ตรีโกณมิติและการประยุกต์



ตรีโกณมิติและการประยุกต์

1. วงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle)

ความยาวของเส้นรอบวงเท่ากับ 2(r หน่วย

เมื่อ r = 1 ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมหนึ่งหน่วยเท่ากับ 2(

Y

(0,1)

(-1,0) (1,0) X

(0,-1)

จากรูป เป็นพิกัด (x,y) ที่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยตามค่ามุมต่างๆ

แบบฝึกหัดที่ 1 กำหนดจำนวนจริง ( ให้หาจุดปลายส่วนโค้งที่ยาว ( หน่วยที่กำหนดให้

1.) ( = [pic] 2.) ( = [pic]

3.) ( = [pic] 4.) ( = [pic]

5.) ( = [pic] 6.) ( = [pic]

7.) ( = [pic] 8.) ( = [pic]

2. ฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R จะใช้วงกลมหนึ่งหน่วยเป็นหลักในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติ

กำหนดจำนวนจริง ( (ทีตา) ถ้า (x, y) เป็นจุดปลายส่วนโค้งที่วัดจากจุก (1,0) ยาว |(| หน่วย

1. ถ้า ( > 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

2. ถ้า ( ( 0 จะวัดส่วนโค้งจากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

จากความสัมพันธ์ ((x,y) ( R ×R|x2 + y2 = 1 ( จะเห็นว่า

-1 ≤ y ≤1 ดังนั้น -1 ≤ sin ( ≤ 1 และ -1 ≤ x ≤1 ดังนั้น -1 ≤ cos ( ≤ 1

นั่นคือ เรนจ์ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริง ตั้งแต่ -1 ถึง 1 และโดเมนของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจำนวนจริง

3. ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์

พิจารณาจากคู่อันดับซึ่งเป็นจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยซึ่งเริ่มต้นจากจุด (1, 0) และยาว |(| หน่วย โดยที่ ( แทนจำนวนจริงใดๆ

ค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจำนวนจริงบางจำนวน จากรูปวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ดังตารางต่อไปนี้

(ให้นักเรียนลองเติมเองเป็นแบบฝึกหัดครับ)

|จำนวนจริง ( |

|ควอดรันต์ ที่ 2 |ควอดรันต์ ที่ 3 |ควอดรันต์ ที่ 4 |

|[pic] ( [pic] ( [pic] |[pic] ( [pic] ( [pic] |[pic] ( [pic] ( 2[pic] |

|sin([pic]) = sin[pic] |sin([pic]) = -sin[pic] |sin(2[pic]) = -sin[pic] |

|cos([pic]) = -cos[pic] |cos([pic]) = -cos[pic] |cos(2[pic]) = cos[pic] |

|tan([pic]) = -tan[pic] |tan([pic]) = tan[pic] |tan(2[pic]) = -tan[pic] |

แบบฝึกหัดที่ 2

1. ให้เติมค่าของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจำนวนจริง [pic] ที่กำหนดให้

[pic] |sin[pic] |cos[pic] |[pic] |sin[pic] |cos[pic] |[pic] |sin[pic] |cos[pic] | |[pic] | | |[pic] | | |[pic] | | | |[pic] | | |[pic] | | |[pic] | | | |[pic] | | |[pic] | | |[pic] | | | |2. กำหนดให้ 0 ( [pic] ( [pic]และ sin ( = 0.4848 จงหาค่าของ

1.) sin([pic]) 2.) cos([pic])

3.) cos(2[pic]) 4.) sin (-[pic])

3. จงหาค่าของ sin[pic] และ cos[pic] เมื่อ [pic] เป็นจำนวนจริงต่อไปนี้

1.) [pic] = [pic] 2.) [pic] = [pic]

3.) [pic] = [pic] 4.) [pic] = [pic]

5. ฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ

ทฤษฎีบทของปีทาโกรัส

1. sin2( + cos2( = 1

2. sec2( - tan2( = 1

3. cosec2( - cot2( =1

ให้นักเรียนลองพิสูจน์ข้อ 2 กับข้อ 3 เป็นแบบฝึกหัด

แบบฝึกหัดที่ 3

1. จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้

1.) sec2( - tan2( = 1 2.) cosec2( - cot2( =1

2. กำหนดให้ sin[pic] = -0.6 และ [pic] ( [pic] ( 2[pic] จงหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ของ [pic]

3. จงหาค่าของ

1.) cos[pic]- sin[pic]+ tan[pic]- cos[pic]+ tan[pic] 2.) sin[pic]+ tan[pic]- cos[pic]sin[pic]

3.) sin[pic]+ tan[pic]cos[pic]-cot[pic]-sin[pic] 4.) sin[pic]cos[pic]+ cos[pic]sin[pic]+ sin[pic]

5.) cos2[pic] + sin2[pic]+ sin2[pic] cos2[pic] 6.) 2 sec2[pic]sin0 - cos22[pic]+ cosec[pic]

4. จงพิสูจน์แต่ละข้อต่อไปนี้

1.) cot2x + sec2x = tan2x + cosec2x 2 .) tan2x - sin2x = tan2xsin2x

3.) cosec x(cosec x - sin x) = cot2x 4.) cos x (sec x - cos x) = sin2x

5.) 1- cos x sin x cos x = sin2x 6.) 1+ sin x tan x sec x = sec2x

7.) cos[pic]+ sin[pic]tan[pic] = sec[pic] 8.) [pic] = tan2x

9.) [pic] = cos2x + sin2x 10.) [pic] = cosec2x

11.) [pic] = tan2x 12.) [pic] = cot x

6. ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุม

Y

P2(x2,y2) P3 (x3,y3)

P1(x1,y1)

P (1,0) X

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

สูตรของฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจริงหรือมุม (ต้องจำให้ได้)

ถ้า A,B เป็นจำนวนหรือมุม ที่ทำให้ฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้มีค่า แล้ว

สิ่งที่ควรเน้น

1. ผู้ศึกษาจะต้องจำสูตรทั้ง 8 สูตรให้ขึ้นใจ

2. ถ้าผู้ศึกษาจำสูตรเหล่านี้ไม่ได้ ผู้เขียนเชื่อว่า ผู้ศึกษาจะไม่สามารถศึกษาฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อย่างราบรื่น ดังนั้น ตั้งใจท่องและจำให้ได้ นะเด็กๆ

แบบฝึกหัดที่ 4

1. จงหาค่าของ

1.1) sin 15[pic] 1.2) cos 15[pic]

1.3) tan 15[pic] 1.4) cosec 15[pic]

1.5) sec 15[pic] 1.6) cot 15[pic]

1.7) sin 75[pic] 1.8) cos 75[pic]

1.9) tan 75[pic] [pic] 1.10) sec 75[pic]

2. ถ้า tanA = 2 และ A+B = 135[pic] เมื่อ B เป็นมุมแหลม แล้ว cosB มีค่าเท่าไร

3. ถ้า sin A = [pic] เมื่อ [pic] ................
................

In order to avoid copyright disputes, this page is only a partial summary.

Google Online Preview   Download