Základné vzťahy medzi hodnotami goniometrických funkcií

[Pages:30]Ma-Go-12-T

List 1

Z?kladn? vzahy medzi hodnotami goniometrick?ch funkci?

RNDr. Mari?n Macko

U: Predstav si, ze ti zad?m hodnotu jednej z goniometrick?ch funkci?. Napr?klad sin x = 0,6. Vedel by si urci pre to ist? x hodnotu funkcie kos?nus?

Z: Ziadny probl?m. Pouzijem kalkulacku. Najsk?r urc?m hodnotu x a potom kos?nus.

U: M? to ist? h?cik. V?csina hodn?t urcen?ch na kalkulacke je dan? iba priblizne. Platilo by to aj pre nasu ?lohu. Matematika vsak pozn? vzah, ktor? umozuje prechod od hodn?t funkcie s?nus k hodnot?m funkcie kos?nus. Tento vzah sa d? objavi na z?klade jednotkovej kruznice. Stac?, ak si pripomenieme defin?cie funkci? s?nus a kos?nus.

Z: Re?lnemu c?slu x prirad?me zn?mym sp?sobom na jednotkovej kruznici bod M . S?radnice xM a yM tohto bodu urcuj? hodnoty funkci? s?nus a kos?nus. Pre nase re?lne c?slo x preto plat? sin x = yM , cos x = xM .

y

1

yM

M

x xM

-1

0M Jx

-1

U: Na obr?zku m?me tak?to situ?ciu zn?zornen? pre re?lne c?slo x, ktor?mu zodpoved? bod na jednotkovej kruznici v I. kvadrante. Vznikol tak pravouhl? trojuholn?k OM M . Ak? dzky maj? jeho strany?

Z: Dzka strany OM je vlastne kos?nus re?lneho c?sla x a strana M M urcuje hodnotu funkcie s?nus re?lneho c?sla x. Ak? je dlh? prepona, to netus?m.

U: Kruznica je jednotkov?. Prepona OM je jej polomerom, preto m? dzku rovn? c?slu 1. Dzky vsetk?ch str?n pravouhl?ho trojuholn?ka s? uveden? v nasleduj?com r?mceku.

|OM | = cos x |M M | = sin x |OM | = 1

Z: Pozn?me teda dzky vsetk?ch str?n pravouhl?ho trojuholn?ka. Pre strany trojuholn?ka by sme mohli zap?sa Pytagorovu vetu.

Ma-Go-12-T

List 2

U: M?s pravdu. Pomocou nej dostaneme s?ben? vzah medzi hodnotami funkci? s?nus a kos?nus. Urob to.

Z: Pre strany trojuholn?ka plat? poda Pytagorovej vety vzah

|OM |2 + |M M |2 = |OM |2.

Dosad?m vyjadrenia str?n a m?m

(cos x)2 + (sin x)2 = 1.

U: Je to vemi d?lezit? vzah. Vyjadruje, ze s?cet druh?ch mocn?n hodn?t funkci? s?nus a kos?nus je rovn? c?slu jedna.

Z: V prvom kvadrante s? s?nus a kos?nus kladn?. Vyjadrovali aj dzky ?seciek. Ako to vsak bude vyzera, ak bod M zodpovedaj?ci re?lnemu c?slu x bude v inom kvadrante? Hodnoty funkci? m?zu by vtedy z?porn?. Bude vzah plati aj v takomto pr?pade?

U: Spr?vna pripomienka. Vysk?sajme pre III. kvadrant. Aj teraz s?radnice bodu M urcuj? hodnoty funkci? s?nus a kos?nus. Ak? s? z hadiska znamienka?

y

1

x

M

-1 cos x

0

Jx

M

sin x

-1

Z: Obe s?radnice, teda aj hodnoty funkci? s? z?porn?. Nevyjadruj? dzky str?n. U: Rozdiel medzi I. a III. kvadrantom je len v znamienku m?nus. Preto dzky str?n m?zeme

vyjadri napr?klad pomocou absol?tnej hodnoty:

|OM | = | cos x|,

alebo pomocou opacn?ho v?razu:

|OM | = - cos x. Z: Po dosaden? do Pytagorovej vety zostane absol?tna hodnota?

Ma-Go-12-T

List 3

U: Vtedy dostaneme

(| cos x|)2 + (| sin x|)2 = 1.

Druh? mocnina ak?hokovek re?lneho c?sla je vzdy nez?porn? re?lne c?slo. Bez ohadu na to, ci s? v?razy cos x a sin x kladn?, z?porn? alebo nulov?. Absol?tna hodnota je preto po umocnen? zbytocn?. Je len duplicitou, ktor? vedie k nez?pornosti v?sledku. Plat?

(| cos x|)2 = (cos x)2 = cos2 x.

Pre funkciu s?nus to plat? analogicky.

Z: Zac?nam ch?pa s?vislosti. Ani znamienko m?nus vo vyjadren? dzky nem? pri pouzit? Pytagorovej vety v?znam. Po umocnen? sa zmen? na kladn? hodnotu:

(- cos x)2 = (cos x)2.

U: Absol?tna hodnota alebo opacn? v?raz s? nutn? iba na vyjadrenie dzok str?n. Vyjadrenie vzahu medzi hodnotami funkci? s?nus a kos?nus je vsak vzdy rovnak?. Nez?vis? od toho, do ktor?ho kvadrantu patr? bod prisl?chaj?ci re?lnemu c?slu x.

U: Pokracujme teraz v hadan? vzahov medzi als?mi goniometrick?mi funkciami. Vieme vypoc?ta hodnotu funkcie tangens, ak pozn?me hodnotu funkcie s?nus?

Z: Na tento v?pocet postac? defin?cia. Tangens je podiel hodn?t funkci? s?nus a kos?nus. No a kos?nus vypoc?tame vyuzit?m vzahu, ktor? sme pred chv?ou odvodili.

U: Povedal si to spr?vne. Z defin?ci? funkci? tangens a kotangens m?me alsie dva d?lezit? vzahy medzi hodnotami goniometrick?ch funkci?. Platia vsak iba pre tak? re?lne c?sla x, pre ktor? v?razy v menovateli s? nenulov?. Teda

sin x

cos x

tgx = ; cotgx = .

cos x

sin x

Z: Zac?nam tusi vzah medzi hodnotami funkci? tangens a kotangens. Jedna funkcia je prevr?tenou hodnotou druhej.

U: Vzah vypl?va z defin?ci? t?chto funkci?. Zvykne sa uv?dza v tvare, kedy na avej strane je s?cin hodn?t funkci? tangens a kotangens. Vypoc?taj tento s?cin.

Z: Za tangens dosad?m podiel funkci? s?nus a kos?nus, za kotangens naopak. Vsetky v?razy vykr?tim. V?sledok bude c?slo 1.

sin x cos x

tgx ? cotgx =

?

=1

cos x sin x

U: Urcme aj podmienky.

Ma-Go-12-T

List 4

Z: V?razy cos x a sin x v menovateli musia by r?zne od nuly. Kos?nus je rovn? nule pre

nep?rne n?sobky c?sla a s?nus nadob?da nulov? hodnoty pre celoc?seln? n?sobky c?sla . 2

U: S? to c?sla, ktor? nepatria do definicn?ch oborov funkci? tangens a kotangens. Daj? sa vyjadri jedn?m tvarom?

-

5 2

-2

-

3 2

-

-

2

0

2

3 2

2

5 2

Z: C?sla sa opakuj? s peri?dou . Preto sa daj? vyjadri ako celoc?seln? n?sobky c?sla .

2

2

U: Vzah

tgx ? cotgx = 1

plat? pre vsetky re?lne c?sla, okrem celoc?seln?ch n?sobkov c?sla .

2

Z: Jednoducho povedan?, ak tangens bude rovn? c?slu y, kotangens bude jeho prevr?tenou 1

hodnotou. Bude ma hodnotu . y

U: V nasleduj?cej tabuke s? zopakovan? este raz z?kladn? vzahy medzi hodnotami goniometrick?ch funkci?. Dva vzahy s? dan? defin?ciou funkci? tangens a kotangens. Zvysn? vzahy s? d?sledkom defin?ci? goniometrick?ch funkci?.

sin x

tgx =

; cos x

xR-

(2k + 1) ; 2

k

Z

cos x

cotgx =

; sin x

x R - {k;

k

Z}

(cos x)2 + (sin x)2 = 1; x R

tgx ? cotgx = 1; x R -

k; 2

k

Z

U: Predstav si, ze ti zad?m hodnotu funkcie sin x a ty m?s vypoc?ta hodnotu cos x. M?zes vsak pouzi iba z?kladn? vzah medzi hodnotami funkci? s?nus a kos?nus (cos x)2 + (sin x)2 = 1.

Ako by si postupoval? Z: A to je probl?m? Zadan? hodnotu by som dosadil za sin x a odc?tal ju od v?razov na oboch

stran?ch rovnice. Z?skal by som rovnicu (cos x)2 = 1 - (sin x)2,

kde nezn?mou je cos x. Nakoniec by som rovnicu odmocnil a dostal by som

cos x = 1 - (sin x)2.

Ma-Go-12-T

List 5

U: Odkia vies, ze hodnota funkcie kos?nus je kladn??

Z: Preco kladn?? U: Ve sa pozri na vyjadrenie, ktor? si z?skal. Na pravej strane m?s druh? odmocninu z v?razu

1 - (sin x)2. Druh? odmocnina z re?lneho c?sla, ak existuje, je vzdy nez?porn? c?slo. Z: Uz mi doch?dza, co chcete poveda. Vo v?raze na avej strane som zabudol na absol?tnu

hodnotu. U: ?no. Vyjadrenie hodnoty funkcie kos?nus m? by spr?vne v tvare

| cos x| = 1 - (sin x)2.

Hodnoty funkcie kos?nus m?zu by predsa aj z?porn?. Z: Ako urc?m, ci je kos?nus kladn? alebo z?porn?? U: Keze je zadan? hodnota sin x, a nie re?lne c?slo x, mus? by zadan? aj interval, do ktor?ho

argument x patr?. Z: Ako to mysl?te?

U: V zadan? ?lohy je uveden?, ze x patr? napr?klad do otvoren?ho intervalu ; .

2 Z: Aha! Pre tak?to c?sla je hodnota funkcie kos?nus z?porn?. U: M?zes teda odstr?ni absol?tnu hodnotu a hodnotu funkcie kos?nus vyjadri v tvare

cos x = - 1 - (sin x)2.

Z: Ale to ist? plat? aj pre re?lne c?sla x, ktor?m s? priraden? body na jednotkovej kruznici v druhom kvadrante. Keby som zobral prv? a stvrt? kvadrant, bola by hodnota funkcie kos?nus kladn?. Preto by platilo

cos x = 1 - (sin x)2.

U: Mysl?m, ze si porozumel. Okrem hodnoty sin x, mus? by v ?loh?ch zadan? aj interval, do ktor?ho x patr?.

Z: Poda intervalu rozhodnem o znamienku pre cos x.

U: Situ?cia m?ze by aj opacn?. Zadan? je hodnota cos x a m?me vypoc?ta hodnotu sin x. Samozrejme zad?me aj interval pre argument x.

Z: Bude to analogick?. Teraz bude plati

| sin x| = 1 - (cos x)2.

O znamienku pre hodnotu funkcie s?nus vsak rozhodne interval. Mysl?m, ze to nemus?me rozobera. U: Tak to som r?d, ze si problematiku pochopil. Uvid?me, ako ti to p?jde pri riesen? ?loh.

Ma-Go-12-T

List 6

Z: M?m este jednu ot?zku. Na zaciatku som si vsimol, ze ste zap?sali rovnos

(cos x)2 = cos2 x.

Plat? to? U: ?no. V?raz na avej a pravej strane vyjadruje, ze umocujeme hodnotu funkcie kos?nus.

Pozor aby si vsak tento z?pis nezamenil za v?raz

cos x2. Z: Tak, to sa mi nestane. V poslednom v?raze je predsa zap?san? druh? mocnina premennej

x, a nie hodnoty funkcie kos?nus.

Ma-Go-12-1

List 7

12 Pr?klad 1: Bez pouzitia kalkulacky vypoc?tajte hodnoty sin x, tgx a cotgx, ak cos x =

13 3 a x ; 2 . 2

U: Na v?pocet hodnoty funkcie s?nus pouzijeme z?kladn? vzah (cos x)2 + (sin x)2 = 1. Dosa

do tohto vzahu zadan? hodnotu funkcie kos?nus.

Z: Dostaneme

12

2

+ (sin x)2 = 1.

13

Zlomok umocn?me tak, ze umocn?me citatea aj menovatea.

144 + (sin x)2 = 1. 169

U: V tejto rovnici je nezn?mou v?raz sin x, preto si ho vyjadr?me. Od oboch str?n rovnice

144 odpoc?tame zlomok :

169

(sin

x)2

=

1

-

144 .

169

Ak? zlomok dostaneme na pravej strane?

169

169 144

Z: C?slo 1 sa d? zap?sa v tvare zlomku . Rozdiel zlomkov a na pravej strane d?

169

169 169

25

zlomok , takze

169

(sin x)2 =

25 .

169

U: Posledn? rovnica urcuje druh? mocninu v?razu sin x. My m?me vypoc?ta sin x. Ak?

?pravu pouzijeme?

5 Z: Odmocn?me v?razy na oboch stran?ch rovnice a dostaneme v?sledok sin x = .

13

U: Pozor! Druh? odmocnina z druhej mocniny v?razu je absol?tna hodnota tohto

v?razu, t. j.

u2 = |u|.

Z: Aha! Vzdy na to zabudnem. V nasom pr?pade preto plat?

(sin x)2 = | sin x|.

U: Rovnicu odmocnen?m uprav?me na tvar

(sin x)2 = 25 169 5

| sin x| = . 13

Ma-Go-12-1

List 8

Z: Odkia urc?me, ci hodnota funkcie s?nus bude kladn? alebo z?porn?? 3

U: Zabudol si na druh? inform?ciu v zadan?. Vieme, ze x ; 2 . Ak? hodnotu v po2

rovnan? s nulou nadob?da funkcia s?nus v tomto intervale? Z: S?nus nadob?da z?porn? hodnoty.

5 U: Preto riesen?m pre hodnotu funkcie s?nus bude z?porn? c?slo - , t. j.

13

5 sin x = - .

13

Urci hodnoty funkci? tangens a kotangens uz nebude pre teba probl?m. Vyuzi defin?cie t?chto funkci?.

Z: Tangens je urcen? podielom funkci? s?nus a kos?nus

sin x tgx = .

cos x

5

12

Za s?nus stac? dosadi zlomok - a za funkciu kos?nus dosad?m zlomok . Takze

13

13

5

tgx

=

sin x cos x

=

- 13 12

=

5 -.

12

13

U: Pre v?pocet hodnoty funkcie kotangens sa pon?ka niekoko moznost?.

Z: Ve to vypoc?tam analogicky poda defin?cie funkcie kotangens. Iba vymen?m funkcie s?nus a kos?nus v zlomku. Teda aj c?seln? hodnoty a dost?vam

12

cotgx

=

cos x sin x

=

13 5

-

12 =- .

5

13

U: Inou moznosou v?poctu je pouzitie vzahu tgx ? cotgx = 1. Hodnotu funkcie kotangens

vypoc?tame ako prevr?ten? hodnotu k hodnote funkcie tangens, t. j.

1

1

12

cotgx = tgx = - 5

=- . 5

12

Ak m?s hodnotu funkcie tangens, kotangens je jeho prevr?tenou hodnotou. Vymen?s c?seln? hodnoty v citateli a menovateli zlomku.

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download