Trigonometrijske jednačine
[Pages:12]
Trigonometrijske jednacine
1) Jednacine oblika:
a sin2 x + b sin x + c = 0 a cos2 x + b cos x + c = 0 atg 2x + btgx + c = 0 actg 2 x + bctgx + c = 0
Resavaju se sa smenom t
Naravno at 2 + bt + c = 0 ima realna resenja za D 0. Kad nadjemo t1, t2 vratimo se u smenu I pritom vodimo racuna da je kod sin x i cos x uslovi t1 1 i t2 1, dok kod tgx i ctgx mogu t1 i t2 uzimati
vrednosti iz celog skupa realnih brojeva.
Primer:
Resi jednacine:
a) 2sin2 + 3sin x +1 = 0 b) 2 cos2 x - 7 cos x + 3 = 0 v) tg 2x - 3tgx + 2 = 0
g) 2ctgx + tgx = 3
d) 2sin2 x - cos x = 1
Resenja:
a) 2sin2 + 3sin x +1 = 0 smena sin x = t
2t 2 + 3t +1 = 0
t1,2
=
-3?1 4
t1
=
-
1 2
t2 = -1
Vratimo se u smenu:
sin x = - 1 ili sin x = -1 2
1
x1
=
-
6
+
2k
x2
=
7 6
+
2k
kZ
x3
=
-
2
+
2k
kZ
b)
2cos2 x - 7 cos x + 3 = 0 smena cos x = t
2t 2 - 7t + 3 = 0
t1,2
=
7?5 4
t1 = 3 nemoguce -1 cos x 1
t2
=
1 2
Dakle resenja su:
x1
=
3
+
2k
x2
=
-
3
+
2k
kZ
v) tg 2x - 3tgx + 2 = 0 smena tgx = t
t 2 - 3t + 2 = 0
t1,2
=
3?1 2
t1 = 2
t2 =1
Vratimo se u smenu:
tgx = 2 ili tgx = 1
Kad se desi da sa kruga ne mozemo procitati vrednost za neku funkciju, upotrebljavamo arkus funkciju
koja je inverzna trigonometrijska funkcija. x1 = arctg2 + k
x2
=
4
+
k
,k
Z
2
g) 2ctgx+tgx+3 znamo da je tgx = 1 ctgx
1
2ctgx+
= 3 smena: ctgx = t
ctgx
2t + 1 = 3 t
2t 2 - 3t +1 = 0
t1,2
=
3?1 4
t1 = 1
t2
=
1 2
Za
ctgx
=1
je
x1
=
2
+ k , k Z
Za
ctgx =
1 2
je
x2
= arcctg 1 + k 2
d) 2sin2 x - cos x = 1
Ovde moramo sve prebaciti ili u sinx ili u cosx. Lakse je upotrebiti sin2 x = 1- cos2 x i sve prebaciti u
cosx.
2(1- cos2 x) - cos x -1 = 0
2 - 2 cos2 x - cos x -1 = 0
- 2 cos2 x - cos x +1 = 0 / (-1)
2 cos2 x + cos x -1 = 0 smena : cos x = t
2t 2 + t -1 = 0
t1,2
=
-1? 4
3
t1
=
1 2
t2 = -1
3
cos x = 1
ili
2
x1
=
3
+
2k
x2
-
3
+
2k
kZ
cos x = -1
x3 = + 2k kZ
2) Homogena jednacina
Ona je oblika : a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0 Resavamo je tako sto sve podelimo sa cos2 x . Napomenemo da ovde mora biti sin x 0 i cos x 0 .
Dobijamo:
atg 2 x + btgx + c = 0 koju znamo da resimo! Na homogenu jednacinu se "svede" I jednacina oblika : a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d Napisemo kao "trik" da je : d = d 1 = d (sin2 x + cos2 x) , sve prebacimo na levu stranu I imamo: (a - d ) sin2 x + b sin x cos x + (c - d ) cos2 x = 0
Ovu jednacinu resavamo kao homogenu. Primer: Resi jednacine:
a) 2sin2 x - 5sin x cos x + 3cos2 x = 0 b) 5sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 2
Resenja: a)
4
2sin2 x - 5sin x cos x + 3cos2 x = 0 / : cos2 x 0
2
sin 2 cos2
x x
-5
sonx cos cos2 x
x
+
3
cos2 cos2
x x
=
0
2tg 2x - 5tgx + 3 = 0 smena(tgx = t)
2t 2 - 5t + 3 = 0
t1,2
=
5?1 4
t1
=
3 2
t2 =1
Vrtaimo se u smenu:
Za
tgx
=
3 2
x1
=
arctg
3 2
+
k , k
Z
Za
tgx
=1
x2
=
4
+
k
,
k
Z
b)
5sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 2 5sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 2(sin2 x + cos2 x) 5sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 2sin2 x + 2 cos2 x
Sve prebacimo na levu stranu !
3sin2 x + 2sin x cos x - cos2 x = 0 / : cos2 x
3tg 2x + 2tgx -1 = 0 smena(tgx = t)
3t 2 + 2t -1 = 0
t1,2
=
-
2? 6
4
t1
=
1 3
t2 = -1
Za tgx = 1 x = arctg 1 + k , k Z
3
3
Za tgx = -1 x = - + k , k Z 4
5
3)Jednacine oblika :
sin ax ? sin bx = 0
I slicne
cos ax ? cos bx = 0
U njima najpre iskoristimo formule trigonometrijskih funkcija u proizvod.
Nakon toga: A B = 0 A = 0 B = 0
Primer: Resi jednacine:
a) sin 6x - sin 4x = 0
b) cos 3x + cos x = 0
v) sin x = cos 2x
g) sin x + sin 2x + sin 3x = 0
Resenja:
sin 6 x - sin 4 x = 0
2 cos 6 x + 4 x sin 6 x - 4 x = 0
2
2
2 cos 5 x sin x = 0
cos 5 x = 0 sin x = 0
5x = + 2k 2
x = + 2k 10 5
5x = - + 2k 2
x = - + 2k 10 5
sin x = 0 x = 0 + 2k
x = + 2k
x = + k 10 5
kZ
x = k kZ
b)
cos 3x + cos x = 0
2 cos 3x + x cos 3x - x = 0
2
2
2 cos 2x cos x = 0
6
cos 2x = 0
ili
cos x = 0
2x = + 2k 2
x = + k 4
2x = - + 2k 2
x = - + k 4
x = + 2k 2
x = - + 2k 2
x = + k 42
kZ
x
+
k
2
kZ
Ako vam nije jasno ne morate raditi ovo "zajednicko" resenje!
v)
sin x = cos 2x
sin x - cos 2x = 0
sin x - sin( - 2x) = 0 2
x + - 2x
x
-
(
-
2x)
2 cos 2 sin 2
=0
2
2
2 cos( x - ) sin(3x - ) = 0 24 2 4
odavde je:
cos( x - ) = 0
ili
24
sin(3x - ) = 0 24
Za cos( x - ) = 0 je: 24
x - = + 2k 24 2
ili
x - = - + 2k
24 2
x = + + 2k 242 x = 3 + 2k 24 x = 3 + 4k
2
x = - + + 2k 2 42 x = - + 2k 24 x = - + 4k
2
7
Zajedno : x = 3 + 2k 2
Za sin(3x - ) = 0 je: 24
3x - = 0 + 2k
ili
24
3x - = 4k 2
3x = + 4k 2
x = + 4k 63
Zajedno: x = + 2k 63
3x - = + 2k 24
3x - = 2 + 4k 2
3x = 2 + 4k 3x = 2 + + 4k
2 x = 5 + 4k
63
g)
sin x + sin 2x + sin 3x = 0
2sin x + 3x cos x - 3x + sin 2x = 0
2
2
2sin 2x cos x + sin 2x = 0
sin 2x(2 cos x +1) = 0 odavde :
sin 2x = 0
ili
2x = 0 + 2k x = k
2x = + 2k x = + k
2
2 cos x +1 = 0
x = 2 + 2k 3
x = 4 + 2k 3
4)
Jednacina oblika: a sin x + b cos x = c
Ova jednacina moze da se resava na vise nacina:
i) smenom tg x = t 2
8
................
................
In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.
To fulfill the demand for quickly locating and searching documents.
It is intelligent file search solution for home and business.