Ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

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Hugo Lombardo Flores 13 Abril 2011

1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1 Ecuaciones lineales y reducibles a estas.

1.

dy + 2y = 0

dx

Definimos el factor integrante.

p(x) = 2

?

factor integrante: e 2dx= e2x

multiplicamos la ecuacion por el factor integrante.

e2x

dy dx

+

2e2x

=

0

el lado izquierdo de la ecuacion se reduce a:

d dx

[e2xy]

=

0

separamos variables e integramos.

?

d dx

[e2xy]

=

0

?

dx + c

e2xy = c

y = ce-2x

2. forma lineal.

dy = 3y

dx

dy dx

-

3y

=

0

p(x) = -3

?

Factor integrante: e -3dx=e-3x multiplicamos por factor integrante.

1

e-3x

dy dx

-

3e-3xy

=

0

?

dy dx

[e-3x

y

? =0

dx + c

e-3xy = c

y = ce3x

3.

dy 3 + 12y = 4

dx

pasamos la ecuacion a la forma lineal.

dy dx

+ 4y

=

4 3

p(x) = 4

?

Factor integrante: e 4dx=e4x

4. forma lineal

e4x

dy dx

+ 4e4xy

=

4 3

e4x

?

d dx

[e4xy]

=

?

e4xdx + c

e4xy

=

1 4

e4x

+c

y

=

1 4

+ ce-4x

y = 2y + x2 + 5

y - 2y = x2 + 5

?

Factor integrante: e -2dx = e-2x

e-2xy - 2e-2xy = e-2xx2 + 5e-2x

?

d dx

[e-2xy]

=

?

? e-2xx2 + 5

e-2x + c

e-2xy

=

-

5 2

e-2x

-

1 4

e-2x

(2x2

+

2x

+

1)

+

C

y

=

-

x2 2

-

x 2

-

1 4

+

5 2

+ ce2x

5.

ydx - 4(x + y6)dy = 0

ydx = 4(x + y6)dy

; dx

dy

=

4(x+y 6 ) y

dx dy

=

4x y

+

4y6 y

2

denimos la forma lineal.

dx dy

-

4x y

=

4y5

Factor

integrante:

?

e-4

; 1

y

dy

; e-4 log(y)

; elog(y)-4

y-4

=

1 y4

1 y4

dx dy

-

1 y4

4x y

=

1 y4

4y5

d dy

[

1 y4

x]

=

4y

?

d dy

[

1 y4

x]

=

4

?

ydy

1 y4

x

=

2y2

+

C

x = 2y6 + cy4

6. Factor integrante:

Integramos:

xy + y = ex

y

+

1 x

y

=

ex x

?

e

1 x

dx

=

elog x

=

x

xy

+

x x

y

=

xex x

d dx

[xy]

=

ex

?

d dx

[xy]

=

?

exdx + c

xy = ex + c

y = exx-1 + cx-1

7.

dy

2

x dx

+y

=

y2

dy dx

+

y x

=

2 xy2

...(1)

hacemos la sustitucion: u = y1-ndonde n = -2

u = y1-(-2) = y3;u1/3 = y

Derivamos esta ultima.

1 3

u-2/3

du dx

=

dy dx

3

Sustituimos en la ecuacion diferencial 1.

1 3

u-2/3

du dx

+

u1/3 x

=

2(u1/3 )2 x

Acomodamos

a

la

forma

lineal,

multiplicando

toda

la

ecuacion

por

1 3

u2/3

.

du dx

+

3

u x

=

6 x

Esta es una ecuacion lineal. Denimos el factor integrante.

?

e3

1 x

dx

=

e3 log x

=

elog x3

=

x3

Multiplicamos por factor integrante.

integramos.

x3

du dx

+

3x3

u x

=

x3

6 x

d dx

[x3u]

=

6x2

?

d dx

[x3u]

=

6

?

x2 + c

x3u = 2x3 + c

u = 2 + cx-3

Sustituimos u = y3

y3 = 2 + cx-3

8.

y1/2

dy dx

+ y3/2

= 1;

condicion

y(0)

=

4

dy dx

+

y3/2 y1/2

=

1 y1/2

dy dx

+ y = y-1/2

u = y1-n; n = -1/2; u = y1-(-1/2) = y3/2

u2/3 = y

Sustituimos.

2 3

u-1/3

du dx

=

dy dx

2 3

u-1/3

du dx

+

u2/3

=

(u2/3)-1/2

Multiplicamos

la

ecuacion

por

2 3

u1/3

du dx

+

3 2

u

=

3 2

LFaacetcour aicnitoengrsaenrtee:duej32o?adxun=a

lineal.

e

3 2

x

4

e

3 2

x

du dx

+

e

3 2

x

3 2

u

=

e

3 2

x

3 2

d dx

[e

3 2

x

u]

=

3 2

e

3 2

x

?

d dx

[e

3 2

x

u]

=

?

3 2

e

3 2

xdx

+

c

e

3 2

x

u

=

e

3 2

x

+

c

u

=

1

+

ce-

3 2

x

Sustituimos u = y3/2

y3/2

=

1

+

ce-

3 2

x

Solucion general.

Ahora aplicamos las condiciones iniciales. y(0) = 4

43/2

=

1

+

ce-

3 2

0

8-1=c

c=7

Sustutuimos el valor de c en la ecuacion general.

y3/2

=

1

+

7e-

3 2

x

Solucion particular.

9.

y + 2 y = -2xy2 x

u = y1-n; donde n = 2 entonces: u = y1-2; u = y-1; u-1 = y

-u-2

du dx

=

dy dx

sustituimos en la ecuacion.

-u-2

du dx

+

2 x

u-1

=

-2x(u-1)2

multiplicamos por -u2

du dx

-

2 x

u

=

2x

esta

es

una

ecuacion

lineal

con

p(x)

=

-

2 x

obtenemos el factor integrante.

?

e-2

1 x

dx

=

elog x-2

=

x-2

integramos.

x-2

du dx

-

x-2

2 x

u

=

x-22x

d dx

[x-2u]

=

2x-1

5

?

d dx

[x-2u]

=

?

2x-1dx + c

x-2u = 2 log x + c

u = 2x2 log x + cx2

sustituimos u = y-1 y la soluci?n es entonces:

10, sea. n = -1/2

y

=

1 2x2 log x+cx2

y + xy = xy-1/2

u = y1-n; u = ; y1-(-1/2) u = y3/2; y = u2/3

dy dx

=

2 3

u-1/3

sustituimos en la ecuacion.

2 3

u-1/3

+

xu2/3

=

x(u2/3)-1/2

multiplicamos

por

2 3

u1/3

du

dx

+

3 2

xu

=

3 2

x

que

es

una

ecuacion

lineal

con

p(x)

=

3 2

x

Factor integrante:

e3 2

?

xdx

=

e3 4

x2

e3 4

x2

du dx

+

e3 4

x2

3 2

xu

=

e

3 4

x2

3 2

x

d dx

e

3 4

x2

u

=

3 2

xe

3 4

x2

dx

+

c

?

d dx

e

3 4

x2

u

=

3?

2

xe

3 4

x2

dx

+

c

e

3 4

x2

u

=

e3 4

x2

+

c

u

=

1

+

ce-

3 4

x2

sustituimos u = y3/2

y3/2

=

1

+

ce-

3 4

x2

6

1.2 Ecuaciones exactas y reducibles a exactas.

1.(2x - 1)dx + (3y + 1)dy = 0

M (x, y) = 2x - 1; N (x, y) = 3y + 1

Comprobamos que la ecuacion sea exacta, esto es si secumple la condicion

M y

=

N x

M y

=0

;

N x

=0

son iguales, por lo tanto la ecuacion es exacta. Ahora tomamos una funcion fx(x, y) = M(x, y)

fx(x, y) = 2x - 1

integramos respecto a x, y la constante de integracion sera una funcion g(y)

?

M x

? =2

? xdx -

dx + g(y)

f (x, y) = x2 - x + g(y)... (1)

Esta funcion la derivamos con respecto de y.

igualamos con N(x,y)

f y

=g

(y)

g (y) = 3y + 1

integramos respecto a y

?

?

?

g (y) = 3 ydy + dy + c

g(y)

=

3 2

y2

+y

+c

sustituimos la funcion en (1).

x2

-

x

+

3 2

y2

+

y

=

c

esta es una solucion en forma implicita de la ecuacion. 2.

(seny - ysenx)dx + (cosx + xcosy - y)dy = 0

M (x, y) = seny - ysenx; N (x, y) = cosx + xcosy - y

M y

=

cosy - senx

N x

=

-senx + cosy

7

M y

=

N x

por

lo

tanto

es

una

ecuacion

exacta.

tomamos fx(x, y) = seny - ysenx

integramos con respecto a x

?

?

fx(x, y)dx = (seny - ysenx)dx

f (x, y) = xseny - y(-cosx) + g(y)...(1)

derivamos esta ecuacion respecto a y, e igualamos con N(x,y)

fy(x, y) = cosx + xcosy + g (y) = cosx + xcosy - y

g (y) = -y

integramos respecto de y

?

?

g (y) = - ydy + c

sustituimos en (1)

g(y)

=

-

1 2

y2

+

c

f (x, y)

=

xseny

+

ycosx

-

1 2

y2

nos queda la solucion implicita.

xseny

+

ycosx

-

1 2

y2

=

c

3.

(3x2y + ey)dx = -(x3 + xey - 2y)dy

M (x, y) = 3x2y + ey; N (x, y) = x3 + xey - 2y

My(x, y) = 3x2 + ey

Nx(x, y) = 3x2 + ey

My(x, y) = Nx(x, y) entonces es una ecuacion diferencial exacta. Integramos fx(x, y) con respecto de x, y obtenemos una funcion g(y) de constante de integracion.

? f (x, y) = (3x2y + ey)dx

f (x, y) = x3y + xey + g(y)... (1)

Derivamos con respecto de y (1) e igualamos con N(x,y)

fy(x, y) = x3 + xey + g (y) = x3 + xey - 2y

g (y) = -2y

8

 ................
................

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