Niislelmath.files.wordpress.com



1.π4<x<π2баsin2α=35 бол tgα-н утгыг олsin2α=2tgα1+tg2αтул2tgα1+tg2α=35?3tg2α-10tgα+3=0?tgα1=3 tgα2=13баπ4<x<π2тул 1<tgα<∞иймдtgα=32. sin2α=45болsin6α+cos6α-нутгыголsin6α+cos6α=sin2α+cos2αsin4α-cos2αsin2α+cos4α=1-3sin2αcos2α==1-34sin22α=1-34?1625=13253. 0<t<π2баsin4π+t=35болtgπ-t-нутгыгол0<t<π2sin4π+t=sint=35н?г??талаасtgπ-t=-tgt=-sint1-sin2t=-351-925=-344. π2<α<π, π2<β<π,sinα=45, cosβ=-1517болsinα+β-нутгыголsinα+β=sinαcosβ+cosαsinβба. π2<α<π?cosα=-1-225289=-1817π2<β<π?sinβ=1-1625=35иймдsinα+β=45?-1517+-1817?35=-84855. sint?cost=-0.5 бол sin4t+cos4t-нутгыголsin4t+cos4t=1-2sin2tcos2t=1-214=126. cos(α+β)=13cosα-β=15болtgα?tgβ-нутгыголCos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=13Cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=15эдгээрийг гиш??нчлэн нэмбэл 2cosαcosβ=13+15=815(1)2-раас нь 1-рыг хасвал 2sinαsinβ=15-13=-215(2)(1)(2)?tgα?tgβ=sinα?sinβcosα?cosβ=-147. tgα+ctgα=mболtg2α+ctg2α-нутгыголtg2α+ctg2α=(tgα+ctgα)2-2=m2-28. tgα=-2 болsin3α+cos3α3cosα-sinα-нутгыголsin3α+cos3α3cosα-sinα=tg3+13cos2α-sinαcos3α=tg3α+13cos2α-tgα?1cos2α=tg3α+11cos2α(3-tgα)=tg3α+11+tg2α(3-tgα)=-8+11+4(3+2)=-7259. 0<α<π2,0<β<π2, ctgα=4,ctgβ=53болα+β-нутгыгол.Ctg(α+β)=ctgαctgβ-1ctgα+ctgβ=4?53-14+53=1717=1?α+β=π410. cosα=14sinα<cosαболtgα-нутгыгол.tgα=±1-cos2αcosα=±15баsinα<cosα?tgα<1 тулtgα=-1511. cosα=a2-b23π2<α<2πболsinα,tgα,ctgα-нутгыгол.sinα=±1-cos2α=±1-a2+b2гэвч3π2<α<2πтулsinα=-1-a2+b2бусад нь адил 12. tgα=413бол5sinα+7cosα6cosα-3sinα-нутгыгол.5sinα+7cosα6cosα-3sinα=5tgα+76-3tgα=5?413+76-3?413=372213. A=11-sinαB=11+sinαбол4A2B2-2AB=A2+B2болохыгбатал4A2B2-2AB=2AB2AB-1=21-sin2α421-sin2α-1=2cos2α2-cos2αcos2α=4-2cos2αcos4α=4-2(1-sin2α)(1-sin2α)2=2+2sin2α(1-sinα)2(1+sinα)2=1+2sinα+sin2α+1-2sinα+sin2α(1-sinα)2(1+sinα)2=1(1-sinα)2+1(1+sinα)2=A2+B2болно14. π<α<2πбол11+cosα+11-cosα?sinα=-2болохыгбатал.11+cosα+11-cosα?sinα=2sin2α?sinα=±2гэвчπ<α<2π?sinα<0 тул11+cosα+11-cosα?sinα=-2байна. 15. sinα+cosα=aболsinαcosα, sinα-cosα, sin3α+cos3α, sin4α+cos4α-нутгуудыгол.sinα+cosα=a?1+2sinαcosα=a2?sinαcosα=a2-12(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-a2+1=2-a2тулsinα-cosα=2-a2sin3α+cos3α=sinα+cosαsin2α-sinαcosα+cos2α=a1-sinαcosα=a1-a2-12=a2(3-a2)sin4α+cos4α=sin4α+cos4α+2sin2αcos2α-2sin2αcos2α=1-2sin2αcos2α=1-2(a2-12)2=1-a4-2a2+12=2-a4+2a2-12=2a2-a4+1216. sin4α+cos4α-sin6α-cos6α=sin2αcos2αбатал.sin4α+cos4α-sin6α-cos6α=sin4α1-sin2α+cos4α1-cos2α=sin4αcos2α+sin2αcos4α=sin2αcos2α17. (sinα+cosα)2-1ctgα-sinαcosα=2tg2αбатал(sinα+cosα)2-1ctgα-sinαcosα=(1+2sinαcosα-1)sinαcosα-sin2αcosα=2sin2αcosαcos3α=2tg2α18. M=secα+1 N=secα-1 болM2-4=N2M-Nболохыгбатал.N2M-N=2MN-N2=2sec2α-1-(secα-1)2=2sec2α-2-sec2α+2secα-1=sec2α+2secα+1-4=(secα+1)2-4=M2-419. cos-13°sin77°+cos-77°sin167°0,1+tg245°0,002илэрхийллийнутгыгол.cos-13°sin77°+cos-77°sin167°0,1+tg245°0,002=cos13°sin77°+cos77°sin13°0,1+10,002=10sin90°+500=51020. 3 +cos15cos15-нутгыгол.15 радиан≈855°=720°+135°тулcos15 нь 2-рм?чидоршихтулcos15=-cos15 иймд 3+cos15cos15=221. sinα2-cosα2=0,1болtgα-нутгыгол.sinα2-cosα2=0,1?1-sinα=0,1?sinα=0,9 cosα=±1-sin2α=±1-0,81=±0,19тулtgα=±91922. sinα-cosα=1,2 болcos3α-sin3α-гол.Sinα-cosα=1,2?1-2sinαcosα=1,44?sinαcosα=-0,22 иймдcos3α-sin3α=cosα-sinαcos2α+cosαsinα+sin2α=-1,21-0,22=-0,93623. tgα=17sinβ=110 , 0<α<π2 , 0<β<π2болα+2β=π4болохыгбатал. 0<β<π2тулcosβ=1-110=910=310иймдtgβ=13tg2β=2tgβ1-tg2β=231-19=68=34tg(α+2β)=tgα+tg2β1-tgα?tg2β=17+341-17?34=1 тулα+2β=π4болно.24. 0<α<π4, sinα+cosα=72болtgα2-нутгыголsinα+cosα=72?1+sin2α=74?sin2α=340<2α<π2тул?sin2α1-sin2α=964sin2α=4-78?sinα=4-78н?г??талаасsinα=2tgα21+tg2α2тул4-78=2tgα21+tg2α2болно. Иймд 0<α<π4?tgα<1 тулtgα2=1-4+78болно.25.sinα=m2-n2m2+n2болtgα2-нутгыгол. sinα=2tgα21-tg2α2томъёогашиглавалm2-n2m2+n2=2tgα21-tg2α2m2-n2tg2α2+2m2+n2tgα2-m2-n2=0?tgα2=m±n2m2-n2болно. 26. sin22α-4sin2αsin22α+4sin2α-4илэрхийллийгхялбарчилбалsin22α-4sin2αsin22α+4sin2α-4=4sin2αcos2α-4sin2α4sin2αcos2α+4sin2α-4=-sin4α-cos4α=tg4α27. sin32α?cos6α+cos32α?sin6αилэрхийллийгхялбарчилбалsin3α=3sinα-4sin3αтулsin6α=3sin2α-4sin32αэндээсsin32α=3sin2α-sin6α4??нийадилcos6α=4cos32α-3cos2α?cos32α=cos6α+3cos2α4тулsin32αcos6α+cos32αsin6α=34sin2α-14sin6αcos6α+34cos2α+14cos6αsin6α=34sin6αcos2α+sin2αcos6α=34sin8α28. 2(sin6α+cos6α)-3(sin4α+cos4α) илэрхийлэл α-схамаарахг?йболохыгбатал2(sin6α+cos6α)-3(sin4α+cos4α) =2(sin2α+cos2α)(sin4α-sin2αcos2α+cos4α)-3sin4α-3cos4α=-sin4α+2sin2αcos2α+cos4α=-sin2α+cos2α2=-1 29. 3+4cos4α+cos8α3-4cos4α+cos8αилэрхийллийгхялбарчил3+4cos4α+cos8α3-4cos4α+cos8α=3+4cos4α+2cos24α-13-4cos4α+2cos24α-1=2(1+2cos4α+cos24α)2(1-2cos4α+cos24α)=(1+cos4α)2(1-cos4α?)2=(2cos22α)2(2sin22α)2=ctg4α30. sin6α1-tg2α+cos6α1-ctg2αилэрхийллийгхялбарчилsin6α1-tg2α+cos6α1-ctg2α=sin6αcos2αcos2α-sin2α-sin2αcos6αcos2α-sin2α=sin2αcos2αsin4-cos4αcos2α-sin2α=-sin2αcos2α31. 2sin2αtgα-2sin2α+1илэрхийллийгхялбарчил2sin2αtgα1-2sin2α=2sin2αcosαsinα?cos2α=sin2αcos2α=tg2α32. (1-sin2α)(1+tg2α)-cos2αилэрхийллийгхялбарчил(1-sin2α)(1+tg2α)-cos2α=cos2α1+tg2α-cos2α=cos2αtg2α=sin2α33. 1sinα-cosαctgαилэрхийллийгхялбарчил1sinα-cosαctgα=1-cos2αsinα=sinα34. tg2α1-cos2α+tg2α(tg2α-1)2sin2αилэрхийллийгхялбарчилtg2α1-cos2α+tg2αtg2α-12sin2α=sin2αcos2α2sin2α+sin2α(sin2α-cos2α)cos2α?cos2α?2sin2α=12cos2α-12cos2α=0 35.cos23π4-α+0,5sin2αилэрхийллийгхялбарчилcos23π4-α+0,5sin2α =12=1+cos3π2-2α2+sin2α2=12-sin2α2+sin2α236. cos(α-β)(tgα?tgβ-1)+(1+ tgα?tgβ)cos(α+β) илэрхийллийгхялбарчилcos(α-β)(tgα?tgβ-1)+(1+ tgα?tgβ)cos(α+β)=-cosα-βcosα+βcosα?cosβ+cosα-βcosα+βcosα?cosβ=0 37. 1+cos2αctgα2-tgα2илэрхийллийгхялбарчил1+cos2αctgα2-tgα2=2cos2α?sinα2?cosα2cosα=sinα?cosα=12sin2α38. sinα+2sin5α2cos5α21+cosα-2sin25α2илэрхийллийгхялбарчилsinα+2sin5α2cos5α21+cosα-2sin25α2=sinα+sin5αcos5α+cosα=2sin3α?cos2α2cos3α?cos2α=tg3α39. sin2α-tg2αcos2α-ctg2αилэрхийллийгхялбарчилsin2α-tg2αcos2α-ctg2α=sin2αcos2α-sin2αsin2αcos2αsin2αcos2α-cos2α=-sin2αsin2αsin2α-cos2αcos2αcos2α=tg6α40. cosα?ctgα-sinαtgα1+sinαcosαилэрхийллийгхялбарчилcosα?ctgα-sinαtgα1+sinαcosα=cos2αsinα-sin2αcosα1+sinαcosα=cos3α-sin3αsinαcosα1+sinαcosα=cosα-sinα1+sinαcosαsinαcosα1+sinαcosα=cosα-sinαsinαcosα=1sinα-1cosα41. 2cos4α(cos4α-cos2α)cos4α-cosα?cos3αилэрхийллийгхялбарчил2cos4α(cos4α-cos2α)cos4α-cosα?cos3α=2cos4α(cos4α-cos2α)cos4α-12cos4α-12cos2α=2cos4α(cos4α-cos2α)12(cos4α-cos2α)=4cos4α42. sinα+tgαtgα-cosα+1илэрхийллийгхялбарчилsinα+tgαtgα-cosα+1=sinα(cosα+1)cosαsinαcosα+1-cosα=cosα+1+1-cosα=2 43. sin4α+cos2α+cos4α-cos2αилэрхийллийгхялбарчилsin4α+cos2α+cos4α-cos2α=sin4α-2sin2α+1+cos4α-2cos2α+1=sin2α-1+cos2α-1=1-sin2α+1-cos2α=2-1=1 44. (1-cos2α)tg(π2-α) илэрхийллийгхялбарчил(1-cos2α)tg(π2-α)=2sin2α?ctgα=sin2α45. cos(3π2+α)sin(π-α) илэрхийллийгхялбарчилcos(3π2+α)sin(π-α)=sinα?sinα=sin2α46. sinπ6+αcosα-cos?(π6+α)sinαилэрхийллийгхялбарчилSinπ6+αcosα-cosπ6+αsinα=sinπ6+α-α=sinπ6=12417. cos(3π2+π6)sin(2π-π6) илэрхийллийгхялбарчилcos(3π2+π6)sin(2π-π6)=sinπ6-sinπ6=-1448. sin(π-π3)cos(2π-π4)sin(π2+π6)илэрхийллийгхялбарчилsin(π-π3)cos(2π-π4)sin(π2+π6)=sinπ3cosπ4cosπ6=32?22?32=32849. cos(π2+π3)sin(3π2+π3)ctg(π2+π3) илэрхийллийгхялбарчилcos(π2+π3)sin(3π2+π3)ctg(π2+π3)=-sinπ3-cosπ3-tgπ3=-32?12?3=-3450. tgπ2-αcos2π-αsinπ2+αctgπ-αилэрхийллийгхялбарчилtgπ2-αcos2π-αsinπ2+αctgπ-α=ctgα?cosα-cosα?ctgα=-1 51. cos(π6-α4)sin(π3-α4)sinα4илэрхийллийгхялбарчилcos(π6-α4)sin(π3-α4)sinα4=12sinπ2-α2+sinπ6sinα4=12cosα2+12sinα4=12sinα4cosα2+14sinα4=14sin34α-sinα4+14sinα4=14sin3α452. 2cos23α+3sin6α-1илэрхийллийгхялбарчил2cos23α+3sin6α-1=cos6α+3sin6α=212cos6α+32sin6α=2cosπ3cos6α+sinπ3sin6α=2cosπ3-6α53. Хэрэв sinα-cosα=1,4болtgα2-нутгыгол. 1,4=sinα-cosα=2tgα21+tg2α2-1-tg2α21+tg2α2=2tgα2-1+tg2α21+tg2α2?7+7tg2α2=10tgα2+5tg2α2-5?2tg2α2-10tgα2+12=0?tg2α2-5tgα2+6=0?tgα2=2, tgα2=3 54. 12sin22α+3π2-2cos4α+sin4α+2cos6α+sin6αилэрхийллийгхялбарчил12sin22α+3π2-2cos4α+sin4α+2cos6α+sin6α=12cos22α-2cos4α+sin4α+2sin2α+cos2αsin4α-sin2αcos2α+cos4α=12cos22α-2cos4α-2sin4α+2sin4α-2sin2αcos2α+2cos4α=12cos22α-2sin2αcos2α=12cos22α-sin22α=12cos4α55. sin8α+sin9α+sin10α+sin11α+sin12αcos8α+cos9α+cos10α+cos11α+cos12αилэрхийллийгхялбарчилжtg5α=cos20°cos40°cos80°?едилэрхийллийн утгыг ол sin8α+sin9α+sin10α+sin11α+sin12αcos8α+cos9α+cos10α+cos11α+cos12α=sin8α+sin12α+sin9α+sin11α+sin10αcos8α+cos12α+cos9α+cos11α+cos10α=2sin10αcos2α+2sin10αcosα+sin10α2cos10αcos2α+2cos10αcosα+cos10α=sin10α(2cos2α+2cosα+1)cos10α(2cos2α+2cosα+1)=tg10α=2tg5α1-tg25αн?г??талаас?г?гдс?нн?хц?лёсоорtg5α=sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°=sin40°cos40°cos80°2sin20°=sin80°cos80°4sin20°=sin180°8sin20°=sin180°-20°8sin20°=18тул2tg5α1-tg25α=2?181-164=166356. 8sin215π16cos217π16-1илэрхийллийн утгыг ол 8sin215π16cos217π16-1=8sin2π-π16cos2π+π16-1=2?4sin2π16cos2π16-1=2sin2π8-1=2?1-cosπ42-1=-cosπ4=-2257. cos59π15?tg46π15+sin?(-31π15)илэрхийллийн утгыг ол.cos59π15?tg46π15+sin-31π15=cos4π-π15tg3π+π15-sin2π+π15=cosπ15?tgπ15-sinπ15=0 58.cosπ33cos2π33cos4π33cos8π33cos16π33илэрхийллийн утгыг олcosπ33cos2π33cos4π33cos8π33cos16π33=2sinπ33cosπ33cos2π33cos4π33cos8π33cos16π332sinπ33=2sinπ33cos2π33cos4π33cos8π33cos16π334sinπ33=…=sin32π3332sinπ33=sin?(π-π33)32sinπ33=+13259.cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15илэрхийллийн утгыг олcosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15=cos12°cos24°cos36°cos48°cos60°cos72°cos84°=sin24°2sin12°?sin48°2sin24°?sin72°2sin36°?sin96°2sin48°?12?sin144°2sin72°?sin168°2sin84°=1128?sin96°sin144°sin168°sin12°sin36°sin84°=1128?sin90°+6°sin180°-36°sin180°-12°sin12°sin36°sin?(90°-6°)=1128?cos6°sin36°sin12°sin12°sin36°cos6°=112860. cos9π17cos13π17cos15π17cos16π17илэрхийллийн утгыг олCos9π17cos13π17cos15π17cos16π17=-cos8π17-cos4π17-cos2π17-cosπ17=cosπ17cos2π17cos4π17cos8π17=2sinπ17cosπ17cos2π17cos4π17cos8π172sinπ17=…=sin16π1716sinπ17=sinπ-π1716sinπ17=11661. cosπ65cos2π65cos4π65cos8π65cos16π65cos32π65илэрхийллийн утгыг олCosπ65cos2π65cos4π65cos8π65cos16π65cos32π65=2sinπ65cosπ65cos2π65cos4π65cos8π65cos16π65cos32π652sinπ65=…=sin64π6564sinπ65=16462. sin4π16+sin43π16+sin45π16+sin47π16илэрхийллийн утгыг олsin4π16+sin43π16+sin45π16+sin47π16=1-cosπ822+1-cos3π822+1-cos5π822+1-cos7π822=1-cosπ822+1-cos3π822+1+cos3π822+1+cosπ822=144+2cos2π8+2cos23π8=144+1+cosπ4+1+cos3π4=146+cosπ4-cosπ4=3 263. sin18°-нутгыгол. α=18°болsin2α=cos3x?2sinαcosα=4cos3α-3cosα cosα≠0 тул2sinα=41-sin2α-3?4sin2α+2sinα-1=0?sinα=-1±54гэвчsin18°>0 тулsin18°=5-14байна. 64. cos36°-нутгыгол. cos36°=1-2sin218°=1-25-142=5+1465. tg2π24-2tgπ24+1tg2π24+2tgπ24+1илэрхийллийнутгыголtg2π24-2tgπ24+1tg2π24+2tgπ24+1=1-tgπ241+tgπ242=tgπ4-tgπ241+tgπ4?tgπ242=tg25π24=1-cos5π121+cos5π12=1-cos75°1+cos75°=1-cos90°-15°1+cos90°+15°=1-sin15°1+sin15°=1-1-cos30°21+1-cos30°2=1-2-321+2-32=2-2-32+2-366. tg2π8, ctg2π8квx2-6x+1=0 тэгшитгэлийнязгууруудболжчадахуу? tg2π8=1-cosπ41+cosπ4=2-22+2=2-22+2?2-22-2=6-422=3-22 ctg2π8=2+22-2=2+22+22=3+22иймдtg2π8+ ctg2π8=6tg2π8? ctg2π8=1 тул Виетийн урвуу теоромоор tg2π8, ctg2π8квx2-6x+1=0 тэгшитгэлийнязгууруудболно. 67. 3-4cos20°+cos40°3+4cos20°+cos40°=tg410°болохыгбатал3-4cos20°+cos40°3+4cos20°+cos40°=3-4cos20°+2cos220°-13+4cos20°+2cos221°-1=2(1-2cos20°+cos220°)2(1+2cos20°+cos221°)=1-cos20°1+cos20°2=tg410°68. tg212°+ctg212°-6tg212°+ctg212°+2=cos48°болохыгбаталtg212°+ctg212°-6tg212°+ctg212°+2=tg12°-ctg12°2-4tg12°+ctg12°2=-2cos24°sin24°2-42sin24°2=4cos224°-sin224°4=cos48°69. 2-2+2+32+2+2+3=tgπ481болохыгбаталcosπ12=1+cosπ62=2+32?2+3=2cosπ122+2cosπ12=4(1+cosπ122)=2cosπ242-2cosπ24=4(1-cosπ242)=2sinπ48??нийадил2+2+2+3=2cosπ48болохтул1биелнэ. 70. 18tgπ7=sinπ21sinπ7sin8π21болохыгбатал. 4sinα?sinπ3-αsinπ3+α=4sinα?12cos2α-cos2π3=2sinα1-2sin2α+cosπ3=2sinα-4sin3α+sinα=.3sinα-4sin3α=sin3α тулsinπ7=sin3π21=4sinπ21?sin?(π3-π21)?sin?(π3+π21)=4sinπ21?sin2π7?sin8π21болноИймдsinπ21?sinπ7?sin8π21=4sin2π21sin28π21sin2π7=16sin2π21sin28π21sin22π74sin2π7=sin2π74sin2π7=sin2π78sinπ7cosπ7=18tgπ7болно71.cos2π11+cos4π11+cos6π11+cos8π11+cos10π11илэрхийллийнутгыголcos2π11+cos4π11+cos6π11+cos8π11+cos10π11=2sinπ11cos2π11+2sinπ11cos4π11+2sinπ11cos6π11+2sinπ11cos8π11+2sinπ11cos10π112sinπ11=12sinπ11sin3π11-sinπ11+sin5π11-sin3π11+sin7π11-sin5π11+sin9π11-sin7π11+sin11π11-sin9π11=12sinπ11-sinπ11=-1272. tg12°cos24°+tg24°cos48°+tg48°cos96°+tg96°cos192°илэрхийллийнутгыголtg12°cos24°+tg24°cos48°+tg48°cos96°+tg96°cos192°=sin12°cos12°?cos24°+sin24°cos24°?cos48°+sin48°cos48°?cos96°+sin96°cos96°?cos192°=tg24°-tg12°+tg48°-tg24°+tg96°-tg48°+tg192°-tg96°=tg192°-tg12°=tg180°+12°-tg12°=tg12°-tg12°=0 энд tgα-tgβ=sinα-βcosαcosβтомъёоашиглав73. cos6°?cos42°?cos66°?cos78°илэрхийллийнутгыголcos6°?cos42°?cos66°?cos78°=14cos72°+cos60°cos120°+cos36°=14sin18°+12cos36°-12=14sin18°sin36°+12cos36°-12sin18°-14=1412sin54°-sin18°+12sin54°-12sin18°-14=18sin54°-18sin18°+18sin54°-18sin18°-116=14sin54°-14sin18°-116=14?2?cos36°?sin18°-116=12sin54°?sin18°-116=123sin18°-4sin318°sin18°-116=325-142-26-252256-116=18-6532-56-245128-116=18-116=11674. sin6°?sin12°?sin18°?sin24°?…?sin84°илэрхийллийнутгыголSin3α=4sinα?sin60°-αsin60°+αтомъёогашиглаяsin6°?sin12°?sin18°?sin24°?…?sin84°=4sin6°?sin54°?sin66°4?4sin12°?sin48°?sin72°4?4sin18°?sin42°?sin78°4?4sin24°?sin36°?sin84°4?sin30°sin60°=12?32?14?sin18°?14?sin36°?14?sin54°?14?sin72°=3210sin18°?sin36°?sin54°?sin72°=3210?12cos54°-cos90°?12cos18°-cos90°= cos4°?cos8°?…?cos84°?cos88°-д cos3α=4cosαcos60°-αcos60°+α-г хэрэглэж болно. =3212sin36°sin18°=32131+54+5-14=1521475. tg20°tg30°tg40°ctg10°илэрхийллийн утгыг ол tg3α=tg2α+α=tg2α+α1-tg2α?tgα=2tgα1-tg2α+tgα1-2tgα1-tg2αtgα=3tgα-tg3α1-3tg2αтул tg3α=tgα?tg60°-αtg60°-αболно.Иймд tg20°tg30°tg40°ctg10°=tg30°tg20°tg40°tg80°=tg30°ctg20?tg60°-20°tg60°+20°=tg30°tg60°=1 76. ctg70°+4cos70°sin18°sin54°илэрхийллийн утгыг ол ctg70°+4cos70°sin18°sin54°=cos70°+4cos70°sin70°sin70°(3sin218°-4sin418°)=sin20°+4sin20°cos20°cos20°(3sin218°-4sin418°)=sin20°+sin40°sin40°cos20°(3sin218°-4sin418°)=2sin30°cos10°+cos50°cos20°35-142-45-144=2cos30°?cos20°cos20°?14=4377. cos2π7+cos4π7+cos6π7sin10°sin50°sin70°илэрхийллийн утгыг ол cos2π7+cos4π7+cos6π7=2cos3π7cosπ7+2cos23π7-1=2cos3π7cosπ7+cos3π7-1=2cos3π7?2cos2π7cosπ7-1=4cosπ7cos2π7cosπ-4π7-1=-2?2sinπ7cosπ7cos2π7cos4π7sinπ7-1=-2sin2π7cos2π7cos4π7sinπ7-1=-sin8π72sinπ7-1=12-1=-12 sin10°sin50°sin70°=sin10°sin20°sin40°=sin10°?12cos66°+cos20°=14sin10°+12sin10°cos20°=14sin10°+14sin30°-sin10°=18тул-12÷18=-4 78. cos11π5-cos2π5sin12°sin24°sin48°sin84°илэрхийллийн утгыг ол cos11π5-cos2π5=-2sin13π10sin9π10=-2sinπ+3π10sinπ-π10=2sin3π10?sinπ10=2sin18°sin54°=2sin18°3sin18°-4sin318°=6sin218°-8sin418°=6(5-14)2-8(5-14)4=12sin12°sin24°sin48°sin84°=sin12°sin24°sin48°sin6°=12cos36°-cos60°?12sin30°+sin18°=14cos36°-12?12+sin18°=145+14-125-14+12=145-116-5-18+5+18-14=14?28=116, 12÷116=8 79. sin10°sin20°sin30°sin40°sin50°sin60°sin70°sin80°=sin10°cos10°sin20°cos20°sin40°cos40°?12?32=332sin20°?12cos40°-cos120°=364sin20°cos40°+sin30°=364sin20°cos40°+3128sin20°=364?12sin60°-sin20°+3128sin20°=3256-3128sin20°+3128sin20°=325680. tg20°tg40°tg80°cos24°+cos48°-cos84°-cos12°илэрхийллийн утгыг ол tg20°tg40°tg80°=sin20°sin40°sin80°cos20°cos40°cos80° sin20°sin40°sin80°=12sin20°cos40°-cos120°=12sin20°cos40°+sin30°=12sin20°cos40°+14sin20°=14sin60°-sin20°+14sin20°=38cos20°cos40°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°=…=sin160°8sin20=18тул tg20°tg40°tg80°=3cos24°+cos48°-cos84°-cos12°=2sin54°sin30°-2sin30°sin18°=sin54°-sin18°=2cos36°sin18°=2sin54°sin18°=23sin218°-4sin418°=2?14=123÷12=2381. tg9°-tg63°-tg27°+tg81°cosπ7cos4π7cos5π7 илэрхийллийн утгыг ол tg9°-tg63°-tg27°+tg81°=tg9°+ctg9°-ctg27°+tg27°=sin9°cos9°+cos9°sin9°-cos27°sin27°+sin27°cos27°=2sin18°-2sin54°=2sin54°-sin18°sin54°sin18°=2?2cos36°sin18°sin54°sin18°=4 cosπ7cos4π7cosπ-2π7=-cosπ7cos2π7cos4π7=-2sinπ7cosπ7cos4π7cos5π72sinπ7=…=-sin8π78sinπ7=-18 4÷-18=-32 82. sinπ14+sin5π14-sin3π14cos20°cos40°cos80°илэрхийллийн утгыг ол sinπ14+sin5π14-sin3π14=2cosπ14(sinπ14+sin5π14-sin3π14)2cosπ14=sin3π72cosπ14=sin?(π2-π14)2cosπ14=cosπ142cosπ14=12cos20°cos40°cos80°=2sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°=…=sin160°8sin20°=sin20°8sin20°=18тул 12÷18=4 83. cos15°cos25°cos35°cos85° илэрхийллийн утгыг ол cos15°cos25°cos35°cos85°=12cos60°+cos10°12cos110°+cos70°=1412+cos10°sin20°-sin10°=1412sin20°+sin20°cos10°-12sin10°-sin10°cos10°=14sin10°cos10°+12sin30°+sin10°-12sin10°-sin10°cos10°=14?14=11684. tg20°+tg40°-tg60°+tg80° илэрхийллийг хялбарчилtg20°+tg40°-tg60°+tg80°=sin20°cos20°+sin40°cos40°+sin80°cos80°-sin60°cos60°=sin60° cos20°cos40°+sin20°cos60°cos80°=sin60° cos20°cos40°+2sin20°cos80°=sin60°cos80°+sin40°cos40°cos20°cos40°cos80°=32sin10°+12cos10°18=sin10°cos30°+sin30°cos10°18=8sin40° 85. cos273°+cos247°+cos73°cos47°4sin10°+tg20°tg40° илэрхийллийн утгыг ол cos273°+cos247°+cos73°cos47°=(cos73°+cos47°)2-cos73°cos47°=(2cos60°cos13°)2-12cos120°+cos26°=cos213°+14-122cos213°+12=344sin10°+tg20°tg40°=4sin10°+sin20°sin40°cos20°cos40°=4sin10°+12(cos20°-cos60°)12(cos20°+cos60°)=4sin10°+2cos20°-12cos20°+1=8sin10°cos20°+4sin10°+2cos20°-12cos20°+1= 4sin30°-4sin10°+4sin10°+2cos20°-12cos20°+1=2cos20°+12cos20°+1=1 тул 34÷1=3486. sin10°+sin30°+sin50° илэрхийллийг хялбарчил sin10°+sin30°+sin50°=2sin10°(sin10°+sin30°+sin50°)2sin10°=2sin210°+2sin10°sin30°+2sin50°sin10°2sin10°=2sin210°+cos20°-cos40°+cos40°-cos60°2sin10°=2sin210°+1-2sin210°-122sin10°=14cosec10° 87. sin47°+sin61°-sin11°-sin25° илэрхийллийг хялбарчилsin47°+sin61°-sin11°-sin25°=2cos29°sin18°+2cos43°sin18°=2sin18°cos29°+cos43°=2sin18°?2cos36°?cos7°=4sin18°sin54°cos7°=4?14?cos7°=cos7° 88. cos5°cos55°cos65° илэрхийллийн утгыг олcos5°cos55°cos65°=12cos5°cos120°+cos10°=12cos5°cos10°-sin30°=12cos5°cos10°-14cos5°=12?12cos15°+cos5°-14cos5°=14cos15°=141+cos30°2=14?2+32=2+38?22=4+2382=1+38289. sin210°+sin250°+sin270°илэрхийллийн утгыг ол sin210°+sin250°+sin270=1-cos20°2+1-cos100°2+1-cos140°2=123-cos20+2cos20°sin30°=3290. sin220°+sin240°+sin280° илэрхийллийн утгыг олsin220°+sin240°+sin280°=123-cos40°-cos80°-cos160°=123-cos40°-2cos40°cos120°=123-cos40°+cos40°=3291. cos410°+cos450°+cos470°=(1+cos20°2)2+(1+cos110°2)2+(1+cos140°2)2=143+2cos20°+cos108°+140°+cos220°+cos2108°+cos2140°=143+2cos20°+2cos20°cos120°+121+cos40°+1+cos200°+1+cos280°=143+2cos20°-cos20°+123+cos40°+2cos240°cos40°=143+123+cos40°-cos40°=143+32=9892. tg210°+tg250°+tg270°=1-cos20°1+cos20°+1-cos100°1+cos100°+1-cos140°1+cos140°энд ер?нхий хуваарь нь 1+cos20°1+cos100°1+cos140°=8cos210°cos250°cos270° болох ба тохируулах ?ржигдэх??нээр?рж??лж эмхэтгэвэлtg210°+tg250°+tg270°=3-12cos80°+2cos120°+cos160°+cos40°+cos240°-3cos20°cos40°cos80°8cos210°cos250°cos270°болно.Энд cos80°+2cos120°+cos160°+cos40°+cos240°=sin10°-2sin30°-cos20°+cos40°-sin30°=sin10°+cos40°-cos20°-32=sin10°-2sin30°sin10°-32=sin10°-sin10°-32=-32Cos20°cos40°cos80°=18?мн? бодсоноор2болно. 8cos210°cos250°cos270°=8(cos10°cos50°cos70°)2=8(cos10°?12(cos120°+cos20°))2=2(cos10°(cos20°-sin30°))2=2(cos10°cos20°-12cos10°)2=2(12cos30°+cos10°-12cos10°)2=12cos230°=3831-д (2)(3)-г ашиглав 3-12-23-3?1838=9 93. tg410°+tg450°+tg470°илэрхийллийн утгыг ол tg410°+tg450°+tg470°=tg210°+tg250°+tg270° 2-2tg210°tg250°+tg210°tg270°+tg250°tg270° энд 92-р бодлого ёсоор tg210°+tg250°+tg270° 2=81-2tg210°tg250°+tg210°tg270°+tg250°tg270° =-21-cos20°1+cos20°?1-cos180°1+cos180°+1-cos20°1+cos20°?1-cos40°1+cos40°+1-cos100°1+cos100°?1-cos140°1+cos140°-д тохируулах ?ржигдэх??ныг олж ?рж??лж эмхэтгэвэл -3-(cos20°+cos100°+cos140°)8cos210°cos250°cos270°+-cos20°cos100°+cos20°cos140°+cos100°cos140°+3cos20°cos100°cos140°8cos210°cos250°cos270°=-3-0+34+3?1812cos230°=-22 болох тул tg410°+tg450°+tg470°=81-22=59 94. 1sin210°+1sin250°+1sin270°илэрхийллийн утгыг ол 1sin210°+1sin250°+1sin270°=1+ctg210°+1+ctg250°+1+ctg270°=3+ctg210°+ctg250°+ctg270°, ctg210°+ctg250°+ctg270°=33 болно.Иймд 1sin210°+1sin250°+1sin270°=36 болно. 95. 1cos210°+1cos250°+1cos270°илэрхийллийн утгыг ол1cos210°+1cos250°+1cos270°=3+tg210°+tg250°+tg270°=3+9=1296. sin7°+sin43°+sin79°+sin115°+sin151°+sin187°+sin223°+sin259°+sin295°+sin331°илэрхийллийн утгыг олКоординатын эх дээр эхтэй 1 урттай ox тэнхлэгтэй 7°,43°,79°,…,331° векторуудийг авч ?зье.Эдгээр вектор??д ??р хоорондоо 36°-н ?нц?г??сгэнэ.Иймд вектор??дийн т?гсг?л??д нь з?в олон ?нц?гтийн оройнууд ??сгэнэ.Иймд эрдгээр вектор??дийн нийлбэр 0 байна.Иймд эдгээр вектор??дийн координатын тэнхлэг дээрх проекцуудын нйилбэр 0-тэй тэнц?? байна. ??р??р хэлбэл sin7°+sin43°+…+sin331°=0 байна.97. tg1°+tg5°+tg9°+…+tg177°илэрхийллийн утгыг олtgα+tg60°+α+tg120°+α=3tg3α-г ашиглая tg1°+tg5°+tg9°+…+tg177°=tg1°+tg61°+tg121°+tg5°+tg65°+tg125°+tg9°+tg69°+tg129°+…+tg57°+tg117°+tg177°=3tg3°+tg15°+tg27°+…+tg171°=3tg3°+tg63°+tg123°+tg15°+tg75°+tg135°+…+tg51°+tg111°+tg171°=9tg9°+tg45°+tg81°+tg117°+tg153°=91+tg9°+ctg9°-tg27°-tg63° болно.Энд tg9°+ctg9°-tg27°-tg63° нь 81-р бодлогоор 4-тэй тэнц??.Иймдtg1°+tg5°+tg9°+…+tg177°=91+4=45 98. lg2?tg1°+lg22?tg2°+lg23?tg3°+…+lg?(289?tg89°)lgsin45°илэрхийллийн утгыг олНэг талаас lg2?tg1°+lg22?tg2°+lg23?tg3°+…+lg289?tg89°=lg2+lgtg1°+2lg2+lgtg2°+3lg2+lgtg3°+…+89lg2+lgtg89°=1+2+3+…+89lg2+lgtg1°?tg2°?…?tg89°=4005?lg2+lgtg1°?ctg1°?tg2°?ctg2°?…?tg45°=4005lg2+lg1=4005lg2 Н?г?? талаас lgsin45°=lg22=12lg2-lg2=-12lg2 тул lg2?tg1°+lg22?tg2°+lg23?tg3°+…+lg?(289?tg89°)lgsin45°=4005lg2-12lg2=-801099. cos235°+cos225°-cos25°илэрхийллийн утгыг олcos235°+cos225°-cos25°=1+cos70°2+1+cos50°2-cos25°=1+12sin20°+sin40°-cos25°=1+122cos25°-1-cos25°=12100. 12sin10°-2sin70°илэрхийллийн утгыг ол 12sin10°-2sin70°=1-4sin10°cos20°2sin10°=1-4?12(sin30°-sin10°)2sin10°=2sin10°2sin10°=1101. 1+cos40°+cos80°sin80°+sin40°?tg40° илэрхийллийн утгыг ол 1+cos40°+cos80°sin80°+sin40°?tg40°=1+cos80°+cos40°sin80°+sin40°?tg40°=2cos240°+cos40°2sin40°cos40°+sin40°?tg40°=cos40°(2cos40°+1)sin40°(2cos40°+1)?sin40°cos40°=1102. 2(sin2β+2cos2β-1)cosβ-sinβ-cos3β+sin3β=cosecβ батал2(sin2β+2cos2β-1)cosβ-sinβ-cos3β+sin3β=2(sin2β+cos2β)2sin2β?sinβ+2cos2β?sinβ=2(sin2β+cos2β)2sinβ(sin2β+cos2β)=cosecβ103. 3-4cos4β+cos8β=8sin42β батал 3-4cos4β+cos8β=. 3-41-2sin22β+2cos24β-1=-2+8sin22β+21-2sin22β2=-2+8sin22β+2-8sin22β+8sin42β=8sin42β 104. tg2α+ctg2α+tg6α+ctg6α=8cos24αsin12αбаталtg2α+ctg2α+tg6α+ctg6α=sin2αcos2α+cos2αsin2α+sin6αcos6α+cos6αsin6α=sin8αcos2α?cos6α+sin8αsin2α?sin6α=sin8α(cos2α?cos6α+sin2α?sin6α)sin2α?cos2α?sin6α?cos6α=sin8α?cos4α14sin4α?sin12α=8sin4α?cos24αsin4α?sin12α=8cos24αsin12α105. 2sinβ+π3sinβ+π6+cos5π62sin2β+π3-3cos2β=1 батал2sinβ+π3sinβ+π6+cos5π62sin2β+π3-3cos2β=2?12(cosπ6-cosπ2+2β+cos?(π-π6))2sin2β?cosπ3+2cos2β?sinπ3-3cos2β=cosπ6+sin2β-cosπ6sin2β+3cos2β-3cos2β=1106. sin3β?sin3β+cos3β?cos3β=cos32β баталsin3β=3sinβ-sin3β4cos3β=3cosβ+cos3β4томъёонуудыг ашиглавал sin3β?sin3β+cos3β?cos3β=3sinβ-sin3β4?sin3β+3cosβ+cos3β4 ?cos3β=34sinβ?sin3β+cosβ?cos3β+14cos23β-sin23β=34?cos2β+14cos6β=143cos2β+4cos32β-3cos2β=cos32β107. sin22x-y+sin2y+2sin2x-ycos2x?siny=sin22x баталsin22x-y+sin2y+2sin2x-ycos2x?siny=sin2x-y(sin2x-y+2cos2x?siny)+sin2y=sin2x-ysin2x-y+sin2x+y-sin2x-y+sin2y=sin2x-ysin2x+y+sin2y=12cos2y-cos4x+sin2y=121-2sin2y-1+2sin22x+sin2y=sin22x108. sin22,5β-sin21,5βcos3β?cos2β+sin4β?sinβ=4sin2β баталsin22,5β-sin21,5βcos3β?cos2β+sin4β?sinβ=sin2,5β+sin1.5β(sin2,5β-sin1.5β)12cos5β+cosβ+12(cos3β-cos5β)=22sin2β?cosβ2(2cos2β?sinβ2)cosβ+cos3β=22sin2βcos2β(2sinβ2cosβ2)2cos2βcosβ=2sin2β?sinβcosβ=4sin2β?cosβcosβ=4sin2β109. sin4α+cos4α-1sin6α+cos6α-1=23баталsin4α+cos4α-1sin6α+cos6α-1=1-2sin2αcos2α-11?1-3sin2αcos2α-1=-2sin2αcos2α-3sin2αcos2α=23110. 1sin2αsin?(60°-2α)sin?(60°+2α)=4sin6αбатал 70-р бодлого ёсоор sin2αsin60°-2αsin60°+2α=sin6α4тул эндээс батлах з?йл шууд гарна.111. cos6α-cos7α-cos8α+cos9αsin6α-sin7α-sin8α+sin9α=ctg15α2 батал. cos6α+cos9α-(cos7α+cos8α)sin6α+sin9α-(sin7α+sin8α)=2cos15α2?cos3α2- 2cos15α2? cosα22sin15α2?cos3α2-2sin15α2?cosα2=2cos15α2?(cos3α2-cosα2)2sin15α2?(cos3α2-cosα2)=ctg15α2112. ctg(270°-2α)+ctg(210°-2α)+ctg(150°-2α)=3tg6αбатал ctg(270°-2α)+ctg(210°-2α)+ctg(150°-2α)=tg2α+ctg90°+60°-2α=tg2α-tg120°-2α-tg60°-2α=tg2α-tg120°-tg2α1+tg120°?tg2α-tg60°-tg2α1+tg60°?tg2α= tg2α--ctg30°-tg2α1-ctg30°?tg2α-tg60°-tg2α1+tg60°?tg2α = tg2α+3+tg2α1-3tg2α+tg2α-31+3tg2αЭнд 97-р бодлого дээр гаргасан томъёоны гаргалгааг хэрэглэвэл 3tg6α113. ctgπ4+α?1+cos2α-π2?cos-12α+2cos4α-2π=sin6αsin2αбаталctgπ4+α(1+sin2α)cos2α+2cos4α=cosπ4+α(1+sin2α)sin?(π4+α)?cos2α+2cos4α=2cos4α+1=21-2sin22α+1=3-4sin22α=3sin2α-4sin32αsin2α=sin6αsin2α114. 8cos4α-4cos3α-8cos2α+3cosα+1=-2sin7α2?sinα2батал8cos4α-8cos2α?4cos3α-3cosα+1=8cos2αcos2α-1-cos3α+1=-2?4?sin2αcos2α-cos3α+1=-2sin22α-cos3α+1=-cos3α+1-2sin22α=cos4α-cos3α=-2sin7α2?sinα2115. cosα+βcosγ+cosα+cosβ+cosγ-sinα+β?sinγ=4cosα+β2?cosβ+γ2?cosγ+α2баталНэг талаас: cosα+βcosγ-sinα+β?sinγ+cosα+cosβ+cosγ=cosα+β+γ+cosα+cosβ+cosγ Н?г?? талаас: 4cosα+β2?cosβ+γ2?cosγ+α2=2?cosα+2β+γ2+cosα-γ2cosα+γ2=2cosα+2β+γ2?cosα+γ2+2cosα-γ2?cosα+γ2 болно. 116. α+β+γ=π бол ctgβ+cosγcosα?sinβ=ctgγ+cosβcosα?sinγбатал. α=π-β+γ тул cosα=-cosβ+γИймд cosβcosα?sinγ-cosγcosα?sinβ=sinβcosβ-sinγcosγcosα?sinβ?sinγ= 12(sin2β-sin2γ)cosα?sinβ?sinγ=sinβ-αcosβ+γcosα?sinβ?sinγ=-sinβ-αcosβ+γcos?(β+α)?sinβ?sinγ=sinγ-βsinβ?sinγ=sinγcosβsinβ?sinγ-cosγ?sinβsinβ?sinγ=ctgβ-ctgγ тул ctgγ-ctgβ+cosβcosα?sinγ-cosγcosα?sinβ=0 болно. 117. α+β+γ=π бол sinα+sinβ+sinγ=4cosα2cosβ2cosγ2 батал γ=π-α+βтул sinγ=sinα+β Иймд:sinα+sinβ+sinγ=sinα+sinβ+sinα+β=2sinα+β2cosα-β2+2sinα+β2cosα+β2=2sinα+β2cosα-β2+cosα+β2=2sinπ2-γ2?2cosα2cosβ2=4cosα2cosβ2cosγ2118. α+β+γ=π бол cosα+cosβ+cosγ=1+4sinα2sinβ2sinγ2батал cosα+cosβ+cosγ-1=2cosα+β2cosα-β2-2sin2γ2=2cosα+β2cosα-β2-2sin2γ2=2cosα+β2cosα-β2-2sin2π2-α+β2=2cosα+β2cosα-β2-2cos2α+β2=2cosα+β2?cosα-β2-cosα+β2=2sinγ2?2?sinα2?sinβ2=4sinα2sinβ2sinγ2119. α+β+γ=π бол cos2α+cos2β+cos2γ+4cosα?cosβ?cosγ+1=0 гэж батал cos2α+cos2β+cos2γ+1=2cosα+βcosα-β+2cos2γ=-2cosγ?2cosα?cosβ=-4cosα?cosβ?cosγ120. α+β+γ=π бол sin22α+sin22β+sin22γ+2cos2α?cos2β?cos2γ=2 батал sin22α+sin22β+sin22γ-2=1-cos4α2+1-cos4β2+1-cos4γ2-2=-121+cos4α+cos4β+cos4γ=-(cos22α+cos?(2β+2γ)?cos2β-2γ)=-cos2αcos2α+cos2β-2γ=-cos2α?2cosα+β-γ?cosα-β+γ=-2cos2α?cos2β?cos2γ болно.Иймд sin22α+sin22β+sin22γ+2cos2α?cos2β?cos2γ=2 121. sinβ+sinγ-sinα?(sinγ+sinα-sinβ)4sinα?sinβ=sin2γ2батал (энд α+β+γ=π болно)sinβ+sinγ-sinα(sinγ+sinα-sinβ)4sinα?sinβ=sin2γ-(sinα-sinβ)24sinα?sinβ= 12-1-cos2γ+cos2α+cos2β+2sinα?sinβ4sinα?sinβ=-cos2γ-cosγ?cosα-β+2sinα?sinβ4sinα?sinβ=2sinα?sinβ(1-cosγ)4sinα?sinβ=2sinα?sinβ(1-cosγ)4sinα?sinβ=1-cosγ2=sin2 γ2 122. α+β+γ=π бол cosαsinβ?sinγ+cosβsinα?sinγ+cosγsinα?sinβ=2 баталcosαsinβ?sinγ+cosβsinα?sinγ+cosγsinα?sinβ=sin2α+sin2β+sin2γ2sinα?sinβ?sinγ=sin2α+sin2β-sin?(2α+2β)2sinα?sinβ?sinγ=2sinα+βcosα-β-2sinα+βcosα+β2sinα?sinβ?sinγ=2sinα+βcosα-β-cosα+β2sinα?sinβ?sinγ=2sinα?sinβ?sinγsinα?sinβ?sinγ=2 123. sin2α+sin2β-2?sinα?sinβ?cosα-β=sin2α-β батал sinα-β=sinα?cosβ-cosα?sinβ тул sin2α-β=sin2α1-sin2β-2sinα?cosα?sinβ?cosβ+sin2β1-sin22=sin2α+sin2β-sin2α?sin2β+2sinα?cosα?sinβ?cosβ+sin2β?sin2α=sin2α+sin2β-2sinα?sinβ?cosα?cosβ+2sin2α?sin2β=sin2α+sin2β-2sinα?sinβcosα?cosβ+sinα?sinβ=sin2α+sin2β-2sinα?sinβ?cosα-β124. α≠πk k?z ?ед cosα?cos2α?cos4α…?cos2nα?ржвэрийг ол. cosα?cos2α?cos4α…?cos2^n α=(2sinα?cosα?cos2α?…?cos2^n α)/2sinα=(sin2α?cos2α?cos4α?…?cos2^n α)/2sinα=…=12n+1?sin2n+1αsinα125. S=sinα+sin2α+…+sinnα нийлбэрийг ол Хэрэв α=πkбол sinπk+sin2πk+…+sinnπk=0 α≠πk байг.Тэнцэтгэлийн 2 талыг sinα2≠0-ээр ?рж??лж синусуудийн ?ржвэрийг нийлбэрт шилж??лдэг томъёог нэмэгдэх??н б?лэгт хэрэглэвэлs?siny2=sinα?sinα2+sin2α?sinα2+sin4α?sinα2+…+sinnα?sinα2=12cosα2-cos3α2+12cos3α2-cos5α2+…+12cos2n-3α2-cos2n-1α2+12cos2n-1α2-cos2n+1α2=12cosα2-cos2n+1α2=sin(n+1)α2?sinnα2тул S=sin(n+1)α2?sinnα2sinα2126. 12tgα2+14tg4α+…+12ntgα2n=12nctgα2n-ctg2 батал эхлээд дараах томъёо батлая:tgα-ctgα=sinαcosα-cosαsinα=-cos2∝-sin2αsinαcosα= -2cos2αsin2α=-2ctg2α батлах адилтгалын з??н гар талаас 12nctgα2n - г хасаж, дээр баталгах томъёог n удаа хэрэглэеараас нь урагш12tgα2+14tgα4+…+12n-1tgα2n-1+12ntgα2n-12nctgα2n=12tgα2+14tgα4+…+12n-1tgα2n-1+1/2^n (tg α/2^n -ctg α/2^n )=1/2 tg α/2+1/4 tg α/4+…+1/2^(n-1) tg α/2^(n-1) -1/2^(n-1) ctg α/2^(n-1) =…=1/2 tg α/2+1/4 tg α/4-14ctgα4=12tgα2+14tgα4-ctgα4=12tgα2-12ctgα2=12tgα2-ctgα2=-ctgα 127. ∝-хурц ?нц?г байхад sinα+2sin2α+3sin3α+4sin4+…тоон дараалалын нийлбэрийг ол S=sinα+2sin2α+3sin3α+…1гэе.2 талыг sinα ?рж??лбэлS sinα=sin2α+2sin3α+3sin4α+… 2болно.1-с 2-г хасвал S1-sinα=sinα+sin2α+sin3α+sin4α+…болно Энэ нь α-хурц ?нц?г тул 0<q=sinα<1 хуваарьтай т?гс??г?й буурах геометр прогрессийн нийлбэр байна.Иймд S1-sinα=sinα1-sinα эндээс S=sinα(1-sinα)2128.α-хурц ?нц?г болsinα+3sin2α+5sin3α+7sin4α+… тоон дарааллын нийлбэрийг ол. S=sinα+3sin2α+5sin3α+… гэе. Эндээс Ssinα=sin2α+3sin3α+5sin4α+… эндээс S1-sinα=sinα+2sin2α+2sin3α+2sin4α+…=sinα+2sin2α1-sinα=sinα+sin2α1-sinαтул S=sinα+sin2α(1-sinα)2129. α-хурц ?нц?г бол cosα-2cos2α+3cos3α-4cos4α= тоон дарааллын нийлбэрийг ол. S=cosα-2cos2α+3cos3α-4cos4α+…гэвэл Scosα=cos2α-2cos3α+3cos4α-4cos5α+…болно.Эндээс Scosα+1=cosα-cos2α+cos3α-cos4α+…=cosα1+cosαтул S=cosα(1+cosα)2болно. 130. sinα?sin2α2+2sinα2?sin2α4+4sinα4?sin2α8+…+2n-1sinα2n-1?sin2α2n нийлбэрийг ол sinα?sin2α2+=sinα?1-cosα2=12sinα-14sin2α тул S=12sinα-14sin2α +212sinα2-12sinα+412sinα4-14sinα2+812sinα8-14sinα4+…+2n+112sinα2n-1-14sinα2n=12sinα-14sin2α+2?12sinα2-2?14sinα+4?12sinα4-2n-1?14sinα2n-2=2n-2sinα2n-1-14sin2α 131. 1sin2°+1sin4°+1sin8°+…+1sin1048576°нийлбэрийг ол 1sin2α=sin2α-αsinα?sin2α=sin2α?cosαsinα?sin2α-cos2α?sinαsinα?sin2α=ctgα-ctg2α тул 1sin2°+1sin4°+1sin8°+…+1sin1048576°=ctg1°-ctg2°+ctg2°-ctg4°+ctg4°-ctg8°+…+ctg524288°-ctg1048576°=ctg1°-ctg1048576° 132.хэрэв 0<α<π2012 бол 1cosα?cos2α+1cos2α?cos3α+1cos3α?cos4α+…+1cos1000α?cos1001αнийлбэрийг ол 1cosα?cos2α+1cos2α?cos3α+1cos3α?cos4α+…+1cos1000α?cos1001α=1sinαsinαcosα?cos2α+sinαcos2α?cos3α+sinαcos3α?cos4α+…+sinαsin1000α?sin1001α н?г?? талаас tgnα-tgn-1α=sinnαcosnα-sinn-1αcosn-1α=sinnα?cosn-1α-sinn-1α?cosnαcosn-1α?cosnα=sinnα-nα+αcosn-1α?cosnα=sinαcosn-1α?cosnαтул sinαcosn-1α?cosnα=tgnα-tgn-1α томъёог дээрх нэмэгдэх??н б?лэгт хэрэглэвээс 1sinαsinαcosα?cos2α+1cos2α?cos3α+1cos3α?cos4α+…+1cos1000α?cos1001α=1sinαtg2α-tgα+tg3α-tg2α+…+tg1001α-tg1000α=1sinαtg1001α-tgα=1sinαsin1001αcos1001α-sinαcosα=1sinα?sin1000αcos1001α?cosα=2sin1000αcos1001α?sin2α133. Хэрэв tgα=12 бол 2sin2α-4sinα?cosα+17sinα?cosα+4cos2α-1илэрхийллийн утгыг ол. 2sin2α-4sinα?cosα+17sinα?cosα+4cos2α-1=3sin2α-4sinα?cosα+cos2α7sinα?cosα+3cos2α-sin2α=3tg2α-4tgα+17tgα+3-tg2α=3?14-4?12+17?12+3-14=-125134. Хэрэв tgα=13бол 2sin4α-3sin2α+13+cos2α-2cos4αилэрхийллийн утгыг ол. 2sin4α-3sin2α+13+cos2α-2cos4α=2sin4∝-3sin2∝+(cos2∝+sin2∝)23?cos2α+sin2α2+cos2α-2cos4α=3sin4α-3sin2α+cos4α+2sin2α?cos2αcos4α+6sin2α?cos2α+3sin4α+cos2α-2cos4α=3sin4α-3sin2α+cos4α+2sin2α1-sin2αcos4α+6sin2α?cos2α+3sin4α+cos2α=sin4α-sin2α+cos4α-5cos4α+7cos2α+3sin4α=tg4α-tg2α?1cos2α+13tg4α-5+7cos2α болно.Энд cos2α=1+tg2α тул 2sin4α-3sin2α+13+cos2α-2cos4α=tg4α-tg2α1+tg2α+13tg4α-5+71+tg2α=1-tg2α3tg4α+7tg2α+2=1-193?181+7?19+2=619135. tgα=23?едsinα-2cosαcos3α-3sin3αилэрхийллийн утгыг ол sinα-2cosαcos3α-3sin3α=sinα-2cosα(sin2α+cos2α)cos3α-3sin3α=sin3α-2cosα?sin2α+cos2α?sinα-2cos3αcos3α-3sin3α=tg3α-2tg2α+tgα-21-3tg3α=tgα-2(tg2α+1)1-3tg3α=23-2(49+1)1-3?827=-1713136. tgα=0.6 ?ед(sinα+cosα)3+2(sinα-cosα)(sinα-cosα)3-7(sinα+cosα)илэрхийллийн утгыг ол (sinα+cosα)3+2(sinα-cosα)(sinα-cosα)3-7(sinα+cosα)=(sinα+cosα)3+2sinα-cosαsin2α+cos2α(sinα-cosα)3-7sinα+cosαsin2α+cos2α=tgα+13+2tgα-1tg2α+1tgα-13-7tgα+1tg2α+1=-47239137. sinα-cosα=a, sin3α-cos3α=b бол x,y-г зайлуулж, a,b-н холбоог тогтоо sinα-cosα=a a2=1-2sinα?cosαsinα?cosα=1-a22b=sin3α-cos3α=sinα-cosα?1+sinα?cosα=a?1+1-a22=a2?3-a22b=a3-a2138.asinα+bcosα=acosα-bsinα=c бол a,b,c-н холбоог тогтоо ?г?гдс?н н?хцл??с: a2sin2α+2absinα?cosα+b2cos2α=c2a2cos2α-2absinα?cosα+b2sin2α=c2эдгээрийг баруун, з??н талаар нь нэмбэл a2+b2=2c2 болно. 139.sinα-cosα=a tgα-ctgα=bбол a,b-н холбоог тогтоо B=tgα-ctgα=sin2α-cos2αsinα?cosα=sinα-cosαsinα+cosαsinα?cosα=a?sinα+cosαsinα?cosα sinα-cosα=a1-2sinα?cosα=asinα?cosα=1-a22н?г?? талаас (sinα+cosα)2=1+2sinα?cosα=1+2?1-a22=2-a2тул sinα+cosα=2-a2 иймд b=2a?2-a21-a2140. tgα+ctgα=a 1sinα+1cosα=b бол a,b-н холбоог тогтоо a=tgα+ctgα=sinαcosα+cosαsinα=1sinα?cosαsinα?cosα=1aн?г?? талаасb2=1sin2α+1cos2α+2sinα?cosα=1+ctg2α+1+tg2α+2sinα?cosα=2+(tgα+ctgα)2-2+2sinα?cosα=(tgα+ctgα)2+2sinα?cosα=a2+2a тул b2=a2+2a141.sinα-cosα=a sin3α+cos3α=b бол a,b-н холбоог тогтоо b=sinα+cosα1-sinα?cosα=sinα+cosα1-1-a22н?г?? талаас (sinα+cosα)2=(sinα-cosα)2+4sinα?cosα=a2+4?1-a22тулsinα+cosα=a2+21-a2=2-a2иймд b=2-a2?1+a222b=a2+12-a2 142. sinα-cosα=a tg2α+ctg2α=b бол a,b-н холбоог тогтоо b=sin4α+cos4αsin2α?cos2α=1-2sin2α?cos2αsin2α?cos2α-2=41-a22-2b=41-a22-2143. sin3αcosα+cos3αsinα=a sinαcos3α+cosαsin3α=b бол a,b-н холбоог тогтоо a=sin4α+cos4αsinα?cosα b=sin4α+cos4αsin3α?cos3α тулab=sin2α?cos2αsinα?cosα=ab144. sinαcos2α+cosαsin2α=a tgα+ctgα=b бол a,b-н холбоог тогтоо b=sinαcosα+cosαsinα=1sinα?cosαsinα?cosα=1b a=sin3α+cos3αsin2α?cos2α=sinα+cosα(1-sinα?cosα)sin2α?cos2α=1+2sinα?cosα(1-sinα?cosα)sin2α?cos2α=b21+2b1-1ba=b-1b2+2b145.sinα+cosα=a sin2α+cos2α=b бол a,b-н холбоог тогтоо ?г?гдс?н н?хцл??с a2=1+sin2αsin2α=a2-1 иймд cos2α=1-a2-12=2a2-a4=a?2-a2тул b=a2-1+a2-a2146.sinα+cosα=a sin3α+cos3α=b бол a,b-н холбоог тогтоо sin3α=3sinα?cos2α-sin3α cos3α=cos3α-3cosα?sin2α тул b=3sinα?cos2α-sin3α+cos3α-3cosα?sin2α=cosα-sinα1+4sinα?cosα ба sinα?cosα=a2-12cosα-sinα=(cosα+sinα)2-4sinα?cosα=a2-2a2-1=2-a2 иймд b=2-a21+2a2-1=2a2-12-a2147.хэрэв tg2α=2tg2β+1 бол cos2α+sin2β=0 батал tg2α+1=2tg2β+2=2tg2β+11cos2α=2cos2βcos2β=2cos2αcos2β-1=2cos2α-1-sin2β=cos2αcos2α+sin2β=0 148.хэрэв cosαp=sinαq бол pcos2α+qsin2α=p батал ?г?гдс?н н?хц?л ёсоор psinα=qcosαsinα=qpcosα q2p2cos2α+cos2α=1cos2αq2+p2p2=1cosα=pp2+q2тул sinα=qp2+q2иймд pcos2α+qsin2α=pcos2α-sin2α+2qsinα?cosα=p?p2-q2p2+q2+2q?pqp2+q2=p3-pq2+2pq2p2+q2=pp2-q2+2q2p2+q2=pp2+q2p2+q2=p 149. Хэрэв acosα=bcosy бол ctgα+y2?ctgα-y2=a+ba-bбатал ?г?гдс?н н?хц?л ёсоор cosα=ba cosy=abиймд cosα+cosγcosγ-cosα=a+ba-b тэгвэл ctgα+y2ctgα-y2=2cosα+y2?cosα-y22sinα+y2?sinα-y2=cosα+cosycosy-cosα=a+ba-b150.хэрэв atgα+btgβ=a+btgα+β2бол acosβ=bcosα болохыг батал ?г?гдс?н н?хцл??с atgα-tgα+b2-btgα+β2-tgβ=0asinαcosα-sinα+β2cosα+β2-bsinα+β2cosα+β2-sinβcosβ=a?sinα-β2cosα?cosα+β2-b?sinα-β2cosβ?cosα+β2=0sinα-β2a?cosβ-bcosαcosα?cosβ?cosα+β2=0acosα-bcosβ=0acosβ-bcosα=0?ргэлжлэл 28-р н??рнээс151.Хэрэв sin4αa+cos4αb=1a+bбол sin8αa3+cos8αb3=1a+b3батал sin4αa+1-sin2α2b=1a+ba+bb?sin4α+1-2sin2α+sin4αaa+b=abab+b2sin4α+a2+ab-2aa+bsin2α+a2+absin4α=aba+b2sin4α-2aa+bsin2α+a2=a+bsin2α-a2=0sin2α=aa+b??ний адиалаар cos2α=ba+b гэж олж болно.Иймд sin8αa3+cos8αb3=sin2α4a3+cos2α4b3=a4a+b4a3+b4a+b4b3=1a+b3152. Хэрэв sinαa=sin2αb=sin3αc=sin4αd бол a+cb=b+dc болохыг батал ?г?гдс?н н?хцлийг sinα=at sin2α=bt sin3α=ct sin4α=dt гэж бичиж болно.Иймд a+cb=at+ctbt=sinα+sin3αsin2α=2sin2α?cosαsin2α=2cosα 1 н?г?? талаас b+dc=bt+dtct=sin2α+sin4αsin3α=2sin3α?cosαsin3α=2cosα 2(1)(2)a+cb=b+dcболно. 153. Хэрэв sinαx=sin3αy=sin5αzбол x-2y+zy=y-3xxболохыг батал Н?хц?л ёсоор sinα=tx sin3α=ty sin5α=tz нэг талаас x-2y+zy=sinαt-2?sin3αt+sin5αtsin3αt=sinα-2sin3α+sin5αsin3α=2sin3α?cos2α-2sin3αsin3α=2cos2α-2 н?г?? талаас y-3xα=sin3α-3sinαsinα=3sinα-4sin3α-3sinαsinα=-4sin2α=-41-cos2α=4cos2α-4=22cos2α-1-2=2cos2α-2 тул x-2y+zy=y-3xx154. Хэрэв tgα ба tgβ кв α2+pα+q=0 тэгшитгэлийн шийд??д бол sin2α+β+psinα+βcosα+β+qcos2α+β илэрхийлэл p-ээс хамаарахг?й баталВиетийн теором ёсоор tgα+tgβ=-p tgα?tgβ=q тул tgα+β=tgα+tgβ1-tgα?tgβ=-p1-q=pq-1иймд sin2α+β+p?sinα+βcosα+β+qcos2α+β=cos2α+β?tg2α+β+ptgα+β+q=11+tg2α+βp2q-12+p2q-1+q=11+p2q-12?p2+p2q-1+qq-12q-12=p2+p2q-p2+qq-12q-12+p2=q 155. Хэрэв α,β,γнь арифметикийн прогресс ??сгэдэг бол sin?(α+β)sinα-β-sin?(β+γ)sin?(β-γ)=2cos2β батал.Хэрэв α-β=x α+γ=2β иймд:sinα+βsin?(α-β)-sin?(β+γ)sin?(β-γ)=sinα+β-sin(β+γ)sinα=2cos2β?sin?(α-γ2)sinα=2cos2β?sinαsinα=2cos2β 156. ABC △-ы хувьд дараах адилтгалыг батал. a-ba+b=tgA-B2tgA+B2синус??дийн теоромоор a=2RsinA b=2RsinB тул a-ba+b=2RsinA-2RsinB2RsinA+2RsinB=sinA-sinBsinA+sinB=2sinA-B2cosA+B22sinA+B2?cosA-B2=tgA-B2tgA+B2157. ABC △-ы хувьд b+ccosA+a+ccosB+a+bcosC=2p батал lefttopABC△-ы ?ндр??дийг татав a=BQ+QC=ccosB+bcosCb=AW+WC=ccosA+acosCc=AE+EB=bcosA+acosBэдгээрийг нэмбэлa+b+c=2p=bcosA+ccosA+acosB+ccosB+acosC+bcosC=(b+c)cosA+(a+c)cosB+(a+b)cosC 158. ABC △-ыхувьд sin2Aa2=cosA?cosBab+cosA?cosCac+cosB?cosCbccosA?cosBab+cosA?cosCac+cosB?cosCbc-д absinC=2s acsinB=2s bcsinA=2s-г хэргэвэл cosA?cosBab+cosA?cosCac+cosB?cosCbc=cosAcosBsinC2s+cosAcosCsinB2s+cosBcosCsinA2s=cosA(cosBsinC+cosCsinB)2s+cosBcosCsinA2s=cosA?sinB+C+cosBcosCsinA2s=cosA?sinπ-A+cosBcosCsinA2s=sinAcosπ-B+C+cosBcosC2s=sinA(-cos(B+C))+cosBcosC2s=sinA(-cosBcosC+sinBsinC+cosBcosC)2s=sinA?sinB?sinC2s=sinAsinBsinCa2?sinBsinCsinA=sin2Aa2159. Аливаа △-ы?нцг??дийн хувьд cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=sin2A батал cos2B+cos2C-sin2A=-2cosAcosBcosC болохыг батлая cos2B+cos2C-sin2A=cos2B+cos2A+B-sin2A=cos2B+cos2Acos2B-2cosAcosB?sinAsinB+sin2A?sin2B-sin2A=cos2B+cos2Acos2B+sin2A1-cos2B-sin2A-2cosAcosB?sinAsinB=cos2B+cos2Acos2B+sin2A-sin2Acos2B-sin2A-2cosAcosBsinAsinB=cos2B+cos2Acos2B-1-cos2Acos2B-2cosAcosBsinAsinB=cos2B+cos2Acos2B-cos2B+cos2Acos2B-2cosAcosBsinAsinB=2cos2Acos2B-2cosAcosBsinAsinB=2cosAcosBcosAcosB-sinAsinB=2cosAcosB?cosA+B=-2cosAcosBcosC 160. ABC △-ыхувьд asin(B-C)+Bsin(C-A)+C?sinA-B=0 баталasinB-C+BsinC-A+C?sinA-B=2RsinAsinBcosC-sinAsinCcosB+sinBsinCcosA-sinBsinAcosC+sinAsinCcosB-sinBsinCcosA=0 161. ABCD 4 ?нц?гтийн хувьд sinA+sinB+sinC+sinD=4sinA+B2sinA+C2sinB+C2батал sinA+sinB+sinC+sinD=sinA+sinB+sinC-sin(A+B+C)=2 sinA+B2cosA-B2-2 sinA+B2cosA+B+2C2=2sinA+B2cosA-B2-cosA+B+2C2=4sinA+B2sinA+C2sinB+C2162. ABCD 4 ?нц?гтийн хувьд sinA-sinB+sinC-sinD=4cosA+B2sinA+C2cosB+C2батал sinA-sinB+sinC-sinD=sinA-sinB+sinC+sinA+B+C=2cosA+B2sinA-B2+2sinA+B+2C2?cosA+B2=2cosA+B2sinA-B2+sinA+B+2C2=4cosA+B2?sinA+C2cosB+C2163. Эерэг x,y,z тоонуудын хувьд tg(lgxy)+tg(lgyz)+tg(lgzx)=tg(lgxy)?tg(lgyz)?tg(lgzx) тэнцэтгэл биелэхийг батал.lgxy=α lgyz=β lgzx=γ гэвэл ?г?гдс?н тэнцэтгэл tgα+tgβ+tgγ=tgα?tgβ?tgγ хэлбэртэй болно.??нийг tgα+tgβ+tgγ-tgα?tgβ?tgγ=0 хэлбэртэй бичвэл tgα+tgβ+tgγ1-tgβ?tgγ=0tgα+tgβ1-tgβ?tgγ+tgγ=0tgα+β+tgγ=0sinα+β+γcos?(α+β)cosγ=0sinα+β+γ=0α+β+γ=πk тул ?г?гдс?н тэнцэтгэл биелнэ. 164. 3°,21°,39°,57°,…?нцг??д арифметикийн прогресс ??сгэж байв.Энэ прогрессийн дурын дараалсан 10 гиш??ний синус??дийн ?ржвэр 11024 тэнц?? болохыг батал sin180°+α=-sinα ба ?нцг??д дэс дараалан 18°-р ?с?х тул дараалласан гиш??дийн утгууд модулиараа 10 ?етэйгээр ??рчл?гд?н?. Иймд эхний 10 гиш??нийг авч ?зэхэд хангалттай. Иймээс sin3°?sin21°?sin39°?sin57°?sin75°?sin93°?sin111°?sin129°?sin147°?sin165°-г олъё.Энд sin3α=4sinα?sin60°-αsin60°+αcos3α=4cosα?cos60°-αcos60°+αтомъёонуудыг хэрэглэе. sin3°?sin21°?sin39°?sin57°?sin75°?sin93°?sin111°?sin129°?sin147°?sin165°=4sin3°?sin57°?sin63°4sin63°?4sin21°?sin39°?sin81°4sin81°?4sin27°?sin147°?sin93°4sin27°?2sin75°?sin165°2?4sin9°?sin111°?sin129°4sin9°=sin9°4sin63°?sin63°4sin81°?sin30°2?sin81°4sin27°?sin27°4sin9°=145=11024165. sin3α1+ctgα+cos3α1+tgα<m4+1m2 болохыг батал. 1+ctgα=sinα+cosαsinαтул sin3(sinα+cosα)sinα=sin2αsinα+cosα болно.??ний адил cos3α1+tgα=cos2αsinα+cosαтул sin3α1+ctgα+cos3α1+tgα=sinα+cosα болно.Н?г?? талаас m4+1m2=m2+1m2≥2m2?1m2=2m2+1m2≥2. ба Sinα+cosα≤2 тул sin3α1+ctgα+cos3α1+tgα=sinα+cosα≤2≤m4+1m2166. Хэрэв α-хурц ?нц?г бол 12<sinα1+sinα+cosα1+cosα<67 батал Нэг талаас sinα1+sinα+cosα1+cosα-12=2sinα+2sinα?cosα+2cosα+2sinα?cosα21+sinα(1+cosα)-1+sinα+cosα+sinα?cosα21+sinα(1+cosα)=sinα+cosα-1+3sinαcosα21+sinα(1+cosα) болно.Энд α-хурц ?нц?г тул sinα+cosα>1 тул sinα+cosα-1+3sinαcosα21+sinα(1+cosα)>0 байна.Н?г?? талаас 67-sinα1+sinα+cosα1+cosα=6-sinα+cosα-8sinαcosα71+sinα(1+cosα)болно. α-хурц ?нц?г тул sinα+cosα<2 8sinαcosα=4sin2α<4 тул 6-sinα+cosα-8sinαcosα>0 тул 6-sinα+cosα-8sinαcosα71+sinα(1+cosα)>0 байна 167. 0,4≤sin4α1+sin4α+cos4α1+cos4α≤0,5 батал Нэг талаасsin4α1+sin4α+cos4α1+cos4α-25=3sin4α+3cos4α-2+8sin4αcos4α51+sin4α(1+cos4α)=1+8sin4αcos4α-6sin2αcos2α51+sin4α(1+cos4α)=1-4sin2αcos2α(1-2sin2αcos2α)51+sin4α(1+cos4α)=sin2α-cos2α2(sin4α+cos4α)51+sin4α(1+cos4α)≥0 н?г?? талаас 12-sin4α1+sin4α+cos4α1+cos4α=1-sin4α-cos4α-3sin4αcos4α21+sin4α(1+cos4α)=2sin2αcos2α-3sin4αcos4α21+sin4α(1+cos4α)=sin2αcos2α(1-32sin2αcos2α)1+sin2α(1+cos2α)≥0байна. Энд 32sin2αcos2α=38sin22α≤38<1 байна. 168.1+tgα+ctgαsin2α+tgα-ctgαcos2α+tg2α-ctg2α<a4+12a2баталНэг талаас 1+tgα+ctgα1cos2α+tgα-ctgα1sin2α+tg2α-ctg2α=1+tgα+ctgα1+tg2α+tgα-ctgα1+ctg2α+tg2α-ctg2α=1+tgα+tg2αtgα1+tgα+tg2α-1tg1+tg2α=1tgα1+tg2α-11+tg2α=tgα1+tg2α=sinαcosα?1cos2α=12sin2α≤12Н?г?? талаас a4+12a2=a22+12a2=12a21+1a2≥122a2?1a2≥1тул ?г?гдс?н тэнцэтгэл биш ?нэн байна. 169. cos(3π2+α)?cos2π-x?ctgπ2-α-sinπ-xcos2π-xctg3π2-x>4y-2y2-3 баталНэг талаас cos(3π2+α)cos2π-αctgπ2-α-sinπ-αcos2π-αctg32π-x=sinα?cosα?tgα-sinα?cosα?tgα=0 н?г?? талаас 4y-2y2-3=-2y2-4y+3=-2y2+2y+1-1=-y+12-1<0 тул ?гс?н тэнцэтгэл биш ?нэн 170. sin2π2-α+sin2π+2αctg22π-α-sinα-2πcosα+π2≤x+x-2+x-1 батал sin2π2-α+sin2π+2αctg22π-α-sinα-2πcosα+π2=cos22α+sin22αtg2α+cosα?1cosα=11+tg2α=1cos2α≤1 н?г?? талаас x?-∞, 0-д –x+2-x+x-1=1-x>1 x?0, 2-т x+2-x+x-1=1+x>1x?2, +∞-д x+x-2+x-1=3x-3=3x-1>1 тул x?-∞,+∞-д x+x-2+x-1>1 иймд ?г?гдс?н тэнцэтгэл биш ?нэн 171. 0,4<sin4α1+cos4α+cos4α1+sin4α≤1 батал Нэг талаас sin4α1+cos4α+cos4α1+sin4α-25=5sin4α+5sin8α+5cos4α-5cos8α51+cos4α(1+sin4α)-2+2cos4α+2sin4α+2sin4αcos4α51+cos4α(1+sin4α)=3sin4α+5sin8α+3cos4α+5cos8α-2sin4αcos4α-251+cos4α(1+sin4α)=5(sin4α-cos4α)2+3(sin2α-cos2α)2-2(1-3sin2αcos2α-4sin4αcos4α)51+cos4α(1+sin4α)=8(sin2α-cos2α)2-21+sin2αcos2α(1-4sin2αcos2α)51+cos4α(1+sin4α)=2sin2α-cos2α2(3-sin2αcos2α)51+cos4α(1+sin4α)≥0 Н?г?? талаас 1-(sin4α1+cos4α+cos4α1+sin4α)=1-sin4α-cos4α-sin8α-cos8α1+cos4α(1+sin4α)=1-(sin4α+cos4α)2+sin4αcos4α1+cos4α(1+sin4α)=4sin2αcos2αcos4α+sin4α+5sin4αcos4α1+cos4α(1+sin4α)≥0 172. Хэрэв α-хурц ?нц?г бол 1cosα+1sinα≥22 батал 1cosα+1sinα≥21sinαcosα=22sin2α≥22173. 2sin2α+2cos2α≥22 батал 2sin2α+2cos2α≥22sin2α?2cos2α=2?2sin2α+cos2α=22174. 2sinα?3cosα<4 батал2 талыг 10 суурьтайгаар логарифмчилбал sinαlg2+cosαlg3<2lg2 болно.Н?г?? талаас asinα+bcosα≤a2+b2 тул sinαlg2+cosαlg3≤lg22+lg23<0,3012+0,482<0,34<0,6<2lg2 175. lg2≈0,301 lg3≈0,477-г тооцон tg1°+tg2°+tg3°+…+tg44°>442-1батал Хэрэв 0<α<x<45° бол tgx-α+tgx+α=sin2αcos2αcos2α-sin2αsin2α>2sinαcosαcos2α=2tgα тул tg1°+tg44°>2tg45°2 tg2°+tg43°>2tg45°2-------------------- tg22°+tg23°°>2tg45°2эдгээрийг нэмбэл tg1°+tg2°+…+tg44°>2?22tg45°2=442-1176. y=sin4α+4cos2α+cos4α+4sin2αфункцийн графикийг байгуул. sin4α+4cos2α+cos4α+4sin2α=1-cos2α2+4cos2α+1-sin2α2+4sin2α=1+cos2α+1+sin2α=3 тул y=3 шугам байна. 177. y=sin4α+cos2α+cos4α-cos2αфункцийн графикийг байгуул.Sin4α+cos2α+cos4α-cos2α=sin4α+1-2sin2α+cos4α-2cos2α-1=1-sin2α+1-cos2α=1 178. y=9-cos2α+8sinα+9-cos2α-8sinαфункцийн графикийг байгуул. 9-cos2α+8sinα+9-cos2α-8sinα=9-(1-2sin2α)+8sinα+9-(1-2sin2α)-8sinα=2(4+4sinα+sin2α)+2(4-4sinα+sin2α)=22+sinα+22-sinα=42179. y=2+sin4α-cos2α+2+cos4α+cos2αфункцийн графикийг байгуул.2+sin4α-cos2α+2+cos4α+cos2α=2+sin4α-(1-2sin2α)+2+cos4α+2cos2α-1=1+sin2α+1+cos2α=3180. y=4sin4α-2cos2α+3+4cos4x+2cos2α+3 функцийн графикийг байгуул.4sin4α-2cos2α+3+4cos4x+2cos2α+3 =4sin4α-21-2sin2α+3+4cos4x+22cos2α-1+3 =2sin2α+1+2cos2α+1=4 11-р анги 181. S=arctg13+arctg17+…+arctg1n2+n+1нийлбэрийг ол Arctgn-1-n1+nn+1=arctgn+1-arctgn-г ашиглая S=(arctg2-arctg1)+(arctg3-arctg2)+(arctg4-arctg3)+…+(arctg(n+1)-arctgn)=arctg(n+1)-arctg1=arctgn+1-11+1?n+1=arctgnn+2182. S=arctg12+arctg18+arctg118+…+arctg12n2нийлбэрийг ол tg(arctg12n-1 - arctg12n+1)=tgarctg12n-1-tg(arctg12n+1)1+tgarctg12n-1tg(arctg12n+1)=12n-1-12n+11+12n-1? 12n+1=2n+1-2n+14n2+1-1=12n2тул arctg12n2=arctg12n-1-arctg12n+1иймд S=arctg1-arctg13+arctg13-arctg15+arctg15-arctg17+…+arctg12n-1-arctg12n+1=arctg1-arctg12n+1=arctg12?1-1-12n+11+12?1-1? 12n+1=arctgnn+1183. S=arctg3+arctg7+arctg13+…+arctg(n2+n+1) нийлбэрийг ол tg(arctgk+arctg1k)=tg(arctgk)+tg(arctg1k)1-tg(arctgk)tg(arctg1k)=k+1k1-k?1k=∞ arctgk+arctg1k=π2 arctgk=π2- arctg1kиймд S=π2-arctg13+π2-arctg17+…+π2-arctg1n2+n+1=πn2-arctgnn+2(18-р бодлогыг ?з)184. tgα+tgβ+tgγ=tgα?tgβ?tgγ бол α,β,γ ?нцг??дийн хоорондын холбоог тогтоо Tgα+tgβ+tgγ-tgα?tgβ?tgγ=tgα+tgβ+tgγ(1-tgα?tgβ)=0tgα+tgβ1-tgα?tgβ+tgγ=0tgα+β+tgγ=0sinα+βcosα+β+sinαcosα=sinα+β+γcosα+βcosγ=0sinα+β+γ=0α+β+γ=πk k?z 185. cosα+cosβ+cosγ=1+4sinα2sinβ2sinγ2бол α,β,γ ?нцг??дийн хоорондын холбоог тогтооcosα,cosβ,cosγ-г давхар ?нцгийн косинусын томъёгоор задалбал 1-2sin2α2+1-2sin2β2+1-2sin2γ2-1-4sinα2sinβ2sinγ2=0 Эндээс sin2α2+sin2β2+sin2γ2-1+2sinα2sinβ2sinγ2=0(sinα2+sinβ2sinγ2)2-1+sin2β2+sin2γ2-sin2β2?sin2γ2=0(sinα2+sinβ2sinγ2)2-1-sin2β2(1-sin2γ2)=0(sinα2+sinβ2sinγ2)2-cos2β2cos2γ2=0sinα2+sinβ2sinγ2-cosβ2cosγ2(sinα2+sinβ2sinγ2+cosβ2cosγ2)=0sinγ2-cosβ+γ2sinα2+cosβ-γ2=0cosπ2-γ2-cosβ+γ2cosπ2-γ2+cosβ+γ2эндээс ±α±β±γ=π4n-1 гэж гарна 186.sin2α+sin2β+sin2γ-2=2cosαcosβcosγ бол α,β,γ ?нцг??дийн хоорондын холбоо тогтоо sin2α+sin2β+sin2γ-2-2cosαcosβcosγ=01-cos2α+1-cos2β+1-cos2γ-2-2cosαcosβcosγ=0cos2α+cos2β+cos2γ-1+2cosαcosβcosγ=0(cosα+cosβcosγ)2-1-cos2α1-cos2γ=0(cosα+cosβcosγ)2-sin2βsin2γ=0cosα+cosβcosγ-sinβsinγcosα+cosβcosγ+sinβsinγ=0cosα+cos?(β+γ)cosα+cosβ-γ=02cosα+β+γ2cosα-β-γ22cosα+β-γ2cosα-β+γ2=0α+β+γ2=π2+πk α-β-γ2=π2+πk α+β-γ2=π2+πk α-β+γ2=π2+πk±α±β±γ=π2k+1187. хэрэвtgα2tgβ2+tgα2tgγ2+tgβ2tgγ2=1 бол α,β,γ ?нцг??дийн хоорондын холбоо тогтоо tgα2tgβ2+tgα2tgγ2+tgβ2tgγ2=1tgα2tgβ2+tgγ2=1-tgβ2tgγ2tgα2?tgβ2+tgγ21-tgβ2tgγ2=1tgα2tgβ+γ2=1sinα2sinβ+γ2cosα2cosβ+γ2=1cosα2cosβ+γ2-sinα2sinβ+γ2=0cosβ+γ+α2=0β+γ+α2=π2+πkβ+γ+α=π+2πkβ+γ+α=π2k+1188. arcsin45+arccos25=arcctg211батал Батлах адилтгалын 2 талаас котангенс авбал Ctg(arcsin45+arccos25)=ctgarcsin45ctgarccos25-1ctgarcsin45+ctg(arccos25)=211н?г?? талаас ctgarcctg211=211189. x?12,1бол arccosx+arccosx2+123-3x2=π3батал x=cosyорлуулга хийвэл x2+123-3x2=12cosy+32siny=cosπ3-yболно.Иймд ?г?гдс?н адилтгалarccoscosy+arccos(cosπ3-y)=π3хэлбэртэй болно. Эндээс y+(y-π3) =π3болно. x?12,1cosy?12,1y?0,π3?ед ?г?гд?н тэнцэтгэл адилтгал болно. 190. arctg(3+22)- arctg22=π4батал ?г?гдс?н тэнцэтгэлийн 2 талаас tg авбал tg(arctg(3+22)- arctg22)=tgarctg3+22-arctg221+tgarctg3+22?arctg22=3+22-221+3+22?22=1 болно. 191. ABC △-ы ?A=?C=70°. △-ы дотор ?MAC=30° ?MCA=50° байхаар M цэг авсан бол ?MBC-г ол. lefttop?г?гдс?н н?хцл??с ?BAM=40° ?BCM=20° байна. ?MBC=x гэвэл ?MBA=40°-x синус??дийн теором ёсоор MAMB=sin(40°-x)sin40°MCMB=sinαsin20° тул MAMC=sin(40°-x)sinx?sin20°sin40° болно.Н?г?? талаас MAMC=sin50°sin30°тул sin50°sin30°=sin40°?ctgα-cos40°2cos20°4cos20°?cos40°=sin40°?ctgα-cos40°ctgα=4cos20°?cos40°+cos40°sin40°=2cos20°+cos60°+cos40°sin40°=2cos20°+1+cos40°sin40°=2cos210°+2cos10°?cos30°2sin20°?cos20°=2cos10°(cos10°+cos30°)2?2sin10°cos10°cos20°=2cos20°cos10°2sin10°cos20°=ctg10°α=10°192. адил хажуут △-ы ?ндр??дийн уртын нийлбэр нь т??нд багтсан тойргийн диаметрээс 412 дахин их бол △-ы ?нцг??дийн хэмжээг ол. Бодлогын н?хц?л ёсоор (1) BB1+AA1+CC1=92?2 OB1?ABC=180°-4α BB1=BC?sin2α AA1=AB?SIN(180°-4α)=BC?sin4αCC1=BC?SIN(180°-4α)=BC?sin4α OB1=B1C?tgα=BC?cos2α?tgα эдгээр ?р д?нг??дийг (1)-д тавьбал BC(sin2α+4sin2α?cos2α)=9BC?cos2α?tgαtg2α+4sin2α=9tgα болно.Эндээс 4?2tgα1+tg2α+2tgα1-tg2α=9tgα2 tgα≠0, tg2x=y гэвэл 2нь 9y2-6y+1=0y=13tg2x=13tgα=13α=30° 193. AM,BM,CMцацрагууд ABC△-ы талуудтай α1ба α2, β1 ба β2, γ1ба γ2?нцг??д ??сгэдэг бол sinα1?sinβ1?sinγ1=sinα2?sinβ2?sinγ2батал Синусуудийн теором ёсоор MBMA=SINα2SINβ1MCMB=SINβ2SINγ1MAMC=SINγ2SINα1sinα1?sinβ1?sinγ1=sinα2?sinβ2?sinγ2 болно. 194. з?в 4 ?нц?гт призмийн диагональ т??нтэй ер?нхий оройтой 3 талсттай 2:3:2 харьцаатай ?нцг??д ??сгэдэг бол эдгээр ?нцгийн хэмжээг ол. 1 харьцаанд ноогдох тоог α гэвэл ?C1AB1=C1AD1=2α,?C1AC1=3α болно. AB=BC=CD=AD=a BB1=AA1=CC1=DD1=b гэе. AB1=AC1?cos2α AD1=AC1?cos2α AC=AC1?cos3α эдгээрийг кв зэрэгт дэвш??лж нэмбэл 2cos22α+cos23α=2 болно.Эндээс 1+cos4x+1+cos6x2=2cos6x+2cos4x-1=0 cos2x=y гэе.Тэгвэл 4y3+4y2-3y-3=0y+14y2-3=0 y+1≠0y=322α=30°α=15° иймд 30°,30°,45° байна. 195. ABC △-ы хувьдa2+b2sinA-B=a2-b2sinA+Bбиелдэг бол ABC нь адил хажуут, эсвэл тэгш ?нц?гт△байхыг батал Синус??дийн теоромоорa=2RsinA b=2RsinB тул (a2+b2)sin(A-B)=4R2sin2A+sin2B?sinA-B(a2-b2)sin(A+B)=4R2sin2A-sin2B?sinA+Bболно. Иймд ?г?гдс?н тэнцэтгэл 4R2sin2A+sin2B?sinA-B-sin2A-sin2BsinA+B=0sin2A(sinA-B-sinA+B+sin2BsinA-B+sinA+B=0-sin2A?2?sinB?cosA+sin2B?2?sinA?cosB=2sinA?sinBsinB?cosB-sinA?cosA=sinA?sinBsin2B-sin2A=0sin2B=sin2A.Эндээс эсвэл A=Ba=b эсвэл 2A+2B=180°A+B=90°?C=90° болно. 196. Хэрэв sinA2cos2B2=sinB2cos2A2бол ABC нь адил хажуут △болохыг батал. SinA21-sin2B2=sinB21-sin2A2sinA2-sinA2sin2B2-sinB2+sinB2cos2A2=sinA2-sinB2+sinA2sinB2sinA2-sinB2=sinA2-sinB21+sinA2?sinB2=0 энд 1+sinA2?sinB2>0sinA2=sinB2?A=?B 197. ABC △-ы хувьд ?A=2α ?B=3α ?C=4α бол tg2α=2ba+c2-1 батал 2α+3α+4α=180°α=20° тул ABC △-ы ?нцг??д40°,60°,80° байна.Иймд синус??дийн теоромb=2Rsin60° a=2Rsin40° c=2Rsin80°байх тул 2b=4Rsin60. Иймд 2ba+c2-1=4Rsin60°2Rsin40°+2Rsin80°2-1=2sin60°sin40°+sin80°2-1=12sin60°?cos20°2-1=1cos220°-1=1+tg220°-1=tg220°=tg2α болно. 198. Хэрэв cosA+cosB=4sin2c2бол ABC △-ы a,b,c талууд арифметик прогресс ??сгэхийг батал ?г?гдс?н тэнцэтгэл бишийг 2cosA+B2cosA-B2=4cos2A+B2гэж бичвэл эндээс 2cosA+B2=cosA-B2болно.2 талыг sinA+B2-р ?ржвэл 2cosA+B2sinA+B2=cosA-B2sinA+B22?12sinA+B+sin0=12sinA+sinBsinA+B=12sinA+sinBsinπ-c=12sinA+sinBsinc=12sinA+sinB2?c2R=a2R+b2Rc=a+b2болно 199. Хэрэв ABC △-ы хувьд asinB+bsinA=2m тэнцэтгэл биелж байвал энэ нь адил хажуут △болохыг батал m-медианы уртh=asinB=bsinA тул asinB+bsinA=2m=2hh=m Иймд ?нд?р, медиан 2 давхцаж байгаа тул ABC нь адил хажуут △200. ABC △-ы хувьд sinAsinB+sinC-sinA+sinBsinA+sinC-sinB+sinCsinB+sinA-sinC≥3 тэнцэтгэл биш биелэхийг батал a:b:c=sinA:sinB:sinC(синус??дийн теоромоор) тул ?г?гдс?н тэнцэтгэл биш ab+c-a+ba+c-b+cb+a-c≥3 тэнцэтгэл биштэй адил болно.Энд нэмэгдэх??н тус б?рийн хуваарь, х?ртвэр??д б?гд эерэг b+c-a=xa+c-b=yb+a-c=z гэвэл y+z2=ax+z2=bx+y2=cболох тул дээрх тэнцэтгэл биш нь y+z2x+x+z2y+x+y2z≥3 хэлбэртэй болно.??нийг y+z2x+x+z2y+x+y2z=12yx+zx+xy+zy+xz+yz=12xy+yx+xz+zx+zy+yzгэж хувиргаад нэмэгдэх??н тус б?рд Кошийн тэнцэтгэл биш y+z2x+x+z2y+x+y2z≥122+2+2=3 болно. БГД-ийн Тэрг??ний 47-р сургуулийн математикийн багш С.Бямбаа ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download