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SOLUCIONES REPASO PARTE DE ANALÍSIS

1.-Solución:

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[pic]

* Hemos aplicado la regla de L'Hôpital.

2.-Solución:

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• Dominio ’ Ρ − {−2, 3}

f (x) es continua en Ρ − {−2, 3}. Veamos el tipo de discontinuidad que hay en x ’ −2 y en

x ’ 3:

− En x ’ −2:

1º [pic]No existe.

2.- [pic]

Hay una discontinuidad infinita de límites laterales infinitos en x ’ −2.

− En x ’ 3:

1º [pic]No está definida.

2.- [pic]

Hay una discontinuidad evitable en x ’ 3.

3.-Solución:

• Continuidad:

− Si x ≠ −1 y x ≠ 0 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

− En x ’ −1

1º[pic]

2º

[pic]

3º[pic]

F(x) es continua en x=1

− En x ’ 0:

1º[pic]

2º

[pic]

3º[pic]

F(x) es continua en x=0

• Derivabilidad:

− Si x ≠ −1 y x ≠ 0 → f (x) es derivable, y su derivada es:

[pic]

− En x ’ −1:

Como f '(−1−) ’ −8 ≠ f '(−1+) ’ −2; f (x) no es derivable en x ’ −1.

− En x ’ 0:

Como f '(0−) ’ 0 ≠ f '(0+) ’ (ln 2) − 1; f (x) tampoco es derivable en x ’ 0.

4.-Solución:

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b) y ’ (2x + 1)x → ln y ’ ln (2x + 1)x → ln y ’ x ln (2x + 1)

[pic]

[pic]

c) 2x + 3y + 3x · y' + 2y · y' ’ 0

3x · y' + 2y · y' ’ −2x − 3y

y' (3x + 2y) ’ −2x − 3y

[pic]

5.-Solución:

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Signo de f ' (x):

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6.-Solución:

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Buscamos x para que el área sea máxima:

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hay un máximo).

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7.-Solución:

• Continuidad en [−2, 2]:

− Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

− En x ’ 1:

1º[pic]

2º

[pic]

Para que sea continua en x ’ 1, ha de ser 1 + a ’ b + c.

• Derivabilidad en (−2, 2):

− Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es:

[pic]

− En x ’ 1, han de ser iguales las derivadas laterales:

[pic]

• Además, debe ser f (−2) ’ f (2); es decir:

4 − 2a ’ 2b + c

• Uniendo las condiciones anteriores, tenemos que:

[pic]

• En este caso, el teorema de Rolle asegura que existe c ∈ (−2, 2) tal que f '(c) ’ 0.

8.-Solución:

• Dominio ’ Ρ − {0}

• Simetrías:

f (−x) ’ −f (x). Es impar: simétrica respecto al origen.

• Asíntotas verticales:

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• Asíntota horizontal:

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• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

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Signo de f '(x):

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[pic]

[pic]

• Cortes con los ejes:

− No corta al eje Y, pues en x ’ 0 no está definida.

− Con el eje X → y ’ 0 → x2 − 1 ’ 0 → x ’ ±1 → Puntos (−1, 0) y (1, 0).

• Gráfica:

[pic]

9.-Solución:

• Dominio ’ Ρ

• Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

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• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

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f '(x) ’ 0 → x ’ 1

f '(x) > 0 para todo x ≠ 1 → f (x) es creciente.

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• Corta al eje Y en (0, 1). No corta al eje X.

• Gráfica:

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10.-Solución:

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[pic]

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− Para x ’ 0 → 1 ’ A

− Para x ’ −1 → 1 ’ −C → C ’ −1

− Para x ’ 1 → 1 ’ 4A + 2B + C → B ’ −1

Por tanto:

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11.-Solución:

[pic]

[pic]

[pic]

* Hemos aplicado la regla de L'Hôpital.

12.-Solución:

− Si x ≠ 1 y x ≠ 2 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

− En x ’ 1:

1º[pic]

2º

[pic]

Para que sea continua en x ’ 1, ha de ser b − 2 ’ 3 − a.

− En x ’ 2:

1º[pic]

2º

[pic]

Para que sea continua en x ’ 2, ha de ser 6 − a ’ 5, es decir a ’ 1.

• Uniendo las dos condiciones anteriores, tenemos que, para que f (x) sea continua, ha de ser:

[pic]

13.-Solución:

• Continuidad:

− En x ≠ 0 y x ≠ 1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas.

− En x ’ 0:

1º[pic]

2º

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En x=0 es discontinua de salto finito 0-1=-1

− En x ’ 1:

1º[pic]

2º

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Para que f (x) sea continua en x ’ 1, ha de ser b ’ 1 + a.

• Derivabilidad:

− Si x ≠ 0 y x ≠ 1: f (x) es derivable, y su derivada es:

[pic]

− En x ’ 0: f (x) no es derivable, pues no es continua en x ’ 0.

− En x ’ 1: Para que f (x) sea derivable en x ’ 1, han de ser iguales las derivadas laterales:

[pic]

− Por tanto, f (x) será derivable en Ρ − {0} cuando y solo cuando:

[pic]

− En x ’ 0 no es derivable, cualesquiera que sean a y b.

14.-Solución:

a) f (x) ’ ln (x − 1) − ln (x + 2)

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b) y ’ x x+2 → ln y ’ ln x x+2 → ln y ’ (x + 2) ln x

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[pic]

c) 12x3 − 6y2 · y ' + y + x · y ' ’ 0

y ' (x − 6y2) ’ −12x3 − y

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15.-Solución:

• Ordenada del punto: f (0) ’ 1

• Pendiente de la recta:

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f ' (0) ’ −1

• Ecuación de la recta tangente:

y ’ 1 − 1 (x − 0) → y ’ −x + 1

16.-Solución:

Llamamos x al primer número, y al segundo y z al tercero. Así, tenemos que:

[pic]

El producto de los tres números es:

P ’ x · y · z ’ z · (60 − 2z) · z ’ z2 (60 − 2z) ’ f (z), z > 0

Buscamos z para que f (z) sea máximo:

f '(z) ’ 2z (60 − 2z) + z2 · (−2) ’ 2z (60 − 2z − z) ’ 2z (60 − 3z) ’ 120z − 6z2

[pic]

Veamos que en z ’ 20 hay un máximo:

f ''(z) ’ 120 − 12z ; f ''(20) ’ −120 < 0 → hay un máximo

Por tanto, el producto es máximo para x ’ 20, y ’ 20, z ’ 20.

17.-Solución:

• La función f (x) ’ x2 + 2x − 1 es continua y derivable en todo Ρ; por tanto, será continua en [−3, 1] y derivable en (−3, 1).

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• Por tanto, se cumplen las hipótesis del teorema de Rolle. Así, sabemos que existe

c ∈ (−3, 1) tal que f '(c) ’ 0.

• Veamos dónde se cumple la tesis:

f '(x) ’ 2x + 2 → f '(c) ’ 2x + 2 → c ’ −1 ∈ (−3, 1)

18.-Solución:

• Dominio ’ Ρ − {−2, 2}

• Simetrías:

f (−x) ’ f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

• Asíntotas verticales:

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• Asíntota horizontal:

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Si x → −∞ y si x → +∞, f (x) < −1 → La curva está por debajo de la asíntota.

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

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f '(x) ’ 0 → 6x ’ 0 → x ’ 0

Signo de f' (x):

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f (x) es decreciente en (−∞, −2) ∪ (−2, 0); es creciente en (0, 2) ∪ (2, +∞). Tiene un

[pic]

• Cortes con los ejes:

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− Con el eje X → y ’ 0 → 1 − x2 ’ 0 → x ’ −1; x ’ 1 → Puntos (−1, 0) y (1, 0)

• Gráfica:

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19.-Solución:

• Dominio ’ Ρ

• Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales.

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y ’ 0 es asíntota horizontal cuando x → −∞ (y > 0).

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• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

f '(x) ’ −ex + (1 − x) ex ’ (−1 + 1 − x) ex ’ −x ex

f '(x) ’ 0 → x ’ 0

Signo de f '(x):

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f (x) es creciente en (−∞, 0); es decreciente en (0, +∞). Tiene un máximo en (0, 1).

• Puntos de corte con los ejes:

− Con el eje Y → x ’ 0 → y ’ 1 → Punto (0, 1)

− Con el eje X → y ’ 0 → x ’ 1 → Punto (1, 0)

• Gráfica:

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20.-Solución:

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[pic]

− Para x ’ 1 → 2 ’ 2A → A ’ 1

− Para x ’ −1 → 2 ’ −2B → B ’ −1

Por tanto:

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21.-Solución:

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[pic]

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Hallamos los límites laterales:

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* Hemos aplicado la regla de L'Hôpital.

22.-Solución:

− Si x ≠ 1 y x ≠ 1 → f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

− En x ’ −1:

1º[pic]

2º

[pic]

Para que sea continua en x ’ 1, ha de ser a − 3 ’ 2 − b.

− En x ’ 1:

1º[pic]

2º

[pic]

Para que sea continua en x ’ 1, ha de ser a ’ b + 2.

• Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será continua si:

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23.-Solución:

• Continuidad:

− En x ≠ −1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos en los que están definidas.

− En x ’ −1:

1º[pic]

2º

[pic]

Para que f (x) sea continua en x ’ −1, ha de ser 1 − a ’ −b − 2.

• Derivabilidad:

− Si x ≠ −1: f (x) es derivable, y su derivada es:

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− En x ’ −1: Como f '(−1−) ’ −2 − a y f '(−1+) ’ 2b +2, para que f (x) sea derivable en

x ’ −1, ha de ser −2 − a ’ 2b + 2.

• Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será derivable en todo Ρ cuando:

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24.-Solución:

a) y' ’ e2x+1 · 2 · sen (x − 1) + e2x+1 · cos (x − 1) ’ e2x+1 [2 sen (x − 1) + cos (x − 1)]

b) y ’ (3x2 + 1)2x → ln y ’ ln (3x2 + 1)2x → ln y ’ 2x ln (3x2 + 1)

[pic]

[pic]

c) 2x − 2y · y ' + y + x · y ' ’ 0

−2y · y ' + x · y ' ’ −2x − y

y ' (x − 2y) ’ −2x − y

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25.-Solución:

• Primera derivada:

f ' (x) ’ 10x (x − 1)2 + 5x2 · 2 (x − 1) ’ 10x (x − 1) 2 + 10x2 (x − 1) ’

’ 10x (x − 1) (x − 1 + x) ’ 10x (x − 1) (2x − 1)

[pic]

Signo de f ' (x):

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• Segunda derivada:

f ' (x) ’ 10x (x − 1) (2x − 1) ’ 20x3 − 30x2 + 10x

f '' (x) ’ 60x2 − 60x + 10 ’ 10 (6x2 − 6x + 1)

[pic]

Signo de f'' (x):

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f (x) es cóncava en (−∞; 0,21) ∪ (0,79; +∞); es convexa en (0,21; 0,79). Tiene dos puntos de inflexión: (0,21; 0,14) y (0,79; 0,14).

26.-Solución:

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Buscamos el valor de x > 0 que hace mínima la función:

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Derivamos:

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[pic]

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27.-Solución:

• Continuidad en [0, 2]:

− Si x ≠ 1, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

− En x ’ 1:

1º[pic]

2º

[pic]

Para que sea continua en, ha de ser 1 + m ’ n − 2

• Derivabilidad en (0, 2):

− Si x ≠ 1, la función es derivable, y su derivada es:

[pic]

− Para que sea derivable en x ’ 1, han de coincidir las derivadas laterales:

[pic]

• Por tanto, f (x) cumplirá las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 2] si:

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Este caso quedaría:

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Veamos dónde cumple la tesis:

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28.-Solución:

• Dominio ’ (−∞, −1) ∪ (2, +∞)

• Asíntotas:

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y ’ 0 es asíntota horizontal.

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

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f '(x) ≠ 0 para todo x.

Signo de f '(x):

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f (x) es creciente en su dominio.

• No corta a los ejes.

• Gráfica:

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29.-Solución:

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Por tanto:

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30.-Solución:

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Hallamos los límites laterales:

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* Hemos aplicado la regla de L'Hôpital.

31.- Solución:

− Si x ≠ −1 y x ≠ 1 → f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos en los que están definidas.

− En x ’ −1:

1º[pic]

2º

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Discontinuidad de salto finito 0- 1/3=-1/3

− En x ’ 1:

1º[pic]

2º

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3º[pic]

32.-Solución:

a) y ' ’ 2cos (x4 − 2) · (−sen (x4 − 2)) · 4x3 ’ −8x3 cos (x4 − 2) · sen (x4 − 2)

b) y ’ (cos x)2x → ln y ’ ln (cos x)2x → ln y ’ 2x ln (cos x)

[pic]

y ' ’ (cos x)2x · [2 ln (cos x) − 2x tg x]

c) 4xy2 + 2x2 · 2y · y ' + 6x + 2y · y ' ’ 0

4x2yy' + 2yy' ’ −6x −4xy2

y' (4x2y + 2y) ’ −6x − 4xy2

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33.-Solución:

• Ordenadas de los puntos:

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Hay dos puntos: (1, −2) y (1, 2)

• Pendientes de las rectas:

2x − 6y · y ' + 2 ’ 0

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• Ecuaciones de las rectas tangentes:

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34.- Solución:

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Cantidad de valla necesaria:

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Buscamos x > 0 que haga f (x) mínima:

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Veamos que en x ’ 300 hay un mínimo:

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Por tanto, han de ser: x ’ 300 m, y ’ 600 m

35.-Solución:

• Continuidad en [0, 3]:

− Si x ≠ 2, la función es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas.

− En x ’ 2:

1º[pic]

2º

[pic]

Por tanto, f (x) es continua en [0, 3].

• Derivabilidad en (0, 3):

− Si x ≠ 2, la función es derivable, y su derivada es:

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− En x ’ 2, como f '(2−) ’ f '(2+) = −4, también es derivable; y f '(2) ’ −4.

Por tanto, f (x) es derivable en (0, 3).

• Se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [0, 3]; por tanto, existe c ∈ (0, 3) tal que:

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Veamos dónde se cumple la tesis:

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36.- Solución:

• Dominio ’ R

• Simetrías:

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al origen.

• Ramas infinitas:

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• Puntos singulares:

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Puntos singulares: (0, 0) y (2, −4)

• Cortes con los ejes:

− Con el eje Y → x ’ 0 → y ’ 0 → Punto (0, 0)

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• Puntos de inflexión:

f ''(x) ’ 9x2 − 12x ’ 3x (3x − 4)

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• Gráfica:

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37.-Solución:

• Dominio ’ (−∞, −2) ∪ (0, +∞)

• Simetrías:

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No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.

• Asíntotas:

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y ’ 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para todo x).

• Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

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f '(x) ’ 0 → x ’ −1 (no vale; pues f (x) no está definida en x ’ −1).

f (x) no tiene puntos singulares.

Signo de f ' (x):

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f (x) es creciente en (−∞, −2) y es decreciente en (0, +∞).

• f (x) no corta a los ejes.

• Gráfica:

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38.-Solución:

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Por tanto:

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39.-Solución:

• Ordenada en el punto: y (3) ’ 9

• Pendiente de la recta:

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• Ecuación de la recta tangente:

40.-Solución:

La función que nos da la velocidad es la derivada de e (t):

e' (t) ’ 600 + 450t 2 − 460t 3 + 135t 4 − 12t 5 ’ v (t)

Para obtener el máximo de la velocidad, derivamos v (t):

v' (t) ’ 900t − 1 380t 2 + 540t 3 − 60t 4 ’ 60t (15 − 23t + 9t 2 − t 3) ’

’ −60t (t − 1) (t − 3) (t − 5)

v' (t) ’ 0 → t ’ 0, t ’ 1, t ’ 3, t ’ 5

Obtenemos el valor de v (t) en estos puntos:

v (0) ’ 600, v (1) ’ 713, v (3) ’ 249, v (5) ’ 1 225

Por tanto, la máxima velocidad se alcanza en el minuto t ’ 5 y el espacio recorrido es

e (5) ’ 3 000 m.

41.-Solución:

• Dominio ’ [0, 2π]

• Puntos de corte con los ejes:

− Con el eje Y → x ’ 0 → y ’ −1 → Punto (0, −1)

− Con el eje X → y ’ 0 → −2 + cos2x ’ 0 → cos2x ’ 2 →

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No corta al eje X.

• Máximos y mínimos:

f '(x) ’ 2cos x (−sen x) ’ −2cos x sen x

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Estudiamos el signo de f ''(x) ’ −2 [cos2x − sen2x] en esos puntos:

y '' < 0 en x ’ 0, x ’ π y x ’ 2π

Máximos: (0, −1), (π, −1), (2π, −1)

42.-Solución:

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Por tanto:

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43.-Solución:

• Dominio ’ [0, 2π]

• Puntos de corte con los ejes:

− Con el eje Y → x ’ 0 → y ’ −1 → Punto (0, −1)

− Con el eje X → y ’ 0 → −2 + cos2x ’ 0 → cos2x ’ 2 →

[pic]

No corta al eje X.

• Máximos y mínimos:

f '(x) ’ 2cos x (−sen x) ’ −2cos x sen x

[pic]

Estudiamos el signo de f ''(x) ’ −2 [cos2x − sen2x] en esos puntos:

y '' < 0 en x ’ 0, x ’ π y x ’ 2π

Máximos: (0, −1), (π, −1), (2π, −1)

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• Gráfica:

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