3. Limita funkce

[Pages:5]3. Limita funkce

1. Spoctte:

lim

x0

sin

5x - sin sin x

3x

,

lim

x0

1

- cos x2

x

,

lim

x0

1 1

+ -

sin sin

x x

- -

cos cos

x x

.

2. Spoctte:

lim

x3

x + 13 - 2 x2 - 9

x + 1,

lim n 1 + x - 1 (n N),

x0

x

lim 1 + x - 1 - x ,

x0 3 1 + x -

31 - x

lim

x0

1 + tg x - x3

1 + sin x .

3. Spoctte n?sleduj?c? limity:

lim x 3 x3 + 7x - x ,

x

lim

x0

log cos x2

x

,

lim (ex - 1) (t3g xx)22 .

x0+

4. Spoctte n?sleduj?c? limity:

lim

x+2

x2

,

x 2x - 1

lim (tg x)tg 2x,

x

4

1

lim

x0

1 + x 2x 1 + x 3x

x2

,

lim log(1 + 2x) log

x

1

+

3 x

.

5. Spoctte limity n?sleduj?c?ch funkc?

lim log(1 + sin x) , x0 2x + 1 - x + 1

lim

x0

esin 2x

- tg

earcsin x

x

,

lim

x0

ex

-

2

sin(

6

tg x

+

x) .

6. Spoctte limity n?sleduj?c?ch funkc? a posloupnost?

lim 1 +

1

n

,

n

n4 + 2n3 - n4 + 1

lim n( n 2 - 1),

n

lim

x0+

arcsin log(1 +

xx)

.

7. Spoctte:

lim (1 + sin x)cotg x,

x1

lim x

x

4

-

arctg

x

x +

1

,

lim

x2

.

x0 1 + x sin x - cos x

8. Spoctte limitu posloupnosti:

lim sin 2 n2 + 1 .

n

V?sledky a nkter? esen?

1. 2, 1/2, -1

2. -1/16, 3/2, 1/n, 1/4

3. 7/3, -1/2, 1

4. 0, 1/e, 2/3, log 8

5.1. Plat?

lim log(1 + sin x)

x0 2x + 1 - x + 1

=

lim

x0

log(1 + sin sin x

x)

?

sin

x

?

2x

+

1 1-

x

+

1

?

2x 2x

+ +

1 1

+ +

x x

+ +

1 1

=

lim

x0

log(1 + sin sin x

x)

?

sin x x

?

2x + 1 + x + 1

.

V?me, ze

(i)

limy0

log(1+y) y

= 1,

(ii)

limx0

sin x x

= 1,

(iii) limx0 sin x = 0,

(iv) (v)

sinjejespproojistt??

na ve

-/2, /2 , sv?m definicn?m

oboru.

Z

(i),

(iii),

(iv)

a

vty

o

limit

slozen?

funkce

plyne

lim

x0

log(1 + sin x) sin x

=

1.

Posledn? rovnost, spolu s (ii), (v) a vtou o limit soucinu d?v?

lim

x0

log(1 + sin

sin x

x)

sin x

x

2x + 1 + x + 1

= 1 ? 1 ? 2 = 2.

5.2. Pisme

lim

x0

esin

2x

- tg

earcsin x

x

=

lim

x0

esin

2x

- earcsin x

x

?

x tg x

=

lim

x0

esin 2x

- earcsin x x

? lim

x0

x tg x

.

V?me,

ze

limx0

x tg x

=

1.

Zab?vejme

se

te

prvn?

limitou

ve v?se uveden?m

soucinu

limit.

lim

x0

esin 2x

- earcsin x x

=

lim

x0

esin 2x - 1 sin 2x

?

sin 2x x

-

earcsin x - 1 arcsin x

?

arcsin x x

=

1.

Pouzili jsme

(1)

limx0

arcsin x x

= 1,

(2)

limx0

sin x x

= 1,

(3)

limy0

ey -1 y

= 1,

(4) sin je prost? funkce na jist?m okol? 0,

(5) arcsin je prost? funkce,

(6) x 2x je prost? funkce,

(7) vtu o limit slozen? funkce ve verzi s podm?nkou (P1),

(8) vtu o aritmetice limit.

Dohromady tedy m?me

lim

x0

esin 2x - earcsin x tg x

= 1.

5.3. Upravme nejprve v?raz jehoz limitu poc?t?me

ex

- 2 sin(/6 tg x

+ x)

=

x tg x

ex - x

1

+

1

-

2

sin(/6 x

+

x)

=

x tg x

ex - x

1

+

1

- cos x

x

-

3 sin x x

=

x tg x

ex - x

1

+

1

- cos x

x

?

1 1

+ +

cos cos

x x

-

3 sin x x

=

x tg x

ex - x

1

+

sin x x

?

sin x

?

1

1 + cos

x

-

3 sin x x

.

()

V?me, ze

(1)

limx0

tg x x

= 1,

(2)

limx0

sin x x

= 1,

(3)

limx0

ex -1 x

= 1,

(4) limx0 cos x = 1.

Z (), (1)?(4) a z vty o aritmetice limit vypl?v?

lim

x0

ex

-

2 sin(/6 + tg x

x)

=

1 - 3.

6.1. Pokusme se nejprve spoc?tat limitu funkce

lim 1 +

1

x

.

x

x4 + 2x3 - x4 + 1

Upravme nejprve v?raz jehoz limitu poc?t?me:

1+

1

x

x4 + 2x3 - x4 + 1

= exp log

1+

1

x

x4 + 2x3 - x4 + 1

= exp x log 1 +

1

x4 + 2x3 - x4 + 1

log = exp

1 + x4+2x31-x4+1

x4 +2x31-x4 +1

?

x

?

x4

+

1 2x3 -

x4

+

1

log

= exp

1 + x4+2x31-x4+1

x4 +2x31-x4 +1

?x?

x4 + 2x3 + x4 + 1

2x3 - 1

log = exp

1 + x4+2x31-x4+1

x4 +2x31-x4 +1

?

1

+

2 x

2

+ -

1 x3

1

+

1 x4

.

()

D?le plat?:

(1) (2)

limz0

log(1+z) z

=

1,

limx

1

x4 +2x3 -x4 +1

=

limx

x4 +2x3 +x4 +1 2x3 -1

= limx

1+ 2 +

x

1+

1 x4

2x-

1 x2

= 2 = 0,

(3) funkce x x4+2x31-x4+1 je na jist?m okol? rzn? od nuly,

(4) exp je spojit? na R.

Z (1)?(3) a z vty o limit slozen? funkce

log

lim

x

1 + x4+2x31-x4+1

x4 +2x31-x4 +1

= 1.

()

D?le m?me

lim

x

1+ 2 +

x

1

+

1 x4

2

-

1 x3

= 1.

Z (), (), ( ) a (4) plyne

( )

lim 1 +

1

x

= e1 = e

x

x4 + 2x3 - x4 + 1

a tedy podle Heineho vty

lim 1 +

1

n

= e.

n

n4 + 2n3 - n4 + 1

6.2. M?sto limity posloupnosti {n( n 2 - 1)} n=1 poc?tejme limitu funkce f (x) =

x(2

1 x

-

1)

v

.

Pokud totiz uk?zeme, ze limx f (x) = A, pak podle Heineho

vty tak? limn f (n) = A. Plat?

lim

x(2

1 x

x

- 1)

=

lim

x

21 x

-1

1

=

lim

x

e log 2 x

-1

log 2

? log 2

=

log 2.

x

x

Uzili jsme

(1)

limy0

ey -1 y

= 1,

(2)

limx

log 2 x

= 0,

(3) log 2 = 0 pro kazd? x > 0,

x

(4) vtu o limit slozen? funkce ve verzi s podm?nkou (P1).

6.3. Uvdomme si, ze plat?:

(1)

limy0

arcsin y y

= 1,

(2)

limy0

log(1+y)

y

= 1,

(3) (4)

limjxep0r+ost?xn=a

0, sv?m

definicn?m

oboru.

Mzeme ps?t

lim

x0+

arcsin log(1 +

xx)

=

lim

x0+

arcsinx

x

?

log(1

x +

x)

.

Z vty o limit slozen? funkce, (1), (3) a (4) plyne

lim

x0+

arcsinx

x = 1.

Z vty o limit slozen? funkce, (2), (3) a (4) plyne

lim log(1+ x) = 1.

x0+

x

Vta o aritmetice limit pak d?v?

lim

x0+

arcsinx

x

?

log(1

x +

x)

=

1.

7. 1/e, 1/2, 4/3 8. 0

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download