Súčet a rozdiel hodnôt goniometrických funkcií

Ma-Go-16-T

List 1

S?cet a rozdiel hodn?t goniometrick?ch funkci?

RNDr. Mari?n Macko

U: Vypoc?tajme hodnotu c?seln?ho v?razu sin 75 + sin 15 bez pouzitia kalkulacky a tabuliek. Z: Budeme musie pouzi s?ctov? vzorce, lebo 75 a 15 nepatria medzi v?znacn? hodnoty.

Daj? sa vsak vyjadri pomocou uhlov 45 a 30. Uhol 75 stupov sa vyjadr? ako s?cet a uhol 30 stupov ako rozdiel t?chto v?znacn?ch hodn?t. Preto plat?

sin 75 + sin 15 = sin(45 + 30) + sin(45 - 30). U: Pripomeniem ti tie s?ctov? vzorce, ktor? potrebujes vyuzi:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,

sin(x - y) = sin x cos y - cos x sin y. V nasom pr?pade x = 45 a y = 30. Z: Po dosaden? dost?vam sin 75 + sin 15 = sin(45 + 30) + sin(45 - 30) = (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30)+

+(sin 45 cos 30 - cos 45 sin 30).

Po odstr?nen? z?tvorky sa druh? a stvrt? clen navz?jom odc?taj?.

U: Dostali sme teda

sin 75 + sin 15 = 2 sin 45 cos 30.

U: Hodnotu tohto c?seln?ho v?razu uz spoc?tame ahko. Nebudeme to robi. Pozrieme sa vsak na to, ako s?visia hodnoty 45 a 30 so zadan?mi hodnotami 75 a 15.

Z: Hodnota 45 stupov je polovicou zo s?ctu zadan?ch hodn?t. Plat?

45

=

75

+ 15 .

2

U: Hodnota 30 stupov bude tiez polovicou, ale rozdielu zadan?ch hodn?t.

30

=

75

- 15 .

2

Z: Nasa ?loha by sa teda dala prep?sa do tvaru

sin 75 + sin 15

75 + 15 = 2 sin

75 - 15 cos

.

2

2

Ma-Go-16-T

List 2

U: V?borne. Ak c?seln? hodnoty v argumente funkcie s?nus nahrad?s premenn?mi, napr?klad a , dost?vas als? d?lezit? vzah

+ -

sin + sin = 2 sin

cos

.

2

2

Na z?klade tohto vzahu vieme s?cet dvoch hodn?t goniometrickej funkcie s?nus prep?sa v tvare s?cinu.

Z: Plat? podobn? vzah aj pre rozdiel dvoch hodn?t goniometrickej funkcie s?nus? U: Odvod?me ho ahko z predch?dzaj?ceho. Rozdiel sin - sin uprav?me na s?cet.

Z: Ako? U: Vyuzijeme, ze funkcie s?nus je nep?rna funkcia. Preto plat?

sin(-x) = - sin x.

Z: Rozumiem. Potom m?zem p?sa

sin - sin = sin + sin(-). U: Spr?vne. Teraz stac? vyuzi vzah

+ -

sin + sin = 2 sin

cos

.

2

2

Namiesto premennej treba vsak vsade dosadi -.

Z: Nebude to probl?m. Dost?vam

+ (-) - (-)

sin - sin = sin + sin(-) = 2 sin

cos

.

2

2

Teraz bud? znamienka vo v?sledku opacne, ako boli v prvom vzahu.

U: Preto plat?

- +

sin - sin = 2 sin

cos

.

2

2

Aj rozdiel dvoch hodn?t goniometrickej funkcie s?nus sa d? vyjadri v tvare s?cinu hodn?t goniometrick?ch funkci? s?nus a kos?nus.

Z: Oba vzahy s? dos n?rocn? na zapam?tanie si.

U: Nie je d?lezit? ich vedie naspam?. D?lezit? je vedie ich vyuzi pri riesen? ?loh. Na z?ver v r?mceku zrekapitulujeme oba vzorce. Prid?me k nim analogick? vzorce pre s?cet a rozdiel hodn?t goniometrickej funkcie kos?nus.

Ma-Go-16-T

+ -

sin + sin = 2 sin

cos

2

2

- +

sin - sin = 2 sin

cos

2

2

+ -

cos + cos = 2 cos

cos

2

2

+ -

cos - cos = -2 sin

sin

2

2

List 3

Ma-Go-16-1

List 4

Pr?klad 1: V mnozine re?lnych c?sel vyrieste rovnicu sin 3x = sin 2x - sin x.

Z: K v?razom na oboch stran?ch rovnice pripoc?tam v?raz sin x. Dostanem rovnicu v tvare

sin 3x + sin x = sin 2x. U: Na ?pravu v?razu sin 3x + sin x na avej strane rovnice vyuzijeme vzorec

+ -

sin + sin = 2 sin

cos

.

2

2

V nasom pr?pade je rovn? 3x a je x.

Z: Potom rovnicu uprav?m na tvar

3x + x 3x - x

2 sin

cos

= sin 2x.

2

2

Po ?prave zlomkov, ktor? s? v argumentoch funkci? s?nus a kos?nus, dost?vam

2 sin 2x cos x = sin 2x. U: Od v?razov na oboch stran?ch rovnice odc?tame sin 2x a m?me

2 sin 2x cos x - sin 2x = 0.

Z: V?raz sin 2x vyberieme pred z?tvorku. Po tejto ?prave dostaneme rovnicu sin 2x(2 cos x - 1) = 0.

U: Kedy sa s?cin dvoch v?razov rovn? nule? Z: S?cin dvoch v?razov sa rovn? nule, ak aspo jeden z v?razov m? nulov? hodnotu.

sin 2x(2 cos x - 1) = 0 sin 2x = 0 2 cos x - 1 = 0 U: Budeme teda riesi dve rovnice. Najsk?r vyriesme rovnicu sin 2x = 0. Kedy funkcia s?nus

nadob?da nulov? hodnotu? Z: Funkcia s?nus nadob?da nulov? hodnotu, ak argument funkcie je celoc?seln?m n?sobkom

re?lneho c?sla . U: V nasom pr?pade je argumentom funkcie s?nus v?raz 2x, preto plat?: 2x = k, kde k je

cel? c?slo. Po ?prave dost?vame x = k .

2

U: Prejdeme k rieseniu druhej rovnice. Snaz sa upravi druh? rovnicu 2 cos x - 1 = 0 na v?hodnejs? tvar.

Ma-Go-16-1

List 5

Z: Pripoc?tan?m c?sla jeden m?m

2 cos x = 1.

Po predelen? dvomi dostanem rovnicu

1 cos x = .

2 T?to rovnica m? jedno riesenie x = . 3 U: Je to jedno z dvoch z?kladn?ch riesen?, ktor? had?me v intervale 0; 2). Vzhadom na to, ze funkcia kos?nus je periodick? a jej najmensou peri?dou je c?slo 2, rovnica bude ma nekonecne vea riesen?. Z: Ako n?jdem druh? z?kladn? riesenie? M?zete mi to pripomen?? U: Na urcenie druh?ho z?kladn?ho riesenia rovnice vyuzijeme geometrick? interpret?ciu funkcie kos?nus na jednotkovej kruznici. Spom?nas si, s ktorou s?radnicou bodov na jednotkovej kruznici s?vis? hodnota funkcie kos?nus?

Z: Kos?nus predstavuje x-ov? s?radnicu bodu na jednotkovej kruznici.

U: Nepovedal si to celkom presne, ale pokracuj vo v?pocte. 1

Z: Had?m tak? body na jednotkovej kruznici, ktor?ch x-ov? s?radnica je , ako to vypl?va 2

1 z rovnice cos x = .

2 1

U: Spr?vne. V ktor?ch kvadrantoch lezia body, ktor?ch x-ov? s?radnica je rovn? c?slu ? 2

Z: V I. a vo IV. kvadrante, tak ako to je na obr?zku.

y

1

-1

0

1J x

2

-1

U: Ako vieme, tieto dva body na jednotkovej kruznici s? symetrick? poda x-ovej osi. Z?klad

n?mu rieseniu odpoved? bod v I. kvadrante. Preto hodnota argumentu funkcie kos?nus 3

zodpovedaj?ca bodu na jednotkovej kruznici vo IV. kvadrante sa vypoc?ta ako rozdiel c?sel

2 a . 3

Z: Odc?tan?m

t?chto

c?sel

dostaneme

zlomok

5 .

3

 ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download