TRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
[Pages:14]FACOLTA` DI INGEGNERIA CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA
ANNO ACCADEMICO 2010-2011
ESERCIZI DI
TRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
Esercizio 1: Risolvere la seguente disequazione
1 sin x > .
2
Svolgimento: Trovare le soluzioni della disequazione data significa determinare l'ascissa dei 1
punti della circonferenza goniometrica le cui ordinate sono maggiori di . 2
1 Gli angoli x tali che sin x = sono
2
5
x = + 2k 6
e
x = + 2k , 6
k Z,
essendo la funzione seno periodica di periodo 2 . Allora la disequazione data `e verificata se
5
+ 2k < x < + 2k ,
6
6
k Z.
Esercizio 2: Risolvere la seguente disequazione 2 sin2 x + 3 sin x + 1 < 0 .
Svolgimento: Ponendo y = sin x la disequazione data diventa
la cui soluzione `e data da
2y2 + 3y + 1 < 0 ,
1 -1 < y < - .
2 Allora la disequazione data equivale a
1 -1 < sin x < - .
2 Gli angoli x tali che sin x = -1 sono
3
x = + 2k , 2
k Z,
1
2
CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA
1 mentre quelli per cui sin x = - sono
2 7 x = + 2k e 6
11 x = 6 + 2k , k Z ,
essendo la funzione seno periodica di periodo 2 . Allora la disequazione data `e verificata se
7
11
3
+ 2k < x < 6
6
+ 2k ,
x = + 2k , 2
k Z.
Esercizio 3: Risolvere la seguente disequazione sin x + cos x < 1 .
Svolgimento: Tale disequazione `e lineare in seno e coseno e si pu`o risolvere utilizzando le formule parametriche
2t sin x = 1 + t2 ,
1 - t2 cos x = 1 + t2
x = + 2k , k Z ,
x dove t = tan . Per poter usare queste formule bisogna imporre che
2
x = + 2k , k Z .
Ponendo x = + 2k , k Z nella disequazione e tenendo conto del fatto che le funzioni seno e coseno sono periodiche di periodo 2 si ha
sin + cos = 0 + (-1) = -1 < 1 ,
quindi x = + 2k , k Z , sono soluzioni della disequazione data. Sostituendo nell'equazione le formule parametriche si ottiene
2t 1 - t2 1 + t2 + 1 + t2 < 1 .
Facendo il minimo comune multiplo si ha
2t + 1 - t2 - 1 - t2
1 + t2
< 0,
da cui segue
2t - 2t2 1 + t2 < 0 .
Essendo 1 + t2 > 0 , tale disequazione equivale a
e quindi a
2t - 2t2 < 0 , 2t (t - 1) > 0 ,
le cui soluzioni sono date da
t < 0 t > 1.
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3
Allora si ha
x
x
tan < 0 tan > 1 .
2
2
x La disequazione tan < 0 ha come soluzione
2
x
+ k < 2
< + k , 2
k Z,
da cui segue
+ 2k < x < 2 + 2k , k Z .
x Infine la disequazione tan > 1 , `e verificata se
2
x
+ k < 4
< + k , 22
k Z,
e quindi se
+ 2k < x < + 2k , 2
k Z.
Tenendo conto del fatto che x = + 2k , k Z , sono soluzioni, allora la disequazione
data `e verificata se
+ 2k < x < 2 + 2k , 2
k Z.
Esercizio 4: Risolvere la seguente disequazione
sin2 x +
3 -1
sin x cos x -
3 cos2 x > 0 .
3
3
Svolgimento: Tale disequazione `e omogenea di secondo grado e per risolverla conviene
dividere entrambi i membri per cos2 x : tale passaggio `e lecito solo se cos x = 0 . Se cos x = 0
allora
x=
+ k , 2
k Z.
Sostituendo tali valori nella disequazione si ha
sin2
+ k
+
3
- 1 sin + k cos + k -
3 cos2
+ k
2
3
2
2
3
2
3
3
=1+
-1 ?0- ?0
3
3
= 1 > 0,
quindi x = + k , 2
k Z , sono soluzioni della disequazione data.
Dividendo entrambi i membri della disequazione per cos2 x > 0 si ottiene
tan2 x +
3
3
- 1 tan x - > 0 .
3
3
4
CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA
Ponendo y = tan x tale disequazione diventa
y2 +
3
3
-1 y- > 0,
3
3
le cui soluzioni sono
3
y 1. tan x > 1 .
5
+ k < x < + k ,
2
6
k Z,
mentre l'equazione tan x > 1 ha come soluzioni
+ k < x < 4
+ k , 2
k Z.
Quindi,
tenendo
conto
del
fatto
che
x = + k , 2
k Z,
sono soluzioni,
la
disequazione
data risulta verificata se
5
+ k < x < + k ,
4
6
k Z.
Esercizio 5: Risolvere la seguente disequazione
2 cos x - 1 1.
cos x
Svolgimento: Facendo il minimo comune multiplo la disequazione data diventa
che equivale a
2 cos x - 1 - cos x 0
cos x
Poich?e
cos x - 1 0.
cos x cos x 1 x R
essendo
-1 cos x 1 x R ,
la disequazione data equivale a
cos x > 0 ,
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5
che ha come soluzione
- + 2k < x < 2
+ 2k , 2
k Z.
Esercizi: Risolvere le seguenti disequazioni
1 1. sin x >
2 2. tan x (tan x - 1) < 0
sin x
3.
0
cos x + 1
1
4.
0
1 + 2 sin x
7. 2 cos x - 1 < 0
1
3
8. - < sin x <
2
2
9. 2 cos2 x + |cos x| < sin2 x - cos x
10. |tan x| < 3
x 11. 2 cos + sin x 0
2
12. sin x (2 cos x - 1) > 0
13. cos2 x - |sin x| > 1 + sin x
3
14.
2 cos x
2 cos x
15. 3 tan2 x - 1 < 3 tan x
16. cos x - sin x > 0
sin 5x + sin 3x
17.
>0
sin 4x
2 |sin x| - 1
18.
>0
2 sin x - 1
19. 3 sin x cos x - 3 cos2 x < 3 sin x - 3 cos x
6
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20. cos 2x - cos x > 0
21. 2 sin2 x - 1 < 0
22. 2 sin x < sin x + 1
4 cos2 x - 3
23.
>0
2 sin x - 1
1 - 2 |cos x|
24.
>0
1 + cos x
25. cos2 x cos x 3
26. |sin x| 2
27. 2 cos x - 2 < 0
3 tan x - 1
28.
3
sin x
30. sin 2x + cos 2x < 1
31. sin2 x < 1 2
2 |sin x| + 3
32.
>0
cos x
33. 3 cos 2x + sin 2x < 0
sin2 x - 2
34.
0
22
36. (2 sin x - 1) sin x > 0
37. |2 cos x| > 3
CORSO DI AZZERAMENTO - MATEMATICA
7
38.
2
sin2
x
> tan2 x
cos x
39. sin2 x - 1 sin x > 0 2
40. |sin x - cos x| < 1
1 41. 0 < cot x
2
42. sin 2x - cos x + 1 > 2 sin x
1 - 2 |cos x|
43.
>0
2 cos x + 1
44. 3 tan2 x - 2 tan x < 3
cos 5x + cos 3x
45.
0
cos 4x
46. tan2 x + cos x < 1 2
47. 2 cos x > 3
48. 2 sin2 x - 1 - cos x < sin x 3
49. |tan x| < 1 3
50. 2 cos2 x - cos x < 0
sin x + 3
51.
3
sin x
52. cos 2x < sin x
53. tan2 x - 3 > 0
sin x
54.
1
cos x + 1
55. 2 2 + cos x > 1 + 2 cos x
4 cos2 x - 1
56.
0
2 sin x - 1
61.
0
2 sin x + 3
63.
0
|cos x|
64. 2 cos2 x - 1 > sin x - cos x
65. tan x 3
2 cos x - 3
66.
0
68. 2 |cos x| - 1 < 0 x
69. cos x < cos 2
70. |sin x| - 1 > 0
71. 3 tan x + 3 (2 sin x - 1) < 0
cot x + 3
72. sin 2x - cos x < 0
2 cos x - 3
73.
0
sin x
74. 2 cos2 x 1
1 - 3 cot2 x
75.
................
................
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