LOGARTIMES



1. LOGARITMES

1.1. Definició

log a N = x ( ====== ( a x = N

així: 3 2 = 9 ( log 3 9 = 2

per tant: - log10 1000 = x però com que 10 x = 1000 llavors... x = 3 perquè 103 = 1000

- log4 2 = x però com que 4 x = 2 llavors... x = ½ perquè 41/2 = 2

- log1/2 0,125= x però com que (½) x = 0,125 llavors... x = 3 perquè (½)3 = 0,125

i també,

- log5 239 = x però com que 5 x = 239 llavors... x = 3,39.. perquè 53.39.. = 239

tal com es veu, poden existir diferents bases, i per tant, diferents tipus de logaritmes, però

solament es treballa amb dos tipus: - DECIMALS (o de Briggs) base 10

- NEPERIANS (o Naturals) base e = 2,7182..

1.2. Consideracions

I loga 1 = 0 perquè ao = 1 log4 1 = 0 14o = 1

II loga a = 1 perquè a1 = a log5 5 = 1 51 = 5

III loga (am) = m perquè am = am log10 (103) = 3 103 = (10 3)

IV loga (-N) = ( perquè a x ( (-N) no pot haver cap número positiu que elevat

a qualsevol nombre positiu o negatiu doni < 0

V loga 0 = - ( perquè a-( = 0 log2 0,000...001 = - 19 2-19 = 0,000....001

(a > 1)

VI loga 0 = ( perquè a( = 0 log(1/2) 0,000...001 = 20 (1/2)-20 = 0,000...001

(a < 1)

1.3. Consideracions avançades

VI si a > 1 i a) N > 1 loga N = (+) log3 27 = x (( 3x = 27 (

x = 3 33 = 27

per tant, log3 27 = 3

b) N < 1 loga N = (-) log2 0,125 = x (( 2x = 0,125 (

x = -3 2-3 = 1/33 = 1/8 = 0,125

per tant, log2 0,125 = - 3

si a < 1 i a) N > 1 loga N = (-) log(1/5) 625 = x (( (1/5)x = 625 (

x = -4 (1/5)-4 = 5 4 = 625

per tant, log(1/5) 625 = - 4

b) N < 1 loga N = (+) log(1/2) 0,25 = x (( (1/2)x = 0,25 (

x = 2 (1/2)2 = 1/4 = 0,25

per tant, log(1/2) 0,25 = 2

Exercicis

A) Calcular els següents logaritmes B) Expressar de forma logarítmica

1. log 3 9 = 1. 43 = 64 (

2. log 4 2 = 2. 7-2 = 1/49 (

3. log 2 8 = 3. (1/2) 4 = 1/16 (

4. log 5 1 = 4. (1/5) -3 = 125 (

5. log 10 10.000 =

6. log 27 3 = C) Expressar de forma exponencial

7. log 2 0,25 = 1. log 2 1024 = 10 (

8. log 10 0,001 = 2. log 7 1/49 = -2 (

9. log 1/2 4 = 3. log 5 5 = 1 (

10. log 3 81 = 4. log 1/3 243 = -5 (

11. log 5 (1/3125) =

12. log 4 4096 = D) Calcular el valor de “x”

1. log x 1 = 0

2. log x 512 = 3

3. log x (1/3125) = -5

4. log 4 X = 2

5. log 9 X = 1/2

6. log 27 X = -1/3

2. TIPUS DE LOGARITMES

2.1. DECIMALS (Briggs) 2.2. NEPERIANS (Naturals)

La base a = 10 La base a = e e= 2,7182...

Nomenclatura

Log 10 N ( (Forma d’escriptura) Log e N (

log N = x ( ( 10 x = N ln N = x ( ( e x = N

Nomenclatura (operativa: taules - màquines)

si log 1 = 0 100 = 1 si ln 1 = 0 e 0 = 1

log 10 = 1 101 = 10 ln 7,389..= 2 e 2 = 7,389..

log 100 = 2 102 = 100 ln 10 = 2,302.. e 2,302.. = 10

ln 100 = 4,605.. e 4,605.. = 100

log 1000 = 3 103 = 1000 ln 200 = 5,298.. e 5,298.. = 200

ln 500 = 6,214.. e 6,214.. = 500

............................................. .....................................................

log 256 = 2 ( 3 102(3 = 256 ln 256 = 5 ( 6 e5(6 = 256

log 256 = 2 , 40824.. ln 256 = 5 , 54517..

part sencera (2) : Característica part sencera (5) : Característica

part decimal (40824..) Mantisa part decimal (54517..) Mantisa

( Important: En les logaritmes decimals si un nombre el multipliquem per una potència de

10 la mantisa no varia i la característica va augmentant en una unitat

(en les logaritmes neperians passaria el mateix però amb potències de “e”)

log 3,56 = 0,551.. log 0,356 = -0,448.. ln 3,56 = 1,269..

log 35,6 = 1,551.. log 0,0356 = -1,448.. ln 3,56 x e = 2,269..

log 356 = 2,551.. log 0,00356 = -2,448.. ln 3,56 x e2 = 3,269..

log 3560 = 3,551.. log 0,000356 = -3,448..

precisament, 1- 551.. = 448..

3. ANTI-LOGARITME

log 256 = 2,40824.. ln 256 = 5,54517..

ant-log (2,40824..) = 256 ant-ln (5.545..) = 256

10 2,40824.. = 256 e 5,54517.. = 256

3.1. COLOGARITME

Cologaritme d’un número (N) es el logaritme del seu invers (1/N)

Colog 256 = log (1 / 256) = - 2,40824.. Coln 256 = ln (1 / 256) = - 5,54517..

3.2 CALCULADORA

Calcular el logaritme de 27,931

pantalla tecla pantalla pantalla tecla pantalla

27.931 1,4460.. 7.89 2,065..

log 27,931 = 1,4460... ln 7,89 = 2,065..

Calcular l’antilogaritme de 1,45678

pantalla tecla d’inversa pantalla pantalla tecla d’inversa pantalla

1.45678 28.627.. 1.45678 4,2921..

ant-log 1,45678 = 28,627... ln 1,45678 = 4,2921..

Exercicis:

1. Al multiplicar un nombre per 10.000 varia la mantisa del seu log?

2. Al multiplicar un nombre per 1000, que li passa a la seva característica del seu log

3. Si el log 282 = 2,4502 calcular sense calculadora el log 2,82 =

4. Si el log 282 = 2,4502 calcular sense calculadora el log 0,00282 =

5. Si l’ ant-log (2,356) = 226,98.. calcular sense calculadora l’ ant-log (5,356) =

6. Si l’ ant-log (- 1,221) = 0,0601.. calcular sense calculadora l’ ant-log (-3,221) =

4. PROPIETATS DELS LOGARITMES

I) l II) l

”log del producte = suma de log” “log del quocient = diferència de log”

log2 ( 4 x 16 ) = log2 4 + log2 16 log10 (1000/100) = log10 1000 - log10 100

log2 4 = 2 ( (22 = 4) log10 1000 = 3 ( (103 = 1000)

log2 16 = 4 ( (24 = 16) log10 100 = 2 ( (102 = 100)

----------------------------------- ----------------------------------------------

6 = 4 + 2 1 = 3 – 2

log2 64 = 6 ( (26 = 64) log10 10 = 1 ( (101 = 10)

III) IV)

“log de la potència = potència x log” “log de l’arrel = log / per líndex”

en realitat, log a (M n) = log a (M x M x M..) = en realitat, log a (M 1/n) = (1/n) x log M

= log a (M) + log a (M) + log a (M)... = log2 V 64 = (1/2) x log2 64

= n x log a (M) log2 64 = 6 ( (26 = 64) : (2)

log3 (81 2) = 2 x log3 81 ----------------------------------------------

log3 81 = 4 ( (34 = 81) 6 : 2 = 3

(x) 2

----------------------------------- log2 8 = 3 ( (23 = 8)

8 = 4 x 2

log3 6561 = 8 ( (38 = 6561)

Exercicis:

Desenvolupar en forma logarítmica

A = a m x b n (

B = a x b p x c q (

C = a m / b n (

D = ( (a 2 x b 3 x c ) / (d 5 x e ) ) 4 (

E = V ( (a 2 x V b ) / ( V c 2 x d ) ) (

Exercicis:

Desenvolupar els logaritmes

1. M = x 3 y 5 z 6 (

2. N = x 2 z / y 3 (

3. P = V ( x V y / z ) (

4. Q = V x V y 4 V z (

5. R = ( (V x3 V y ) / ( V z7 ) ) 4

6. S = V ( ( z V x 5 ) / (y + x ) 2 ) 5

Obtenir les expressions, A, B , C, D, E, i F

Log A = 3 log x + 5 log y

Log B = 7 log x – (1/2) log y + log z

Log C = log (a+b) + log (a-b)

Log D = 3/2 log a + 5/3 log b – 3 log c – log d

Log E = log a + (log b ) / m - log c – (log d) / n

Log F = 3/2 log x - log y - 5/14 log z

4.1 ALGUNES APLICACIONS DELS LOGARITMES

a) Càlcul de productes: A = 3,26 x 0,0217 x 32.458 =

Log A = log (3,26 x 0,0217 x 32.458) ( Log A = log 3,26 + log 0,0217 + log 32.458

Log A = (0,51.. + (-1,66..) + 4,51.. ) = 3,36... ( A = ant-log ( 3,36..) = 2.296

Resoldre per logaritmes: 1. 0,00024826 * 3,49 * 5.628,46 =

2. 0,02008 * 7,26854 * 426.814 =

b) Càlcul de quocients: A = 326,58 / 26,502 =

Log A = log (326,58 / 26,502) ( Log A = log 326,58 - log 26,502

Log A = (2,514.. – 1, 423..) = 1,0907... ( A = ant-log ( 1,0907..) = 12,32

Resoldre per logaritmes: 1. 0,000078504 : 0,0003729 =

2. 3.264,49 : 0,026897 =

c) Càlcul de potències: A = 9,026 7 =

Log A = log (9,026 7 ) ( Log A = 7 x log 9,026

Log A = 7 x 0,955..) = 6,6885.. ( A = ant-log ( 6,6885..) = 4.881.000

Resoldre per logaritmes: 1. 9,02874 7 =

2. 3.128,497 3 =

d) Càlcul d’arrels (potències fraccionaries): A = V 82.346,37 =

. 5

Log A = log (V 82.346,37 ) ( Log A = (1/5) x log 82.346,37

Log A = (1/5) x 4,9156.. = 0,7022.. ( A = ant-log ( 0,7022..) = 5,04

Resoldre per logaritmes: 1. V 7865,67 =

2. V 3.567,8 =

3. 34,567 (3/11) =

d) Càlcul d’operacions combinades: A = ( (32,7 * 0,006487) / (5,6528) ) 4 =

Log A = log ( (32,7 * 0,006487) / (5,6528) ) 4 (

Log A = 4 x ( log 32,7 + log 0,006487 – log 5,6528) = 4 x ( 1,51..+(-2,18..) + 0,75..)

Log A = -5,72... ( A = ant-log ( -5,72..) = 0,00000198

5. CANVIS DE BASES

Si log a M = m ( ( a m = M log a (a m )

a m = b n log a (a m ) = log a (b n)

log b M = n ( ( b n = M log a (b n )

per la propietat de les potències ( m log a a = n log a b ( m x1 = n x log a b

com que m = log a M

log a M = = log b M x log a b

n = log b M

l og a M

log b M = ------------

log a b

log 457 2,65....

Exemple: log 7 457 = ???? ( log 7 457 = ----------- = ----------- = 3,14....

log 7 0,84...

log 45 1,65....

log 0,39 45 = ???? ( log 0,39 45 = ----------- = ----------- = -4,04...

log 0,39 -0,40..

6. QÜESTIONS IMPORTANTS

I Atenció en les equacions log2 x ( log x2

Log2 x = log x ( log x = ( log x ) 2

Log x2 = log (x2) = 2 log x

II Un nombre sempre el podem transformar en logaritme 2 = log (100)

3,14 = log ( ant-log 3,14) = log 1.380,3843

5 = ln (ant ln 5) = ln = 148,413

III Solament es poden eliminar els logaritmes d’una equació quant es té

log d’un membre = log de l’altre membre ( log (3x –5) +.. = log 2 + x –5..

log x – log 100 = log 25 ( log (x / 100) = log 25 ( ( log (x / 100) = log 25

x /100 = 25 ( x = 2.500

7. QUACIONS LOGARÍTMIQUES ( log f(x) = K

Tipus I log x + log 36 = log 612

log (36 ( x) = log 612 ( log (36 ( x) = log 612 ( 36 x = 612 (

x = 612/36 = 17 x = 17

Tipus II log 7x = log 37 + 5 log x

log 7 + log x = log 37+ 5 log x ( log 7 – log 37 = 5 log x - log x

0,84.. – 1,56.. = 4 log x ( log x = - 0,72 / 4 = -0,18 ( log x = -018..

x = ant-log (-0,18..) ( x = 0,66..

Tipus III (log x) 2 – log (972 / x) = 0

log 2 x - ( log 972 - log x ) = 0 ( log 2 x - log 972 + log x = 0

canvi de variable log x = t ( t2 + t – 2,98.. = 0 t1 = 1,299

t2 = -2,299

desfer el canvi log x = 1,299.. ( x1 = ant-log (1,299..) = 19,92

log x = -2,299 ( x2 = ant-log (.2,299..) = 0,005

Exercicis:

1. 3 + log x = log 57 – log 19

2. 2 – log x = log 25

3. log x 2 - log x – log 17 = 0

4. log V 2x – 3 + ½ log (x + 2) = 1 + log 2

5. (x 2 – x + 2 ) log 2 + log 250 = 3

6. log (26 - x 2) – 2 log (4 – x) = 0

7. log 2 x = log 9 2

8. log 7x = log 24 – 3 log x

9. (log x ) 2 – 1,7 = 0

10. log 2 – log x – log 5 = 0

11. log ( 17/x) + (log x ) 2 = 0

12. (log 9x – log 37) / log 3 = (1 – 3 log x ) / log 2

7.1. SISTEMES D’EQUACIONS LOGARÍTMIQUES

Tipus I x – y = 15

log x + log y = 2,7

x – y = 15 x-y = 15 x = 15 + y y2 +15 y –544 = 0 y1 = 17

log (x y ) = log (ant-log 2,7) x y = 544 (15+y) y = 544 y2 = -32

y2 = -32 no es solució perquè log (-32) = ( ( y= 17 x = 15 + 17 = 32 x = 32

Tipus II 2 log x + 3 log y = 1,2

log x - log y = 0,8

2 log x + 3 log y = 1,2 2 log x + 3 log y = 1,2 log x = (3,9/5)

log x - log y = 0,8 (3) 3 log x – 3 log y = 2,6 log x = 0,78 ( x = ant-log 0,78

5 log x / = 3,9 x = 6,05

log 6,05 – log y = 0,8 ( 0,78 – log y = 0,8 ( log y = 0.78 – 0,8 ( log y = 0,02

y = ant-log 0,02 = 0,95 y = 0,95

Exercicis:

1. log x –log y = 7

log x + log y = 3

2. x – y = 19

log x - log y = 0,92

3. x2 - y2 = 19

log x + log y = 1

4. Demostrar la relació entre a i b si 3 log a – 5 log b = 0

5. La suma de dos nombres es 24 i la suma dels seus log en base 2 es 7.

Calcular els nombres

8. EQUACIONS EXPONENCIALS ( a f (x) = K

L’equació exponencial es la inversa de l’equació logarítmica log a N = x (( a x = N

Tipus I 17 x = 36,5

Log 17 x = log 36,5 ( x log 17 = log 36,5 ( x = log 36,5 / log 17 = 1,2 x = 1,2

Tipus II log 19 7647 = x

19 x = 7647 ( log 19 x = log 7647 ( x log 19 = log 7647 ( x = log 7647/log 19

x= 3,03

x

Tipus III 5 (x -1) = 36,5

2 2

5 (x -1) x = 15.625 ( 5 (x - x) = 15.625 ( 5 (x - x) = 5 6 ( x 2 - x = 6 (

x 2 - x – 6 = 0 ( x1 = 3 x2 = -2

3

Tipus IV 16 (2x +1) = V 8

3

2 4 (2x +1) = V 2 3 ( 2 4 (2x +1) = 2 1 ( 8x + 4 = 1 ( 8x = - 3 ( x = - 3/8

Exercicis:

1. 6 x = 216

2. 2 3x-1 = 2.048

3. 3 2(x-1) = 81

5

4. V 2 3x - 3 = 64

5

5. 16 2x-1 = V 8

6. 6 x2 –2x +1 = 1

7. 37 x –1 = 629,36

8. (17 3x-1 ) x = 22 x-3

9. 2 x – 17 ( 2 x+1 = 288 = 0

10 3 2(x+1) = 18 ( 3 x - 9

x

11. V 6789,42 = 87,28

12. 3 x+3 + 3 x+2 + 3 x + 3 x-1 = 363

8.1. SISTEMES D’EQUACIONS EXPONENCIALS

Tipus I 5 (x +y) = 36,2

6x = 7y

5 (x +y) = 36,2 log 5 (x +y) = log 36,2 (x+y) log 5 = log 36,5 x+y = log 36,5 / log 5

6x = 7y log 6 x = log 7 y x log 6 = y log 7 x log 6 = y log 7

x+y = 2,1.. x + y = 2,1 .. x = 1,12..

0,7..x = 0,8..y 0,7x – 0,8 y = 0 y = 1,03

Tipus II 2 x - 4 2y = 0

x – y = 15

2 x = 2 2(2y) x = 4y 4y – y = 15 3y = 15 y = 5 x = 4 * 5 x = 20

x – y = 15 x – y = 15

Exercicis:

1. 2 x – 4 2y = 0

x – y = 15

2. 2 x – 3 y+1 = 113

x – y = 0,5

3. 3 ( 10 x-1 – 5 y = 275

2 ( 10 x – 3 ( 5 y+2 = 125

9. FUNCIÓ LOGARITMICA – EXPONENCIAL

9.1 Funció logarítmica y = log a f(x) I Domini: dom (f) = x ( R+ = (0, ()

II Tall amb els eixos: eix X: sempre en x =1

eix Y: no talla mai

III Simetries: no hi han mai

IV Asímptotes: vertical en el propi eix Y

Y

a = 2 si y = 0 ( log 2 x = 0 ( 2 0 = x x = 1

y = 1 log 2 x = 1 ( 2 1 = x x= 2

y = 3 log 2 x = 3 ( 2 3 = x x= 8

X y = -1 log 2 x = -1 ( 2 -1 = x x= 1/2

y = -5 log 2 x = -5 ( 2 -5 = x x= 1/32

a = 5 si y = 0 ( log 5 x = 0 ( 5 0 = x x = 1

y = 1 log 5 x = 1 ( 5 1 = x x= 5

a = 10 si y = 0 ( log 10 x = 0 ( 10 0 = x x = 1

y = 1 log 10 x = 1 ( 10 1 = x x= 10

Y y = log a x ( a ( (1, () ( a > 1

X

1

Y

a = 1/2 si y = 0 ( log 1/2 x = 0 ( ½ 0 = x x = 1

y = 1 log 1/2 x = 1 ( ½ 1 = x x= 1/2

X y = 3 log 1/2 x = 3 ( ½ 3 = x x= 1/8

y = -1 log 1/2 x = -1 ( ½ -1 = x x= 2

y = -5 log 1/2 x = -5 ( ½ -5 = x x= 32

a = 1/5 y = 0 ( log 1/5 x = 0 ( ½ 0 = x x = 1

y = 1 log 1/5 x = 1 ( 1/5 1 = x x= 1/5

y = -1 log 1/5 x = -1 ( 1/5 -1 = x x= 5

Y

1 X

y = log a x ( a ( (0, 1) ( a < 1

9.2 Funció exponencial y = a f(x) I Domini: dom (f) = x ( R = (-( , ()

II Tall amb els eixos: eix Y: sempre en y =1

eix X: no talla mai

III Simetries: no hi han mai

IV Asímptotes: horitzontal en el propi eix X

Y

a = 2 si x = 0 ( y = 2 0 ( y = 1

x = 1 y = 2 1 ( y = 2

x = 3 y = 23 ( y = 8

x = -1 y = 2-1 ( y = 1/2

x = -5 y = 2-5 ( y = 1/32

X

a = 5 si x = 0 ( y = 5 0 ( y = 1

x = 1 y = 5 1 ( y = 5

a = 10 si x = 0 ( y =10 0 ( y = 1

x = 1 y = 10 1 ( y = 10

Y y =a (x) ( a ( (1, () ( a > 1

1

X

Y a = 1/2 si x = 0 ( y = ½ 0 ( y = 1

x = 1 y = ½ 1 ( y = 1/2

x = 3 y = ½ 3 ( y = 1/8

x = -1 y = (1/2) –1 ( y = 2

x = -5 y = (1/2) –5 ( y = 32

X a = 1/5 si x= 0 ( y = (1/5) 0 ( y = 1

x = 1 y = (1/5) 1 ( y= 1/5

Y y = a x ( a ( (0, 1) ( a < 1

1

X

3. Funció logarítmica – funció exponencial

Funció logarítmica y = log a f(x) (( funció exponencial y = a f(x)

a > 1 a < 1

y = 2 x y = (1/2) x Y

Y

y = log 2 x

X X

y = log 1/2 x

Exercicis:

Estudiar i representar les següents funscions

1. y = 5 x 7. y = log 4 x

2. y = 2 2x 8. y = log (1/3) 2x

3. y = (2/5) x 9. y = log 5x

4. y = 3 x 2 2x 10. y = log 2 3x

5. y = 3 x 2 -x 11. y = log V x

6. y = (1/5) -3x

Determinar els valors de la variable dependent segons els valors de “x”

1. y = log 7 x x=1 3. y = log 8 x x = 512

2. y = log 5 x X 1/ 3.125 4. y = log 8 x x = 256

Determinar les funcions inverses de

1. y = 3 log 4 x 3. y = (1/5) log 5 x

2. y = 3 2x 4. y = V 7 5x

Determinar si les funcions que es proposen son parells o senars

1. y = 2 x + (1/2) x 2. y = 2 - (1/2) x

Problemes

1. Un bosc te una quantitat de fusta equivalent a 65 dam3. Aquest volum augmenta a raó d’un

10% anual. Determinar la funció que representa aquesta situació en el temps

(y: volum de fusta, x: temps)

2. En el bosc anterior quina seria la quantitat de fusta disponible als 10 anys?

3. Una mostra radioactiva pesa actualment 2 gr. .Per la emissió de radioactivitat es coneix que

perd el 3% diari de radioactivitat. Determinar la funció que representa aquesta situació en el

temps (y: pes, x: temps)

4. Un kg de la mostra radioactiva anterior, quant temps trigaria en reduir-se a la meitat?

5. Un cultiu de virus de la grip, se sap que augmenta el 20 % cada dia. Al cap d’un any i partint

d’una massa d’un gram, quina massa s’obtindrà d’aquest microbi?

-----------------------

log

INVn

ln

lNV

log

ln

Logaritme en base a (positiva i diferent d’1) d’un nombre N (real i positiu) ( log a N = x (

es l’exponent al que es té que elevar la base a per a que ens torni el nombre N ( a x = N (

log N

ln N

log a (M x N ) = log a M + log a N

log a (M / N ) = log a M - log a N

log a (Mn ) = n x log a (M)

log a M

log a ([pic] ) = ----------

n

y = log 2 x

y = log 5 x

y = log 10 x

y = log 1/2 x

y = log 1/5 x

y = 2 x

y = 5 x

y = 10 x

y = (1/2) x

y = (1/5) x

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download