Bab 2. Fungsi - jawahirnatsir



KOORDINAT KARTESIAN,

RELASI DAN FUNGSI

2.1. Sistem Koordinat Kartesian.

Sebelum kita membahas konsep relasi dan fungsi, perlu disajikan kembali geometri analitis bidang yang diarahkan pada pembuatan sketsa-sketsa grafik persamaan dan pertaksamaan yang melibatkan dua peubah.

Perhatikan gambar 2.1 yang merupakan dua garis lurus pada bidang berpotongan tegak lurus di titik 0. Garis mendatar dinamakan “sumbu x” dan garis tegak dinamakan “sumbu y”. Titik perpotongannya 0 dinamakan “titik asal” (origin).

Sistem koordinat kartesian seringkali ditulis [pic] atau [pic] yang menyatakan pasangan terurut [pic] dan [pic]. Jadi [pic]= [pic] = [pic]. Misalkan [pic] sembarang titik pada bidang kartesian, maka setiap titik [pic] kita kaitkan dengan dua bilangan yang masing-masing dinamakan “absis x” dan “ordinat y” titik [pic] tersebut. [pic][pic] dinamakan titik koordinat [pic] dengan “absis x” yang merupakan proyeksi [pic] terhadap sumbu x dan “ordinat y” yang merupakan proyeksi [pic] terhadap sumbu y (lihat gambar 2.1). Jadi [pic][pic] dimaksudkan sebuah titik yang absisnya x dan ordinatnya y.

Absis x yang terletak disebelah kanan titik asal 0 bertanda positif, dan disebelah kiri titik asal 0 bertanda negatif. Sedangkan ordinat y yang terletak diatas titik asal 0 bertanda positif dan disebelah bawah titik asal 0 bertanda negatif (gambar 2.2).

Sistem koordinat kartesian ini kita bagi atas empat daerah (kuadran) :

Kuadran I adalah himpunan titik-titik [pic][pic]

Kuadran II adalah himpunan titik- titik [pic]; x[pic]

KuadranIII adalah himpunan titk-titik [pic] ; x[pic]

KuadranIV adalah himpunan titik-titik [pic] ; [pic]

Koordinat P(x,y) adalah pasangan bilangan terurut (x,y). Misalnya titik (2,3) adalah sebuah titk yang absisnya 2 yang terletak 2 satuan disebelah kanan titik asal,dan ordinatnya 3 yang terletak 3 satuan diatas titik asal . Titik (-3,1) sebuah titik yang aabsisnya -3 terletak 3satuan disebelah kiri titik asal , dan ordinatnya 1 terletak 1 satuan diatas titik asal .

Titik (4,0) adalah sebuah titik yang absisnya 4 , terletak 4 satuan disebelah kanan titik asal , dan ordinatnya 0 . Titik (3,-3) sebuah titik yang absisnya 3 , terletak 3 satuan disebelah kanan titik asal dan ordinatnya -3 terletak 3 satuan dibawah titik asal .(lihat gambar 2-3).

2.1.1 Jarak ; Titik tengah dan Tanjakan.

JARAK ANTARA DUA TITIK.

Misalkan P[pic] dan Q[pic] dua titik pada bidang kartesian . Misalkan pula ruas garis PQ tidak sejajar sumbu-sumbu koordinatnya (gbr-2.4) . Dengan menggunakan dalil Pytagoras diperoleh

[pic]

Karena [pic] diperoleh

[pic]

yang merupakan jarak dua titik P dan Q.

Catatan

Jika ruas garis PQ sejajar sumbu X maka jarak PQ adalah [pic]

Jika ruas garis PQ sejajar sumbu Y maka jarak PQ adalah [pic] gambar 2 – 5.

TITIK TENGAH SEBUAH RUAS GARIS .

Misalkan T(x,y) adalah titik tengah ruas garis yang titik-titik ujungnya

P[pic] (gambar 2 – 6) , maka titik tengah T(x , y) mempunyai absis dan ordinat masing-masing

x = [pic]

Sehingga dapat dituliskan

T(x , y) = T[pic]

yang merupakan titik tengah ruas garis PQ.

TANJAKAN (GRADIEN) SEBUAH RUAS GARIS

Misalkan sebuah ruas garis PQ yang tidak sejajar dengan sumbu – sumbu koordinat .Misalkan P[pic] adalah ujung kirinya , ujung yang lain adalah [pic] Q[pic] lihat gambar 2 – 7 , melalui titik P di buat garis sejajar dengan sssumbu X yang memotong dititik R[pic] garis yang melalui Q sejajar dengan sumbu Y. Maka diperoleh

[pic] adalah jarak-jarak berarah.

Perbandingan kedua jarak tersebut adalah

[pic] yang dinamakan tanjakan ruas garis PQ yang biasanya dilambangkan dengan [pic]

Perhatikan bahwa nilai [pic] tidak tergantung titik yang mana yang dinamakan P atau Q, karena [pic], sehingga “tanjakan” suatu ruas garis yang melalui titik P[pic] dan Q [pic] adalah :

[pic]

Catatan :

- jika [pic]maka ruas garis PQ sejajar sumbu x, dan tanjakannya adalah 0 (gbr 2-5).

- jika [pic]maka ruas PQ sejajar sumbu y, dan tanjakannya tidak ada.

Contoh 1:

Jika diberikan dua titik P(6,-2) dan Q(2,1) maka :

- jarak PQ adalah [pic]

- Titik tengah ruas garis PQ adalah [pic]

- Tanjakan garis PQ adalah [pic]

Selanjutnya bila [pic] adalah dua titik yang berbeda pada bidang kartesian dengan [pic] maka persamaan garis yang melalui titik P dan Q adalah :

[pic] ( [pic]

dengan [pic][pic]

Sebuah garis yang memotong sumbu y dititik (0,n) dengan tanjakan m, persamaannya adalah;

[pic]

karena pada bidang kartesian, tiap garis adalah vertical atau memiliki tanjakan, maka persamaan garis adalah :

[pic]

Persamaan-persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk:

[pic]

dengan [pic] tidak nol bersama-sama.

Misalkan [pic], maka tanjakannya adalah [pic]

GARIS-GARIS SEJAJAR DAN TEGAK LURUS

Garis-garis vertikal tidak mempunyai tanjakan, akan tetapi semua garis vertical adalah sejajar. Sekarang pandang l dan h dua buah garis dengan tanjakan masing-masing [pic] maka :

- garis-garis l dan h adalah sejajar jika dan hanya jika tanjakannya sama ([pic]), gambar 2.9 a

- garis-garis l dan h saling tegak lurus jika dan hanya jika [pic] atau [pic], gambar 2.9 b

Contoh 2 :

1). Tentukan tanjakan dan persamaan garis yang melalui titik-titik (2,-1) dan (-5,4)

2). Tentukan tanjakan garis [pic], serta titik-titik potongnya dengan sumbu x dan sumbu y, kemudian gambar garis tersebut.

Solusi

1). [pic]

Persamaan garisnya = [pic]

[pic]

2). Tanjakan garis [pic]adalah [pic]

* Jadi tanjakan garis [pic] adalah [pic]

*Titik potong dengan sumbu x dicapai jika y=0. Diperoleh [pic]. Jadi garis [pic] memotong sumbu x dititik (-3,0).

* Titik potong dengan sumbu y dicapai jika x=0. Diperoleh [pic]. Jadi garis [pic] memotong sumbu y dititik(0,4).

* Gambar 2.10

[pic] Diskusikan di kelas (Dosen + Mahasiswa)

1) Diberikan 6 garis lurus berikut :

[pic]

[pic]

[pic]

a) Tentukan tanjakan masing-masing garis tersebut

b) Manakah diantara garis –garis tersebut yang sejajar atau saling tegak lurus .

c) Gambar grafik garis-garis tersebut.

2) Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(-1,4) dan tengak lurus pada garis yang memotomg sumbu X pada titik 3 satuan disebelah kanan titik asal dan memotong sumbu Y pada titik 2 satuan dibawah titik asal .

RANGKUMAN GARIS LURUS PADA BIDANG KARTESIAN (BIDANG DATAR),

1) Panjang ruas garis dari titik P[pic] ke titik Q[pic] adalah

[pic]

2) Persamaan garis lurus

• persamaan garis lurus yang melalui dua titik [pic] dan [pic] adalah [pic]

• persamaan garis yang melalui sebuah titik [pic] dengan tanjakan [pic]adalah [pic]

• persamaan garis yang sejajar sumbu x adalah y = p, p konstanta

• persamaan garis yang sejajar sumbu y adalah x = q, q konstanta

• persamaan garis yang tidak sejajar sumbu y dengam tanjakan [pic] adalah [pic] (fungsi linier)

• persamaan garis yang melalui titik asal (0,0) adalah [pic] tidak keduanya nol.

• persamaan garis yang melalui titik [pic]

3) Bentuk umum persamaan garis lurus adalah [pic] [pic]

tidak semuanya nol. Jika [pic] maka tanjakannya adalah [pic]

4) Hubungan antara dua garis.

Misalkan garis g : [pic] dan garis h : [pic] maka

• g sejajar h [pic]jika dan hanya jika :[pic];

• g tegak lurus h [pic] jika dan hanya jika [pic][pic]

• g berimpit h [pic] jika dan hanya jika [pic]

• g berpotongan h jika dan hanya jika [pic]

5) jika g; [pic] dan h ; y = [pic] maka :

• g sejajar h , jika danhanya jika [pic][pic]

• g saling tegak lurus h jika dan jika [pic]

6) Jarak titik P ( [pic]) ke sebuah garis g ; ax + by + c = 0 adalah

d ( p , g ) = [pic]

Soal – soal latihan

1) Tentukan persamaan garis yang melalui : a) Titik (-3,1) dan titik (2,3)

b) Titik (2,3) dan titik (4,0)

2) Tentukan persamaan garis yang : a) melalui titik ,(4,-2) dengan tanjakan 3.

b) melalui titik (-5,1) dengan tanjakan -1

3) Tentukan persamaan garis yang :

a) melalui titik P (2,3) dan sejajar dengan garis x + 3y -3 = 0

b) melalui titik P(-5,0) dan sejajar dengan garis x – 2y + 2 = 0

4) Tentukan persamaan garis yang

a) melalui titik P (2,1) dan tegak lurus garis x + 2y + 4 = 0

b) melalui titik P (-1,-4)dan tegak lurus garis x – 2y +2 = 0

5) Di ketahui titik A (2,4) dan B (6,-2) serta garis [pic]. Tentukan sebuah titik P yang terletak pada garis tersebut dan berjarak sama dari titik A dan titik B.

Petunjuk Misalkan P (x,y) sebuah titik pada garis tersebut [pic]

selanjutnya selesaikan dua sistem persamaan [pic] dan persamaan garis yang diketahui

6) Diketahui titik P(3,-4), Q(1,2) dan R(-2,0). Tentukan :

a. Persamaan garis yang melalui titik Q dan sejajar garis PR

b. Persamaan garis h yang melalui titik tengah PQ dan tegak lurus garis g

c. Jarak dari titik Q ke garis PR

d. Luas segitiga PQR

7) Tunjukkan bahwa titik-titik A(-3,2) ; B (0,3) ; C(1,0) dan D(-2,-1) adalah titik-titik sudut sebuah bujur sangkar ABCD.

GARIS LURUS DAN NILAI MUTLAK

Grafik dari persamaan [pic] merupakan garis lurus. kita akan tinjau grafik dari bentuk-bentuk persamaan berikut :

[pic]

Ada dua cara untuk menggambarkan grafik ini :

Cara 1. – menggunakan defenisi nilai mutlak untuk mengubah persamaannya ke dalam bentuk tanpa nilai mutlak dengan memperhatikan daerah berlakunya.

_ grafiknya berbentuk gabungan dari beberapa garis lurus

Cara 2. Menggunakan sifat simetri dari bentuk [pic]. Diskusikan cara yang kedua ini.

Contoh 3. Gambarkan grafik a). [pic]

b). [pic]

Solusi

a). [pic] [pic]

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak, maka persamaannya dalam bentuk tanpa nilai mutlak adalah

[pic]

Grafik garis [pic] berada disebelah kanan sumbu y (pada daerah [pic] dan grafik garis [pic] berada disebelah kiri sumbu y ( pada daerah x 3 adalah masing-masing daerah terbuka (setengah bidang) yang dibatasi oleh garis x=3, gambar 2.17. b. sedangkan grafik pertaksamaan

[pic] adalah daerah setengah bidang tertutupyang terdiri atas semua titik-titik disebelah kanan dan pada garis x=3, gambar 2.17. c.

gambar 2.17.a gambar 2.17.b gambar 2.1 .c

garis x=3 tidak termuat dalam garis x=3 termuat dalam

daerah setengah bidang daerah setengah bidang.

Karena sumbu x tidak lain dari garis y = 0, maka daerah diatasnya mempunyai aturan y > 0 dan daerah dibawahnya mempunyai aturan y < 0. Demikian juga halnya sumbu y tidak lain dari garis x = 0, sehingga daerah disebelah kanannya mempunyai aturan x > 0 dan daerah disebelah kirinya x < 0.

Fenomena ini dapat diperluas untuk garis [pic], maka

• Himpunan semua titik-titik [pic]yang memenuhi persamaan [pic] adalah sebuah garis lurus. gambar 2.18.a

• Himpunan semua titik-titik (x,y) yang memenuhi pertaksamaan [pic] adalah daerah setengah bidang terbuka yang terlertak diatas garis [pic]. sedangkan himpunan semua titik-titik yang memenuhi pertaksamaan [pic] adalah daerah setengah bidang terbuka yang terletak dibawah garis [pic], gambar 2.18.b

gambar 2.18.a gambar 2.18.b

Contoh 4

a). grafik pertaksamaan -2 < x < 3 adalah daerah yang terletak antara garis-garis x = -2 dan x = 3. Daerah tersebut adalah irisan dua bidang terbuka yaitu [pic], gambar 2.19

b). Himpunan titik-titik [pic]

adalah daerah tertutup seperti terlihat pada

gambar 2.20

c). Grafik pertaksamaan [pic] adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh 4 buah garis x + y = 3 ; -x + y = 3 ; -x – y =3 dan x – y = 3 , gambar 2.21

d). Himpunan semua titik-titik (x,y) yang memenuhi pertaksamaan [pic] dan [pic], dapat dituliskan dalam bentuk [pic]. Grafiknya adalah daerah persegi panjang dengan titik-titik sudutnya (2,1) , (5,1), (5,3) dan (2,3).Perhatikan bahwa hanya titik sudut (5,1) yang termuat dalam daerah tersebut ditambah dua sisinya yaitu sisi AB dan BC. Ketiga sudutnya yang lain dan sisi AD dan DC tidak termuat dalam daerah tersebut.

[pic] Diskusikan di kelas (Dosen + Mahasiswa)

ABCD adalah sebuah bujur sangkar dengan

panjang sisinya 4 cm dan berpusat di titik asal. Pada diagonal BD pilih titik P, dan andaikan x adalah jarak antara titik D dari ke titik P. Misalkan A(x) menyatakan luas segitiga APC (lihat gambar 2.23)

a. Tentukan nilai x yang mungkin dalam bentuk selang.

b.Ttentukan titik manakah pada ruas garis BD sedemikian sehingga luas segitiga APC sama dengan sepertiga luas segitiga ACD.

c.Representasikan grafik fungsi A(x).

Soal Latihan

Gambarkan daerah

[pic]

2.2 Relasi Biner

HASIL KALI KARTESIAN

Misalkan A dan B dua himpunan tak kosong.

“ hasil kali kartesian “ (Cartesian product) antara himpunan A dengan B dilambangkan A x B didefenisikan sebagai “ himpunan semua pasangan terurut [pic]dengan [pic]”. Hasil kali kartesian A dengan B dapat dituliskan secara singkat sebagai berikut :

[pic]

Catatan

pengertian pasangan terurut (ordered pairs) mengandung makna bahwa a x b ( (b,a).

Apabila banyaknya unsur kedua himpunan adalah berhingga, masing-masing dilambangkan [pic] (baca kardinal A=m) dan [pic](baca kardinal B= n), maka banyaknya unsure pasangan terurut himpunan hasil kali kartesian [pic].

Contoh 5

Misalkan [pic]

[pic]

dalam hal ini [pic]

jadi banyaknya unsur kali kartesian A x B adalah [pic] , yaitu pasangan [pic]. keenam pasangan ini semuanya merupakan unsur dalam A x B sedangkan (p,a) bukan unsur A x B, karena sesungguhnya pasangan (p,a) adalah salah satu unsur dalam B x A.

Dalam kasus khusus, bila A = B, hasil kali kartesian A x B adalah A x A yang sering dituliskan sebagai A2.

Dalam himpunan bilangan real R, hasil kali kartesian R x R atau R2 adalah himpunan semua pasangan bilangan real terurut (x, y) yang dikenal dengan “Ruang Euklid Dimensi Dua”, atau bidang kartesian. Disekolah lanjutan, hal ini diperkenalkan sebagai bidang datar XY, atau sistem koordinat tegak lurus.

Perhatikan contoh 4 d) diatas gambar 2.22 adalah hasil kali kartesian [pic]

* RELASI BINER (Hubungan Binier)

Hasil kali kartesian A x B memberikan semua kemungkinan pasangan unsur di dalam A dengan unsur di dalam B. Sedangkan Relasi Biner dari A ke B merupakan gagasan intuitif bahwa sebagian unsur didalam himpunan A berhubungan (berelasi) dengan sebagian unsur didalam himpunan B. Jelaslah bahwa “RELASI BINER (binary relation) dari A ke B ialah suatu himpunan bagian dari hasil kali kartesian A x B”. Jika H merupakan relasi dari A ke B maka [pic]

Suatu relasi biner dari A ke B ,biasanya diberi nama atau lambing huruf-huruf kapital

seperti R,H,S atau tanda “~”. Dengan demikian pernyataan “unsur a[pic] berhubungan melalui relasi H dengan unsure [pic]” dapat dituliskan secara singkat dalam bentuk lambing

“a H b” atau (a,b)[pic].

(baca: a berelasi H dengan b)

sebaliknya lambing a [pic] b atau (a,b)[pic][pic]menyatakan bahwa “a tidak beralasi H

dengan b” atau disingkat “ a tidak berelasi dengan b”.

Catatan

Bila relasi binernya diberi nama R , maka huruf H pada contoh diatas diganti

dengan huruf R.

Contoh 6.

Misalkan A = [pic]adalah himpunan

4 olahragawan .

B = [pic]adalah himpunan 3 jenis Olah Raga .

Misalkan S suatu relasi biner dari A ke B jika unsur – unsur didalam A mempunyai hubungan professi dengan unsur-unsur di dalam B

Maka relasi S = [pic]

Dalam hal ini relasi S dinytakan dalam bentuk daftar pasangan terurut . Disamping itu suatu relasi biner dapat juga disajikan dalam bentuk grafik atau tabel . Perhatikan relasi S pada contoh diatas dapat disajikan dalam bentuk grafik dan tabel sebagai berikut :

Maradona ( ( Tennis

M Tyson ( ( Bola

Jordan ( ( Tinju

Zidane (

Tanda ( menyatakan ada relasi

Perhatikan bahwa relasi biner S yang kita bentuk diatas . Kita membuat pasangan antara unsur-unsur didalam A dengan unsur-unsur didalam B menurut aturan atau ketentuan relasi S yang kita tetapkan .Didalam contoh diatas ,ketentuan relasi S adalah “ berprofessi”. dengan aturan tersebut mudah dipahami bahwa unsur-unsur

pasngan “(Bola,Zidan)”bukan unsure relasi S , mengapa ?.

Dari contoh diatas terlihat bahwa Jordan sebagai salah satu unsur didalam

himpunam A tidak mempunyai relasi dengan unsure didalam B.Ini berarti suatu relasi Biner dari A ke B tidak mengharuskan setiap unsur didalam A berpasangan dengan unsur didalam B. Dengan kata lain “Setiap unsur didalam A tidak selalu mempunyai pasangan dengan sebuah unsur didalam B.

Bandingkan dengan hasil kali kartesiun : A X B .

Didalam kehidupan sehari-hari ,sering dijumpai adanya relasi atau hubungan diantara benda –benda atau unsur-unsur tertentu .

Misalnya , diantara sekelompok mahasiswa , kita mungkin mengaitkan dua mahasiswa saling berhubungan bila mereka berasal dari jurusan yang sama .Akan tetapi pada situasi yang lain ,kita mungkin mengatakan bahwa dua mahasiswa saling berhubungan bila mereka berasal dari jurusan yang berbeda .

Hal ini tergantung “aturan relasi “yang kita kehendaki .

[pic]

Definisi:......

a. “Suatu pengawanan (pemasangan )dari unsur-unsur himpunan A ke unsur-unsur

himpunan B dinamakan RELASI BINER dari A ke B.

b. “ Suatu relasi biner S dari A ke B adalah sebuah himpunn bagian tak kosong dari

A X B .

Dengan kata lain ,hipunan [pic] adalah relasi biner dari A ke B jika dan hanya

jika S [pic] .

Contoh : 7

Misal A = B adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 5 . Tentukan

himpunan relasi pada A berikut :

a). Dua bilangan asli a dan b [pic] di definisikan berelasi S jika jumlahnya

genap.

b) Dua bilangan asli a dan b [pic] didefinisikan berelasi H jika selisihnya

habis dibagi 3.

Solusi:

A = [pic]

a) Relasi S = [pic].

Ini berarti relasi S dari A ke A. bilangan a dan b[pic] genap

1 + 1 = 2 genap jadi (1,1) [pic] 3 + 1 = 4 genap [pic](3,1) [pic]

1 + 2 = 3 ganjil jadi (1,2)[pic] 3 + 2 = 5 ganjil [pic](3,1) [pic]

1 + 3 = 4 genap jadi (1,3) [pic] 3 + 3 = 6 genap [pic](3,3) [pic]

1 + 4 = 5 ganjil jadi (1,4) [pic] 3 + 4 = 7 ganjil [pic](3,4) [pic]

2 + 1 = 3 ganjil [pic] (2,1) [pic] 4 + 1 = 5 ganjil [pic] (4,1) [pic]

2 + 2 = 4 genap [pic](2,2) [pic] 4 + 2 = 6 genap [pic] (4,2) [pic]

2 + 3 = 5 ganjil [pic] (2,3) [pic] 4 + 3 = 7 ganjil [pic] (4,3) [pic]

2 + 4 = 6 genap [pic] (2,4) [pic] 4 + 4 = 8 genap [pic] (4,4) [pic]

jadi relasi S = [pic]

b). Relasi H = [pic]

Jadi H = [pic]

Contoh 8 :

Misalkan A = B = R (himpunan bilangan real). Suatu relasi L pada R yang didefenisikan “lebih besar dari” adalah himpunan :

[pic], dengan demikian

(2,1) [pic] L ; (3,-1) [pic] L ; (5,0) [pic] L ; akan tetapi (1,2) [pic]L, sebab 1 < 2.

SIFAT-SIFAT RELASI BINER

➢ Refleksif. Suatu relasi L dari A ke A (disingkat pada A) dinamakan refleksif jika [pic]. Dengan kata lain setiap unsur didalam A berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi kesamaan [pic]adalah refleksif, tetapi < bukan relasi refleksif.

➢ Simetri. Suatu relasi L pada A dinamakan Simetri. jika [pic]berimplikasi [pic].

Misalkan A = himpunan para mahasiswa di UNHAS. L sebuah relasi pada A yang didefenisikan sebagai a berelasi L dengan b jika a sama jurusan dengan b, [pic]. Jelaslah bahwa a satu jurusan dengan b, tentunya b juga satu jurusan dengan a.

➢ Transitif Suatu relasi L pada A dinamakan transitif jika [pic] berimplikasi [pic]. jadi a berelasi b, b berelasi c, maka a berelasi dengan c. Relasi “[pic]” semuanya transitif.

Catatan; Bila suatu relasi L bersifat refleksif, simetri dan transitif, maka relasi L dinamakan : relasi ekivalensi

Contoh 9.

Misalkan L adalah relasi pada R x R

a). [pic]adalah hasil relasi refleksif dan transitif.

b). [pic] adalah relasi simetri

c). Didefenisikan suatu relasi “ S “ = mod. m (baca “sama dengan mod. m)

Himpunan [pic] adalah relasi reflexif, simetri dan transtif.

2.3 Fungsi Real

Fungsi memegang peranan penting dalam aljabar dan trigonometri.”Suatu fungsi adalah hal khusus dari suatu relasi biner” yang sudah dibicarakan pada bagian 2.2

Jika L suatu relasi dari A ke B yang bersifat untuk setiap [pic] berpasangan tepat satu dan hanya satu unsur [pic], maka L dinamakan sebuah “fungsi’. Dalam hal ini dikatakan” y adalah fungsi dari x” yang biasanya dilambangkan sebagai :

[pic]

x dinamakan peubah bebas dan y dinamakan peubah terikat karena nilainya tergantung pada x

Defenisi

Misalkan [pic], maka fungsi f dari A ke B , ditulis :

[pic] , dan

didefenisikan

sebagai suatu aturan pemasangan yang mengkaitkan setiap unsur [pic] dengan tepat satu unsur [pic]. Unsur yang berkaitan dengan unsur x ini dilambangkan sebagai [pic], yang dinamakan aturan fungsi.

Daerah asal fungsi f adalah himpunan A, ditulis :

A = Df

dan daerah hasil fungsi f adalah himpunan B, ditulis

B = Rf

dimana

[pic][pic]

Bilaman daerah asal tidak disebutkan secara spesifik, maka daerah asal yang dimaksud adalah “ daerah asal alamiah” (natural domain) dari fungsi f.

Catatan

• Istilah fungsi biasa juga disebut “pemetaan” (mapping).

• Daerah asal biasa disebut “daerah defenisi atau domain “

• Daerah hasil biasa juga disebut “daerah nilai atau Range”

Disini, Df atau Rf semuanya merupakan himpunan bagian dari R sehingga fungsi f ini dinamakan “ fungsi f dengan peubah real dan bernilai real “ , disingkat “ fungsi real’

Fungsi real y = f(x) dapat digambarkan dalam bentuk diagram panah seperti pada gambar 2.24.

Gambar diagram panah fungsi y = f(x).

Jadi jika kita mempunyai persamaan fungsi y = f(x) , [pic]maka :

f(x) adalah peta (image) dari x yang dibawa oleh f , dan x adalah prapeta (antesenden) dari y.

Jadi sebuah bilangan x dengan bayangannya f(x) direpresentasikan melalui sebuah titik P (x, f(x)), yang biasanya dituliskan sebagai titik P(x,y).

Himpunan titik (x,y) yang memenuhi y = f(x) dinamakan grafik fungsi f yaitu

[pic]

Ciri-ciri fungsi ditinjau dari diagram panah adalah

a) Setiap unsur didalam domain , melepaskan sebuah anak panah ke sebuah unsur didalam daerah hasil (range). Artinya tidak satupun unsur dalam domainnya yang tidak melepaskan sebuah anak panah.

b) Setiap anak panah yang dilepaskan dari daerah asal (domain akan mengenai tepat satu sasaran dalam daerah hasil. Ini berarti bahwa tidak mungkin sebuah anak panah akan mengenai lebih dari satu sasaran . Hal ini berbeda dengan suatu relasi yang memungkinkan hal tersebut bisa terjadi.

c) Mungkin saja terjadi kasus beberapa anak panah yang dilepaskan oleh masing-masing unsur didalam domain akan mengenai sasaran yang sama didalam daerah hasilnya.

GRAFIK

Misal kita mempunyai fungsi y = f(x), [pic] Nilai-nilai x direpresentasikan oleh absis atau sumbu x, sedangkan nilai-nilai f(x) direpresentasikan oleh ordinat atau sumbu y. Untuk menelusuri bayangan dari x atau ansenden dari y dapat ditunjukan oleh arah panah pada gambar 2.25.

Menelusuri image dari x (ikuti panah) Menelusuri anteseden dari y (ikuti panah)

Gambar 2.25

MENENTUKAN DOMAIN DAN RANGE SUATU FUNGSI

Domain f adalah suatu himpunan : [pic] dan

Range f adalah suatu himpunan : [pic]

Untuk menentukan domain dan range fungsi, perhatikan contoh-contoh berikut

Contoh .1.

Perhatikan gambar 2.26 merepresentasikan suatu grafik fungsi perubahan temperature pada suatu ruangan tertentu selama 24 jam.

[pic]

Misal persamaan fungsi temperatur adalah [pic]

maka [pic]

[pic] ; R* bilangan real non negatif.

▪ Dari grafik terlihat bahwa untuk [pic]

▪ f(14) = 21. pada jam 1400, temperature mencapai 21 0 C

▪ f(5) = 10, pada jam 5, temperature mencapai 100C

➢ Lengkapi hal berikut : jika [pic]

jika [pic]

➢ Tentukan suhu ruangan pada masing-masing : [pic]

➢ Tentukan nilai t yang bersesuaian dengan :[pic]

➢ Dalam hal ini [pic]mengapa ?

➢ Dalam gambar diatas f(t) >0, tetapi secara umum mungkinkah [pic], bilakah hal itu terjadi ..?

Contoh 2

Fungsi [pic] pada -1 ( x ( 2 mempunyai Domain [pic] dan Range [pic] gambar 2.28

Catatan

Pada contoh (2) ini, bilamana x dapat mengambil sembarang bilangan real (tidak dibatasi seperti contoh diatas) maka domainnya adalah domain natural yaitu [pic], sedangkan [pic].

Contoh .3.

Tentukan domain natural dan range dari fungsi berikut :

a. [pic] c. [pic]

b. [pic] d. [pic]

Solusi

a). [pic]

Agar [pic] (artinya f(x) ada ) syaratnya adalah [pic] yang dipenuhi oleh [pic] sehingga :

Daerah asal (Domain) fungsi f adalah [pic]

Karena untuk setiap [pic] berlaku [pic], maka [pic], sehingga Daerah nilai (Range) fungsi f adalah [pic]

Grafik fungsi [pic] diperlihatkan pada gambar 2.29

Gambar 2.29

b). [pic]

Agar [pic], syaratnya adalah penyebut tidak nol, berarti [pic]sehingga daerah asal fungsi g adalah

[pic]

untuk menentukan daerah nilainya , kita tuliskan

[pic] , kemudian nyatakan x dalam y, dan perhatikan syarat yang harus dipenuhi oleh y. Prosedurnya sebagai berikut :

[pic]

[pic]

jadi daerah nilai fungsi g adalah

[pic] [pic]

grafik fungsi g dengan daerah asal [pic]dan daerah hasil [pic] ditujukan pada gambar 2.30

c). [pic]

Agar [pic] , syaratnya [pic], sehingga Daerah asal fungsi h adalah

[pic]

Karena setiap [pic] sehingga daerah nilai fungsi h adalah

[pic]

Grafik fungsi h dengan daerah asal [pic]

dan daerah hasil [pic]ditunjukkan pada gambar 2.31

d). [pic]

karena penyebut adalah definit positif maka [pic] artinya f(x) terdefenisi untuk setiap [pic] , sehingga Df = R dan [pic]. mengapa ?

Grafiknya ditunjukkan pada gambar 2.32

Contoh .4

Berikut ini diberikan beberapa fungsi utama beserta daerah asal dan daerah hasilnya.

|No |Persamaan Fungsi f |Daerah Asal Natural Df |Daerah Nilai |Grafiknya berbentuk |

| | | |Rf | |

|1 |[pic] |[pic] |R |Garis lurus 2.33.a |

|2 |[pic] |R |[pic] |Parabola puncak (0,0), |

| | | | |terbuka keatas. 2.33.b |

|3 |[pic] |R |[pic] |Parabola puincak (0,0) |

| | | | |terbuka kebawah. 2.33b |

|4 |[pic] |R |R |Lengkungan. 2.33.c |

|5 |[pic] |[pic] |[pic] |Lihat gambar 2.33.d |

|6 |[pic] |[pic] |[pic] |Gambar 2.33.e |

|7 |[pic] |[pic] |[pic] |Gambar 2.33.f |

|8 |[pic] |R |[pic] |Garis datar sejajar sumbu x |

Grafiknya masing-masing ditunjukkan pada gambar 2.33

Contoh 5.

Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi [pic]

Solusi

Agar [pic] , syaratnya adalah [pic] . Dengan menyelesaikan pertaksamaan ini diperoleh

[pic]

jadi daerah asal fungsi f adalah

[pic]

sedangkan daerah nilai fungsi f dapat ditentukan dengan beberapa cara :

Cara 1

Tuliskan [pic] Unsur dibawah tanda akar dibuat bentuk kuadrat sejati, diperoleh. [pic] Kuadratkan kedua ruas diperoleh [pic]

[pic]

Bentuk ini merupakan persamaan bagian atas lingkaran yang berpusat dititik [pic] dan berjari-jari [pic] Akibatnya rentang nilai yang harus memenuhi [pic]Jadi daerah nilai f adalah [pic]

Cara .2

Tulis [pic] , kuadratkan, diperoleh

[pic]

karena fungsi f bernilai real, maka persamaan kuadrat dalam x ini harus mempunyai akar-akar real, syaratnya adalah deskriminan [pic] , yaitu

[pic]

jadi daerah nilai fungsi f adalah [pic]

Catatan : * Persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b) dengan jari-jari r adalah [pic]

* Deskriminan dari [pic]

Cara .3

Karena [pic], ini berarti

[pic]

[pic][pic]

[pic] Diskusikan di kelas (Dosen + Mahasiswa)

Lengkapi tabel berikut, dan jelaskan dengan argument yang benar untuk menjawab beberapa pertanyaan berikut.

|No |Persamaan fungsi f |Daerah asal Df |Daerah nilai Rf |Grafiknya Ci |

|1 |[pic] |- |- |- |

|2 |[pic] |- |- |- |

|3 |[pic] |- |- |-- |

|4 |[pic] |- |- |- |

|5 |[pic] |- |- |- |

|6 |[pic] |- |- |- |

|7 |[pic] |- |- |- |

[pic]

[pic]

Cari grafik fungsi yang bersesuaian Ci, i = 1,2, ….., 7

Soal Latihan

Untuk soal no 1 sampai dengan no 15, tentukan daerah asal dan daerah hasil/daerah nilai dari setiap fungsi berikut.

[pic]

TERMINOLOGI FUNGSI : FUNGSI PADA DAN FUNGSI SATU-SATU

Misalkan [pic] dan f suatu fungsi dari A ke B

[pic], maka

1) Fungsi f dikatakan fungsi pada (ontofunction) atau “Surjective” jika setiap unsur dalam himpunan B (range) merupakan bayangan satu atau beberapa unsur dalam himpunan A (domain), gambar 2.36.a

2) Fungsi f dikatakan fungsi satu-satu (one- to- one function) atau “injective” bila tidak ada dua unsure dalam himpunan A yang memiliki bayangan yang sama dalam himpunan B, gambar 2.36.b

3) Fungsi f dikatakan fungsi satu-satu dan pada one-to-one ontofunction atau bijective jika f fungsi pada dan sekaligus satu-satu, gambar 2.36.c

Catatan

• Untuk fungsi satu-satu, bila [pic]

• Jika A = B, fungsi f dari A ke A dinamakan fungsi pada A

Contoh

[pic] adalah fungsi yang bersifat satu-satu, sebab setiap unsure yang berlainan dalam daerah asal mempunyai bayangan yang berlainan pula. Bila ditarik garis-garis mendatar, maka setiap garis hanya memotong grafik f disatu titik.

SIFAT SIMETRI GRAFIK FUNGSI

Kadang-kadang dengan melihat kesimetrian dari suatu aturan atau grafik fungsi, sifat fungsi tersebut lebih mudah dikenali atau digambarkan. Sifat simetri yang langsung mudah dapat dikenali adalah simetri terhadap sumbu x, sumbu y atau simetri terhadap titik asal.

1. Simetri terhadap sumbu x. Grafik fungsi y = f(x) dikatakan simetri terhadap sumbu x jika (x,y) terletak pada grafik f maka (x,-y) juga terletak pada grafik f. Ini berarti grafik fungsi f sekaligus memuat titik (x,y) dan (x,-y), dengan kata lain kedua titik tersebut memenuhi persamaan fungsi f.

2. Simetri terhadap sumbu y, yaitu bahwa jika (x,y) terletak pada grafik fungsi f pada (-x,y) juga terletak pada grafik fungsi f.

3. Simetri terhadap titik asal, yaitu bahwa jika (x,y) terletak pada grafik fungsi f maka (-x,-y) juga terletak pada grafik fungsi f. Ini berarti grafik fungsi f memuat sekaligus titik (x,y) dan (-x,-y).

Contoh :

o Fungsi x = y2 dan 2y2 – 3x + 1 = 0, grafiknya simetri terhadap sumbu x.

o Fungsi y = x2 , grafiknya simetri terhadap sumbu y.

o Fungsi y = x3 dan lingkaran x2 + y2 = r-2, grafiknya simetri terhadap titik asal (0,0).

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

|Defenisi |

|Fungsi f dikatakan “Fungsi Genap” jika untuk setiap x ( Df berlaku |

|[pic] |

|Fungsi f dikatakan “Fungsi Ganjil” jika untuk setiap x ( Df berlaku |

|[pic] |

|Catatan : pada defenisi diatas, unsur x dan –x ( Df. |

Berdasarkan defenisi diatas, maka “grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y” dan grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal (0,0). Dari pengertian diatas, sebuah fungsi bukan fungsi genap jika terdapat suatu x ( Df sehingga f(-x) ( f(x) , dan bukan fungsi ganjil jika terdapat suatu x ( Df sehingga f(-x) ( -f(x).

Contoh :

1) a). Fungsi f(x) = x2 + 3 adalah fungsi genap, karena

f(-x) = (-x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x).

Dengan demikian grafiknya simetri terhadap sumbu y.

b). Fungsi f(x) = 5x4 – 3x2 + 1 adalah fungsi genap, karena

f(x) = 5(-x)4 – 3(-x)2 + 1 = 5x4 – 3x2 + 1 = f(x).

c). Fungsi f(x) = cos x adalah fungsi genap karena

f(-x) = cos(-x) = cos x = f(x)

d). Fungsi f(x) = [pic] adalah fungsi genap (periksa).

2) a). Fungsi f(x) = 2x3 + 4x adalah fungsi ganjil, karena

f(-x) = 2(-x)3 + 4(-x) = -2x3 - 4x = -(2x3 + 4x) = - f(x).

Dengan demikian grafiknya simetri terhadap titik asal (0,0).

b). f(x) = 4x5 + 2x3 – 6x adalah fungsi ganjil, karena

f(x) = 4(-x)5 + 2(-x)3 – 6(-x)

= -4x5 – 2x3 + 6x

= - (4x5 + 2x3 – 6x)

= - f(x).

3) a). Fungsi f(x) = x4 + x3 – 2x2 + 3 adalah bukan fungsi genap dan bukan fungsi ganjil, karena f(-x) =(-x)4 + (-x)3 – 2(-x)2 + 3

= x4 – x3 – 2x2 + 3 ( f(x) ( -f(x)

b). Fungsi f(x) = x + cos x adalah fungsi yang tidak genap dan juga tidak ganjil karena terdapat x = [pic] ( Df = ( sehingga f(-[pic]) ( f([pic]) dan f(-[pic]) ( -f([pic]).

4) Fungsi f(x) = 0 adalah fungsi genap dan sekaligus fungsi ganjil karena f(-x) = 0 = -0. Ini berarti f(-x) = f(x) dan f(-x) = -f(x)

5) Fungsi f(x) = [pic] tidak dapat dikelompokkan sebagai fungsi genap ataupun fungsi ganjil, karena Df = [0,() tidak memuat x dan –x secara bersamaan.

OPERASI PADA BEBERAPA FUNGSI

|Defenisi |

|Misalkan diberikan dua buah fungsi f dan g, dengan peubah bebas x, maka jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi dari f dan g |

|ditulis sebagai f + g ; f – g ; f.g dan [pic], didefenisikan sebagai |

|a). (f + g)(x) = f(x) + g(x) b). (f – g)(x) = f(x) – g(x) |

|c). (f g)(x) = f(x) . g(x) d). [pic] |

jika daerah asal fungsi hasil operasi aljabar ini ditentukan setelah aturan operasinya maka

a). Df + g = Df ( Dg b). Df – g = Df ( Dg

c). Df . g = Df ( Dg d). [pic] = Df ( Dg – { x ( R : g(x) = 0 }

Tampak bahwa Df + g = Df – g = Df . g ; tetapi tidak sama dengan [pic]

Contoh :

Diberikan [pic] dan [pic]; Tentukan aturan fungsi f + g ; f – g ; g – f ; f . g ; [pic]; [pic] dan tentukan daerah defenisinya masing-masing.

Solusi :

a). Jumlah dari f dan g adalah

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= [pic] = [pic]

daerah defenisinya adalah

Df + g = Df ( Dg = R – {-1} ( R – {0} = R – {-1,0}

Jadi daerah asal dari f + g adalah semua bilangan real kecuali -1 dan 0

b). Selisih dari f dan g adalah

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

= [pic]

daerah defenisinya (daerah asal) adalah :

Df – g = Df ( Dg = R – {-1} ( R – {0} = R – {-1,0}

Sedangkan

(g – f)(x) = g(x) – f(x) = [pic]

Daerah defenisi (daerah asal) adalah

Dg – f = Dg ( Df = R – {-1,0}

c) Hasil kali dari fungsi f dan g adalah

[pic]

d). Hasil bagi dari f dan g adalah

[pic]

Sedangkan

[pic]

Soal Diskusi Kelas

[pic]

Soal Latihan

1. Untuk setiap fungsi berikut, tentukan apakah fungsi genap atau fungsi ganjil atau bukan fungsi

genap dan bukan fungsi ganjil.

[pic]

2. a. Jika f fungsi ganjil dan g fungsi ganjil

Tunjukkan bahwa f+g dan f – g juga fungsi ganjil

b. Jika f fungsi genap dan g fungsi genap

Tunjukkan bahwa f + g , f.g dan f/g juga fungsi genap

c. Jika f fungsi genap dan g fungsi ganjil

Tunjukkan bahwa fg adalah fungsi ganjil.

3. Tentukan aturan fungsi f + g ; f – g dan f/g dari fungsi-fungsi berikut, kemudian tentukan

pula daerah asal dari hasil operasinya.

[pic]

FUNGSI-FUNGSI KHUSUS

1 FUNGSI POLINOM (FUNGSI SUKU BANYAK)

|Fungsi f yang didefenisikan sebagai |

|[pic] |

|dengan n bilangan bulat non negative dan a0 , a1 , ....., an adalah konstanta real, dinamakan “fungsi polinom (fungsi suku banyak)”.|

• jika [pic]maka “derajat” fungsi polinom tersebut adalah n.

• jika n = 0, maka diperoleh [pic] untuk semua x, maka fungsi polinom tersebut adalah fungsi konstan. Jadi suatu fungsi konstan yang nilainya tidak nol dianggap sebagai suatu fungsi polinom yang derajatnya nol

• jika [pic] dan n = 0, maka derajat fungsi polinom tidak terdefenisi. Fungsi polinom tanpa derajat ini disebut “ fungsi nol” oleh karena nilainya [pic] untuk semua x

• Fungsi linier adalah fungsi polinom berderajat 1, yang dapat dituliskan dalam bentuk [pic]

Grafiknya merupakan garis lurus dengan tanjakan a dan memotong sumbu y dititik (0,b). (gambar 2.34)

Jika a = 1 dan b = 0 diperoleh [pic]yang dinamakan fungsi kesatuan.

• Fungsi Kuadrat adalah fungsi polinom berderajat 2 yang dapat dituliskan dalam bentuk [pic]

Grafiknya adalah suatu parabola yang simetri dengan garis vertikal [pic] , dan mempunyai titik puncak di [pic] dimana [pic]

Grafik ini terbuka keatas bila a > 0 dan terbuka kebawah bila a < 0 (gambar 2.35).

Gambar 2.34.a Gambar 2.34.b Gambar 2.34.c

Grafik Fungsi Konstan Grafik Fungsi Kesatuan Grafik Fungsi Linier

Gambar 2.35

Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat dapat terjadi dalam beberapa kasus yaitu : memotong sumbu x didua titik; menyinggung sumbu x (memotong sumbu x di satu titik) dan tidak memotong sumbu x. kasus ini digambarkan sebagai berikut :

[pic]

Gambar 2.36

Contoh

1. Misalkan C1 , C2 , C3 , berturut-turut grafik fungsi kuadrat [pic], lihat gambar 2.37

[pic]

Gambar 2.37

Perhatikan bahwa grafik C2 lebih ramping dari grafik C1, sedangkan grafik C3 lebih lebar dari C1.

2. Misalkan C1, C2 , C3 , C4 dan C5 berturut-turut grafik dari fungsi kuadrat berikut : [pic] lihat gambar 2.38

[pic]

Perhatikan gambar 2.38

Grafik C2 diperoleh dengan menggeser C1 sejauh 3 satuan diatas titik asal (0,0). Grafik C3 dipeorleh dengan menggeser C1 sejauh 3 satuan kesebelah kiri titik asal. Grafik C4 diperoleh dengan menggeser C1 sejauh 4 satuan disebelah kanan titik asal dan 1 satuan dibawah sumbu x. Sedangkan grafik C5 adalah cerminan C1 terhadap sumbu x.

• Fungsi Kubik (Fungsi Pangkat Tiga) adalah fungsi polinom berderajat 3 yang dapat dituliskan dalam bentuk

[pic]

Grafik fungsi kubik ini selalu memotong sumbu x paling sedikit di satu titik.

Untuk kasus a > 0, grafiknya selalu naik atau mempunyai dua titik puncak (gambar 2.39a).

Untuk kasus a < 0, grafiknya selalu turun atau mempunyai dua titik puncak (gambar 2.39.b).

Gambar 2.39.a Gambar 2.39.b

2. FUNGSI RASIONAL adalah suatu fungsi yang dapat dituliskan sebagai hasil bagi dua fungsi polinom, yaitu :

[pic]

Untuk semua x yang membuat penyebut tidak nol

Contoh

[pic] adalah fungsi rasional

3. FUNGSI IRRASIONAL, adalah fungsi aljabar yang tidak rasional yaitu mengandung fakctor penarikan akar.

Contoh

[pic]

semuanya adalah fungsi irrasional.

Perhatikan pula grafik fungsi irrasional berikut :

gambar 2.40

Perhatikan gambar 2.40 bahwa grafik C2 diperoleh dengan menggeser grafik C1 sejauh 1 satuan disebelah kiri sumbu y. Grafik C3 diperoleh dengan menggeser C1 sejauh 1 satuan disebelah kanan sumbu y.

2.4. Fungsi Nilai Mutlak

Domain : R, himpunan bilangan real

Range : Bilangan real non negatif

Lambang : [pic]

Defenisi : [pic]

Grafik : gabungan dua buah “semi garis”, yaitu :

[pic]

Fungsi ini mempunyai dua aturan yaitu fungsi [pic] pada selang [pic] dan fungsi [pic] pada selang [pic], sehingga [pic], dan fungsi f berubah sifat dititik x = 0

Gambar 2.41

Fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak dapat dituliskan sebagai fungsi dengan “banyak aturan”.

Contoh :

1. fungsi [pic] dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua aturan yaitu :

[pic]

f berubah sifat di x = 2

(gambar 2.42)

Gambar 2.42

2. fungsi [pic]dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua aturan yaitu

[pic]

f berubah sifat di x = 0

(gambar 2.43)

gambar 2.43

3. fungsi [pic]dapat dituliskan sebagai fungsi dengan tiga aturan yaitu:

[pic]

f berubah sifat dititik x = 0 dan x = 3

(gambar 2.44)

Grafik f merupakan gabungan tiga buah

semi parabola gambar 2.44

4. fungsi [pic] dapat dituliskan sebagai fungsi dengan dua aturan, yaitu :

[pic]

f berubah sifat di x =-1

(gambar 2.45)

gambar 2.45

2.5.Fungsi Bilangan Bulat Terbesar (Fungsi Tangga)

Domain : R

Range : Himpunan bilangan bulat

Lambang : [pic] menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x,

yaitu :

[pic]

Fungsi [pic] dinamakan fungsi bilangan bulat terbesar.

Grafiknya : menyerupai tangga . Gambar 2.46.

Jika [pic], maka tak hingga banyaknya bilangan bulat yang lebih kecil atau sama dengan x, yang pada garis bilangan digambarkan disebelah kiri x

bilangan bulat yang [pic]

diantara semua bilangan bulat tersebut ada “yang terbesar” dan bilangan terbesar inilah yang dimaksud [pic]

Contoh

▪ jika x = 3,6 , maka terdapat bilangan bulat -2, -1, 0 , 1 , 2 , 3 yang semuanya lebih kecil dari 3,6. Dan diantara barisan bilangan tersebut, bilangan bulat 3 yang terbesar, sehingga [pic]

▪ demikian juga jika x = -2, maka terdapat ......, -5 , -4 , -3 , -2 yang semuanya lebih kecil atau sama dengan -2, dan diantara barisan bilangan tersebut, bilangan bulat -2 yang terbesar sehingga [pic].

Jadi

▪ [pic], sebab bilangan 3 adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 3,6

▪ [pic], sebab bilangan -2 adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari -1,4

Demikian juga

[pic]

Untuk menggambarkan grafik fungsi [pic], perhatikan langkah=langkah berikut :

[pic]n bilangan bulat.

Jika dipilih n = -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , diperoleh :

[pic]

jadi [pic]

grafiknya digambarkan pada gambar 2.46

Contoh

Gambarkan grafik dari

[pic]

Jawab:

a). Menurut defenisi bilangan bulat terbesar :

[pic]

pada ketiga ruas (ingat sifat pertidaksamaan) diperoleh

[pic]

Sehingga :

[pic]

jadi

[pic]

grafiknya ditunjukkan pada gambar 2.47

b). [pic]

karena [pic]

agar [pic]

[pic]

Grafik ditujukan pada gambar 2.48

c). [pic]

Menurut defenisi bilangan bulat terbesar

[pic]

grafiknya ditunjukkan pada gambar 2.49

Gambar 2.49

Soal Latihan

Gambarkan grafik fungsi berikut:

1. [pic] 11. [pic]

2. [pic] 12. [pic]

3. [pic] 13. [pic]

4. [pic] 14. [pic]

5. [pic] 15. [pic]

6. [pic] 16. [pic]

7. [pic] 17. [pic]

8. [pic] 18. [pic]

9. [pic] 19. [pic]

10. [pic] 20. [pic]

2.6. Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers .

2.6.1 FUNGSI KOMPISISI (FUNGSI BERSUSUN)

Misalkan f dan g dua fungsi yang didefinisikan sebagai berikut :

f : A ( B dan g : B ( C,

Jika Rf ( Dg ( ( , maka terdapat fungsi h : A ( C yang merupakan fungsi komposisi dari f dan g ( f dilanjutkan g) yang ditulis g o f dan aturannya ditentukan oleh :

h(x) = (g (f)(x) = g(f(x))

Daerah asal dan daerah hasil fungsi komposisi g o f masing-masing adalah :

Dg ( f = {x(A ( f(x)( B}={x ( Df |f(x) ( Dg}, dan

Rg ( f = {y(C ( y = g(t), t(Rf }

Dalam hal ini Dg o f adalah himpunan bagian dari Df. Selanjutnya, fungsi komposisi f o g dirancang serupa, dengan f dan g saling bertukar peran.

Misalnya Rg ( Df ( (, maka fungsi komposisi dari f dan g (g dilanjutkan f) ditulis f o g dan aturannya ditentukan oleh

( f o g ) (x) = f ( g(x) )

Daerah asal dan derah hasil fungsi komposisi f o g masing-masing adalah

Df o g = { x ( Dg | g(x) ( Df } dan

Rf o g = { y ( Rf | y = f(t), t ( Rg }

Dalam hal ini Df o g adalah himpunan bagian dari Dg.

Catatan :

f o g ( g o f

Contoh1:

Tentukan fungsi komposisi f(g; g(f dan tentukan pula daerah definisi fungsi komposisinya dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = [pic] ; g(x) = 2x + 1

b. f(x) = [pic] ; g(x) = [pic]

c. f(x) = [pic] ; g(x) = 2[pic]

Penyelesaian:

a. f(x) = [pic] ; g(x) = 2x + 1

i) menentukan f( g:

Rg ( Df = (-(, +() ( [0, +() = [0, +() ( (, ini berarti menjamin adanya fungsi komposisi f( g dengan persamaan :

(f( g)(x) = f(g(x)) =f(2x +1) = [pic] dan daerah definisinya adalah :

Df(g ={x( Dg ( g(x) ( Df }

= {x(R| 2x+1( [0,(}

= {x(R| 2x+1 ( 0} = [- ½ , ().

ii) menentukan g( f:

Rf ( Dg = [0, +() ( (-(, +() = [0, +() ( (, ini berarti menjamin adanya fungsi komposisi g( f dengan persamaan :

(g( f)(x) = g(f(x)) = [pic] dan daerah definisinya adalah :

Dg(f = {x(Df ( f(x) ( Dg } = {x ( [o,()|[pic]

= {x ( [o,()| -( < [pic]< (}

= {x ( [o,()| 0 < x < ( } = [0, ()

b. f(x) = [pic] ; g(x) = [pic] (lakukan penyelidikan seperti soal (a) dan diskusikan)

i) menentukan (f( g)(x)

(f o g)(x) = f(g(x)) =[pic]= [pic] = [pic]

dan daerah definisinya: Df(g = {x( x > 2} = (2,+().

ii) menentukan (g( f)(x) = g(f(x)) =[pic]= [pic] dan daerah definisinya: Dg(f = (0,2) ( (2,+()

c. f(x) = [pic]; g(x) = [pic] ; ingat : [pic]

i) menentukan f( g:

Syarat adanya fungsi komposisi f( g adalah Rg ( Df ( ( .

Rg ( Df = [0,+() ( [4, +() = [4, +() ( (, ini berarti ada fungsi komposisi f( g dengan persamaan :

(f( g)(x) = f(g(x)) = [pic] dan

daerah definisinya Df(g =(-(, -2] ( [2,+()

ii) menentukan g( f:

Rf ( Dg = [0, +() ( (-(, +() = [0, +() ( (, ini berarti menjamin adanya fungsi komposisi g( f dengan persamaan :

(g( f)(x) = g(f(x)) = [pic]

dan daerah definisinya Dg(f = {x( x( 4} = [4, +().

Perhatikan:

Menurut definisi 2.2.3.2 dapat dituliskan

[pic]

tetapi bagian (ii) bernilai negatif, sedangkan definisi harga mutlak selalu bernilai non negatif. Ini berarti bagian (ii) tidak memenuhi sehingga [pic]

Contoh 2:

Nyatakan fungsi berikut sebagai komposisi dari dua atau tiga fungsi.

a. F(x) = [pic]

b. G(x) = [pic]

c. H(x) = ln(sin(1/x))

Penyelesaian:

a. F(x) = [pic] , dapat ditulis dalam dua komposisi fungsi dengan f(x) = [pic] dan g(x) = x2 + x – 2

b. G(x) = [pic] ; dapat ditulis dalam dua komposisi fungsi (f( g)(x) = f(g(x)) dengan f(x) = [pic] dan g(x) = 1 – cos x atau f(x) = [pic] dan g(x) = cos x atau kalau dinyatakan dalam 3 komposisi fungsi sebagai berikut:

G(x) = (f( g ( h)(x) = f(g(h(x))) dengan h(x) = cos x; g(x) = 1-x; f(x )= [pic]

Perhatikan cara pengerjaannya cukup sederhana :

Misalkan cos x = h ; 1 – cos x = 1- h = g dan [pic]= f sehingga

G(x) = f(g(h(x))) = (f(g(h)(x)

G(x) = f(g(h(x)) = f(g(cos x)) = f(1-cos x) = [pic]

c. H(x) = ln(sin(1/x)) dapat ditulis dalam dua komposisi fungsi (f( g)(x) = f(g(x)) dengan f(x) = ln x dan g(x) = sin(1/x), dan dapat pula ditulis dalam 3 komposisi fungsi : (f(g( h)(x) = f(g(h(x))) dengan h(x) = ln x; g(x) = sin x dan f(x) = 1/x.

Contoh 3

Tentukan aturan fungsi f(x) jika diketahui (g o f)(x) = 8x2 + 2x + 1 dan g(x) = 2x + 1

Solusi

g(x) = 2x + 1 ( (g o f)(x) = g(f(x)) = 2. f(x) + 1 ………..(1)

(g o f)(x) = 8x2 + 2x + 1

g(f(x)) = 8x2 + 2x + 1 ………(2)

dari (1) dan (2) diperoleh :

2. f(x) + 1 = 8x2 + 2x + 1

2f(x) = 8x2 + 2x

f(x) = [pic]

f(x) = 4x2 + x

Contoh 4

Jika f(x) = 1 – x dan g(x) = [pic], tentukan fungsi komposisi [pic]

Solusi

G(x) = [pic] ( [pic], maka

[pic] = [pic]

[pic] = [pic]

Contoh 5

Jika F(x) = 9 – x2 dan G(y) = [pic]

Tentukan fungsi komposisi (G o F)(t)

Solusi

(G o F)(t) = G(F(t))

= G(9 – t2)

= [pic], dengan 9 – t2 > 0

Diskusi kelas (Mahasiswa dan Dosen)

1. Diketahui (f o g)(x) = [pic] dan g(x) = x – 2

Tentukan :

a. Aturan fungsi f(x)

b. Syarat yang menjamin eksistensi fungsi komposisi (f o g)(x)

c. Domain fungsi komposisi Df o g

d. [pic]

2. Jika f(x) = 3x + p2 dan g(x) 6x

Tentukan nilai p agar f(x) = [pic]

2.6.2 FUNGSI INVERS (FUNGSI BALIKAN)

Perhatikan kembali definisi fungsi satu-satu pada pembahasan terdahulu. Jika f : A ( B suatu fungsi dari A ke B. f dikatakan “fungsi satu-satu” jika dan hanya jika untuk setiap dua elemen x1, x2 ( A , x1( x2 mengakibatkan f(x1) ( f( x2). Dengan kata lain f dikatakan fungsi satu-satu jika hanya jika tidak terdapat dua elemen berlainan dalam daerah asal yang memiliki pemadanan (peta) yang sama dalam daerah nilai.

Secara geometri, grafik fungsi satu-satu dapat diperiksa dengan menarik garis mendatar sejajar sumbu x. Setiap garis mendatar y = k , k ( Rf, hanya memotong grafik fungsi di satu titik. Fungsi f bersifat satu-satu (one-to-one function) menjamin adanya fungsi invers (fungsi balikan ) f –1.

Definisi 2.3.2.1:

Jika f fungsi satu-satu dengan persamaan y = f(x), maka fungsi f–1 yang didefinisikan oleh x = f –1(y) dinamakan fungsi invers (balikan) dari f. Daerah asal f –1 adalah daerah nilai f dan daerah nilai f –1 adalah daerah asal f

Teorema 1:

Sebuah fungsi dari A ke B mempunyai fungsi invers f –1 dari B ke A jika dan hanya jika f adalah fungsi monoton (naik atau turun)

Teorema 2:

Misalkan f fungsi satu-satu dengan fungsi balikan f –1 , maka f –1 adalah fungsi satu-satu dengan fungsi balikan f.

Jadi :

f –1 (f(x)) = x , ( x( Df dan f( f –1(y)) = y , ( y( [pic]

Grafik fungsi f dan grafik fungsi f –1 simetri terhadap garis y = x (fungsi kesatuan).

f memetakan unsur x ke unsur y ( f –1 memetakan unsur y ke unsur x atau y=f(x) ( f –1(y) = x. Ini menunjukkan bahwa koordinat titik (x,y)( grafik fungsi f ( koordinat titik (y,x) ( grafik fungsi f –1 .

Contoh 1:

Tentukan fungsi balikan dari fungsi-fungsi berikut:

1. f(x) = ax + b, a,b bilangan konstan , a( 0

2. f(x) = [pic]

3. f(x) = x2 + 2x – 3, x ( -1

4. f(x) = [pic]

5. f(x) = x + 2; x>0 dan g(x) = 15/x ; x>0, tentukan nilai x yang memenuhi (f--1( g-1)(x) = 1

Penyelesaian:

1. f(x) = ax + b, atau

y = ax + b ( y – b = ax ( x = [pic]

Jadi

x = f –1(y) = [pic]

Jadi f(x) = ax + b mempunyai fungsi invers :

x = f –1(y) = [pic]

jika y diganti dengan x, maka dapat kita tuliskan

f –1(x) = [pic] jadi f(x) = ax+b(f -1(x)=[pic]

Penggantian variabel y dengan x dimaksudkan agar grafik fungsi f dan f –1 dapat digambarkan pada sistem sumbu yang sama.

2. f(x) = [pic] maka

y = [pic] adalah fungsi satu-satu.

( y(x – 2) = x + 4

( yx – 2y = x + 4

( yx –x = 2y + 4

( x(y – 1) = 2y + 4

( x = [pic]

jika variabel y diganti dengan x diperoleh :

[pic]

jadi :

f(x) = [pic] ( f -1(x) =[pic]

3. f(x) = x2 + 2x – 3 ; x ( -1; f(x) bersifat satu-satu untuk x ( -1

tuliskan y = x2 + 2x – 3 ( y = x2 + 2x + (1-1) – 3

( y = x2 + 2x +1 – 4 ( y = (x + 1)2 – 4 ( y + 4 = (x+1)2

( x + 1 = [pic] maka x = [pic] - 1

sehingga [pic] atau dengan mengganti variabel y dengan x diperoleh: fungsi balikan dari f adalah: [pic]

Jadi f(x) = x2 + 2x – 3 ; untuk x ( -1 maka fungsi inversnya adalah: [pic] untuk x ( -4

Catatan:

Untuk membuktikan kebenarannya dapat diuji dengan rumus f –1(f(x)) = x.

Jadi

f –1(f(x)) = f –1(x2 + 2x – 3)

= [pic] = x + 1 – 1 = x

Grafik f dan f -1 ditunjukkan pada gambar 23. Grafik f dan f -1 simetri terhadap garis y = x. Dengan kata lain grafik f -1 adalah cerminan dari grafik f terhadap cermin y = x.

4. f(x) = [pic] atau y = [pic] adalah fungsi satu-satu ( y3 = x + 1 maka x = y3 – 1 atau f –1(y) = y3 – 1 , jika y diganti dengan x diperoleh:

f –1(x) = x3 – 1 jadi f(x) = [pic]

uji kebenaran hasil yang diperoleh :

f –1(f(x)) = f –1([pic]) = [pic] = x + 1 – 1 = x (benar)

5. f(x) = x + 2, untuk x > 0 dan g(x) = 15/x , untuk x > 0, diperoleh

f –1(x) = x - 2 dan g –1(x) = 15/x.

Diketahui bahwa

(f -1( g –1)(x) = 1 ( f -1(g -1(x))=1

← f –1(15/x) = 1 ( (15/x) – 2 = 1 ( 15/x = 3 maka x = 5.

Beberapa rumus praktis untuk menghitung fungsi invers:

1. Jika f(x) = ax + b , a(0 maka [pic]

2. Jika [pic] maka [pic]

3. Jika f(x) = ax2 + bx + c; a(0 maka [pic]

4. Jika (f( g)(x) adalah fungsi komposisi maka inversnya: (f( g) -1 (x) = (g -1( f –1)(x)

5. (f -1( g –1)(x) = f –1( g –1)(x))

2.7 Fungsi Transenden

Fungsi yang dibahas pada uraian terdahulu adalah fungsi-fungsi Aljabar. Selanjutnya, fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden, meliputi fungsi trigonometri dan inversnya, fungsi logaritma dan inversnya.

2.7.1. FUNGSI TRIGONOMETRI DAN INVERSNYA

Perhatikan suatu titik P(x,y) pada sistem koordinat kartesian, ditransformasi menjadi titik P’(u,v) pada sistem koordinat kutub (polar), maka diperoleh hubungan persamaan:

sin x = [pic]

cos x = [pic];

r = jari-jari lingkaran kutub yang berpusat di titik asal O

Apabila dipilih sebuah lingkaran satuan (r =1), diperoleh hubungan :

sin x = v ; tan x = [pic] ; sec x = [pic]

cos x = u ; cot x = [pic] ; cosec x = [pic]

Pilih sudut ( = x, P’ disebut titik tunggal pada lingkaran satuan dengan pusat O. Perhatikan bahwa titik P’(u,v) pada lingkaran satuan di atas berpadanan dengan bilangan x, tetapi juga berpadanan dengan tiap bilangan (x+k.2() dengan k bilangan bulat sembarang sehingga berlaku :

v = sin x = sin(x+2k()

u = cos x = cos(x+2k() ; k = 0,(1, (2, ……

Ini berarti nilai-nilai fungsi trigonometri berulang dalam selang-selang kelipatan 2(. Oleh karena itu fungsi trigonometri disebut periodik. Suatu fungsi f disebut periodik jika terdapat suatu bilangan positif p sedemikian sehingga:

f(x+p) = f(x), untuk setiap x (Df

bilangan positif p terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut “periodik fungsi”. Fungsi Sinus, Cosinus, Secan, Cosecan mempunyai periode ((. Fungsi tangen dan cotangen mempunyai perioda (.

2.7.1.1 Ukuran Sudut dan Ukuran Radian

( = 1800 maka 10 = [pic] jadi x0 = [pic]

Ukuran sudut dalam derajat dan radian serta nilai-nilai fungsinya yang sering digunakan disajikan dalam tabel berikut:

|Ukuran sudut |Nilai Fungsi |

|x dalam | |

|Derajat |Radian |sin x= v |cos x=u |tan x=[pic] |cot x=[pic] |sec |csc x=[pic] |

| | | | | | |x=[pic][pic]| |

|00 |0 |0 |1 |0 |( |1 |( |

|300 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |2 |

|450 |[pic] |[pic] |[pic] |1 |1 |[pic] |[pic] |

|600 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |2 |[pic] |

|900 |[pic] |1 |0 |( |0 |( |1 |

|1200 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |-2 |[pic] |

|1350 |[pic] |[pic] |[pic] |-1 |-1 |[pic] |[pic] |

|1500 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |2 |

|1800 |[pic] |0 |-1 |0 |-( |-1 |( |

|2700 |[pic] |-1 |0 |-( |0 |( |-1 |

|3600 |[pic] |0 |1 |0 |( |1 |( |

Perhatikan pula segitiga siku-siku ABC siku – siku di B

Perhatikan : Ani (murid SMP) punya cara tersendiri menghitung nilai sinus dan cosinus untuk sudut-sudut istimewa 00, 300, 450, 600, 900 dengan menggunakan tangan kanan.

sin 00 = [pic] = 0 sin 450 = [pic] sin 900 = [pic] = 1

sin 300 = [pic] sin 600 = [pic]

cos 00 = [pic] = 1 cos 300 = [pic] cos 450 = [pic]

cos 600 = [pic] cos 900 = [pic]

2.7.1.2 Rumus-Rumus Kesamaan Trigonometri:

1. sin(-x) = - sin(x)

2. cos(-x) = cos(x)

3. tan(-x) = -tan(x)

4. sin(x ( [pic]) = cos(x)

5. cos(x ( [pic]) = [pic] cos(x)

6. tan(x ( [pic]) = [pic]cot(x)

7. sin2x + cos2x = 1

8. 1 + tan2x = sec2x

9. 1 + cot2x = cosec2x

10. sin2x = 2 sin x cos x

11. cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x - 1 = 1 – 2sin2x

12. sin2([pic]) = [pic](1 - cos x)

13. cos2([pic]) = [pic](1+ cos x)

14. sin (x ( y) = sin x cos y ( sin y cos x

15. cos (x ( y) = cos x cos y [pic] sin y sin x

16. tan(x ( y) = [pic]

17. sin x + sin y = 2 sin([pic])cos([pic])

18. cos x + cos y = 2 cos([pic])cos([pic])

Grafik Fungsi Trigonometri:

1. Grafik y = sin x dan y = cos x

2. Grafik y = tan x

3. Grafik y = cot x

4. Grafik y = Sec x

5. Grafik cosec x

Contoh 1:

Tentukan perioda kemudian gambar grafik dari fungsi-fungsi berikut:

a. f(x) = 3 sin (1/2)x

b. g(x) = sin 2x

c. h(x) = [pic]

Penyelesaian:

a. f(x) = 3 sin (1/2)x; karena sin x mempunyai perioda 2(, berarti sin(1/2)x mempunyai perioda 4(, berarti f(x) = 3sin(1/2)x berperioda 4(

f(x) memotong sumbu x jika 3 sin(1/2)x = 0, yaitu untuk x = 0, (2(, (4(, (6(,…

f(x) mencapai maksimum 3 bila x = ( ( 4k(, k = 0, ( 1, ( 2, ……

f(x) mencapai minimum -3 bila x = -( ( 4k(, k = 0, ( 1, ( 2, ……

Gambar Grafik sebagai berikut:

b. f(x) = sin 2x; karena sin x mempunyai perioda 2(, berarti sin 2x mempunyai perioda (.

g(x) memotong sumbu x jika sin 2x = 0, yaitu untuk x = 0, ( (/2, ( (, ( 3(/2,…

g(x) mencapai maksimum 1 bila x = (/4 ( k(, k = 0, ( 1, ( 2, …

g(x) mencapai minimum -1 bila x = -(/4 ( k(, k = 0, ( 1, ( 2, ……

Gambar Grafik sebagai berikut:

c. h(x) = [pic], h(x) selalu non negatif yaitu [pic] ( 0 ( sin 2x ( 0 ( sin 2x 0 maka:

[pic]

grafik y = ln x memotong sumbu x hanya dititik (1,0), disebelah kanan titik (1,0), grafiknya berada di atas sumbu x dan disebelah kiri titik (1,0), grafiknya berada dibawah sumbu x. Lengkungan grafiknya kontinu, monoton naik dan cekung ke bawah.

Sifat-Sifat Logaritma Asli

Misalkan a dan b bilangan positif dan n bilangan rasional sembarang maka berlaku:

1. ln 1 = 0 ; karena ln 1 = [pic]

2. ln ab = ln a + ln b

3. [pic] = ln a - ln b

4. ln an = n ln a

Contoh 1:

Diketahui nilai hampiran ln 3 ( 1,0986, gunakan hasil ini untuk menentukan nilai:

a. ln 9

b. ln 27

c. ln [pic]

d. ln [pic]

Penyelesaian:

ln 3 = [pic] ( 1,0986, maka:

a. ln 9 = ln 32 = 2 ln 3 = 2 (1,0986) ( 2,1972

b. ln 27 = ln 33 = 3 ln 3 = 3 (1,0986) ( 3,2958

c. ln [pic] = ln 3 -1 = -1 ln 3 = -1 (1,0986) ( -1,0986

d. ln [pic] = ln 3 -2 = -2 ln 3 = -2 (1,0986) ( -2,1972

Definisi:

i. Persamaan ln x = 1 mempunyai solusi tunggal yang dinyatakan oleh e, yaitu:

ln e = 1

e = 2,71828182845… (nilai hampiran)

e disebut bilangan Euler (Leonard Euler)

ii. Jika x bilangan riil maka ex bilangan tunggal yang memenuhi : ln ex = x, x((

Contoh 2:

Gunakan sifat-sifat logaritma asli untuk menyederhanakan fungsi: [pic]

Penyelesaian:

[pic]

[pic]

2.7.2.2 FUNGSI LOGARITMA DENGAN BASIS BUKAN e

Fungsi logaritma dengan basis a ditulis:

y = f(x) = alog x atau y = alog x dengan a > 0 dan a ( 1

Pada pembahasan lebih lanjut akan ditunjukkan bahwa :

y = alog x ( y = ax

Sifat-Sifat

Misalkan x dan y bilangan positif dan n bilangan rasional sembarang maka berlaku:

1. alog 1 = 0

2. alog xy = alog x + alog y

3. alog [pic] = alog x - alog y

4. alog xn = n alog x

5. alog x = [pic]

2.7.2.3. FUNGSI EKSPONEN

Definisi:

Fungsi eksponen didefinisikan sebagai :

f(x) = ex atau y = ex, x(( dengan domain (-(,+() dan

rangenya adalah (0,+()

Teorema:

y = ex ( x = ln y

Bukti:

← y = ex ( ln y = ln ex = x ln e = x

jadi y = ex ( x = ln y …………………(1)

( jika x = ln y ( ln ex = ln y ( ex = y

jadi x = ln y ( y = ex …………………(2)

dari (1) dan (2) diperoleh:

y = ex ( x = ln y (terbukti)

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa :

“fungsi eksponen saling invers dengan fungsi logaritma”

Jadi :

Jika f(x) = ln x ( f –1(x) = ex

Jika f(x) = ex ( f –1(x) = ln x

❖ ln (ex) = x, untuk x((

❖ eln x = x, untuk x > 0

Sifat-Sifat Eksponen

Jika a dan b bilangan riil sembarang, maka berlaku:

1. e0 = 1

2. eaeb = ea+b

3. [pic]

4. [pic]

2.7.2.3.1 FUNGSI EKSPONEN BASIS BUKAN e

Definisi:

Jika a bilangan positif dan x bilangan riil, maka fungsi f dengan persamaan:

f(x) = ax atau y = ax

disebut fungsi eksponen basis a

Batasan :

y = alog x ( x = ay dengan a>0 , a ( 1, dan y positif

1. Jika y = alog x maka ay = [pic], tetapi ay = x berarti [pic] = x dengan a>0

2. Jika y = ln x maka a = ey = eln a, jika keduanya dipangkatkan x diperoleh:

[pic] [pic]

Sifat-Sifat

Jika a dan b bilangan positif dan dan x, y bilangan riil, maka berlaku:

1. a0 = 1

2. axay = ax+y

3. [pic]

4. [pic]

5. axbx = (ab)x

6. [pic]

SOAL-SOAL LATIHAN FUNGSI TRANSENDEN

I. Trigonometri

1. Gunakan kesamaan trigonometri untuk menghitung nilai:

a. sin 1350 ; cos 1350 c. tg 150

b. cos 150 d. [pic]

2. Tentukan periode fungsi-fungsi berikut:

a. [pic]

b. g(x) = sin(2x+(/4) c. h(x) = sin6x + cos6x

3. Tentukan periode dan gambar grafik fungsi-fungsi berikut:

a. [pic] c. [pic]

b. [pic] d. [pic]

4. Tentukan fungsi komposisi f( g dan g( f dan daerah definisi fungsi komposisinya dari:

a. [pic]

b. [pic]

5. Tuliskan fungsi berikut sebagai komposisi dari beberapa fungsi:

a. [pic]

b. [pic]

6. Diketahui fungsi [pic]:

a. Tentukan periode fungsi f

b. Pilih sebuah selang dimana grafik fungsi f kontinu dan monoton turun kemudian tentukan fungsi invers f –1 pada selang tersebut, dan gambarkan grafik f dan f –1 pada satu sistem sumbu.

7. Tentukan nilai x yang memenuhi:

a. [pic] (jawab : x = 1)

b. [pic] (jawab : x = (/2)

II. Fungsi Logaritma dan Eksponen

8. Gunakan sifat-sifat logaritma untuk menyederhanakan bentuk-bentuk berikut:

a. [pic]

b. [pic]

c. [pic]

d. [pic]

e. [pic]

9. Hitung nilai dari:

a. [pic]

b. [pic]

c. [pic]

d. [pic]

e. [pic]

10. Tentukan daerah definisi dari:

a. [pic]

b. [pic]

c. [pic]

11. Tentukan daerah definisi, kemudian gambar grafik fungsi dari:

a. [pic]

b. [pic]

12. Tentukan fungsi komposisi f( g ; g( f dan (f -1( g)(x) jika diberikan:

f(x) = 10x dan g(x) = log(x2)

13. Jika [pic] dan [pic] nyatakan [pic] dalam bentuk a dan b. (jawab [pic] )

14. Jika [pic], nyatakan [pic] dalam x (jawab : x/2)

15. Jika [pic], hitung nilai dari: [pic] (jawab : 1/512)

16. Tentukan nilai x yang memenuhi [pic] dan x - y =1

(jawab : x = [pic]

17. Tentukan nilai x yang memenuhi f(x) = 1 jika [pic]

18. Tentukan himpunan penyelesaian dari:

a. [pic]

b. [pic]

c. [pic] (jawab) x>2)

III. Selesaikan soal berikut :

1. Misal A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} dan B = {0,1,2,3,4,5,6}

Dimana [pic]

Pada setiap relasi R2 yang diberikan :

a. Gambar grafik rekasinya.

b. Tentukan daerah defenisi dan daerah nilainya.

2. Tentukan domain dan range dari fungsi berikut [pic]

3. Gambarlah grafik fungsi [pic] dengan cara menggeser grafik fungsi y = x2

4. Ubahlah persamaan fungsi berikut dalam bentuk tidak mengandung nilai mutlak, [pic].

5. Diberikan fungsi [pic]. Tentukan f(0), f(½), [pic].

6. Tentukan rangen kemudian gambar grafik fungsi

[pic]

7. Tentukan domain range dari fungsi-fungsi

a. f + g

b. f – g

c. f . g

d. f / g

e. g / f

f. f o g

g. g o f

8. Gambarlah fungsi berikut [pic]

2.8. Induksi Matematika dan Kombinasi

2.8.1. NOTASI JUMLAH (SIGMA)

Notasi Penjumlahan (()

Misalkan kita tuliskan polinomial Pn(x) sebagai :

Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + ….+ a1x + a0 ………………(1)

Atau

Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ….+ an-1xn-1 + anxn

Mungkin penulisan dan pengucapan bentuk (1) ini dirasa terlalu panjang dan tidak praktis. Sebuah notasi jumlah akan memendekkan dan menghemat penulisan tersebut. Sebagai misal bentuk (1) diatas dapat ditulis dengan menggunakan notasi jumlah sebagai berikut :

[pic]

letter i disebut “variable dummy” yaitu “Indeks jumlah” (disingkat indeks saja). Notasi ( adalah letter capital yunani yaitu “sigma” yang berkorespondensi dengan huruf latin “s”. Artinya “sigma untuk jumlah”. Indeks i mengambil harga-harga bilangan bulat dari yang kecil ke yang terbesar.

Perhatikan persamaan (2) jika disubtitusikan i = 0 pada aixi , diperoleh a0x0. Jika disubtitusikan i = 1 pada aixi , diperoleh aixi = aix dan seterusnya. Jika disubtitusikan i = n pada aixi , diperoleh anxn. untuk lebih jelasnya perhatikan ekspresi berikut :

Polinom derajat 1 : P1(x) = a0 + a1x = [pic]

Polinom derajat 2 : P1(x) = a0 + a1x + a2x2 = [pic]

Polinom derajat 2 : P1(x) = a0 + a1x + a2x2 + ….+ a5x5= [pic]

Letter yang sering digunakan selain letter kecil i juga biasa digunakan letter kecil seperti j, k, r, dan lain-lain.

Sebagai contoh :

bj + bj+1 + bj+2 + …..+ bk-1 + bk

dapat ditulis secara singkat sebagai :

[pic]

dibaca “sigma dari bi,j I mulai j sampai k “

indek i bisa dimulai dari sembarang bilangan yang dikehendaki, misalnya :

a3 + a4 + a5 + ….+ a10

dapat disingkat sebagai :

[pic]

Perhatikan pula contoh-contoh berikut :

(i). a2 + a4 + a6 + a8 + a10 + a12

dapat disingkat sebagai :

[pic]

(ii). [pic] dapat disajikan sebagai :

2 + 25 + 27 + 211 = 2 + 32 + 128 + 2048 = 2210

(iii). 32 + 42 + 52  + 62 + 72

dapat dituliskan sebagai :

[pic]

contoh 1 :

Hitunglah :

a. [pic] b. [pic] c. [pic]

Penyelesaian :

a. [pic] = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 135

b. [pic] = 12 + 22.2 + 32.3 = 1 + 24 + 36 = 1 + 16 + 729 = 746

c. [pic]= (0+2) + (3+2) + (6+2) + (9+2) = 2 + 5 + 8 + 11 = 26

Sifat-sifat sigma :

(i) [pic]

(ii) [pic]

(iii) [pic]

(iv) [pic]

(v) [pic]

Beberapa rumus-rumus sigma

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic]

-----------------------

P(x,y)

x

X

0

y

Y

Gambar-2.1

Gambar-2.2

- - - - - - - - - - - + + + + + + +

Y

0

X

IV

III

II

I

Kuadran

+

+

+

+

-

-

-

-

Gambar-2.3

Y

-3

0

X

(4,0)

(2,3)

(-3,1)

-3

(3,-3)

2

Gambar-2.4

Y

y2

0

X

x2

Q(x2,y2)

y1

x1

P

R

Q

P

x1

y1

Gambar-2.5

Y

y2

0

X

x2

X

P

Q

0

h

Y

Q(x2,y2)

P(x1,y1)

Gambar-2.7

Y

m < 0

0

X

R(x2,y1)

R(x2,y1)

P(x1,y1)

l | h

m < 0

P(x1,y1)

Y

Gambar-2.8

0

X

l

Q(x2,y2)

m > 0

h

Q(x2,y2)

Gambar-2.9a

Y

0

X

(-3,0)

l (( h

m1 = m2

Y

0

X

l

Gambar-2.9b

Gambar-2.10

Y

0

X

(0,4)

4x – 3y + 12

y=-3x+1

y=3x+1

1

0

1/3

-1/3

1

y

x

Gambar 2.11

Gambar 2.12

x

y

3

-3

-3

0

3

-x + y = 3

y + x = 3

-x – y = 3

x – y = 3

2

2

0

Gambar 2.13

y

x

x2 + y2 = 4

x2 + y2 < 4

x

y

0

2

2

Gambar 2.14

x2 + y2 ( 4

x

y

0

2

2

Gambar 2.15

x2 + y2 > 4

x

y

0

2

2

Gambar 2.16

x

0

3

x=3

y

y

y=mx+n

y

0

x

y

x > 3

3

0

x

y

x ( 3

3

0

x

x < 3

y=mx+n

0

x

ymx+n

y

-2 < x < 3

0

x

Gambar 2.19

3

-2

-1

2

Gambar 2.20

y

-1 ( x ( 2

0

x

1

3`

1 ( y ( 3

-3

3

Gambar 2.21

y

|x| + |y| ( 3

0

x

-3

3

3`

D`

A

0

5

Gambar 2.22

y

A

2

x

1

B

C`

C

D

B

x

y

2

0

-2

2

-2

P

Gambar 2.23

domain

image

range

f

Gambar 2.24a

x

Df

Rf

f(x)

f

f

Gambar 2.24b

f(x2)

f(x1)

f

x1

x2

0

0

t = waktu dlm jam

f(t) = temperatur dalam oC

f

y1

y2

y

x

y

x

Df

Rf

Gambar 2.26

2

-1

0

1

-1

1

2

-2

f(x) = x2 – 2x – 1

Gambar 2.28

½

1

4

3

0

Df

Rf

f

x

y

y = ½

3 –

2 –

1 –

-1 –

-2 –

-1

0

-2

1

2

y

Grafik fungsi g

u/ x > 0

Grafik fungsi g

u/ x < 0

Gambar 2.30

[pic]

y

-2

4

0

1

[pic]

f(x)=ax+b

a>0

f(x)=ax+b a 0

x = -b/a

a > 0

D > 0

a > 0

D = 0

a > 0

D < 0

a < 0

D > 0

a < 0

D = 0

a < 0

D < 0

Sumbu x

C3

C2

C1

Gambar 2.38

y = ax3+bx2+cx+d

a < 0

y = ax3

a < 0

y = ax3+bx2+cx+d

a > 0

y = ax3

a > 0

y

x

0

1

-1

1

-1

C1

C2

C3

[pic]

[pic]

[pic]

2

1

0

1

-2

x

y

f1

f2

2

1

0

2

x

y

0

-2

x

y

-1

0

-1

x

y

-½

½

3

-2

1

0

-1

x

y

-1

-½

1½

|

n – 2

|

n – 1

|

n

|

x

|

n + 1

|

n + 2

[pic]

. . . . . .

1

2

3

1

2

3

-1

-2

-3

-1

-2

-3

Gambar 2.46

Grafik [pic]

x

y

½

1

1

2

-½

-1

-1

-2

Gambar 2.47

x

y

1

2

3

1

2

3

-1

-2

-1

-2

-3

4

6

5

Gambar 2.48

x

y

x(

0

f(x)

g o f

g(f(x))

-4

0

Gambar

x

Cos x

1 - Cos x

[pic]

h

g

f

y2

y1

x1

x2

Q(x2,y2)

T(x,y)

P(x1,y1)

x

y

m > 0

Lihat gambar

2.35a dan 2.35b

C3

C2

C1

C5

C4

-2

2

1

-1

0

1

-[pic]

[pic]

[pic]

-[pic]

X

Y

( y

f(x)

x(

y = f(x)

A

B

f

( y

x(

f -1(y)

x = f -1 (y)

A

B

f -1

Gambar 22

1

-1

-3

-3

1

-2

y = x

f –1(x)

f (x)=x2+2x-3

Gambar 23

x

y

1

-1

-2

-2

1

-1

y = x

f –1(x)

f (x)=[pic]

Gambar 24

x

y

X

Y

x

y

P(x,y)

u

v

u

-1

P’(u,v)=P’(cos x,sin x)

1

v

r =1

x

0

Lingkaran satuan

Gambar 25

Koordinat Kutub

Koordinat Kartesian

P

R

Q

1

[pic]

2

[pic]

Perhatikan segitiga PQR siku-siku di Q. Misalkan sudut P = [pic]

Maka sudut R = [pic]. Maka perbandingan panjang sisi-sisinya

adalah QR : RP : PQ = 1 : 2 : [pic]

berdasarkan hal ini diperoleh

[pic]

(ii)

y =ex

0

[pic] = [ (, 3(]

[pic] = [-3,3]

y = x

[pic]

y

A

C

B

h

s

m

x0

(i)

[pic]

[pic]

0o

30o

45o

60o

90o

4

3

2

1

0

Cos x

[pic]

0o

30o

45o

60o

90o

4

3

2

1

0

Sin x

0

-1

1

cos x

sin x

(/2

(

3(/2

2(

-(/2

-(

-3(/2

-2(

Gambar 27

0

-1

1

(/2

3(/2

-(/2

-(

-3(/2

(

Gambar 28

0

-1

1

(/2

3(/2

-(/2

-(

(

Gambar 29

0

-1

1

(/2

3(/2

-(/2

-(

-3(/2

(

sec x ( -1 ( sec x(1

Gambar 30

0

-1

1

(/2

3(/2

-(/2

-(

-3(/2

(

cosec x ( -1 ( sec x(1

Gambar 31

0

-3

3

3sin (1/2)x

(

2(

3(

4(

-(

-2(

-3(

-4(

Gambar 32

0

-1

1

sin 2x

(/4

(/2

3(/4

(

-(/4

-(/2

-3(/4

-(

Gambar 33

0

-1

1

(/2

(

3(/2

2(

-(/2

-(

-3(/2

Gambar 34

Df = [ (, 3(]

Rf = [-3,3]

(/2

-(/2

-1

1

y

x

y =sin x

y = x

(/2

(/2

-1

1

y

x

y =sin-1 x

Df = [-(/2,(/2]

Rf = [-1,1]

Df –1 =[-1,1]

Rf -1 = [-(/2,(/2]

Gambar 35

x

-1

1

y

(/2

0

y =cos x

(

x

(/2

y =arccos x

(

-1

1

y

0

Df = [0,(]

Rf = [-1,1]

Df –1 =[-1,1]

Rf -1 = [0,(]

Gambar 36

y

x

(/2

y =arccos x

(

-1

1

0

(/2

(

y = x

y = cos x

-1

Gambar 37

x

(/2

f(x) = tg x

y

0

-(/2

Df = (-(/2, (/2)

Rf = (-(, ()

Gambar 38

x

(/2

f -1(x)= arctg x

y

0

-(/2

Df -1 = (-(, +()

Rf = (-(/2, (/2)

x

(

f(x)= ctg x

y

0

(/2

Df = (0, ()

Rf = (-(, +()

x

(

f -1(x) = arcctg x

y

0

(/2

Df -1 = (-(, +()

Rf = (0, ()

Gambar 39

x

(

f -1(x) = arcsec x

y

0

(/2

Df -1 = (-(,-1] ( [1,+()

Rf -1 = (0, ()

1

2

3

-1

-2

-3

Gambar 40

(

f -1(x) = arccosec x

y

-(/2

Df -1 = (-(,-1] ( [1,+()

Rf -1= (0, ()

x

0

1

2

3

-1

-2

-3

Gambar 41

x

3(

f(x) = 3 sin(1/2x)

y

0

(

2(

3

-3

Gambar 42

x

3(

f –1(x)= 2 arcsin(x/3)

y

0

(

2(

3

-3

y = ln x

y

x

(1,0)

2

3

4

1

2

Df = (0,()

Rf = (-(,+()

Gambar 43

1

1

0

2

3

-1

-2

x

y

y = x

y = ln x

y = ex

Gambar 44

f

>

g

>

Grafik f dan f -1 ditunjukkan dalam gambar 24

................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download