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Factorial - Combinatorio
Factorial de un número ZZ+
llamamos
Así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos consecutivos desde la unidad hasta el número considerado inclusive.
representación
n! Se lee: Factorial de "n" n o "n" factorial
Ejemplos
Está definido el fa c t o r ia l p a r a números enteros y positivos
Ejemplos
Operaciones que no se cumplen son:
Adición y sustracción
Propiedades
1
Por definición: 1! = 1
Por acuerdo: 0! = 1
2! = 2 = 1×2 = 2
3! = 3 = 1×2×3 = 6
8! sí existe
a ± b ≠
a ± b
2
4! = 4 = 1×2×3×4 = 24
5! = 5 = 1×2×3×4×5 = 120
(-6)! no existe
-5! sí existe
Multiplicación
Si: a! = b! → a = b a; b ≠ 0; 1
6! = 6 = 1×2×3×4×5×6 = 720
7! = 7 = 1×2×3×4×5×6×7 = 5040
...
en general:
n! = n = 1.2.3.....(n - 2)(n - 1)n
1 ! no existe
4
ab ≠ a b
División
a ≠ a b b
Número combinatorio
Representación del número de combinaciones de
"n" elementos tomados de "k" en "k". Notación:
n
C k ; n ∈ ZZ+ ∧ k
su
∈ ZZ+ ∧ k ≤ n
reglas de
la las
Definición matemática
Regla práctica Propiedades
Degradación
C n =
es es
"k" factores
n
son
C n = 1
superior e inferior
C n = n C n - 1
k k n - k
C n = n
n(n-1)(n-2)...(n-k+1) n - k
= n
k k k - 1
ejemplos
k k n - k
1.2.3.....k
"k" factores
n - k
C 1 = n
C n = 1
inferior
4 ejemplos complementarios
C n = n - k + 1 C n
C 4 =
2 4 - 2
= 24 = 6
2.2
7 7.6.5
k k k - 1 n n
C 7 =
7 7.6.5. 4
=
3 4 6. 4
= 35
C 3=
4
= 35
1.2.3
4.3
C k = C n - k
igualdad
superior
C n = n C n - 1
50 50
48
50.49. 48
= = 1225
C 2= 1.2 = 6
C n = C n
k n - k k
48 2
48 2
C 7= 7.6.5.4 = 35
4 1.2.3.4
1ra posibilidad: p = q
2da posibilidad: p + q = n
suma de combinatorios
C n + C n
= C n + 1
k k + 1
k + 1
⇐ Problemas resueltos
1. Si:
9!
Reemplazando:
R =
(7! + 8. 7!).9!
9.8.7! + 7! + 8.7!
A = 7! + 8!
7! (1 + 8).9!
R = 7! (72 + 1 + 8) =
9.9! 9!
81 = 9
Calcular: B A
Solución:
4! + 5! + 6!
B = 2!.3!.4!
Luego: R = 8!
4. Simplificar:
(x + 2)3.x!
Reduciendo cada uno por la propiedad degradativa.
T = (x + 2)! + (x + 1)! + x!
- A =
9.8.7!
7! + 8.7! =
9.8.7!
9.7! = 8
Solución:
- B = Luego:
4! + 5.4! + 6.5.4!
2.6.4! =
36.4!
12.4! = 3
Degradamos:
(x + 2)! = x!.(x + 1)(x + 2) (x + 1)! = x!.(x + 1)
Reemplazando en el denominador:
B A = 3 8 = 2
2. Señale el equivalente de:
K = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + n.n!
(x + 2)3.x!
T = x!.(x + 1)(x + 2) + x!.(x + 1) + x!
Factorizando “x!” en el denominador:
(x + 2)3.x!
Solución:
Por inducción matemática se tiene: Para un sumando:
T = x![(x + 1)(x + 2) + (x + 1) + 1]
(x + 2)3
1.1! = 1 = 2! - 1
Para dos sumandos:
1.1! + 2.2! = 1 + 4 = 5 = 3! - 1
T = x 2
+ 3x + 2 + x + 2
3 3
Para tres sumandos:
1.1! + 2.2! + 3.3! = 23 = 4! - 1
Para cuatro sumandos:
..... = 5! - 1
T =
Luego: T = x + 2
(x + 2)
x 2 + 4x + 4
(x + 2)
= (x + 2)2
Para “n” sumandos:
1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + n.n!
= (n + 1)! - 1
5. Reducir:
S = 7
8 9 10
11 12
3. Reducir la siguiente expresión:
⎧ 1
1 ⎫-1
Solución: Transformando:
C0 +C 1+C2 +C 3 +C 4 +C 5
R = +
⎩ 7! + 8! 9! ⎭
C a C = C
⎨ ⎬ 7 7 8
0 0 0
Solución:
Reemplazando y sumando de 2 en 2 se tiene:
Dando común denominador:
S = 8 8
9 10
11 12
C0 +C1 +C2 +C 3+C 4 +C 5
14243
⎧ 9! + 7! + 8! ⎫-1
9 9 10
11 12
⎨ ⎬ S = C 1 +C2 +C 3 +C 4 +C 5
R =
⎩ (7! + 8!).9! ⎭
14243
Invirtiendo:
S = 10 10
11 12
(7! + 8!).9!
C 2 +C 3 +C 4 +C 5
14243
R = 9! + 7! + 8!
S = 11 11 12
8! ’ 8.7!
C 3 +C 4 +C 5
14243
Degradamos: ⎪⎧
12 12
⎨
⎪⎩9! ’ 9.8.7!
S = C 4 +C 5
14243
= C13
6. Resolver:
Reemplazando “α” y “β” en K:
x x x
x x3 + 6x - 3
46 ⎡ 28
45 ⎤
C0 + C 1 + C2 + C 3 = 6
(C9
)⎢⎣ 9 C8 ⎥⎦ 28
x ∈ IR
K =
4C46C45
= 4.9
Solución:
x(x - 1)
x(x - 1)(x - 2)
x3 + 6x - 3
9 8
7
Luego: K = 9
1 + x + 2 + 6 = 6
Por 6:
6+6x+3x(x-1)+x(x - 1)(x - 2) = x3+6x-3
1442443
9. Calcular “m + n”, si:
Cm + 2 Cm + Cm + Cm+2 = C10
x2 -3x + 2
6 + 6x + 3x2 - 3x + x3 - 3x2 + 2x = x3 + 6x - 3 x3 + 5x + 6 = x3 + 6x - 3
5
Solución:
6 7 8
n-3
x = 9
Descomponiendo:
2 Cm
= Cm
+ Cm
7. Hallar el valor de:
7 7
Reemplazando y sumando combinatorios convenien- temente:
3C3 + C4
m + Cm
+ Cm
+ Cm
+ Cm+2
10
n-3
E = 4C7
14243
m+1
14243
m+1
m+ 2 10
C6 + C7
+ C8
’ Cn-3
Solución:
Notamos que C 7 y C7 son complementarios. Luego se
1442443
m+ 2
m+ 2 10
4 3 C7
+ C ’ C
4 843 n-3
cumple:
7 7 7
14 24
Cm+ 3 = C10
C4 = C7- 4 = C3
Reemplazando en “E”:
Primer caso:
8 n-3
7 7
E = 3 3
4C7
7
3
= 4C7 = 1
m + 3 = 10 ∧ 8 = n - 3
m = 7 ∧ n = 11 → m + n = 18
Segundo caso:
m + 3 = 10 ∧ 8 + (n - 3) = 10 m = 7 ∧ n = 5 → m + n = 12
8. Calcular:
[C 45 ]2 - [C 45 ]2
10.Calcular el valor de “p”, si:
Cn-1Cn+1 - CnCn-1
K =
[C 46 + C45 ]2 - [C 46 - C45 ]2
p-1
p +1
p p-1
= 8
9 8 9 8
n 2 n+1
n-1
(Cp )
- Cp +1Cp-1
Solución:
El numerador se pasa a una suma por diferencia, en el denominador se aplica Legendre:
Solución:
Para el numerador extraemos el factor:
Cn-1 . En el
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
denominador degradamos superior e inferior.
[C 45 + C45 ][C 45 - C45 ]
- ( Cn )2 = n . n = n
n-1 n
K = 9 8 9 8
4C46C45
p Cp Cp
p Cp-1 Cp
9 8 n + 1 n
Aplicamos la propiedad de suma:
n+1 p+1
p + 1 Cp
45 + C45
= C46
...... (α)
Reemplazando se tiene:
Degradamos la parte interior de C45 :
Cp-1 [Cp +1 - Cp ]
n-1
9
n+1 n
n n-1 n
n + 1
n n-1
45 - C45
28
= 37
9
45
45 - C45
Cp-1Cp -
14243
CpCp-1
14243
= 9 C8
...... (β)
Cn-1 [Cn+1 - Cn ]
5. Calcule el valor de “x”.
p-1
p +1 p
= 8
(x + 5)!(x + 11)!
CnCn-1 ⎡ n - n + 1 ⎤
(x + 6)! + 5(x + 5)! = 20!
p p-1 ⎢⎣ p
p + 1 ⎥⎦
Ahora: Cn+1 - Cn es equivalente a Cn .
p +1 p
p+1
Luego, degradando la parte interior en el numerador:
Cn+1
6. Calcule el valor de:
= 8
Cn ⎡ n - n + 1 ⎤ C8
p ⎢⎣ p
p + 1 ⎥ 5
8
2
n - (p + 1) + 1 Cn
n - p
p + 1 p
=
Cn ⎡ n - p ⎤
p + 1
n - p = 8
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
p ⎢⎣ p(p + 1) ⎥⎦
Finalmente reduciendo: p = 8
p(p + 1)
7. Sumar:
7 6
7 8 9 10
C0 + C1
+ C2 + C3 + C 4 + C5
Problemas para la clase
a) C10
b) 5
c) 11
1. Calcular el valor de “n” en:
(4n - 6)! = 1
11
d) 6
e) c o d
7
a) 4
3
b) 2
1
c) 4
2003
0
+ C2003
+ C2003 - C
2003
2001
d) a y b e) a o b
2. Calcular el valor de “n”:
(n - 10)! = 120
a) 1 b) 2 c) 10
a) 2002 b) 2003 c) 2004 d) 2005 e) 2006
9. Calcular el valor de “n”:
8 8 9 10 11
d) 14 e) 15
C2 + C3 + C 4 + C5
= Cn
3. Reducir:
9!.17!
S = 8!.18!
1
a) 5 b) 6 c) 7 d) a o b e) a y b
10.Indique la suma de los valores de “x” que verifican la ecuación:
35
a) 1 b) 2 c) 2
1
C35 x2
= C2x
d) 4
e) 6
4. Si:
6! + 7! + 8!
A = 6! + 7!
11.Sabiendo que:
3 77 76
Calcular “A.B”
71!
B = 69! + 70!
k ∈ ZZ+. Calcular:
C7k = 11 C7k -1
(k!)!
k!
a) 56 b) 560 c) 65 d) 650 e) 1
a) 1 b) 20 c) 120 d) 160 e) 180
12.Si:
2(n!) - (n - 1)(n - 1)!
20.Reducir:
11! - 10! 10! - 9!
A = + +
9! - 8!
+ ...
A = n! + (n - 1)!
9! 8! 7!
n ∈ ZZ+. Entonces podemos afirmar que:
a) A < 0 b) A > 2 c) A > 3 d) A ∉ ZZ e) A ≤ 1
a) 380 b) 385 c) 386 d) 387 e) 400
21.Simplificar:
13.Hallar el valor de “a” sabiendo que:
2n + C2n
2n 2n
+ C2n
2n
+ ... + C2n
2n
(a + 7)!(a + 5)!
(a + 6)!+ (a + 5)! = 15!
n ∈ ZZ+
C1 + C3
+ C5
+ ... + C2n-1
a) 1 b)
n
n + 1
c) 2
14.Indicar el valor de “n” que verifica:
[(2n - 1)! - 113]! = 5 040
2n
d) 2n - 1
2n - 1
e) 2n
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9
22.Hallar la suma de todas las soluciones de:
[Cx ]
3
15.Simplificar:
[C2 ]
= 36x - 2
18 18 19 20
5 6 7 8
C21 + C21
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7
8
1
a) 1 b) 2
13
c) 2
23.Dado:
m +1 n-1
x
2 ...... (1)
d) - 3 e) 4
m +1 n
= x ...... (2)
16.Calcular:
10 10 10 10
0 2 10
m - n = 2 ...... (3)
Calcular el valor de “ x ”.
C1 + C + ... + C 2
a) 4 320 b) 1 280 c) 1 024 d) 2 048 e) 4 096
a) 10 b) 30 c) 35 d) 70 e) 80
17. Calcular el valor de “n” en:
1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
24.Reducir:
S =
x ≠ 2; 4; 5
(x - 4)!+ (x - 3)!+ (x - 2)! (x2 - 4x + 4)(x2 - 9x + 20)
18.Hallar el valor de “x + y” si se cumple que:
a) (x - 2)! b) (x - 3)! c) (x - 5)!
x +3
10
+ C x +1
+ 2 Cx +1
+ x +1
9
y + 2 y -3
d) (x - 6)! e) (x - 8)!
25.La suma de valores de “x” que satisface la igualdad:
a) 20 b) 22 c) 24
d) 26 e) 28
19.Hallar “n” en:
(x-6)!+(x-5)!+(x-4)! = x3-14x2+64x-96
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
n+ 5
n-1
n+ 3
n-1
26.Hallar “x” en:
1024.(x - 1)![1.3.5.7....(2x-3)] = (2x - 2)!
a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
27. Hallar “n” en:
1. Dado:
Autoevaluación
3!2!0!
⎛ n-1 +
n-1 +
n-1 ⎞ A =
⎜ Cn- 4
⎜
⎝
2Cn-3
2
Cn-2 ⎟! = 120
⎠
Calcular:
A + B
B = 2!3!1!
a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2
28.Después de efectuar:
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
S = Cn
- 2 Cn + 3 Cn - ... + (-1)n-1.n Cn
2. Calcular “x”:
1 2 3 n
8 8 9
10 11
donde: n > 15, se obtiene:
a) 0 b) 1 c) n
C2 + C3 + C 4 + C5
siendo: x > 5
= C x
d) - n e) n - 1
29.Hallar “n”:
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
3. Calcular el valor de “n”:
n n n n
C0 + 3C1 + 5C2 + ... + (2n + 1)Cn
= 23
(n - 1)! + n! = 0,2(n + 1)!
n n n n
C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn 11
a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4
4. Sumar:
30.La suma:
9 9 10
11 12
S = ( Cn )2+2( Cn )2+3( Cn )2+...+n( Cn )2
C2 + C6 + C6
+ C6
+ C6
1
es igual a:
(2n - 1)!
2 3 n
(2n)!
a) C7
d) C15
b) 13
e) 16
c) 14
a) [(n - 1)!]2
(2n + 1)!
b) (n!)2
(2n - 1)!
5. Calcular el valor de “n”, si:
3 C77 = 11 C76
c) [(n + 1)!]2
d) (n - 1)!
n n-1
[(2n - 1)!]2
e) (n - 1)!
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24
-----------------------
0
0
n
2
3
C =
p q
4
AÑO
5
6
6
6
C
6
6
7
8
5
’ C
3
3C + C
3
4C
3
9 8
p-1
C =
-
C
8
9
9
C
8
9
C
8
8
p
p + 1
|a) 8 |b) 9 |c) |10 |
|d) 11 |e) 12 | | |
p
⎦
C
2
5
C
10
C
C
C
1
2
|a) 4 |b) |5 |c) 6 |
|d) 7 |e) |8 | |
C
2
0
4
2n
|a) 6 |b) 7 |c) 8 |
|d) 9 |e) 10 | |
x
C + C + C + C
C =
C
2
C
+
= C
7
8
C
C
C
|a) 7 |b) |8 |c) |9 |
|d) 10 |e) |11 | | |
= 7 C
⎟
|a) 16 |b) 18 |c) 20 |
|d) 22 |e) 24 | |
12
7
C
7
C
7
C
7
................
................
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