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Factorial - Combinatorio

Factorial de un número ZZ+

llamamos

Así al producto que resulta de multiplicar todos los números enteros y positivos consecutivos desde la unidad hasta el número considerado inclusive.

representación

n! Se lee: Factorial de "n" n o "n" factorial

Ejemplos

Está definido el fa c t o r ia l p a r a números enteros y positivos

Ejemplos

Operaciones que no se cumplen son:

Adición y sustracción

Propiedades

1

Por definición: 1! = 1

Por acuerdo: 0! = 1

2! = 2 = 1×2 = 2

3! = 3 = 1×2×3 = 6

8! sí existe

a ± b ≠

a ± b

2

4! = 4 = 1×2×3×4 = 24

5! = 5 = 1×2×3×4×5 = 120

(-6)! no existe

-5! sí existe

Multiplicación

Si: a! = b! → a = b a; b ≠ 0; 1

6! = 6 = 1×2×3×4×5×6 = 720

7! = 7 = 1×2×3×4×5×6×7 = 5040

...

en general:

n! = n = 1.2.3.....(n - 2)(n - 1)n

1 ! no existe

4

ab ≠ a b

División

a ≠ a b b

Número combinatorio

Representación del número de combinaciones de

"n" elementos tomados de "k" en "k". Notación:

n

C k ; n ∈ ZZ+ ∧ k

su

∈ ZZ+ ∧ k ≤ n

reglas de

la las

Definición matemática

Regla práctica Propiedades

Degradación

C n =

es es

"k" factores

n

son

C n = 1

superior e inferior

C n = n C n - 1

k k n - k

C n = n

n(n-1)(n-2)...(n-k+1) n - k

= n

k k k - 1

ejemplos

k k n - k

1.2.3.....k

"k" factores

n - k

C 1 = n

C n = 1

inferior

4 ejemplos complementarios

C n = n - k + 1 C n

C 4 =

2 4 - 2

= 24 = 6

2.2

7 7.6.5

k k k - 1 n n

C 7 =

7 7.6.5. 4

=

3 4 6. 4

= 35

C 3=

4

= 35

1.2.3

4.3

C k = C n - k

igualdad

superior

C n = n C n - 1

50 50

48

50.49. 48

= = 1225

C 2= 1.2 = 6

C n = C n

k n - k k

48 2

48 2

C 7= 7.6.5.4 = 35

4 1.2.3.4

1ra posibilidad: p = q

2da posibilidad: p + q = n

suma de combinatorios

C n + C n

= C n + 1

k k + 1

k + 1

⇐ Problemas resueltos

1. Si:

9!

Reemplazando:

R =

(7! + 8. 7!).9!

9.8.7! + 7! + 8.7!

A = 7! + 8!

7! (1 + 8).9!

R = 7! (72 + 1 + 8) =

9.9! 9!

81 = 9

Calcular: B A

Solución:

4! + 5! + 6!

B = 2!.3!.4!

Luego: R = 8!

4. Simplificar:

(x + 2)3.x!

Reduciendo cada uno por la propiedad degradativa.

T = (x + 2)! + (x + 1)! + x!

- A =

9.8.7!

7! + 8.7! =

9.8.7!

9.7! = 8

Solución:

- B = Luego:

4! + 5.4! + 6.5.4!

2.6.4! =

36.4!

12.4! = 3

Degradamos:

(x + 2)! = x!.(x + 1)(x + 2) (x + 1)! = x!.(x + 1)

Reemplazando en el denominador:

B A = 3 8 = 2

2. Señale el equivalente de:

K = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + n.n!

(x + 2)3.x!

T = x!.(x + 1)(x + 2) + x!.(x + 1) + x!

Factorizando “x!” en el denominador:

(x + 2)3.x!

Solución:

Por inducción matemática se tiene: Para un sumando:

T = x![(x + 1)(x + 2) + (x + 1) + 1]

(x + 2)3

1.1! = 1 = 2! - 1

Para dos sumandos:

1.1! + 2.2! = 1 + 4 = 5 = 3! - 1

T = x 2

+ 3x + 2 + x + 2

3 3

Para tres sumandos:

1.1! + 2.2! + 3.3! = 23 = 4! - 1

Para cuatro sumandos:

..... = 5! - 1

T =

Luego: T = x + 2

(x + 2)

x 2 + 4x + 4

(x + 2)

= (x + 2)2

Para “n” sumandos:

1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + n.n!

= (n + 1)! - 1

5. Reducir:

S = 7

8 9 10

11 12

3. Reducir la siguiente expresión:

⎧ 1

1 ⎫-1

Solución: Transformando:

C0 +C 1+C2 +C 3 +C 4 +C 5

R = +

⎩ 7! + 8! 9! ⎭

C a C = C

⎨ ⎬ 7 7 8

0 0 0

Solución:

Reemplazando y sumando de 2 en 2 se tiene:

Dando común denominador:

S = 8 8

9 10

11 12

C0 +C1 +C2 +C 3+C 4 +C 5

14243

⎧ 9! + 7! + 8! ⎫-1

9 9 10

11 12

⎨ ⎬ S = C 1 +C2 +C 3 +C 4 +C 5

R =

⎩ (7! + 8!).9! ⎭

14243

Invirtiendo:

S = 10 10

11 12

(7! + 8!).9!

C 2 +C 3 +C 4 +C 5

14243

R = 9! + 7! + 8!

S = 11 11 12

8! ’ 8.7!

C 3 +C 4 +C 5

14243

Degradamos: ⎪⎧

12 12

⎨

⎪⎩9! ’ 9.8.7!

S = C 4 +C 5

14243

= C13

6. Resolver:

Reemplazando “α” y “β” en K:

x x x

x x3 + 6x - 3

46 ⎡ 28

45 ⎤

C0 + C 1 + C2 + C 3 = 6

(C9

)⎢⎣ 9 C8 ⎥⎦ 28

x ∈ IR

K =

4C46C45

= 4.9

Solución:

x(x - 1)

x(x - 1)(x - 2)

x3 + 6x - 3

9 8

7

Luego: K = 9

1 + x + 2 + 6 = 6

Por 6:

6+6x+3x(x-1)+x(x - 1)(x - 2) = x3+6x-3

1442443

9. Calcular “m + n”, si:

Cm + 2 Cm + Cm + Cm+2 = C10

x2 -3x + 2

6 + 6x + 3x2 - 3x + x3 - 3x2 + 2x = x3 + 6x - 3 x3 + 5x + 6 = x3 + 6x - 3

5

Solución:

6 7 8

n-3

x = 9

Descomponiendo:

2 Cm

= Cm

+ Cm

7. Hallar el valor de:

7 7

Reemplazando y sumando combinatorios convenien- temente:

3C3 + C4

m + Cm

+ Cm

+ Cm

+ Cm+2

10

n-3

E = 4C7

14243

m+1

14243

m+1

m+ 2 10

C6 + C7

+ C8

’ Cn-3

Solución:

Notamos que C 7 y C7 son complementarios. Luego se

1442443

m+ 2

m+ 2 10

4 3 C7

+ C ’ C

4 843 n-3

cumple:

7 7 7

14 24

Cm+ 3 = C10

C4 = C7- 4 = C3

Reemplazando en “E”:

Primer caso:

8 n-3

7 7

E = 3 3

4C7

7

3

= 4C7 = 1

m + 3 = 10 ∧ 8 = n - 3

m = 7 ∧ n = 11 → m + n = 18

Segundo caso:

m + 3 = 10 ∧ 8 + (n - 3) = 10 m = 7 ∧ n = 5 → m + n = 12

8. Calcular:

[C 45 ]2 - [C 45 ]2

10.Calcular el valor de “p”, si:

Cn-1Cn+1 - CnCn-1

K =

[C 46 + C45 ]2 - [C 46 - C45 ]2

p-1

p +1

p p-1

= 8

9 8 9 8

n 2 n+1

n-1

(Cp )

- Cp +1Cp-1

Solución:

El numerador se pasa a una suma por diferencia, en el denominador se aplica Legendre:

Solución:

Para el numerador extraemos el factor:

Cn-1 . En el

(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

denominador degradamos superior e inferior.

[C 45 + C45 ][C 45 - C45 ]

- ( Cn )2 = n . n = n

n-1 n

K = 9 8 9 8

4C46C45

p Cp Cp

p Cp-1 Cp

9 8 n + 1 n

Aplicamos la propiedad de suma:

n+1 p+1

p + 1 Cp

45 + C45

= C46

...... (α)

Reemplazando se tiene:

Degradamos la parte interior de C45 :

Cp-1 [Cp +1 - Cp ]

n-1

9

n+1 n

n n-1 n

n + 1

n n-1

45 - C45

28

= 37

9

45

45 - C45

Cp-1Cp -

14243

CpCp-1

14243

= 9 C8

...... (β)

Cn-1 [Cn+1 - Cn ]

5. Calcule el valor de “x”.

p-1

p +1 p

= 8

(x + 5)!(x + 11)!

CnCn-1 ⎡ n - n + 1 ⎤

(x + 6)! + 5(x + 5)! = 20!

p p-1 ⎢⎣ p

p + 1 ⎥⎦

Ahora: Cn+1 - Cn es equivalente a Cn .

p +1 p

p+1

Luego, degradando la parte interior en el numerador:

Cn+1

6. Calcule el valor de:

= 8

Cn ⎡ n - n + 1 ⎤ C8

p ⎢⎣ p

p + 1 ⎥ 5

8

2

n - (p + 1) + 1 Cn

n - p

p + 1 p

=

Cn ⎡ n - p ⎤

p + 1

n - p = 8

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

p ⎢⎣ p(p + 1) ⎥⎦

Finalmente reduciendo: p = 8

p(p + 1)

7. Sumar:

7 6

7 8 9 10

C0 + C1

+ C2 + C3 + C 4 + C5

Problemas para la clase

a) C10

b) 5

c) 11

1. Calcular el valor de “n” en:

(4n - 6)! = 1

11

d) 6

e) c o d

7

a) 4

3

b) 2

1

c) 4

2003

0

+ C2003

+ C2003 - C

2003

2001

d) a y b e) a o b

2. Calcular el valor de “n”:

(n - 10)! = 120

a) 1 b) 2 c) 10

a) 2002 b) 2003 c) 2004 d) 2005 e) 2006

9. Calcular el valor de “n”:

8 8 9 10 11

d) 14 e) 15

C2 + C3 + C 4 + C5

= Cn

3. Reducir:

9!.17!

S = 8!.18!

1

a) 5 b) 6 c) 7 d) a o b e) a y b

10.Indique la suma de los valores de “x” que verifican la ecuación:

35

a) 1 b) 2 c) 2

1

C35 x2

= C2x

d) 4

e) 6

4. Si:

6! + 7! + 8!

A = 6! + 7!

11.Sabiendo que:

3 77 76

Calcular “A.B”

71!

B = 69! + 70!

k ∈ ZZ+. Calcular:

C7k = 11 C7k -1

(k!)!

k!

a) 56 b) 560 c) 65 d) 650 e) 1

a) 1 b) 20 c) 120 d) 160 e) 180

12.Si:

2(n!) - (n - 1)(n - 1)!

20.Reducir:

11! - 10! 10! - 9!

A = + +

9! - 8!

+ ...

A = n! + (n - 1)!

9! 8! 7!

n ∈ ZZ+. Entonces podemos afirmar que:

a) A < 0 b) A > 2 c) A > 3 d) A ∉ ZZ e) A ≤ 1

a) 380 b) 385 c) 386 d) 387 e) 400

21.Simplificar:

13.Hallar el valor de “a” sabiendo que:

2n + C2n

2n 2n

+ C2n

2n

+ ... + C2n

2n

(a + 7)!(a + 5)!

(a + 6)!+ (a + 5)! = 15!

n ∈ ZZ+

C1 + C3

+ C5

+ ... + C2n-1

a) 1 b)

n

n + 1

c) 2

14.Indicar el valor de “n” que verifica:

[(2n - 1)! - 113]! = 5 040

2n

d) 2n - 1

2n - 1

e) 2n

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

22.Hallar la suma de todas las soluciones de:

[Cx ]

3

15.Simplificar:

[C2 ]

= 36x - 2

18 18 19 20

5 6 7 8

C21 + C21

a) 1 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7

8

1

a) 1 b) 2

13

c) 2

23.Dado:

m +1 n-1

x

2 ...... (1)

d) - 3 e) 4

m +1 n

= x ...... (2)

16.Calcular:

10 10 10 10

0 2 10

m - n = 2 ...... (3)

Calcular el valor de “ x ”.

C1 + C + ... + C 2

a) 4 320 b) 1 280 c) 1 024 d) 2 048 e) 4 096

a) 10 b) 30 c) 35 d) 70 e) 80

17. Calcular el valor de “n” en:

1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

24.Reducir:

S =

x ≠ 2; 4; 5

(x - 4)!+ (x - 3)!+ (x - 2)! (x2 - 4x + 4)(x2 - 9x + 20)

18.Hallar el valor de “x + y” si se cumple que:

a) (x - 2)! b) (x - 3)! c) (x - 5)!

x +3

10

+ C x +1

+ 2 Cx +1

+ x +1

9

y + 2 y -3

d) (x - 6)! e) (x - 8)!

25.La suma de valores de “x” que satisface la igualdad:

a) 20 b) 22 c) 24

d) 26 e) 28

19.Hallar “n” en:

(x-6)!+(x-5)!+(x-4)! = x3-14x2+64x-96

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

n+ 5

n-1

n+ 3

n-1

26.Hallar “x” en:

1024.(x - 1)![1.3.5.7....(2x-3)] = (2x - 2)!

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

27. Hallar “n” en:

1. Dado:

Autoevaluación

3!2!0!

⎛ n-1 +

n-1 +

n-1 ⎞ A =

⎜ Cn- 4

⎜

⎝

2Cn-3

2

Cn-2 ⎟! = 120

⎠

Calcular:

A + B

B = 2!3!1!

a) 6 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2

28.Después de efectuar:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

S = Cn

- 2 Cn + 3 Cn - ... + (-1)n-1.n Cn

2. Calcular “x”:

1 2 3 n

8 8 9

10 11

donde: n > 15, se obtiene:

a) 0 b) 1 c) n

C2 + C3 + C 4 + C5

siendo: x > 5

= C x

d) - n e) n - 1

29.Hallar “n”:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

3. Calcular el valor de “n”:

n n n n

C0 + 3C1 + 5C2 + ... + (2n + 1)Cn

= 23

(n - 1)! + n! = 0,2(n + 1)!

n n n n

C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn 11

a) 8 b) 7 c) 6 d) 5 e) 4

4. Sumar:

30.La suma:

9 9 10

11 12

S = ( Cn )2+2( Cn )2+3( Cn )2+...+n( Cn )2

C2 + C6 + C6

+ C6

+ C6

1

es igual a:

(2n - 1)!

2 3 n

(2n)!

a) C7

d) C15

b) 13

e) 16

c) 14

a) [(n - 1)!]2

(2n + 1)!

b) (n!)2

(2n - 1)!

5. Calcular el valor de “n”, si:

3 C77 = 11 C76

c) [(n + 1)!]2

d) (n - 1)!

n n-1

[(2n - 1)!]2

e) (n - 1)!

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

-----------------------

0

0

n

2

3

C =

p q

4

AÑO

5

6

6

6

C

6

6

7

8

5

’ C

3

3C + C

3

4C

3

9 8

p-1

C =

-

C

8

9

9

C

8

9

C

8

8

p

p + 1

|a) 8 |b) 9 |c) |10 |

|d) 11 |e) 12 | | |

p

⎦

C

2

5

C

10

C

C

C

1

2

|a) 4 |b) |5 |c) 6 |

|d) 7 |e) |8 | |

C

2

0

4

2n

|a) 6 |b) 7 |c) 8 |

|d) 9 |e) 10 | |

x

C + C + C + C

C =

C

2

C

+

= C

7

8

C

C

C

|a) 7 |b) |8 |c) |9 |

|d) 10 |e) |11 | | |

= 7 C

⎟

|a) 16 |b) 18 |c) 20 |

|d) 22 |e) 24 | |

12

7

C

7

C

7

C

7

................
................

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