Definícia funkcií tangens a kotangens - Galeje

[Pages:19]Ma-Go-06

List 1

Defin?cia funkci? tangens a kotangens

RNDr. Mari?n Macko

U: Pripomeme si defin?cie funkci? s?nus a kos?nus na jednotkovej kruznici. Nacrtni situ?ciu

na jednotkovej kruznici pre argument x 0; a vyznac hodnoty sin x a cos x. 2

y

1M sin x

x

M

-1

0 cos x J x

-1

Z: Funkcie s?visia so s?radnicami bodu M, ktor? prisl?cha c?slu x, pricom: sin x = yM , cos x = xM .

U: Dan? hodnoty v tomto pr?pade vyjadruj? aj dzky odvesien v pravouhlom trojuholn?ku OM M.

Z: Plat?:

|OM | = cos x, |M M | = sin x.

U: Nic n?m teda nebr?ni, aby sme pre ostr? uhol vekosti x radi?nov v pravouhlom trojuholn?ku OM M vyjadrili zvysn? dve goniometrick? funkcie: tangens a kotangens.

Z: Tangens je pomer protiahlej ku priahlej odvesne a kotangens naopak.

U: Zap?seme to vzahmi:

|M M | sin x

tgx =

=,

|OM | cos x

|M O| cos x

cotgx =

=.

|M M | sin x

Nase ?vahy boli zameran? na I. kvadrant, pretoze v als?ch kvadrantoch m?zu by s?nus alebo kos?nus z?porn?. Nevyjadrovali by dzku ?seciek. Funkcie s?nus a kos?nus s? definovan? na mnozine re?lnych c?sel a m?zu ma kladn?, aj z?porn? hodnoty. Kladn? a z?porn? hodnoty m?zu ma aj funkcie tangens a kotangens, ak nami z?skan? vzahy zoberieme za ich defin?cie.

Ma-Go-06

Defin?cia: Funkciou tangens naz?vame funkciu urcen? predpisom sin x

y= . cos x

Defin?cia: Funkciou kotangens naz?vame funkciu urcen? predpisom cos x

y= . sin x

List 2

U: Zlomky v predpisoch t?chto funkci? zapr?ciuj?, ze do definicn?ho oboru funkci? tangens a kotangens nebud? patri vsetky re?lne c?sla.

Z: Takze treba urci podmienky. Sk?sim to. Pre funkciu tangens je definicn?m oborom mnozina

sin x

vsetk?ch re?lnych c?sel x, pre ktor? m? zmysel v?raz . To je vtedy, ke menovate je

cos x

r?zny od nuly. Teda cos x = 0. V intervale 0; 2) sa hodnota cos x rovn? nule pre x1 = 2

3

a x2 =

. 2

x

-2

-

3 2

-

-

2

0

2

3 2

2

5 2

3

U: S? to vsetky nep?rne n?sobky c?sla .

2

Definicn?m oborom funkcie tangens je mnozina vsetk?ch re?lnych c?sel x, ktor?

s? r?zne od c?sel v tvare (2k + 1) , kde k je cel? c?slo. 2

Z: Ako to zap?seme?

U: Menej pouz?van? sp?sob z?pisu v stredoskolskej matematike je pomocou zjednotenia ne-

konecn?ho poctu otvoren?ch intervalov v tvare - + k; + k , kde k je ubovon?

2

2

cel? c?slo.

-

3 2

-

2

2

3 2

5 2

x

U: T?to mnozinu zapisujeme tak, ako to vid?s v r?mceku.

D(f ) =

kZ

- + k; 2

+ k 2

,

U: pricom symbol oznacuje zjednotenie pr?slusn?ch intervalov. Z: Dos zlozit? z?pis.

Ma-Go-06

List 3

U: Nic sa nestane, ak ho nebudes pouz?va, ale zap?ses symbolmi to, co sme o definicnom obore funkcie tangens povedali slovne. Teda

D(f ) = R -

(2k + 1) ; 2

kZ

.

Z: Tomuto z?pisu viac rozumiem, lebo m?nus znamen?, ze z mnoziny re?lnych c?sel vyl?cime c?sla uveden? v druhej mnozine.

U: M?s pravdu. Je to oper?cia rozdielu dvoch mnoz?n.

U: Teraz urci analogicky definicn? obor funkcie kotangens. Z: Podmienka je sin x = 0, lebo v menovateli je s?nus. V intervale 0; 2) sa s?nus rovn? nule

pre x1 = 0 a x2 = . U: Vseobecne k, teda celoc?seln? n?sobky c?sla . Povedz slovne, co je definicn?m obo-

rom funkcie kotangens. Z: Definicn?m oborom funkcie kotangens je mnozina vsetk?ch re?lnych c?sel, okrem

celoc?seln?ch n?sobkov c?sla . U: Zapisujeme v tvare:

D(f ) = R - {k; k Z} .

Z: Zrejme to treba vedie.

U: ?no. Ak pozn?s defin?cie a vies nulov? body funkci? s?nus a kos?nus, nebude to probl?m.

Z: Pri s?nus a kos?nus sme uk?zali, ze ich defin?cie pre x 0; v pravouhlom trojuholn?ku 2

zodpovedaj? defin?ci?m na jednotkovej kruznici. Plat? to ist? pre tangens a kotangens?

U: Uk?zeme si to. Zap?s vsetky goniometrick? funkcie pre uhol v pravouhlom trojuholn?ku

AB C .

C

a

B

b

c

A

a

b

a

b

Z: sin = ; cos = ; tg = ; cotg = .

c

c

b

a

U: Dobre. Uk?zeme, ze tangens sa d? zap?sa ako podiel s?nus a kos?nus. Zacneme a

defin?ciou v pravouhlom trojuholn?ku. Zatia vieme: tg = . b

Zlomok sa nezmen?, ak citatea, aj menovatea predel?me kladn?m c?slom c, co je dzka

a

prepony: tg =

c b

.

c

Ma-Go-06

List 4

a Z: Uz to vid?m. V citateli zlozen?ho zlomku je , co je s?nus a v menovateli je kos?nus.

c

U:

Prep?seme

na

tvar

:

tg

=

sin

,

a

teda

obe

defin?cie

s?

rovnocenn?.

cos

Z: Vo funkci?ch tangens a kotangens vid?m trochu probl?m. S? vyjadren? cez podiel funkci? s?nus a kos?nus. Mus?m urci dve hodnoty, a potom ich este vydeli. Tak dostanem v?sledn? hodnotu. Nedali by sa urci priamo, tak ako s?nus a kos?nus?

U: Je pravda, ze defin?cia funkci? tangens a kotangens je v algebrickom tvare, ale obe funkcie mozno interpretova aj geometricky pomocou jednotkovej kruznice. To vyriesi tvoj probl?m.

Re?lnemu c?slu x prirad?me na jednotkovej kruznici zn?mym sp?sobom bod M . Zostroj?me dotycnicu p ku kruznici v bode J [1; 0]. Priesecn?k dotycnice a polpriamky OM je bod P . y-ov? s?radnica bodu P je tgx.

y

p

tgx

P

M

x

-1

0

Jx

-1

U: Pok?s sa na z?klade geometrickej interpret?cie na jednotkovej kruznici urci tg .

2

y

p

M

2

-1

0

Jx

-1

Z: To sa ned?. U: Preco? Z: Lebo dotycnica p a priamka OM s? rovnobezn?.

Ma-Go-06

List 5

U: Nemaj? spolocn? bod P , ktor?ho y-ov? s?radnica m? vyjadrova tg . T?m si len potvrdil

2

to, co vieme z ?vodu, ze c?slo nepatr? do definicn?ho oboru funkcie tangens.

2

Z: Ako to bude s funkciou kotangens?

U: Teraz zostroj?me dotycnicu q k jednotkovej kruznici v bode K [0; 1]. x-ov? s?radnica bodu Q, ktor? je priesecn?kom polpriamky OM a tejto dotycnice vyjadruje cotgx.

y

Q

K

q

M

x

cotgx

0

Jx

-1

Z: Preco to takto funguje? U: Vyuz?vame iba podobos dvoch trojuholn?kov. Trojuholn?k OM M je pravouhl? s jedn?m

vn?torn?m uhlom x. Aj trojuholn?k OQQ je pravouhl? s jedn?m vn?torn?m uhlom x. Z: Uhol x je spolocn? obom trojuholn?kom.

y

q -1

K [0; 1]

Q

M

1 sin x x

cos x M Q

0

cotgx J

x

-1

U: ?no. V t?chto trojuholn?koch pozn?me aj dzky odvesien. V trojuholn?ku OM M maj? dzky sin x; cos x a v trojuholn?ku OQQ dzky odvesien s? 1 a cotgx. Stac? ich da do

pomeru vzhadom na podobnos.

cotgx cos x

Z:

=.

1 sin x

Ma-Go-06

List 6

cos x U: Teda: cotgx = .

sin x

U: Pozrime sa este, ako je to s kladnosou a z?pornosou hodn?t tangens a kotangens

3

3

na intervaloch 0; ; ; ; ;

; ; 2 .

22

2

2

Stac?, ak si pripomenieme, ak? hodnoty nadob?daj? funkcie s?nus a kos?nus v t?chto kvadrantoch a uvedom?me si, ze podiel dvoch kladn?ch alebo dvoch z?porn?ch c?sel je c?slo kladn?, podiel kladn?ho a z?porn?ho c?sla je c?slo z?porn?. Pok?s sa teraz zd?vodni, ze tangens je v druhom kvadrante z?porn?.

Z: S?nus je v druhom kvadrante kladn?, kos?nus z?porn?. Tangens je ich podiel, preto je z?porn?.

U: Kladnos a z?pornos hodn?t tangens a kotangens vo vsetk?ch 4 kvadrantoch m?s uveden? v nasleduj?cej tabuke.

x 0;

2

sin x +

cos x +

tgx

+

cotgx +

;

2 + - - -

3 ;

2 - - + +

3 ; 2

2 - + - -

Ma-Go-06-1

List 7

4 Pr?klad 1: Rozhodnite, ak? znamienko m? funkcia f : y = tgx pre x = - .

5

U: Tak, ako v pr?pade funkci? s?nus a kos?nus aj tu si pom?zeme geometrickou interpret?ciou funkcie tangens na jednotkovej kruznici.

Z: To potrebujem dotycnicu k jednotkovej kruznici v bode J [1; 0].

U: M?s pravdu. Pri tangense nepriraujeme re?lnemu c?slu bod na jednotkovej kruznici,

ale prostredn?ctvom neho bod na spomenutej dotycnici. Jeho y-ov? s?radnica urcuje

4

4

tg - . Potrebujes vedie, ktor? bod v priraden? zodpoved? re?lnemu c?slu - .

5

5

4 Z: je menej ako , takze jemu odpovedaj?ci bod na jednotkovej kruznici je v II. kvadrante,

5 4

ale pri m?nus treba postupova opacn?m smerom, cize c?slu - zodpoved? bod M v III. 5

kvadrante.

y

p

1

0

-1

Jx

M

-

4 5

-1

sin x U: tgx = , preto stac?, ak si uvedom?s, ak? s? hodnoty s?nus a kos?nus v III. kvadrante

cos x z hadiska kladnosti a z?pornosti.

Z: Z?porn?.

U: Dve z?porn? c?sla daj? pri delen? kladn? c?slo. Situ?cia je rovnak?, ako ke s? hodnoty oboch funkci? kladn?, co zodpoved? I. kvadrantu.

y

p

1 M P

-1 M

0

5

5

-

4 5

Jx

-1

Ma-Go-06-1

List 8

4 U: Hadan? bod P , ktor?ho y-ov? s?radnica vyjadruje tg -

5 dotycnice p a priamky OM .

Z: Jeho y-ov? s?radnica je kladn? c?slo.

4 U: Riesen?m ?lohy je: tg - > 0.

5

n?jdem ako priesecn?k

13 ?loha : Rozhodnite, ak? znamienko m? funkcia f : y = tgx pre x = .

3 13 V?sledok: tg > 0

3

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download