WordPress.com



WISKUNDE MET (BEDRIJFS)ECONOMISCHE TOEPASSINGEN 2015-2016 BEWIJZEN5.3.1Gemiddelde waarde versus marginale waarde (p. 133)Als we de afgeleide van de gemiddelde functie berekenen, dan vinden we ddx f x= ddx f(x)x= x ?f'x- fxx2Omdat de noemer enkel een kwadraat bevat, wordt het teken van de breuk bepaald door de teller. Er geldt:Als de gemiddelde functie stijgt, dan is ddx fx ≥0Hieruit volgt dat x ? f'x of f'x ≥ fxxAls de gemiddelde functie daalt, dan is ddx fx ≤0Hieruit volgt dat x ? f'x ≤fx of f'x ≤ fxxAls de gemiddelde functie een lokaal extremum bereikt, dan is ddxfx=0Hieruit volgt dat x ? f'x=fx of f'x= fxx8.2.3. Afleiden van impliciete functies (p. 177)Wanneer de vergelijking van een functie met één onafhankelijke veranderlijke gegeven is in een impliciete vorm Fx,y=0, dan kan de afgeleide voor de (onbekende) expliciete vorm y=fx in een punt x0 gevonden worden als f'x0= - Fx'x0, y0Fy'x0,y0 met y0 bepaald door Fx0, y0=0,voor zover de functie f gedefinieerd is en de parti?le afgeleide in de noemer verschilt van nul. Je kan dit terugvinden door te vertrekken vanuit de totale differentiaal (hier in de verkorte notatie): Fx,y=0 ? dFx,y=0 ?Fx'dx+ Fy'dy=0 ? Fy'dy= -Fx'dx ? dydx= -Fx'Fy'8.2.3. Afleiden via impliciete functies (p. 172)Eigenschap 8.6 (Impliciete functie Fx,y,z=0)Wanneer de vergelijking van een functie met twee onafhankelijke veranderlijken gegeven is in een impliciete vorm Fx,y,z=0, dan kunnen de parti?le afgeleiden voor de (onbekende) expliciete vorm z=fx,y in een punt x0,y0 gevonden worden alsfx'x0,y0=-Fx'x0,y0,z0Fz'x0,y0,z0fy'x0,y0=-Fy'x0,y0,z0Fz'x0,y0,z0met z0 bepaald door Fx0,y0,z0=0,voor zover de functie f gedefinieerd is en de parti?le afgeleide in de noemer verschilt van 0. Ook dit resultaat kan je terugvinden vanuit de totale differentiaal (hier opnieuw in verkorte notatie), nu voor de drie veranderlijken: Fx,y,z=0 ? dFx,y,z=0 ?Fx'dx+Fy'dy+Fz'dz=0 ? Fz'dz=-Fx'dx-Fy'dy ? dz=-Fx'Fz'dx-Fy'Fz'dy ? ?z?x=-Fx'Fz' en ?z?y=-Fy'Fz'Gevolg 8.1. (Raaklijn) (p. 173)De vergelijking van de raaklijn in het punt P= x0,y0 aan de curve met impliciete vergelijking Fx,y=0 luidt Fx'x0,y0x-x0+ Fy'x0,y0y-y0=0Om dit aan te duiden vertrekken we van de vergelijking voor de raaklijn zoals we ze eerder vonden: y-y0= f'x0 x-x0, met f de (onbekende) expliciete functie die bij de curve hoort.We weten nu dat f'x0= -Fx'x0,y0Fy'x0,y0Invullen in de vergelijking van de raaklijn geefty-y0= -Fx'x0,y0Fy'x0,y0x-x0De noemer wegwerken geeftFy'x0,y0y-y0= -Fx'x0,y0x-x0;brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde resultaat.Gevolg 8.2. (Raakvlak) (p. 174)De vergelijking van het raakvlak in het punt P= x0,y0,z0 aan het oppervlak met impliciete vergelijking Fx,y,z=0 luidtFx'x0,y0,z0x-x0+ Fy'x0,y0,z0y-y0+ Fz'x0,y0,z0z-z0=0Om dit aan te tonen vertrekken we van de vergelijking voor het raakvlak zoals we ze eerder zagen:z-z0= fx'x0,y0x-x0+fy'x0,y0y-y0met f de (onbekende) expliciete functie die bij het oppervlak hoort.We weten nu dat fx'x0,y0= -Fx'x0,y0,z0Fz'x0,y0,z0en datfy'x0,y0=- Fy'x0,y0,z0Fz'x0,y0,z0Invullen in de vergelijking van het raakvlak geeft z-z0= - Fx'x0,y0,z0Fz'x0,y0,z0x-x0- Fy'x0,y0,z0Fz'x0,y0,z0y-y0De noemer wegwerken geeftFz'x0,y0,z0z-z0= - Fx'x0,y0,z0x-x0-Fy'x0,y0,z0y-y0;brengen we alles aan één kant van het gelijkheidsteken, dan vinden we inderdaad het vermelde resultaat.8.3.1. Samengestelde functies (p. 176)① Eigenschap 8.7 (Samengestelde functies – Kettingregel 1)Als z= ?t=fx,y met x=gt en y=ht,dan geldt (in verkorte notatie)dzdt=?z?xdxdt+ ?z?ydydtof d?dt=?f?xdgdt+?f?ydhdtof voluit?'t=fx'gt,ht?g't+fy'gt,ht?h'tDit kan verklaard worden door gebruik te maken van de totale differentiaal.Er geldt immers (in verkorte notatie)dz=fx'dx+fy'dydx=g'dtdy=h'dtInvullen van de tweede en derde lijn in de eerste lijn geeft dz=fx'?g'dt+fy'?h'dtof dz=fx'g'+fy'h'dtOmdat ook dz=d?dtdtvolgt het resultaat zoals geformuleerd in de eigenschap.Als z= ?s,t=fx,y met x=gs,t en y=hs,t,dan geldt (in verkorte notatie)?z?s=?z?x?x?s+ ?z?y?y?sof ???s=?f?x?g?s+?f?y?h?s?z?t=?z?x?x?t+?z?y?y?tof ???t=?f?x?g?t+?f?y?h?tof voluit? ?s's,t=fx'gs,t,hs,t?gs's,t+fy'gs,t, hs,t? hs's,t? ?t's,t=fx'gs,t,hs,t?gt's,t+fy'gs,t,hs,t?ht's,t② Eigenschap 8.9 (Samengestelde functies – Kettingregel 3) (p. 178)Ook dit kan verklaard worden door gebruik te maken van de totale differentiaal.Er geldt immersdz=fx'dx+fy'dydx=gs'ds+gt'dtdy=hs'ds+ht'dtInvullen van de tweede en derde lijn in de eerste lijn geeftdz=fz'?gs'ds+gt'dt+fy'?hs'ds+ht'dt = fx'gs'+fy'hs'ds+fx'gt'+fy'ht'dtOmdat ookdz=???sds+???tdtvolgt het resultaat zoals geformuleerd in de eigenschap.8.3.2. Homogene functies (p. 179)Indien de functie f:R2→ R homogeen is van graad m, en indien de parti?le afgeleiden bestaan, dan geldt voor de parti?le afgeleiden van eerste ordede functies ?f?x en ?f?y zijn ook homogene functies, van graad m 1;x??f?xx,y+y??f?yx,y≡m?fx,yEigenschap 8.10 (Homogene functies)De identiteit wordt ook wel identiteit van Euler genoemd.We kunnen deze eigenschappen aantonen door te vertrekken van de gelijkheid ftx,ty≡tmfx,y,en af te leiden naar t, naar x en naar y door toepassing van de kettingregels uit de vorige paragraaf.Om verwarring te vermijden gebruiken we in dit bewijs de notaties f1' en f2' wanneer we afleiden naar het eerste en tweede argument van de functie f.Linker- en rechterlid afleiden naar t geeft??tftx,ty≡??ttmfx,yf1'tx,ty??tx?t+f2'tx,ty??ty?t≡mtm-1?fx,yf1'tx,ty?x+f2'tx,ty?y≡mtm-1?fx,y;Dit geldt voor elke waarde van t. Kiezen we nu de waarde t=1, dan vinden wex?f1'x,y+y?f2'x,y≡m?fx,yofx?fx'x,y+y?fy'x,y≡m?fx,y,de identiteit van Euler. Linker- en rechterlid afleiden naar x geeft??xftx,ty≡??xtmfx,yf1'tx,ty??tx?x+f2'tx,ty??ty?x≡tm?f1'x,yf1'tx,ty?t+0≡tm?x,yoff1'tx,ty≡tm-1?f1'x,yDe functie f1' of fx' is dus homogeen van graad m-1.Linker- en rechterlid afleiden naar y geeft??yftx,ty≡??ytmfx,yf1'tx,ty??tx?y+f2'tx,ty??ty?y≡tmf2'x,y0+f2'tx,ty?t≡tm?f2'x,yDe functie f2' of fy' is dus homogeen van graad m-1.9.1.2. Vrije extrema Extrema zonder nevenvoorwaarden (p. 197)Stelling 9.1 (Lokale extrema eerste orde voorwaarden)Een partieel afleidbare functie f:R2→R kan enkel een lokaal extremum bereiken in het punt x0,y0, als dit punt een stationair of kritisch punt is, i.e.fx'x0,y0=0fy'x0,y0=0Beschouw een partieel afleidbare functie f en een stationair punt x0,y0. Als de Hessiaan Hfx0,y0 positief of negatief definiet is, dan bereikt de functie in x0,y0 een lokaal extremum.Indien Hfx0,y0 negatief definiet is,dan heeft f een lokaal maximum in x0,y0;Indien Hfx0,y0 positief definiet is,dan heeft f een lokaal minimum in x0,y0.Indien Hfx0,y0 nondefiniet is, dan heeft f een zadelpunt in x0,y0.Stelling 9.2 (Lokale extrema tweede orde voorwaarde)Opmerking: In andere gevallen kunnen we geen onmiddellijk besluit trekken, en is verder onderzoek noodzakelijk, eventueel door toepassing van andere methoden.Bewijs: Om deze eerste en tweede orde voorwaarden uit stellingen 9.1 en 9.2 aan te tonen, kijken we naar de hulpfunctiegt=fx0+th,y0+tkmet h en k willekeurige (kleine) positieve waarden. Voor deze functie kunnen we volgende verbanden vinden met f:De functie f bereikt een stationair punt in x0,y0,? de functie g een stationair punt bereikt voor t=0;De functie f bereikt een lokaal maximum in x0,y0,? de functie g een lokaal maximum bereikt voor t=0.De functie f bereikt een lokaal minimum in x0,y0,? de functie g een lokaal minimum bereikt voor t=0.Toepassing van de eerste kettingregel geeftg't=fx'x0+th,y0+tk?h+ fytx0+th, y0+tk?kg''t=fx2''x0+th,y0+tk?h2+2fxy''x0+th,y0+tk?hk+fy2''x0+th,y0+tk?k2zodat g'0=fx'x0,y0h+fy'x0,y0kg''0=fx2''x0,y0h2+2fxy''x0,y0hk+fy2''x0,y0k2De eerste orde voorwaarde zegt dat g'0=0, en dit voor elke keuze van h en k.Hieruit volgt dat beide parti?le afgeleiden nul moeten zijn, offx'x0,y0=0fy'x0,y0=0De tweede orde voorwaarde zegt dat een stationair punt een lokaal maximum is als g''0<0 en een lokaal minimum als g''0>0, en dit voor elke keuze van h en k.Deze tweede afgeleide komt nu overeen met een kwadratische vorm in h en k, met geassocieerde matrix gelijk aan de Hessiaan in het stationair punt, nl. Hfx0,y0 (zie definitie 9.2).Er geldt dus g''0<0 voor elke keuze van h en k indien Hfx0,y0 negatief definiet is, en g''0>0 voor elke keuze van h en k indien Hfx0,y0 positief definiet is.9.1.3. Gebonden extrema Extrema met nevenvoorwaarden (p. 211)Eigenschap 9.5 (Betekenis Lagrange-multiplicatorBeschouw partieel afleidbare functies fen g en een optimaal punt x0,y0,λ0 met functiewaarde f0=fx0,y0 voor het gebonden extremum-probleem: bepaal de extrema van f onder de voorwaarde gx,y=C.Als de waarde van C varieert, dan hangt ook het optimum af van C, of x0=x0C, y0=y0C, en f0=f0C=fx0C,y0C. Er geldt λ0=df0dCCDeze eigenschap zegt m.a.w. dat de waarde van de Lagrange-multiplicator overeenstemt met de helling van f indien bekeken als functie van C, of dat je de Lagrange-multiplicator kan interpreteren als de ogenblikkelijke aangroei van de doelfunctie in het optimum indien de waarde van C in de nevenvoorwaarde met één eenheid wordt verhoogd.Bewijs: Het optimaal punt is een stationair punt, en dus geldtfx'x0,y0=λ0?gx'x0,y0fy'x0,y0=λ0?gy'x0,y0en ookgx0,y0=Czie stelling 9.3.Schrijf nu x0 en y0 als functie van C.Uit de derde gelijkheid volgt dgdCxOC,y0C=dCdC=1waarbij we het linkerlid kunnen herschrijven als (toepassing van kettingregel 1)dgdCx0C,y0C=?g?xx0C,y0C?dx0dCC+?g?yx0C,y0C?dy0dCC Berekenen we nu de afgeleide van de functie f0 naar C, dan vinden we achtereenvolgens df0dCC=dfdCx0C,y0C =?f?xx0C,y0C?dx0dCC+?f?yx0C,y0C?dy0dCCtoepassing kettingregel 1 =λ0??g?xx0C,y0C?dx0dCC+λ0??g?yx0C,y0C?dy0dCCvoorwaarde stationair punt =λ0?g?xx0C,y0C?dx0dCC+?g?yx0C,y0C?dy0dCC? =1 =λ0 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download