Senx seny 2 ( ) ( ) cosx cosy ( ) ( ) - Matemáticas Vilavella

g) 1+ ctg? tg ctg - tg

Matem?ticas I TRIGONOMETR?A

ALFONSO GONZ?LEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEM?TICAS

[Soluc: tg(+)]

1- tg2 x

h)

2

1+ tg2 x 2

(Soluc: cos x)

55. Demostrar las siguientes identidades:

a)

1- cos 2 sen2 + cos

2

=

2

tg2

b) sen 2 cos - sen cos 2 = sen

c) cos cos (-) + sen sen (-)=cos

d)

sen + cos =

2

cos

4

-

e) sec2A - tg2A = 1

f) tg A = senA = 1- cos A = cos ecA - ctgA 2 1+ cos A senA

g) 2 sen - sen 2 = 1- cos = tg2

2 sen + sen 2 1+ cos

2

h) sen2 + - sen2 - = sen sen

2

2

i) sen2A = 1 - 1 cos 2A

22

j) 2 sen x = cos x - sen x? tg x tg 2x

k)

2 tg x

2 1+ tg2 x

= sen

x

2

l) 1+ sen x = sec x + tg x 1- sen x

m) cos 2x - 1 = tg2x cos 2x + 1

56. Demostrar las siguientes f?rmulas, llamadas transformaciones de productos en sumas:

sen x sen y = cos(x - y) - cos(x + y)

2

cos x cos y = cos(x - y) + cos(x + y)

2

sen x cos y = sen(x - y) + sen(x + y)

2

Ecuaciones trigonom?tricas:

57. Resolver las siguientes ecuaciones trigonom?tricas elementales:

a) sen x = 3 2

b) cos x = - 2 2

(Sol: x=60?+k?360?; x=120?+k?360?) (Sol: x=135?+k?360?; x=225?+k?360?)

f) sen x = 0 g) cos x = -1 h) cosec x = -2

c) ctg x = - 3

(Sol: x=150?+k?180?)

d) sen x = 1 3

(x19?28'16''+k?360?; x160?31'44''+k?360?)

e) cos x = - 4 (x143?7'48''+k?360?; x216?52'12''+k?360?) 5

i) sec x = - 2 3 3

j) tg x = 3 k) cosec x = 1

2

(Sol: x=k?180?) (Sol: x=(2k+1)?180?) (Sol: x=210?+k?360?; x=330?+k?360?) (Sol: x=150?+k?360?; x=210?+k?360?) (Sol: x=60?+k?180?)

(Sol: / soluc)

Texto bajo licencia Creative Commons: se permite su utilizaci?n did?ctica as? como su reproducci?n impresa o digital siempre y cuando se respete la menci?n de su autor?a, y sea sin ?nimo de lucro. En otros casos se requiere el permiso del autor (alfonsogonzalopez@yahoo.es)

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ALFONSO GONZ?LEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEM?TICAS

l) sen2x + cos2x = 1 m) cos 3x = 3

2

(Sol: Se verifica xR)

(Sol: x=10?+k?120?; x=110?+k?120?)

n)

sen x

+

4

=

2 2

[Sol: x=2k; x=(4k+1)?/2]

58. Resolver las siguientes ecuaciones trigonom?tricas m?s elaboradas:

a) sen x + cos x = 2

(Sol: x=45?+k?360?)

b) sen x - 2cos 2x = - 1 2

(Sol: 30?, 150?, 311?24'35'' y 228?35'25'')

o) sen2x-2cos2x=0

(Sol: x=90?+k?180?; x=45?+k?180?)

p) cos2x-3senx+1=0 (Sol: x=30?+k?360?; x=150?+k?360?) q) 4sen2x cos2x+2cos2x-2=0 (Sol: x=k?180?; x=45?+k?90?)

c)

sen

x

cos

x

=

1 2

(Sol: x=45?+k?180?)

d) sen 2x =cos x

(Sol: x=30?+k?360?; x=150?+k?360?; x=90?+k?180?)

r) 4sen2x+senx cosx-3cos2x=0

(Sol: x=36?52'11,6''+k?180?; x=135?+k?180?)

s) cos2 x + cos x = 1

2

2

(Sol: x=90?+k?180?)

e) 3 sen x + cos x = 1 (Sol: x=k?360?; x=120?+k?360?)

f) 2cos2x-sen2x+1=0

(Sol: x=90?+k?180?)

g) sen2x-senx=0 (Sol: x=k?180?; x=90?+k?360?)

t) tg2 x + 1 = cos x 2

u) 2 sen2 x + cos 2x = 0

2

(Sol: x=k?360?)

h) 2 cos2x - 3 cos x = 0

(Sol: x=90?+k?180?; x=30?+k?360?; x=330?+k?360?)

i) sen2x-cos2x=1

(Sol: x=90?+k?180?)

(Sol: x=90?+k?180?; x=60?+k?360?; x=300?+k?360?)

v) cos2x+3senx=2 w) tg2x tgx=1

j) cos2x-sen2x=0

(Sol: x=45?+k?90?) x) cosx cos2x+2cos2x=0

k) 2cos2x+senx=1

y) 2sen x=tg 2x

(Sol: x=90?+k?360?; x=210?+k?360?; x=330?+k?360?)

l) 3 tg2x - 3 tg x = 0

(Sol: x=k?180?; x=30?+k?360?; x=210?+k?360?)

m)

sen

4

+

x -

2 sen x = 0

n)

sen

6

- x + cos

3

- x =

1 2

(Sol: x=/4+k?)

z) 3 sen x + cos x = 1 2

) sen2x cosx=6sen3x

)

tg

4

- x + tg

x

=1

) sen x - 3 cos x = 2

(Sol: x=150?+k?360?)

(Sol: x=60?+k?360?; x=300?+k?360?)

59. Resolver las siguientes ecuaciones, transformando las sumas y diferencias en productos:

a) sen3x-senx=cos2x b) sen 5x + sen 3x = 1

cos x + cos 3x

c) sen 3x + sen x = 3 cos 3x - cos x

d) sen3x-cos3x=senx-cosx

Resoluci?n de tri?ngulos oblicu?ngulos:

60. Resolver los siguientes tri?ngulos y hallar su ?rea (con * se indica el caso dudoso):

a) a=6 m, B=45?, C=105?

(Soluc: A=30?, b8,49 m, c11,59 m, SABC 24,60 m2)

b) a=10 dam, b=7 dam, C=30?

(Soluc: c5,27 dam, B41? 38', A108? 22')

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ALFONSO GONZ?LEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEM?TICAS

c) b=35,42 dm, A=49? 38', B=70? 21' (Soluc: C=60? 1', a28,66 dm, c32,58 dm, SABC 439,94 dm2)

d) a=13 m, b=14 m, c=15 m

(Soluc: A53? 7' 48'', B59? 29' 23'', C67? 22' 48'', SABC 84m2)

* e) a=42, b=32, B=40? 32'

(Soluc: A158? 32', C180? 56', c148,62; SABC 663,55

A2121? 27', C218?, c215,22; SABC 207,72)

f) a=15, b=22, c=17 g) a=10 mm, b=7 mm, C=60?

(Soluc: A42? 54', B86? 38', C50? 28') (Soluc: c8,89 mm, A76? 59' 46'', B43? 0' 14'', SABC 30,31mm2)

h) a=10, b=9, c=7

(Soluc: A76? 13', B60? 57, C42? 50')

* i) a=60 cm, b=40 cm, A=42?

(Soluc: B26? 30', c83,43 cm, C111? 30', SABC 116,5 cm2)

* j) a=40 cm, b=60 cm, A=72?

(Soluc: / soluc)

* k) a=50, b=60, A=42?

(Soluc: B153? 25', C184? 35', c174,39

2 l) A=30?, B=45?, b= m

m) b=3 hm, c=2 hm, A=60? 3

n) A=30?, b= , c=1

B2126? 35', C211? 25', c214,39)

(Soluc: C=105?, a=1 m, c1,93 m, SABC 0,68 m2)

(Soluc: a=

7 hm, B79?, C40? 54', SABC =3

3 /2 hm2)

* o) a=4, b=5, B=30?

p) a=1792, b=4231, c=3164

* q) a=12 hm, b=57 hm, A=150?

r) a=72, b=57, C=75? 47' s) c=3,78, A=105?, B=38? 47'

(Soluc: / soluc)

* t) a=40, b=60, A=12?

* u) a=60, b=40, A=82?

v) a=8 m, B=30?, C=105? w) A=60?, B=75?, c= 2 m x) a=4 km, B=45?, C=60? y) a=4 mm, b=3 mm, c=6 mm z) a=1 cm, c=2 cm, B=60?

(Soluc: b5,66 m, c10,93 m, SABC 21,86 m2)

) a=5 dam, b=3 dam, c=4 dam

* ) b=10 dm, c=9 dm, C=45?

) A=30?, b=10 m, C=75?

(Soluc: B=75?, a5,18 m, c=10 m, SABC=25 m2)

61. Resolver el tri?ngulo ABC sabiendo que su per?metro es 24 cm, es rect?ngulo en A y sen B=3/5 (Soluc: a=10 cm, b=6 cm, c=8 cm)

62. Calcular el ?rea de un tri?ngulo de datos a=8 m, B=30?, C=45?

63. En un paralelogramo ABCD el lado AB mide 6 cm, el AD 8 cm, y el ?ngulo A=30?. Hallar sus diagonales.

64. Hallar los lados de un tri?ngulo sabiendo que su ?rea mide 18 cm2 y dos de sus ?ngulos A=30? y B=45? (Soluc: a5,13 cm, b7,26 cm, c9,92 cm)

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ALFONSO GONZ?LEZ I.E.S. FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEM?TICAS

65. TEOR?A: Demostrar, utilizando el teorema del coseno, que el tri?ngulo de lados 9, 12 y 15 es rect?ngulo.

* 66. Uno de los lados de un tri?ngulo es doble que el otro, y el ?ngulo comprendido vale 60?. Hallar los otros

dos ?ngulos. (Soluc: 30? y 60?)

Problemas de planteamiento:

67. Un grupo decide escalar una monta?a de la que desconocen la altura. A la salida del pueblo han medido el ?ngulo de elevaci?n, que resulta ser 30?. A continuaci?n han avanzado 100 m hacia la base de la monta?a y han vuelto a medir el ?ngulo de elevaci?n, siendo ahora 45?. Calcular la altura de la monta?a. (Soluc: 136,60 m)

68. Rosa y Juan se encuentran a ambos lados de la orilla de un r?o, en los puntos A y B respectivamente. Rosa se aleja hasta un punto C distante 100 m del punto A desde la que dirige visuales a los puntos A y B que forman un ?ngulo de 20? y desde A ve los puntos C y B bajo un ?ngulo de 120?. ?Cu?l es la anchura del r?o? (Soluc: 53,21 m)

69. Tres pueblos A, B y C est?n unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 km, la BC es 9 km y el ?ngulo que forman AB y BC es de 120?. ?Cu?nto distan A y C? (Soluc: 13 km 77 m)

70. Se ha colocado un cable sobre un m?stil que lo sujeta, como

muestra la figura. ?Cu?nto miden el cable y el m?stil?

(Sol: cable=25 m; m?stil7,32 m)

45?

30?

37? 60 m

71. Un globo

20 m

aerost?tico est?

sujeto al suelo mediante dos cables de acero, en dos puntos

80 m

que distan 60 m. El cable m?s corto mide 80 m y el ?ngulo que

forma el otro cable con el suelo es de 37?. Hallar la altura del

globo y la longitud del cable m?s extenso. (Sol: 71,80 m y

119,31 m, respectivamente)

72. Se lanza una falta desde un punto situado a 25 m y 28 m de ambos postes de una porter?a reglamentaria de f?tbol, es decir, 7,32 m de longitud ?Bajo qu? ?ngulo se ver? la porter?a desde dicho punto? (Hacer un dibujo previo que explique la situaci?n). ?A qu? distancia se encuentra del centro de la porter?a? (Sol: 14? 29' 54'')

Si el punto estuviera a 26 y 27 m, ?tendr?a m?s ?ngulo de tiro? La distancia, ?ser?a menor?

73. Desde la puerta de una casa, A, se ve el cine B, que est? a 120 m, y el quiosco C, que est? a 85 m, bajo un ?ngulo BA^ C = 40? ?Qu? distancia hay entre el

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