sin(2x) + sin x = 0, I = [0, 2], 12. 12 cos2 x - 8 sin2 x = 2, I = [-, ].
Correction
[005065]
Exercice 4 **IT R?soudre dans I les in?quations suivantes :
1. cos x
1 2
,
I
=
[-, ],
2. sin x
- 1 ,
2
I
=
R,
3.
cos
x
>
cos
x 2
,
I = [0, 2],
4. cos2 x cos(2x), I = [-, ],
5. cos2 x
1 2
,
I
=
[0, 2],
6.
cos
x 3
sin
x 3
,
I
=
[0, 2].
Correction
[005066]
Exercice 5 *I
Calculer
cos
8
et
sin
8
.
Correction
[005067]
Exercice 6 *I
Calculer
cos
12
et
sin
12
.
Correction
[005068]
Exercice 7 *** Montrer que cos (?a1 ? a2 ? ... ? an) = 2n cos a1 cos a2... cos an (la somme comporte 2n termes).
Correction
[005069]
Exercice 8 ***I
1. Calculer nk=1 cos
a 2k
pour a ?l?ment donn? de ]0, [ (penser ? sin(2x) = 2 sin x cos x).
2.
D?terminer limn+ nk=1 ln
cos(
a 2k
)
.
2
Correction
[005070]
Exercice 9 ** R?soudre dans R l'?quation 24cos2 x+1 + 16.24sin2 x-3 = 20.
Correction
[005071]
Exercice 10 ***
Soit a un r?el distinct de 1 et - 1 .
3
3
1. Calculer tan(3 ) en fonction de tan .
2. R?soudre dans R l'?quation :
3x - x3 3a - a3 1 - 3x2 = 1 - 3a2 . On trouvera deux m?thodes, l'une alg?brique et l'autre utilisant la formule de trigonom?trie ?tablie en 1).
Correction
[005072]
Exercice 11 **** On veut calculer S = tan 9 - tan 27 - tan 63 + tan 81.
1. Calculer tan(5x) en fonction de tan x.
2. En d?duire un polyn?me de degr? 4 dont les racines sont tan 9, - tan 27, - tan 63 et tan 81 puis la valeur de S.
Correction
[005073]
Exercice 12 *** Combien l'?quation
tan x + tan(2x) + tan(3x) + tan(4x) = 0,
poss?de-t-elle de solutions dans [0, ] ?
Correction
[005074]
Exercice 13 **I
On
veut
calculer
cos
2 5
et
sin
2 5
.
Pour
cela,
on
pose
a
=
2
cos
2 5
,
b
=
2
cos
4 5
et
z = e2i/5.
1. V?rifier que a = z + z4 et b = z2 + z3.
2. V?rifier que 1 + z + z2 + z3 + z4 = 0.
3.
En
d?duire
un
polyn?me
de
degr?
2
dont
les
racines
sont
a
et
b
puis
les
valeurs
exactes
de
cos
2 5
et
sin
2 5
.
Correction
[005075]
Exercice 14 **I Calculer une primitive de chacune des fonctions suivantes :
1. x cos2 x, 2. x cos4 x,
3
3. x sin4 x, 4. x cos2 x sin2 x, 5. x sin6 x, 6. x cos x sin6 x, 7. x cos5 x sin2 x, 8. x cos3 x.
Correction
Exercice 15 **
Calculer I =
/3 /6
cos4
x
sin6
x
dx
et
J
=
/3 /6
cos4
x
sin7
x
d
x.
Correction
Exercice 16 ** D?montrer les identit?s suivantes, en pr?cisant ? chaque fois leur domaine de validit? :
1.
1-cos x sin x
=
tan
x 2
,
2.
sin
x
-
2 3
+ sin x + sin
x
+
2 3
= 0,
3. tan
4
+
x
+ tan
4
-
x
=
2 cos(2x)
,
4.
1 tan x
- tan x
=
2 tan(2x)
.
Correction
Exercice 17 *** Soit k un r?el distinct de -1 et de 1.
1.
Etudier les variations de
fk
:
x
sin x 1-2k cos
x+k2
.
2.
Calculer
0
fk(x)
dx.
Correction
Exercice 18 ***I Calculer les sommes suivantes :
1.
n
k=0
cos(kx)
et
n
k=0
sin(kx),
(x
R
et
n
N
donn?s).
2. nk=0 cos2(kx) et nk=0 sin2(kx), (x R et n N donn?s).
3. nk=0
n k
cos(kx) et nk=0
n k
sin(kx), (x R et n N donn?s).
Correction
Exercice 19 *** R?soudre le syst?me
Correction
cos a + cos b + cos c = 0 sin a + sin b + sin c = 0
o? a, b et c sont trois r?els.
Exercice 20 **
4
[005076] [005077]
[005078] [005079]
[005080] [005081]
Montrer
que
cos4
8
+ cos4
3 8
+ cos4
5 8
+ cos4
7 8
=
3 2
.
Correction
Exercice 21 ***
1. R?soudre dans R l'?quation cos(3x) = sin(2x).
2. En d?duire les valeurs de sin x et cos x pour x ?l?ment de
10
,
5
,
3 10
.
Correction
[005082] [005083]
5
Correction de l'exercice 1
1. sin x = 0 x Z. De plus, S[0,2] = {0, , 2}.
2.
sin x = 1 x
2
+ 2Z.
De plus, S[0,2] =
2
.
3.
sin
x
=
-1
x
-
2
+ 2Z.
De plus, S[0,2]
=
3 2
.
4. cos x = 1 x 2Z. De plus, S[0,2] = {0, 2}.
5. cos x = -1 x + 2Z. De plus, S[0,2] = {}.
6.
cos x = 0 x
2
+ Z.
De plus, S[0,2] =
2
,
3 2
.
7. tan x = 0 x Z. De plus, S[0,2] = {0, , 2}.
8.
tan x = 1 x
4
+ Z.
De plus, S[0,2] =
4
,
5 4
.
Correction de l'exercice 2
1.
sin x =
1 2
x
6
+
2 Z
5 6
+ 2Z
.
De plus, S[0,2] =
6
,
5 6
.
2. sin x = - 1 x
2
-
4
+
2 Z
-
3 4
+
2 Z
. De plus, S[0,2] =
-
4
,
-
3 4
.
3.
tan
x
=
-1
x
-
4
+ Z.
De plus, S[0,] =
3 4
.
4.
tan x =
1 3
x
6
+ Z.
De plus, S[0,] =
6
.
5. cos x =
3 2
x
-
6
+
Z
6
+Z
.
De plus, S[0,2] =
6
,
11 6
.
6. cos x = - 1 x
2
-
3 4
+Z
3 4
+Z
. De plus, S[0,2] =
3 4
,
5 4
.
Correction de l'exercice 3
1.
sin(2x) =
1 2
2x
6
+ 2Z
5 6
+
2 Z
x
12
+
Z
5 12
+Z
.
De plus, S[0,2] =
12
,
5 12
,
13 12
,
17 12
.
2.
sin
x 2
= - 1
2
x 2
5 4
+ 2Z
7 4
+
2 Z
x
5 2
+
4 Z)
(
7 2
+ 4Z
.
De plus, S[0,4] =
5 2
,
7 2
.
3.
tan(5x) = 1 5x
4
+Z x
20
+
5
Z.
De plus, S[0,] =
20
,
4
,
9 20
,
13 20
,
17 20
.
4.
cos(2x) = cos2 x cos(2x) =
1 2
(1
+
cos(2x))
cos(2x)
=
1
2x
2
Z
x
Z.
De plus, S[0,2] =
{0, , 2}.
5.
2 cos2 x - 3 cos x + 1 = 0 (2 cos x - 1)(cos x - 1) = 0 cos x =
1 2
ou
cos x = 1 x
-
3
+
2 Z
3
+
2 Z
2Z. De plus, S[0,2] =
0,
3
,
5 3
,
2
.
6.
cos(nx) = 0 nx
2
+Z x
2n
+
n
Z.
7.
| cos(nx)| = 1 nx Z x
n
Z.
8.
sin(nx) = 0 nx Z x
n
Z.
9.
| sin(nx)| = 1 nx
2
+Z x
2n
+
n
Z.
10.
sin
x
=
tan
x
sin
x
-
sin x cos x
=
0
sin
x
cos x-1 cos x
= 0 sin x = 0 ou
cos x = 1 x Z.
De plus, S[0,2] =
{0, , 2}.
6
11.
sin(2x) + sin x = 0 sin(2x) = sin(x + ) (k Z/ 2x = x + + 2k) ou (k Z/ 2x = -x + 2k)
(k
Z/
x
=
+
2k
)
ou
(k
Z/
x
=
2k 3
)
De
plus,
S[0,2 ]
=
{0,
2 3
,,
4 3
, 2}.
12.
12 cos2 x - 8 sin2 x = 2 6 cos2 x - 4(1 - cos2 x) = 1 cos2 x = 1 cos x = 1 ou cos = - 1
2
2
2
x
-
4
+
Z
4
+
Z
x
4
+
2
Z.
Correction de l'exercice 4
1. Pour x [-, ], cos x
1 2
x
-
,
-
3
3
,
.
2. Pour x R, sin x
- 1 x
2 kZ
-
4
+
2k
,
5 4
+
2k
.
3. Pour x [0, 2],
cos x > cos x 2 cos2 x - cos x - 1 > 0 (2 cos x + 1)(cos x - 1) > 0 2 cos x + 1 < 0 et cos x = 1
2
2
2
2
2
2
2
cos
x 2
<
-1 2
et
x 2
/
2 Z
x 2
kZ
2 + 2k, 4 + 2k
3
3
et x / 4Z
x
kZ
4 3
+
4k ,
8 3
+
4k
et
x
/
4 Z
x
]
4 3
,
2 ]
4. Pour x [-, ], cos2 x
cos(2x)
1 2
(1
+
cos(2x))
cos(2x) cos(2x)
1 x [-, ].
5. Pour x [0, 2], cos2 x
1 2
- 1
2
cos x
1 x
2
4
,
3 4
5 4
,
7 4
.
6. Pour x [0, 2],
x cos
3
sin x 1
sin x - 1
x cos
0 sin x -
3 23 2 3
34
0 k Z/ 2k
k
Z/
3 4
+
6k
x
3
+
3 4
+
6k
3 4
x
2
x- 34
+ 2k
Correction de l'exercice 5
cos2
8
=
1 2
1
+
cos(2
?
8
)
=
1 2
1+
2 2
=
2+ 4
2,
et
puisque
cos
8
>
0,
cos
8
=
1 2
2+
2.
De
m?me,
puisque
sin
8
>
0,
sin
8
=
1 2
1
-
cos(2
?
8
)
et
7
sin
8
=
1 2
2 - 2.
Correction de l'exercice 6
De m?me,
cos = cos 12
sin = sin 12
- 34 - 34
= cos cos + sin sin =
6+
2 .
34
34
4
= sin cos - sin sin =
6-
2 .
34
34
4
cos
12
=
6+ 4
2
et
sin
12
=
6- 4
2.
Correction de l'exercice 7
Pour n naturel non nul, on pose Sn = ei(?a1?...?an). ? S1 = eia1 + e-ia1 = 2 cos a1 ? Soit n Sn = 2n cos a1... cos an alors
1. Supposons que
Sn+1 = ei(?a1?...?an+1) = eian+1 ei(?a1?...?an) + e-ian+1 ei(?a1?...?an)
= 2 cos(an+1)Sn = 2n+1 cos a1... cos an+1.
On a montr? par r?currence que : n 1, Sn = 2n cos a1... cos an. Ensuite, pour n 1, cos(?a1 ? ... ? an) = Re(Sn) = 2n cos a1... cos an (et on obtient aussi sin(?a1 ? ... ? an) = Im(Sn) = 0).
n N, cos(?a1 ? ... ? an) = 2n cos a1... cos an.
Correction de l'exercice 8
1.
Soit n N.
Puisque a est dans ]0, [ alors, pour tout entier naturel non nul k,
a 2k
est dans ]0, [ et
donc
sin
a 2k
=
0.
De
plus,
puisque
sin
a 2k-1
= sin
2
?
a 2k
= 2 sin
a 2k
cos
a 2k
, on a :
n
a
cos
k=1
2k
=
n k=1
sin
a 2k-1
2 sin
a 2k
=
1 2n
sin(a) sin
a 2
sin
a 2
. . . sin
. . . sin
a 2n-1
a 2n-1
sin
a 2n
sin a
=
2n
sin
a 2n
.
a ]0, [, n N, nk=1 cos
a 2k
=
sin a
2n
sin
a 2n
.
2. k N, cos
a 2k
>0
car
a 2k
est
dans
]0,
2
[.
Puis
n
a
n
a
sin a
ln
k=1
cos( 2k )
= ln
k=1 cos( 2k )
= ln
2n
sin
a 2n
= ln
sin a a
- ln
sin
a 2n
a
2n
.
Maintenant,
limn+
sin
a 2n
a
2n
=
limx0
sin x x
= 1 et donc,
n
a
lim ln
n+ k=1
cos( 2k )
= lim
n+
ln(
sin a
a
)
-
ln(
sin
a 2n
a
2n
)
= ln
sin a a
.
8
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................
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