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ESTAT?STICA PANORAMA HIST?RICO:Todas as ciências têm suas raízes na história do homem e, a Estatística, como ramo da Matemática aplicada, também surgiu da necessidade de contagem, trocas e demais atividades do convívio social. (CRESPO, 2002) Segundo o mesmo autor, os povos desde a Antiguidade já utilizavam o que chamamos, hoje, de “estatísticas”, através de processos quantitativos para registrar o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, de riquezas individuais e sociais, distribui??o de terras, cobran?a de impostos, entre outros. Na Idade Média, as informa??es geralmente eram tributárias ou bélicas. A partir do século XVI é que surgiram as primeiras análises sistemáticas dos fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, registradas nas primeiras tábuas e tabelas. No século XVIII Godofredo Achenwall, batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, caracterizando objetivos e rela??es verdadeiramente científicas.Provavelmente, hoje, a Estatística é a área de conhecimento mais demandada nos cursos superiores do Brasil e do mundo. Esta import?ncia deve-se essencialmente ao fato de que a Inferência Estatística define em sua essência uma metodologia para a pesquisa científica.Em sua outra parte constituinte (a Teoria de freqüências de ocorrência e de probabilidades), a Estatística apresenta-se como um ramo da Física, tornando-se ent?o, na sua totalidade, uma ciência mista.“A palavra ‘Estatística’, de origem latina, significou por muito tempo ‘Ciência dos negócios do Estado’. Os que governavam, sentindo necessidade de informa??es, organizavam departamentos que tinham a responsabilidade de fazer essas investiga??es.” (NAZARETH, 2000).A Estatística pode ser considerada a tecnologia da ciência, auxiliando a pesquisa desde o seu planejamento até a interpreta??o dos dados. A Estatística, além de ser uma técnica de coleta e apresenta??o de dados (análise exploratória e descri??o, gráficos e tabelas) é também modelagem (probabilidade e processos estocásticos), análise indutiva (inferência: testes e estima??o) e previs?o e controle (verifica??o), ou seja, ela está presente nas diversas etapas de uma pesquisa, podendo influenciar tanto o processo de pesquisa quanto à tomada de decis?es.Algumas técnicas poderosas, tais como, extrair informa??es significativas de pilhas de dados brutos, ou fazer inferências sobre a natureza de uma popula??o com base em observa??es de uma amostra dela extraída, ou como predizer taxas de ocorrência de eventos aleatórios, e como entender e interpretar cálculos estatísticos efetuados por outras pessoas, podem explicar como a Estatística pode ser usada em pesquisas, nas áreas sociais e humanas.POR QUE ESTAT?STICA?Podemos citar como exemplos de aplica??es de Estatística:Levantar dados sobre o grau de instru??o do chefe da casa, nas famílias residentes em determinada cidade, por bairros. Uma empresa que está se preparando para lan?ar um novo produto precisa conhecer as preferências dos consumidores no mercado de interesse. Para isso, pode fazer uma pesquisa de mercado entrevistando um número de residências escolhidas aleatoriamente. Poderá, ent?o, usar os resultados para estimar as preferências de toda a popula??o.Uma grande escola desejando conhecer as condi??es de vida extra-escolar de seus alunos pode dispor, através de técnicas de amostragem, dos dados necessários à sua análise.Um auditor deve verificar livros de uma empresa para se certificar de que os lan?amentos refletem efetivamente a situa??o financeira da companhia. O auditor deve examinar pilhas de documentos originais, como notas de venda, ordens de compra e requisi??es. Seria um trabalho incalculável consultar todos os documentos originais, em vez disso, o auditor pode verificar uma amostra de documentos escolhidos aleatoriamente e, com base nessa amostra, fazer inferências sobre a popula??o.Se, estamos recebendo um grande embarque de mercadorias de um fornecedor, teremos de certificar-nos de que o produto realmente satisfaz os requisitos de qualidade acordados. Seria muito dispendioso fazer uma verifica??o de cada item; mas aqui, mais uma vez, as técnicas estatísticas vem em nosso auxílio, permitindo-nos fazer inferências sobre a qualidade de todo o lote mediante inspe??o de uma amostra de itens escolhidos aleatoriamente.CONCEITOS FUNDAMENTAISA palavra Estatística tem dois significados diferentes, embora relacionados: no sentido mais comum, significa um conjunto de dados numéricos e, também, designa o ramo da matemática que analisa dados estatísticos. Portanto, podemos dizer que a Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fen?menos coletivos. Ou seja, é uma metodologia desenvolvida para a coleta, classifica??o, apresenta??o, análise e interpreta??o de dados quantitativos e a utiliza??o desses dados para a tomada de decis?es.POPULA??O OU UNIVERSO ESTAT?STICO:POPULA??O: Ou Universo Estatístico, é o conjunto da totalidade dos indivíduos sobre o qual se faz uma inferência. Pode ser finita ou infinita (na prática, n?o se trabalha com um número infinito de componentes, mas diz-se infinita quando existe um grande número de componentes). AMOSTRA: é uma parte selecionada da totalidade de observa??es abrangidas pela popula??o, através da qual se faz um juízo ou inferência sobre as características da popula??o. Ou seja, é um conjunto de elementos extraídos da popula??o.DADOS ESTAT?STICOS: ? toda informa??o devidamente coletada e registrada, quer seja na forma de contagem ou de medi??o. ESTAT?STICA: ? um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fen?menos coletivos. CENSO: ? uma avalia??o direta de um par?metro, utilizando–se todos os componentes da popula??o.PAR?METRO: Uma característica numérica estabelecida para toda uma popula??o.ESTIMA??O: ? uma avalia??o indireta de um par?metro, com base em um estimador através do cálculo de probabilidade.ESTIMADOR: Uma característica numérica estabelecida para uma amostra.INFER?NCIA ESTAT?STICA: ? o fato de se admitir que os resultados obtidos na análise dos dados de uma amostra s?o válidos para toda a popula??o, da qual, aquela amostra foi retirada. Consiste em obter e generalizar conclus?es.Propriedades Principais:CENSOESTIMA??OAdmite erro processual zero e tem confiabilidade 100%Admite erro processual positivo e tem confiabilidade menor que 100%? caro? barato? lento? rápida? quase sempre desatualizado? atualizadaNem sempre é viável? sempre viávelEsquematicamente temos:METOLOGIA DA PESQUISA ESTAT?STICA:TIPOS DE VARI?VEIS Para o levantamento dos dados é preciso, antes de mais nada, que se tenham bem definidas quais as características de interesse que dever?o ser verificadas. A característica de interesse poderá ser qualitativa (quando resultar de uma classifica??o por tipos ou atributos) ou quantitativa (quando seus valores forem expressos em números)Ex.: a) Popula??o: moradores de uma cidade: Variável: quantitativa: número de filhos. qualitativa: cor dos olhos (pretos, castanhos, azuis, etc.)A variável quantitativa pode ser subdividida em: discreta (é aquela que pode assumir apenas valores pertencentes a um conjunto enumerável, ou seja, assumem valores inteiros) e contínua (é aquela que, teoricamente, pode assumir qualquer valor num certo intervalo razoável de varia??o).Ex.: a) Popula??o: as jogadas possíveis com um dado. Variável: o ponto obtido em cada jogada (quantitativa discreta) b) Popula??o: pessoas residentes em uma cidade. Variável: idade. (quantitativa contínua).Os valores das variáveis discretas s?o obtidos mediante alguma forma de contagem (valores exatos), ao passo que os valores das variáveis contínuas resultam, em geral, de uma medi??o, sendo freqüentemente dados em alguma unidade de medida (valores aproximados).ATIVIDADES1)Classifique as variáveis em: qualitativas, quantitativas discretas e quantitativas contínuas:a)Popula??o: pe?as produzidas por uma máquina. Variável: qualidade (perfeita ou defeituosa) ______________________________________b) Popula??o: as jogadas possíveis de um dado. Variável: o ponto obtido em cada jogada. ________________________________________c) Popula??o: sabonetes de certa marca e tipo. Variável: peso líquido._________________________________________________________d) Popula??o: pe?as produzidas por uma máquina. Variável: di?metro externo._____________________________________________________e) Popula??o: aparelhos produzidos em uma linha de montagem. Variável:número de defeitos por unidade.__________________________________________f) Popula??o: óbitos em um hospital, nos últimos cinco anos.Variável: causa mórtis (moléstias cardiovasculares, c?nceres, moléstias do aparelho digestivo, etc,) ________________________________________________g) Popula??o: candidatos a um exame vestibular. Variável: sexo (masculino ou feminino). ___________________________________________h) Popula??o: indústrias de uma cidade. Variável: índice de liquidez. _____________________________________________________T?CNICAS DE AMOSTRAGEM:Há várias raz?es para se estudar amostras no lugar do todo. A mais importante é o custo excessivo e/ou a dificuldade de estudar toda a popula??o. Qualquer administrador se depara com o problema de limita??o de recursos. Em outras ocasi?es n?o se pode ter acesso a toda a popula??o, sendo ent?o, suficiente estudar uma amostra que represente efetivamente a popula??o da qual foi extraída.Para que a amostra seja significativa ela deve ser escolhida através de determinadas técnicas que asseguram a representatividade da amostra. Podem ser:1) Amostra Casual Simples: é composta por elementos retirados ao acaso da popula??o. Todo elemento da popula??o tem igual probabilidade de ser escolhido para a amostra.2) Amostra Sistemática: Os elementos s?o selecionados para a amostra por um sistema preestabelecido. Ex.: Para obter uma amostra dos assinantes de um jornal, o pesquisador resolveu localizar os nomes no arquivo, tirando, de cada 20, o vigésimo.3) Amostra estratificada: Quando a popula??o se apresenta dividida em estratos, isto é, quando a popula??o está dividida em grupos distintos. Ex.: Para obter uma amostra representativa da comunidade acadêmica o diretor deve selecionar uma amostra dentro de cada estrato, isto é, uma amostra dos professores, uma amostra dos funcionários e uma amostra dos alunos, e depois reunir essas três amostras em uma só, constituindo ent?o uma amostra estratificada.4) Amostra de conveniência: ? formada por elementos que o pesquisador reuniu simplesmente porque dispunha deles. O pesquisador que utiliza amostras de conveniência precisa de muito senso crítico. Os dados podem ser tendenciosos.*Tendenciosidade da amostra: Quando uma amostra n?o é representativa da popula??o. Por exemplo, quando um professor de educa??o física pede à sua turma três voluntários para apostar uma corrida e apresentam-se como voluntários apenas os alunos que sabem ser bons corredores, tornando a amostra tendenciosa ou viciada.ESTAT?STICA DESCRITIVA: ? aquela que tem por objeto descrever e analisar determinada popula??o, sem pretender tirar conclus?es de caráter mais genérico. Em um sentido mais amplo, a Estatística Descritiva pode ser interpretada como uma fun??o cujo objetivo é a observa??o de fen?menos de mesma natureza, a coleta de dados numéricos referentes a esses fen?menos, a organiza??o e a classifica??o desses dados observados e a sua representa??o através de gráficos e tabelas, além do cálculo de coeficientes (estatísticas) que permitem descrever resumidamente os fen?menos.(TOLEDO & OVALLE, 1985)FASES DO M?TODO ESTAT?STICO (Estatística Descritiva):Quando pretendemos realizar um estudo estatístico completo em determinada popula??o ou em determinada amostra, o trabalho que se realizará deverá passar por várias fases, que dever?o se desenvolvidas até se chegar aos resultados finais procurados. Defini??o do Problema: ? a primeira fase do trabalho estatístico e consiste em definir a formula??o correta do problema a ser estudado, verificando outros levantamentos realizados no mesmo campo, n?o havendo estudos semelhantes o pesquisador poderá formular o problema, sabendo exatamente aquilo que se pretende estudar;Delimita??o do Problema: N?o é suficiente saber com clareza o que se pretende pesquisar. ? também necessário saber onde será realizada a pesquisa: em que local, com que tipo de pessoas (ou coisas), em que dias (ou horários) e assim por diante;Planejamento: Após a defini??o do problema, a fase do planejamento consiste em determinar o procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, como levantar informa??es sobre o assunto objeto do estudo. Ou seja, é preciso planejar o trabalho a ser realizando visando atingir os objetivos;Coleta dos Dados: Esta fase é essencialmente operacional, compreendendo a coleta das informa??es propriamente ditas, através da obten??o, reuni?o e registro sistemático de dados;Apura??o dos Dados: ? o momento de se resumir os dados, através de sua contagem e agrupamento. ? um trabalho de condensa??o e de tabula??o dos dados para tornar compreensível sua leitura;Apresenta??o dos Dados: Os dados podem ser apresentados de duas maneiras: Tabelas: ? a apresenta??o numérica dos dados dispostos em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado, segundo algumas regras práticas adotadas. No Brasil as normas técnicas ditadas pela Funda??o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. (Funda??o IBGE).Gráficos: ? a representa??o geométrica dos dados. Fornece uma vis?o mais rápida, fácil e clara do fen?meno e sua varia??o. Análise e Interpreta??o dos dados: O interesse maior desta fase reside em tirar conclus?es que auxiliem o pesquisador a resolver seu problema.TABULA??ESDados Brutos: s?o a rela??o dos resultados obtidos em uma pesquisa e que foram transcritos aleatoriamente, ou seja, fora de ordem numérica.Ex.: Suponha que as notas do teste a que nos referimos tenham sido as seguintes: 7-6-8-9-6-5-7-4-6-8-9-8-7-6-10-8-4-5-6-10-5-8-4-3-8-7-9-6-10-7-7-7-9-5-4-5-9-10-8-8-6-7-5-10-8-6-7-7-10-6Rol: é a rela??o dos resultados obtidos em um uma pesquisa e que foram colocados em ordem numérica, crescente ou decrescente.Dos dados do exemplo anterior:3-4-4-4-4-5-5-5-5-5-5-6-6-6-6-6-6-6-6-6-7-7-7-7-7-7-7-7-7-7-8-8-8-8-8-8-8-8-8-9-9-9-9-9-10-10-10-10-10-10FREQU?NCIA: é o número de vezes que um mesmo resultado acontece durante uma pesquisa. Nós denominaremos de (f).Do exemplo anterior, temos:NOTASFREQU?NCIA (f)314456697108995106TABELAS:Os dados coletados devem ser apresentados em tabelas construídas de acordo com as normas técnicas ditadas pela Funda??o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. (Funda??o IBGE).Componentes das Tabelas: As tabelas têm título, corpo, cabe?alho e coluna indicadora. O Título explica o que a tabela contém. O corpo é formado pelas linhas e colunas de dados. O cabe?alho especifica o conteúdo das linhas.As tabelas podem conter fonte, notas e chamadas. Contudo, a existência ou n?o de determinado componente depende apenas da natureza do problema, nunca do gosto de quem faz a tabela. A fonte é a entidade responsável pelo fornecimento dos dados, as notas s?o informa??es de natureza geral que servem para esclarecer o conteúdo das tabelas ou para explicar o método utilizado no levantamento dos dados. As chamadas s?o informa??es de natureza específica que servem para explicar ou conceituar determinados dados.As tabelas devem ser delimitadas por tra?os horizontais. Podem ser feitos tra?os verticais para separar as colunas, mas n?o devem ser feitos tra?os verticais para delimitar a tabela.Ex.: Tabela 1:PRODU??O DE CAF? – BRASIL – 1991-1995ANOSPRODU??O (1000 t)19912.53519922.66619932.12219943.75019952.007FONTE: IBGE ATIVIDADES:1)De acordo com o IBGE (1988), a distribui??o dos suicídios ocorridos no Brasil em 1986, segundo a causa atribuída, foi a seguinte: 263 por alcoolismo, 198 por dificuldade financeira, 700 por doen?a mental, 189 por outro tipo de doen?a, 416 por desilus?o amorosa e 217 por outras causas. Apresente essa distribui??o em uma tabela.2)Imagine que foi obtida a opini?o de 1000 pessoas a respeito da libera??o de determinado filme para exibi??o em televis?o. Dessas 1000 pessoas, 432 mostravam-se favoráveis, 322 eram contrárias, 122 n?o quiseram declarar a opini?o e as restantes disseram n?o ter opini?o. Mostre esses dados numa tabela.3)Imagine que das 1000 pessoas entrevistadas cujas respostas foram apresentadas no exercício anterior, 500 eram homens e 500 eram mulheres. Do total de homens, 289 mostravam-se favoráveis, 129 eram contrários, 78 n?o quiseram declarar a opini?o e os restantes disseram n?o ter opini?o. Construa uma tabela para apresentar a distribui??o das respostas segundo o sexo.4)Construa uma tabela de distribui??o de freqüências para apresentar os dados referentes aos valores do total de vendas diárias de um certo produto de mercado, no período de 50 dias úteis:130,00 - 105,00 - 120,00 - 111,50 - 99,00 - 116,00 - 82,50 - 107,50 - 125,00 - 100,00107,50 - 120,00 - 143,00 - 115,00 - 135,00 - 130,00 - 135,00 - 127,50 - 90,50 - 104,50136,50 - 100,00 - 145,00 - 125,00 - 104,50 - 101,50 - 102,50 - 101,50 - 134,50 - 158,50110,00 - 102,50 - 90,50 - 107,50 - 124,00 - 121,50 - 135,00 - 102,00 - 119,50 - 115,50125,50 - 117,50 - 107,50 - 140,00 - 121,50 - 107,50 - 113,00 - 93,00 - 103,50 - 99,50Distribui??o de Freqüências - Seria??o:Nas distribui??es de freqüências, os dados estatísticos s?o dispostos ordenadamente em linhas e colunas, de modo a permitir sua leitura nos sentidos horizontais e verticais. Na tabela resultante desse procedimento, s?o fixos a época, o local e o fen?meno, estando os dados agrupados de acordo com a intensidade ou varia??o quantitativa do fen?meno.As tabelas com grande número de dados s?o cansativas e n?o d?o ao leitor vis?o rápida e global do fen?meno. Para isso, é preciso que os dados estejam organizados em uma tabela de distribui??o de freqüências.Primeiro, é preciso definir as classes, que s?o, as faixas dos valores que representam os dados. ? mais fácil trabalhar com intervalos de classes iguais. Podem ser também apresentados nesse tipo de tabela os pontos médios de classe, que s?o dados pela soma dos extremos da classe, dividida por 2. Por exemplo, para a classe 1,5 |— 2,0 o ponto médio é 1,75.A distribui??o de freqüências compreende a organiza??o dos dados de acordo com as ocorrências dos diferentes resultados observados.APRESENTA??O DE DADOS EM GR?FICOS: Todo gráfico deve ter título e escala, para que possa ser interpretado sem que haja necessidade de esclarecimentos adicionais ao texto. No eixo das abscissas, a escala cresce da esquerda para a direita e é escrita embaixo do eixo e no eixo das ordenadas, a escala cresce de baixo para cima e é escrita à esquerda do eixo. A variável apresentada em cada eixo deve ser claramente identificada no próprio eixo. Vejamos alguns tipos de gráficos:1)Gráfico em Barras (horizontais): Os gráficos em barras têm por finalidade comparar grandezas, por meio de ret?ngulos de igual largura e alturas proporcionais às respectivas grandezas. Para fazer um gráfico de barras, primeiro se tra?a o sistema de eixos cartesianos. Depois deslocam-se, no eixo das abscissas ( ou das ordenadas) as categorias da variável em estudo. Em seguida, constroem-se barras retangulares com base no eixo das abscissas (ou das ordenadas e altura (ou comprimento) igual à freqüência.2)Gráfico em colunas (Histograma): ou em barras verticais prestam-se à mesma finalidade que os gráficos em barras horizontais, e a única diferen?a entre eles reside na dire??o dos ret?ngulos: no gráfico de barras, horizontais e no gráfico de colunas, verticais.3)Gráfico de linhas: é usado para apresentar séries cronológicas. Por exemplo, para fazer um gráfico de linhas que apresente a popula??o presente no Brasil, segundo o ano do censo demográfico, é necessário tra?ar o sistema de eixos cartesianos, depois, no eixo das abscissas colocar os anos do censo e no eixo das ordenadas os dados da popula??o. Depois de corresponder os pontos para cada par de valores, unir os pontos por segmentos de reta.4)Gráfico de setores: é usado para evidenciar a composi??o percentual de uma amostra ou de uma popula??o. Devemos lembrar que 100% do gráfico corresponde a 360? da circunferência.Ex. Imagine que se perguntou a 1000 pessoas se elas acreditavam horóscopo. Dessas 1000 pessoas, 488 disseram acreditar, 292 disseram n?o acreditar, 120 disseram que tinham dúvidas e as restantes expressaram opini?es diversas. Fa?a um gráfico de colunas, um gráfico de linhas, um gráfico de barras e um gráfico de setores para apresentar esses dados.TABELAS E DISTRIBUI??ES DE FREQ??NCIA:S?RIES ESTAT?STICASSérie Estatística é uma sucess?o de números, que expressam dados estatísticos, referidos a qualquer variável.1)S?RIE HOM?GRADA: ? aquela em que a variável descrita apresenta varia??o discreta ou descontínua. S?o séries homógradas a série temporal, a série geográfica e a série específica.1.1. Série Temporal:Igualmente chamada série cronológica, série histórica, série evolutiva ou marcha, identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. Assim, deve ter:a) Elemento Variável: época (fator cronológico)b) Elementos Fixos: local (fator geográfico) fen?meno (fator especificativo)Ex.: O diretor de Marketing da empresa G.L.T. S.A., fabricante de componentes eletr?nicos, deseja examinar a evolu??o de suas vendas em 1995, mês a mês. Para tanto, solicitou ao Departamento de Análise de Mercado a tabela da qual constam os valores de vendas no período desejado. Neste exemplo o único caráter variável é o tempo, aqui representado pelos meses.1.2.Série GeográficaTambém denominada série territorial, série espacial ou série de localiza??o, a série geográfica apresenta como elemento ou caráter variável somente o fator geográfico. Assim:a) Elemento Variável: local (fator geográfico)b) Elementos Fixos: época (fator cronológico) fen?meno (fator especificativo)Ex: Se o diretor de marketing da G.L.T.A. Desejar saber, agora, o comportamento das vendas dessa empresa efetuadas nos vários Estados do Brasil, durante o exercício de 1995, o fator diferenciador das vendas seria o geográfico.1.3.Série Específica:Também chamada de Série categórica ou série por categoria. Agora, o caráter variável é o fen?meno.a) Elemento variável: fen?meno (fator especificativo)b) Elementos Fixos: época (fator cronológico) local (fator geográfico)Ex: Suponha que o diretor de marketing esteja agora interessado em conhecer o comportamento das vendas de cada um de seus produtos, os quais foram agrupados em três categorias ou linhas, dada a grande variedade de componentes fabricados pela empresa. A tabela contendo essas informa??es representaria uma série específica.2)S?RIE HETER?GRADA? aquela na qual o fen?meno ou o fato apresenta grada??es ou subdivis?es. Embora fixo, o fen?meno varia em intensidade. A distribui??o de freqüências ou seria??o é uma série heterógrada. EXERC?CIOS1)Segundo o IBGE o número de crian?as que trabalhavam no ano de 1996, com idade entre 10 a 14 anos, segundo as grandes regi?es do Brasil - Norte, Nordeste, Sudeste, Sul e Centro-Oeste - s?o respectivamente, 149.475, 1.621.126, 931.784, 626.613 e 245.755. Que tipo de série é apresentada nessa situa??o?2)Imagine que você está trabalhando com um grande número de dados que representam o faturamento de uma determinada empresa (em milhares de reais). Após calcular o faturamento mensal, é possível apresentar esses dados em uma tabela representativa de uma distribui??o de freqüências? Se possível, como fazer?3)Uma tabela que representa as vendas de cada linha de determinados produtos. Que tipo de série representa essa situa??o?4)Os valores sucessivos apresentados pelo censo demográfico de uma cidade formam que tipo de série estatística?MEDIDAS DE TEND?NCIA CENTRAL1. Média Aritmética: ? a medida mais popular de tendência central e consiste em somar os n termos e dividir por n. = xi nEx: Um gerente de supermercado, que deseja estudar a movimenta??o de pessoas em seu estabelecimento, constata que 295, 1002, 941, 768 e 1283 pessoas entraram no estabelecimento nos cinco últimos dias. Descubra o número médio de pessoas que entraram diariamente no estabelecimento nesses cinco dias.Para dados agrupados, temos: a) Sem intervalos de classes: = xifi n = somatórioxi = valores possíveis das variáveisfi = freqüência de cada valor de variável.b) Com intervalos de classe: = xifi agora, xi é o ponto médio da classe. fi2. Média Ponderada: Ao calcularmos uma média, podemos cometer sério engano, se ignorarmos o fato de que as grandezas em jogo n?o têm todas a mesma import?ncia em rela??o ao fen?meno que está sendo estudado. Para dar a quantidades sujeitas ao processo de média o grau de import?ncia, é preciso atribuir-lhes pesos e ent?o calcular uma média ponderada.Ex: Em uma turma de um curso de Ensino Superior, há 20 calouros, 18 do 2? período e 12 dos demais períodos. Se os calouros obtiveram a média 68 em uma avalia??o, os do 2? período 75 e os demais 86, determine a nota média de toda a turma.3. Mediana: Para evitar a possibilidade de sermos enganados por valores muito pequenos ou muito grandes, ocasionalmente descrevemos o “meio” ou “centro” de um conjunto de dados com outras medidas estatísticas que n?o a média. Uma dessas medidas, a mediana de n valores, exige que os ordenemos para encontrarmos o valor do centro.Ex: 1) Em determinado mês o Departamento de Vendas de uma empresa constatou que as vendas de uma semana foram 53, 31, 67, 53 e 36. Ache a mediana do número de vendas para esses dias.2) Em algumas áreas, as pessoas autuadas por certas infra??es leves de tráfego podem freqüentar um curso de dire??o defensiva em lugar de pagar uma multa. Se 12 desses cursos foram freqüentados por 40 32 37 30 24 40 38 35 40 28 32 37 cidad?os, determine a freqüência mediana.Posi??o mediana: ? calculada por (n + 1)/2, por exemplo a posi??o mediana para n = 15 elementos é: (15 + 1)/2 = 8, ou seja, a mediana é o valor do 8? Elemento. Para n = 20 temos: (20 +1)/2 = 10,5, ou seja, a mediana é a média entre o 10? e o 11? elementos.Moda: Pode ser definida simplesmente como o valor que ocorre com maior freqüência e mais de uma vez. Suas duas vantagens principais s?o: n?o exige cálculo, apenas uma contagem, e pode ser determinada também para dados qualitativos ou nominais.Ex: Vinte reuni?es de uma determinada classe tiveram as seguintes freqüências de seus membros: 26 25 28 23 25 24 24 21 23 26 28 26 24 32 25 27 24 23 24 22. Determine a moda:Mo =Moda de Dados Organizados em Classes:Classe modal: é a classe onde ocorre a maior freqüência (quando os intervalos s?o iguais). Quando os intervalos de classes s?o diferentes, a classe modal será aquela que apresentar maior densidade de freqüência relativa.Moda:·Com intervalos diferentes: a maior densidade de freqüência relativa.·Com intervalos iguais: calcula-se pela fórmula: Mo= Li + fpost . A fant + fpostOnde:Mo= moda;Li = limite inferior da classe que contém a moda;A = amplitude da classe que contém a moda;fant = freqüência da classe anterior à classe modal;fpost = freqüência da classe posterior à classe modal.QUARTIS, DECIS E PERCENTIS (ou centis)Enquanto a mediana divide um conjunto de dados ordenados em duas partes iguais, os quartis permitem dividir a distribui??o em quatro partes iguais quanto ao número de elementos de cada uma; os decis em dez partes e os centis em cem partes iguais. ATIVIDADES1)Calcular a média aritmética simples dos seguintes conjuntos de números:X = {10, 60, 360)Y = {2, 2, 2, 2}Z = {2, 4, 6, 8, 10}W = {10,1; 10,1; 10,2; 10,4; 10,5}2)Imagine que um aluno obteve as seguintes notas: 7; 8; 5; 7; 7; 9. A moda desse conjunto de dados é?3)Qual é a classe modal e qual a moda dos dados apresentados na seguinte tabela de distribui??o de freqüências?Distribui??o de classes de uma escola segundo o número de alunos reprovados por classe Classe de idade Freqüências 10 |— 15 2 15 |— 20 7 20 |— 25 15 25 |— 30 27 30 |— 35 20 35 |— 40 17 40 |— 45 12 45 e mais 94)Observe a tabela de distribui??o de freqüências abaixo, e responda: qual é a classe modal e a moda?Rendimento nominal médio mensal domiciliar, nos domicílios em que os moradores declararam algum rendimento, de acordo com o censo demográfico de 1991,Classes (Sal. Mínimos) Freqüência Freqüência Relativa Até ? de salário mínimo: 210.047 0,629 Mais de ? a ? S.M. 1.746.952 5,235 Mais de ? a 1 S.M. 4.517.002Mais de 1 a 2 S.M. 6.944.407Mais de 2 a 3 S.M. 4.606.305Mais de 3 a 5 S.M. 5.488.783Mais de 5 a 10 S.M. 5.521.276Mais de 10 a 15 S.M. 1.910.696Mais de 15 a 20 S.M. 912.302Mais de 20 a 30 S.M. 789.544Mais de 30 S.M. 724.370Total 33.371.684 100,000Fonte: IBGE (1996)Nota: Declararam n?o ter rendimento moradores de 478.347 domicílios e n?o declararam rendimento moradores de 893.410 domicílios.5)Os dados abaixo representam a distribui??o das espessuras de 100 folhas de tabaco:2,012,081,963,042,013,181,942,192,242,182,591,962,293,182,091,962,062,182,052,042,431,561,943,152,352,082,562,171,961,592,222,342,241,952,013,123,033,122,041,661,872,493,122,241,763,22,381,581,891,981,891,712,421,621,972,181,693,142,183,062,41,963,012,192,251,451,932,061,831,841,912,111,782,362,333,172,031,873,112,171,721,621,991,641,542,261,862,091,741,922,361,822,022,251,753,153,181,991,762,51Construir uma tabela de distribui??o de freqüências com 9 classes de amplitude 0,2 , sendo que o limite inferior da 1? classe é igual a 1,40.Determinar a classe modal e a moda.6) Encontre a mediana e o elemento mediano dos conjuntos numéricos abaixo:a) X = {3, 6, 9, 12, 14, 15, 17, 20}b) Y = {2, 3, 6, 12, 15, 23, 30}7) Determine a posi??o mediana para n = 25 e n = 64 elementos.8) Em um mês, 15 vendedores atingiram 107 90 80 92 86 109 102 92 353 78 74 102 106 95 91 por cento de suas cotas de vendas. Calcule a média e a mediana dessas porcentagens e indique qual das duas medidas dá melhor indica??o do desempenho “médio” desses vendedores.9) Complete a tabela:ValoresfreqüênciaFreqüência acumulada334659687684TOTAL10) Com notas de 20 alunos em uma avalia??o, determine os quartis da distribui??o:7,5 5,5 7,5 9,0 8,0 6,5 3,0 7,5 4,5 9,0 2,5 9,0 9,0 7,5 5,5 6,0 4,5 7,0 9,5 3,011) A tabela de distribui??o de freqüências abaixo refere-se ao tempo (em segundos), necessário para se realizar certa opera??o industrial. Complete a tabela e determine a moda:ClassesPonto MédioFreqüênciaFreq. RelativaFreq. Acumulada25 30 230 35335 40540 45645 501050 55455 60260 658TOTAL12)Calcule a média aritmética dos dados abaixo:ClassePonto MédioFreqüênciaxifi1,5 2,032,0 2,5162,5 3,0313,0 3,5343,5 4,0114,0 4,55TOTAL13) Suponha que em um escritório há cinco funcionários que recebem os seguintes salários mensais: R$800,00, R$780,00, R$820,00, R$890,00 e R$790,00. A média aritmética dos salários ou o salário médio mensal dos funcionários, será?14) Calcule a média aritmética dos dados apresentados nas tabelas abaixo:a) Distribui??o dos alunos de um colégio de ensino médio segundo o n? de advertências e/ou suspens?esNúmero de advertências e/ou suspens?es escolaresNúmero de alunosxifi0211140230312445261TOTALb) Distribui??o das estaturas, em centímetros, de funcionários de uma empresa.ClassePonto médioFreqüênciaxifi135 14515145 155150155 165250165 17570175 18510185 1955TOTAL15) Em uma pesquisa de mercado foram colhidas embalagens de certo produto para análise do custo médio, na seguinte ordem:Embalagens com 15 unidades R$11,60 cada.Embalagens com 07 unidades R$12,40 cadaEmbalagens com 10 unidades R$12,00 cadaEmbalagens com 17 unidades R$10,80 cada.Calcule o custo médio por unidade:16) Um aluno obteve as seguintes notas em suas avalia??es de determinada disciplina: 4, 7 e 6. Sabendo que as avalia??es tinham peso 1, 2 e 3, respectivamente, calcule a média ponderada do aluno.17) Inspecionam-se quinze rádios antes da remessa. Os números de defeitos por unidade s?o: 3, 0, 1, 1, 0, 3, 4, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 1. Determine a média, a mediana e a moda do número de defeitos.2. MEDIDAS DE DISPERS?O ou VARIABILIDADEAs medidas de tendência central, vistas anteriormente, d?o o valor da abscissa de um ponto em torno do qual os dados se distribuem. Porém, muitas vezes, existe interesse em medir o grau de dispers?o dos dados de um conjunto. Para isso veremos as seguintes medidas de dispers?o:2.1. Amplitude: é a diferen?a entre o maior e o menor valor, observados em um conjunto de dados.2.2.Vari?ncia: os dados distribuem-se em torno da média. Ent?o o grau de dispers?o de um conjunto de dados pode ser medido pelos desvios em rela??o à média. Ou seja, entre cada dado e a média do conjunto. Ex.: Se a média de idade dos funcionários de uma empresa for 30 anos, a pessoa que tiver 54 anos terá um desvio em rela??o à média de 24 anos.Os desvios em rela??o à média medem a dispers?o. Como cada dado tem um desvio em rela??o à média, ent?o, para julgar o grau de dispers?o de todo o conjunto de dados, com base nos desvios, seria preciso observar todos os desvios. Porém, n?o se pode usar a soma dos desvios como medida de dispers?o, pois é sempre igual a zero. Ex.: Considere os seguintes dados: 0,4,6,8 e 7.A média desses dados é (0 + 4 + 6 + 8 + 7) : 5 = 5. Os desvios em rela??o à média, representados por xi - x , s?o os seguintes:0 - 5 = -5 4 - 5 = -1 6 - 5 = 1 8 - 5 = 3 7 - 5 = 2Como podemos verificar, a soma entre os desvios é igual a zero.Por isso, os estatísticos utilizam, para medir a dispers?o dos dados em torno da média, a soma dos quadrados dos desvios. Como esta soma n?o é uma medida de dispers?o, usa-se a vari?ncia para medir a dispers?o desses dados, que é a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de dados. Quando se trabalha com amostras, é mais correto definir vari?ncia como a soma dos quadrados dos desvios dividida pelo número de graus de liberdade da amostra, que é representado por n - 1. Ou seja : s2 = (xi – )2 n - 1 Desenvolvendo algebricamente a fórmula temos: s2 = x2 - (xi)2 ___ n__ n - 1Vari?ncia de dados agrupados: s2 = xi2fi - (xifi)2 _______ n__ n - 1Exemplos de:1)Amplitude:a) Imagine que 10 alunos fizeram uma prova com 50 quest?es. As respostas corretas, por aluno, foram: 31 27 42 35 47 28 7 45 15 20Amplitude:b) Sendo três grupos de pessoas e suas idades, calcule a amplitude em cada grupo: 3 4 9 11 19 20 3 10 11 11 11 20 4 5 9 12 18 15 20 272)Vari?ncia:a) Encontre a vari?ncia dos dados abaixo:Dados xiDesvios (xi – )Quadrados dos desvios (xi – )2268910 = b) Dados os valores: 8, 6, 9, 7, 5, 4, 2, 1. Calcule a Vari?ncia:c) Calcule a vari?ncia dos seguintes dados: 0, 4, 6, 8, 7:d) Calcule a vari?ncia dos dados da tabela abaixo:Distribui??o dos alunos segundo as notasNotasNúmero de alunosxfx2x2f015110253541516073TOTAL2.3. Desvio-padr?o: Por defini??o, desvio-padr?o é a raiz quadrada da vari?ncia. ? representado por s. O desvio-padr?o é a medida mais utilizada em caso de distribui??es simétricas. Graficamente, distribui??es desse tipo se aproximam de uma curva conhecida como curva normal ou curva de Gauss.Ex: Um aluno fez três provas, com 60 quest?es cada uma. Acertou 40, 45 e 50 quest?es. A média de acertos nas três provas, é?A vari?ncia é?Portanto, o desvio-padr?o:2.4 Coeficiente de varia??o: é uma medida de dispers?o relativa porque estabelece uma rela??o entre o desvio-padr?o e a média.Ex: Sendo dois grupos de pessoas e suas idades:1? grupo = 1, 3 e 52? grupo = 53, 55 e 57A vari?ncia em cada grupo é:Como podemos ver, dispers?o em torno da média é a mesma nos dois grupos. No entanto, a diferen?a de idade entre os elementos no 1? grupo indica grandes mudan?as físicas e comportamentais. Porém, no 2? grupo, n?o. Essas observa??es refletem a idéia de dispers?o relativa, ou seja, de dispers?o em rela??o à média. Para medir a dispers?o relativa usa-se o coeficiente de varia??o, que é a raz?o entre o desvio-padr?o e a média, multiplicada por 100. CV = s . 100 EXERC?CIOS:1)? dado o rendimento anual mensal de 20 pessoas, em salários mínimos: 1,2 - 2,8 - 1,7 - 4,1 - 7,2 - 1,3 - 4,2 - 1,1 - 1,0 - 2,3 - 2,9 - 1,2 - 8,9 - 1,0 - 7,0 - 3,5 - 2,2 - 2,4 - 1,9 - 3,0. Calcule a amplitude:2)Dados os valores 8; 0; 5; 7, calcule a vari?ncia.3)Dados os “pesos” de 10 casais (em quilogramas), calcule a vari?ncia do “peso” dos homens e a vari?ncia do “peso” das mulheres. Onde ocorre maior dispers?o?Marido: 82 - 75 - 67 - 65 - 90 - 58 - 78 - 61 - 79 - 65Mulher: 61 - 56 - 71 - 49 - 62 - 57 - 58 - 54 - 65 - 654)Dez pessoas apostam no número de caras que ir?o ocorrer quando se joga uma moeda quatro vezes. Calcule a média e a vari?ncia das apostas.ApostaFreqüência02122531405)Calcule o desvio-padr?o para os seguintes conjuntos de dados:a) 10, 10, 0, 0, 5b) 4, 4, 4, 6, 8c) 0, 2, 3, 4, 56)S?o dados o “peso” e a estatura de quatro pessoas. Calcule os coeficientes de varia??o. Qual é a variável que tem maior dispers?o relativa?Peso (kg): 60 - 75 - 70 - 75Estatura (cm): 160 - 170 - 175 - 1657)Calcule a média e o desvio padr?o dos dados apresentados abaixo relativos ao comprimento (em centímetros) de cobaias de laboratório de 90 dias, segundo o sexo:Masculino: 25,5 - 26,0 - 26,5 - 25,0 - 26,0 - 25,0 - 24,0 - 25,0 - 25,5 - 26,0Feminino: 27,0 - 27,0 - 27,0 - 27,0 - 26,0 - 27,0 - 27,5 - 27,0 - 28,0 - 26,08) Uma amostra de 7 corpos de prova de concreto forneceu as seguintes resistências à ruptura: 340, 329, 337, 348, 351, 360 e 354 Kg/cm2. Calcule a média, vari?ncia, desvio padr?o e coeficiente de varia??o:9)Uma amostra de metal que se presume seja ouro, é examinada mediante 10 determina??es de densidade, obtendo-se: 19 19.4 19.2 18.9 19.5 19.1 19 18.8 18.9 19.4Determinar a densidade média, a amplitude total, o desvio padr?o e o coeficiente de varia??o:NO??ES DE PROBABILIDADE1. PROBABILIDADE1.1. – Experimento AleatórioS?o aqueles que n?o podem ser previamente determinados. Essa impossibilidade de prever-se os resultados, chamamos de acaso.Exemplo: Lan?ar um dado e anotar o número que ocorrerá na face voltada para cima.1.2. – Espa?o Amostral ( S )? o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório.Exemplo 1: Ao se lan?ar um dado e observar a face superior, tem-se o espa?o amostral: S = { 1,2,3,4,5,6 }Exemplo 2: Numa partida de futebol, uma das equipes pode obter resultados tais como: vitória (v), empate (e) ou derrota (d). Tem-se ent?o: S = { v, e, d }1.3. – Evento ? um conjunto qualquer de resultados de um experimento aleatório. Pode-se dizer que um evento é um subconjunto do espa?o amostral.Tipos de eventos:Evento certo – é o próprio espa?o amostral.Exemplo: Lan?amento de um dado e ocorrência de um número menor ou igual a 6 na face superior.Evento impossível – é o subconjunto vazio do espa?o amostral.Exemplo: Lan?amento de um dado e ocorrência de um número maior do que 6 na face superior.Eventos elementares – s?o aqueles que têm um só elemento.Exemplo: Lan?amento de um dado e ocorrência de um número ímpar maior do que 4 na face superior.EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS (DISJUNTOS):Dois ou mais eventos s?o mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um impede a ocorrência do outro. Diferentemente dos eventos complementares onde n?o necessariamente a uni?o de dois eventos mutuamente exclusivos vai constituir o espa?o amostral. Por isso todos os eventos complementares s?o mutuamente exclusivos, mas a recíproca n?o é verdadeira. Por exemplo, se lan?armos um dado e considerarmos os seguintes eventos: o primeiro estabelece o resultado como um número maior que dois { 3, 4 , 5 , 6} e o segundo um resultado menor que dois { 1 }. Nesse caso um número n?o pode ser maior e menor que dois ao mesmo tempo e a uni?o dos dois conjuntos n?o forma o espa?o amostral, pois o 2 está de fora. Sendo A e B evento mutuante excludentes, isto é n?o podem ocorrer ao mesmo por A ∩ B = ? A B Se A1, A2.... An s?o dois eventos mutuante excludentes.P ( A1 U A2 U A3 U.... U An U...) = P (Ai)EVENTOS N?O MUTUAMENTE EXCLUSIVOS:Regras de adi??o para eventos n?o mutuamente exclusivos.P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B ) ( regra geral ou para eventos n?o exclusivos)Onde: P (A ∩ B ) = P (A) . P(B)Dois ou mais eventos s?o n?o mutuamente exclusivos quando é possível ambos ocorrerem simultaneamente. Necessariamente os dois eventos n?o necessitam ocorrer juntos. A BEXEMPLOS1 – No lan?amento de uma moeda duas vezes consecutivas, determine o número de ocorrência de:R: S = { (C,C),(C,K),(K,C),(K,K) }duas coroas (c);R: 1duas caras (k);R:1exatamente uma cara;R: 2exatamente uma coroa;R: 2pelo menos uma cara;R: 3pelo menos uma coroa;R: 3no mínimo uma cara;R: 3no máximo uma cara.R: 32 - No lan?amento consecutivo de dois dados de cores diferentes, um vermelho e um branco, observando-se a face superior temos o seguinte espa?o amostral: ( 1 , 1 ) ; ( 1 , 2 ) ; ( 1 , 3 ) ; ( 1 , 4 ) ; ( 1 , 5 ) ; ( 1 , 6 ) ( 2 , 1 ) ; ( 2 , 2 ) ; ( 2 , 3 ) ; ( 2 , 4 ) ; ( 2 , 5 ) ; ( 2 , 6 ) S = ( 3 , 1 ) ; ( 3 , 2 ) ; ( 3 , 3 ) ; ( 3 , 4 ) ; ( 3 , 5 ) ; ( 3 , 6 ) ( 4 , 1 ) ; ( 4 , 2 ) ; ( 4 , 3 ) ; ( 4 , 4 ) ; ( 4 , 5 ) ; ( 4 , 6 ) ( 5 , 1 ) ; ( 5 , 2 ) ; ( 5 , 3 ) ; ( 5 , 4 ) ; ( 5 , 5 ) ; ( 5 , 6 ) ( 6 , 1 ) ; ( 6 , 2 ) ; ( 6 , 3 ) ; ( 6 , 4 ) ; ( 6 , 5 ) ; ( 6 , 6 )Com base no espa?o amostral acima, determine a ocorrência de números:iguais nos dois dados;R: 6cuja soma seja 12;R: 1cuja soma seja menor ou igual a 12;R: 36cuja soma seja igual a 9;R: 4cuja soma seja menor que 10;R: 30cuja soma seja 7;R: 6iguais ou com soma igual a 8;R: 10múltiplos de 3 nos dois dados.R: 42 O C?LCULO DA PROBABILIDADEChamamos de probabilidade de um evento A o número real P(A), tal que:onde: n(A) é o número de elementos de A; n(S) é o número de elementos de S.Exemplo: A pesquisa de um jornal de S?o Paulo revelou que 200 brasileiros foram mortos por raios no período de um ano (ano 2000). Qual a probabilidade de uma pessoa ser atingida por um raio, sabendo-se que a popula??o brasileira está em torno de 170 milh?es? Exemplo 1: Considerando o lan?amento de uma moeda e o evento A “obter cara”.R: S = { k, c }n ( S ) = 2A = { k }n ( A ) = 1Exemplo 2: Considerando o lan?amento de um dado, vamos calcular a probabilidade do:R: S = { 1,2,3,4,5,6 }evento A “obter um número par na face superior”.R: 1/2evento B “obter um número menor ou igual a 6 na face superior”.R: 6/6evento C “obter um número 4 na face superior”.R: 1/6evento D “obter um número maior que 6 na face superior”.R: 0/6Pelos exemplos que acabamos de ver, podemos concluir que:Probabilidade do evento certo é igual a 1; P(S) = 1Probabilidade do evento impossível é igual a 0; P(?) = 0Probalidade de um evento A qualquer um número real P(A), tal que:0 P( A ) 1Eventos Complementares ( P (A ) )A probabilidade de n?o ocorrer o evento A é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrer A, que pode ser representada por:P (A ) = 1 – P(A) Exemplo: A tabela a seguir, apresenta o número de bombas injetoras existentes em uma fábrica, conforme as suas características. Todas est?o em caixas iguais. Escolhendo uma caixa ao acaso, determine a probabilidade dela:Bombas ElétricasManuaisNovas4530Usadas 1510conter uma bomba nova; R:3/4conter uma bomba manual; R:2/5n?o conter uma bomba elétrica nova; R:11/20n?o conter uma bomba manual usada.R:9/10AXIOMAS E TEOREMASA probabilidade de ocorrer um evento A é representado por p(A) que satisfaz os seguintes axiomas.1) P (A) ≥ 02) P (S) = 13) P (AUB) = P (A) + P (B) ( teorema da soma para eventos mutuamente exclusivos)Probabilidade condicional: Imagine que alguém pergunta: “Qual é a probabilidade de ocorrer um ás de espadas, quando se retira ao acaso uma carta do baralho?”Imagine agora que foi feita a mesma pergunta, mas se deu uma informa??o adicional: “Saiu carta de espadas.”P(A/B)= n( A B) n(B)Eventos Independentes: Quando a probabilidade de ocorrer um evento n?o se modifica, mesmo quando se imp?e a condi??o de ter ocorrido outro evento.Teorema do Produto: a probabilidade de ocorrer um evento com a característica A e um evento com a característica B, isto é, a probabilidade de ocorrer um evento do conjunto A B é dada por: P ( A B) = P(A) . P(B)Ex.: Duas moedas s?o lan?adas. ? claro que o fato de sair cara numa das moedas n?o influi sobre o fato de sair cara na outra moeda. Ent?o, esses eventos s?o independentes. Conseqüentemente, a probabilidade de ocorrerem duas caras quando se lan?am duas moedas é: ? . ? = ?Teorema da Soma: A probabilidade de ocorrer ou um evento com a característica A, ou um evento com a característica B, isto é, a probabilidade de ocorrer um evento do conjunto A B é: P (A B) = P(A) + P(B)Freqüência Relativa: O conceito de probabilidade aplica-se facilmente nos casos de jogos de azar. Entretanto, a aplica??o desse mesmo conceito fica difícil quando se tenta responder a quest?es do tipo: Qual é a probabilidade de uma pessoa morrer antes de completar os 40 anos? Qual é a probabilidade de dois avi?es se chocarem em pleno ar? Qual é a probabilidade de um buj?o de gás explodir?Todas essas quest?es s?o legítimas e est?o associadas à teoria de probabilidades, mas n?o podem ser respondidas com base nos conceitos apresentados até aqui. ? possível ampliar esses conceitos, como é o caso da freqüência relativa, que é uma estimativa da probabilidade de ocorrer certo evento.Exemplo: Para obter a freqüência relativa de natimortos, no sexo masculino, divide-se o número de natimortos desse sexo pelo total de nascidos do sexo masculino, no mesmo período.Na área da saúde é comum usar o termo risco, como sin?nimo de probabilidade.Exemplo:Num grupo de 300 turistas cadastrados por uma agência de viagens, 100 viajam para Fortaleza e 80 para Manaus (os turistas restantes viajam para outras cidades). Esses dados incluem 30 turistas que viajam para as duas cidades simultaneamente.Qual a probabilidade de um turista aleatoriamente escolhido estar de viagem:para Fortaleza (F);para Manaus (M);para Fortaleza(F) ou para Manaus (M).Taxas demográficas: Entende-se por taxa ou coeficiente, em demografia, a raz?o entre o número de indivíduos que apresentam, ou apresentaram, determinada característica no decurso de certo período, e o total de indivíduos na popula??o.A taxa de mortalidade é a raz?o entre o número de óbitos, registrados, em determinada regi?o durante um ano, e a popula??o da regi?o: (n? de óbitos popula??o).1000:Taxa de mortalidade infantil= n? de óbitos de menores de 1 ano . 1000 n? de nascidos vivosTaxa de natalidade = n? de nascidos vivos . 1000 popula??o ATIVIDADES:1) Um levantamento de assinantes do Forbes mostrou que 45,8% deles haviam alugado um carro durante os últimos 12 meses por raz?es de negócios, que 54% haviam alugado um carro durante os últimos 12 meses por raz?es pessoais e que 30% haviam alugado um carro durante os últimos 12 meses tanto por raz?es pessoais como por raz?es de negócios.a) Qual a probabilidade de que um assinante tenha alugado um carro durante os últimos 12 meses por raz?es pessoais ou por raz?es de negócios?b) Qual é a probabilidade de que um assinante n?o tenha alugado um carro durante os últimos 12 meses nem por raz?es pessoais nem por raz?es de negócios?2) Suponha que temos dois eventos, A e B, com P(A)=0,50, P(B)=0,60 e P(AB)=0,40.a) Ache P(A/B);b) Ache P(B/A);3)Jogam-se dois dados. Qual é a probabilidade de a soma de pontos ser par?4)Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho homem é ?. Nessas condi??es, qual é a probabilidade de um casal com cinco filhos ter os cinco filhos homens?5)Uma urna branca contém duas bolas brancas e oito pretas. Uma urna preta contém duas bolas pretas e oito brancas. Se uma pessoa retirar ao acaso uma bola de cada urna, qual é a probabilidade de ter retirado pelo menos uma bola branca da urna branca ou da urna preta?6)Joga-se um dado duas vezes. Qual é a probabilidade de sair um número ímpar em pelo menos uma das jogadas?7)Sabe-se que uma moeda é honesta, isto é, a probabilidade de sair cara é igual a ?. Suponha que a moeda foi jogada quatro vezes e ocorreram quatro caras. Numa próxima jogada é mais, ou menos, provável ocorrer cara?DISTRIBUI??ES CONT?NUAS DE PROBABILIDADEA DISTRIBUI??O NORMALEntre as distribui??es teóricas de variável aleatória contínuas, uma das mais empregadas é a DISTRIBUI??O NORMAL.O aspecto gráfico de uma distribui??o normal é o da figura abaixo:Principais características:1?) A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.2?) A representa??o gráfica da distribui??o normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou GAUSS.3?) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.4?) A curva normal é ASSINT?TICA em rela??o ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcan?á-lo.5?) Como a curva é SIM?TRICA em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior do que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades s?o iguais a 0,5 . Escreve-se: P (X ) = P (X ) = 0,5 .Quando existe uma variável aleatória com distribui??o normal, o principal interesse é obter a probabilidade dessa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. Para calcular essa probabilidade é usada a distribui??o normal padr?o.A DISTRIBUI??O NORMAL REDUZIDA (PADR?O) (Z) tem distribui??o normal de média 0 e desvio padr?o 1. X N ( = 0; = 1)A tabela de distribui??o normal reduzida, em anexo, apresenta a probabilidade de Z assumir qualquer valor entre a média 0 e um dado valor Z, isto é: P(0<Z<Z)Exemplo 1: Em um exame final de Matemática, a média foi 72 e o desvio padr?o 15. Determinar a variável reduzida (isto é, os graus expressos em unidades de desvio padr?o) dos estudantes que obtiveram graus:a) 60; R.: -0,8 b) 93; R.: 1,4 c) 72. R.: 0Exemplo 2: Com referência ao exemplo 1, determinar os graus correspondentes aos escores reduzidos:a) –1 ; R.: 57 b) 1,6.R.: 96Exemplo 3: Dois estudantes foram informados de que alcan?aram as variáveis reduzidas de 0,8 e –0,4, respectivamente, em um exame de múltipla escolha de inglês. Se seus graus foram 88 e 64, respectivamente, determinar a média e o desvio padr?o dos graus do exame.R.: 72 e 20Exemplo 4: Determinar a área limitada pela curva normal em cada um dos casos abaixo:Entre z = 0 e z = 1,2R.: 0,3849Entre z = -0,68 e z = 0R.: 0,2518Entre z = -0,46 e z = 2,21R.: 0,6636Entre z = 0,81 e z = 1,94R.: 0,1828? esquerda de z = - 0,6R.: 0,2742? direita de z = -1,28R.: 0,8997? direita de z = 2,05 e à esquerda de z = -1,44R.: 0,0951EXERC?CIOS1 – Determinar a média e o desvio padr?o de um exame, cujos graus 70 e 88 correspondem, respectivamente, os escores reduzidos –0,6 e 1,4.R.: 75,4 e 92 – Determinar a área subtendida pela curva normal:ccR.: 0,2991? esquerda de z = -1,78R.: 0,0375? esquerda de z = 0,56R.: 0,7123? direita de z = -1,45R.: 0,9265Correspondente a z 2,16R.: 0,0154Corresponde a -0,80 z 1,53R.: 0,7252? esquerda de z = -2,52 e à direita de z = 1,83R.: 0,0395Corresponde a z -1,64R.: 0,9495Corresponde a -1,96 z 1,96R.: 0,95003 - Determinar o valor, ou valores, de z em cada um dos casos, nos quais as áreas referem-se às limitadas pela curva normal:A área entre 0 e z é 0,3770.A área à esquerda de z é 0,8621.A área entre –1,5 e z é 0,0217.4 - O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino, de uma determinada universidade, é 75,5 kg e o desvio padr?o é 7,5 kg. Admitindo-se que os pesos est?o distribuídos normalmente, determinar quantos estudantes pesam:entre 60 e 77,5 kg;R.: 294 estudantesmais do que 92,5 kg.R.: 6 estudantes5 - Determinar quantos estudantes do exemplo 6 pesam:menos do que 64 kg;R.: 32 estudantes64 kg;R.: 0 estudantes 6 - A média dos di?metros internos de uma amostra de 200 arruelas produzidas por uma certa máquina é 0,502 polegadas e o desvio padr?o é 0,005 polegadas. A finalidade para a qual essas arruelas s?o fabricadas permite a toler?ncia máxima, para o di?metro, de 0,496 a 0,508 polegadas; se isso n?o se verificar, as arruelas ser?o consideradas defeituosas. Determinar a percentagem de arruelas defeituosas produzidas pela máquina, admitindo-se que os di?metros s?o distribuídos normalmente.R.: 0,2302 ................
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