Ejercicios de Factorización para Cuarto de Secundaria



Es transformar un polinomio en el producto indicado de factores primos.

En la multiplicación algebraica se tiene.

(x + 3) (x2 – 3x + 9) ( x3 + 27

El problema que nos planteamos ahora es, dado el polinomio producto debemos hallar los factores que lo originan. Si conseguimos los factores habremos factorizado el polinomio.

Así:

x3 + 27 ( (x + 3)(x2 – 3x + 9)

Factor Primo

Es aquel polinomio que no admite descomposición.

Ejemplo:

▪ x : 1 ; x

▪ x + 1 : 1 ; x + 1

▪ x – 2 : 1 ; x – 2

▪ x + y : 1 ; x + y

▪ x2 + 1 : 1 ; x2 + 1

Factor Compuesto

Es aquel que resulta de la combinación de los factores primos.

x + 3

x + 4

(x + 3) (x + 4)

1

CONTEO DE FACTORES

PRIMOS

El número de factores primos de un polinomio (factorizado) se obtiene contando los factores primos que se encuentran como base de una potencia y que contienen a la variable.

Ejemplo:

▪ P(x) = 4(x - 2)2 (x + 3)2 (x + y)5

Tiene 3 factores primos.

▪ Q(x) = 3x(x - 3)2 (x2 + 2)2 (x2 + y2)

Tiene 4 factores primos:

2 lineales: x; x – 3

2 cuadráticos: x2 + 2; x2 + y2

▪ F(x, y) = 5x3y2(x - 4)3(x2 – x + 1)5 (y - 3)4

Tiene 5 factores primos:

4 lineales: x; y; (x - 4); (y - 3)

1 cuadrático: x2 – x + 1

CRITERIOS PARA FACTORIZAR

Existen diversos criterios para factorizar polinomios entre ellos tenemos:

1. FACTOR COMÚN Y AGRUPACIÓN

Se aplica en polinomios donde todos sus términos tienen una o mas variables y/o constantes comunes. En caso de no haber algún factor común, se agrupara convenientemente tratando de que aparezca algún factor común.

Ejemplo:

▪ Factorizar:

5x10y5 – 10x7y8 – 25x11y9

= 5x7y5(x3 – 2y3 – 5x4y4)

▪ Factorizar:

(a + b + c)m2 + (a + b + c)n2 + (a + b + c)p2

= (a + b + c)(m2 + n2 + p2)

▪ Factorizar:

(2x – 3y + z)a + (3y – 2x - z)b

Cambiando de signo a los términos del segundo paréntesis:

(2x – 3y + z)a – (2x – 3y + z)b

Encontramos factor común.

(2x – 3y + z) (a - b)

▪ Factorizar:

a2x2 + b2y2 + a2y2 + b2x2

Agrupando en forma conveniente.

a2(x2 + y2) + b2(x2 + y2)

Sacando el factor común:

(x2 + y2) (a2 + b2)

▪ Factorizar:

ax + by + cz + bx + cy + az + cx + ay + bz

Agrupando de 3 en 3.

x(a + b + c) + y(b + c + a) + z(c + a + b)

Sacando el factor común:

(a + b + c) (x + y + z)

2. CRITERIO DE LAS IDENTIDADES

Consiste en aplicar los productos notables en forma inversa.

a) Trinomio Cuadrado Perfecto

(x ± y)2 ( x2 ± 2xy + y2

▪ Factorizar:

x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

x 3y

2(x) (3y) = 6xy

▪ Factorizar:

4x2n – 12x4y4 + 9y2n = (2x4 – 3yn)2

2xn 3yn

2(2xn) (3yn) = 12x4yn

b) Diferencia de Cuadrados

(x + y) (x - y) = x2 – y2

▪ Factorizar: x4 - 1

Solución:

Dando la forma de diferencia de cuadrados.

(x2)2 – 12 = (x2 + 1)(x2 - 1)

Podemos seguir descomponiendo.

x4 – 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x - 4)

▪ Factorizar: (ax – 3b)2 – (bx – 3a)2

Por diferencia de cuadrados.

(ax – 3b + bx – 3a) (ax – 3b – bx + 3a)

Agrupando en forma conveniente.

(x(a + b) – 3(a + b)) (x(a - b) + 3(a - b))

Tomamos el factor común.

(a + b)(x - 3) . (a - b)(x + 3)

c) Suma y Diferencia de Cubos

(x + y)(x2 – xy + y2) = x3 + y3

(x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3

▪ Factorizar: 64a6 – b6

Por diferencia de cuadrados.

(8a3 + b3) (8a3 – b3)

Ahora factorizamos por suma y diferencia de cubos.

(2a + b)(4a2 – 2ab + b2)(2a - b)(4a2 + 2ab + b2)

3. CRITERIO DEL ASPA SIMPLE

Se aplica para factorizar polinomios de la forma:

P(x) = Ax2n + Bx4 + C ó

P(x, y) = Ax2m + Bxmyn + Cy2n

{m; n} ( ℕ

Ejemplo:

▪ Factorizar:

P(x) = x2 + 8x + 15

x 5 ( 5x

x 3 ( 3x

8x

Luego:

Se toman los factores en forma horizontal.

P(x) = (x + 5)(x + 3)

▪ Factorizar:

P(x) = 10x2 - 13x – 3

Descomponiendo los extremos.

10x2 - 13x – 3

5x 1 ( 2x

2x -3 ( -15x

-13x

Luego:

P(x) = (5x + 1) (2x - 3)

1. Factorizar:

F(x; y) = x2y2 + x2y + xy2 + xy

El número de factores primos es:

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

2. Factorizar:

F(x; y) = x3y2 + x2y + x2y3 + xy2

El factor primo de 2do grado es:

a) xy + 1 b) xy + y2 c) x2 + y2

d) x2 – y2 e) x2 + xy

3. Factorizar:

F(x; y) = x4y – x2y3 – x3y2 + xy4

El número de factores primos binomios es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. Factorizar e indicar un factor primo:

Q(x, y) = x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3

a) x + y b) x – y c) x + 2y

d) x – 2y e) x2 + y2

5. Factorizar:

P(a; b; c) = a2 – abc – ac – ab + b2c + bc

Indicar el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. Factorizar:

P(a; b; c) = ab2 + ac2 + bc2 + a2b + a2c + b2c + 3abc

Indicando un factor primo.

a) a2 + b2 + c2 b) a – b – c c) a + b + c

d) a3 + b3 + c3 e) a + b

7. Factorizar:

F(x) = (x2 + 2)2 – (2x - 1)2

El factor que más se repite es:

a) x + 1 b) x – 1 c) x + 2

d) x – 2 e) x - 3

8. Factorizar:

F(x; y) = (x2 – y2)2 – (y2 – z2)2

Un factor primo es:

a) x + y b) x – y c) x + z

d) x2 + y e) y - z

9. Factorizar:

F(x) = (x + 1)4 – (x - 1)4

La suma de coeficientes del factor primo cuadrático es:

a) 1 b) 2 c) 3

d) -2 e) -1

10. Factorizar:

F(x) = x3 + x2 – 9x - 9

Indicando un factor primo.

a) x – 1 b) x – 2 c) x - 3

d) x + 5 e) x + 7

11. Factorizar:

P(x, y) = x2 – y2 + 6y - 9

Indicando el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) x + y + 2

d) x + 2y – 1 e) 3x + y + 2

12. Factorizar:

(a3 + b3 + c3)3 – a3 – b3 – c3

Indicando el número de factores primos.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

13. Factorizar:

F(x) = (x + 1)4 – 5(x + 1)2 + 4

E indicar el término independiente de un factor primo.

a) 1 b) 2 c) 4

d) -2 e) -3

14. Factorizar:

Q(x) = (x2 + 5)2 + 13x(x2 + 5) + 42x2

Indique la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 5 b) 6 c) 2

d) 4 e) Hay 2 respuestas

15. Factorizar:

G = x6 – 6x4 + 2x3 + 5x2 – 6x + 1

E indicar el coeficiente del termino lineal de un factor primo.

a) -1 b) -2 c) 1

d) 2 e) 3

TAREA DOMICILIARIA Nº 3

1. Factorizar:

P(x; y) ( x5y4 + x5y2 + x3y4 + x3y2

e indicar un factor primo.

a) x + y b) x2 + y2 c) x + 1

d) xy + 1 e) y2 + 1

2. Indicar un factor primo al factorizar la suma de los factores primos de:

P(a; x) ( abx2 + aby2 + xya2 + xyb2

a) a + y b) b + x c) x + y

d) a – b e) b – x

3. Factorizar:

F(x) ( (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 2) – (x - 1)

e indicar la suma de sus factores primos.

a) 2x – 4 b) 3x – 5 c) 3x - 6

d) 2x – 3 e) 3x - 4

4. Señale un factor primo de:

M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2

a) a + 2 b) b – 2 c) a + b - 4

d) a + b + 2 e) a - b

5. Factorizar:

P(x; y) = y2 – x2 + 6x - 9

e indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes.

a) x + y – 3 b) x – y + 3 c) y + x + 3

d) x + y – 3 e) 3 – x + y

6. Factorizar:

P(x) = x2 + 2(a + b)x + a2 + 2ab + b2

Indicando la suma de coeficientes de un factor primo.

a) 3 b) a + b + 1 c) 2

d) a + b e) 1

7. Factorizar:

P(x) = x2 – (ac - b)x - abc

e indicar un factor primo.

a) x – ac b) x + b c) x + a

d) x – b e) x - a

8. Factorizar:

F(x; y) = 12x2 + 6y2 + 17xy

e indicar el valor numérico de uno de sus factores primos para x = 3; y = 2.

a) 13 b) 16 c) 20

d) 18 e) A ( D

9. Factorizar:

P(x) = 9x2 – 18x + 8

Q(x) = 12x2 + x - 6

e indicar la suma de sus factores primos no comunes.

a) 6x – 4 b) 7x + 1 c) 13x - 5

d) 7x – 1 e) 6x + 1

10. Indicar un factor primo en:

F(a; b) = (a + b + 2)2 + 11a + 11b + 40

a) a + b + 5 b) a + b + 8 c) a + b + 9

d) a + b – 7 e) a + b + 4

11. Indicar un factor primo de:

G(x) = x3 + 4x2 – 19x + 14

a) x + 1 b) x – 2 c) x - 7

d) x – 4 e) x + 14

12. Factorizar:

P(x) = a2x – ax2 – 2a2y + 2axy + x3 – 2x2y

Indicando un término del factor primo cuadrático.

a) -2y b) x c) xy

d) –ax e) y2

13. ¿Cuántos factores primos resultan en?

P(x; y) = x9y – x3y7

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

14. Indicar el número de factores primos en:

P(x) = (3x2 – 4x)2 – 19(3x2 – 4x) + 60

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 8

15. Si un factor primo de:

H(x) = x4 – 13x2 + 36

Toma la forma (ax + b), donde: a + b = -2

Hallar el valor de a – b

a) 2 b) 1 c) 4

d) -2 e) 0

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FACTORIZACIÓN

Producto

Factores

Por Regla Práctica, todo factor primo tiene 2 factores o divisores la unidad y el mismo factor.

(x + 3)(x + 4)

x

y

2(x)(y) = 2xy

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

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