MATHEMATICAL PREPARATION COURSE before studying Physics

MATHEMATICAL

PREPARATION COURSE

before studying Physics

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without Animations, Function Plotter

and Solutions of the Exercises

Klaus Hefft

Institute of Theoretical Physics

University of Heidelberg

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September 16, 2020

Contents

1 MEASURING:

Measured Value and Measuring Unit

5

1.1

The Empirical Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Physical Quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Units . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4

Order of Magnitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2 SIGNS AND NUMBERS

and Their Linkages

13

2.1

Signs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2

Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1

Natural Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2

Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3

Rational Numbers

2.2.4

Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 SEQUENCES AND SERIES

and Their Limits

27

3.1

Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2

Boundedness

3.3

Monotony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.4

Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5

Series

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

i

4 FUNCTIONS

39

4.1

The Function as Input-Output Relation or Mapping . . . . . . . . . . . . . 39

4.2

Basic Set of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1

Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.2

Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.3

Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2.4

Functions with Kinks and Cracks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.3

Nested Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4

Mirror Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5

Boundedness

4.6

Monotony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.7

Bi-uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.8

Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.8.1

Roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.8.2

Cyclometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.8.3

Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.10 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5 DIFFERENTIATION

77

5.1

Differential quotient

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2

Differential Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3

Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4

Higher Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.5

The Technique of Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5.1

Four Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5.2

Simple Differentiation Rules: Basic Set of Functions . . . . . . . . . 88

5.5.3

Chain and Inverse Function Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.6

Numerical Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.7

Preview of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

ii

6 TAYLOR SERIES

103

6.1

Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.2

Geometric Series as Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.3

Form and Non-ambiguity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.4

Examples from the Basic Set of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.1

Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4.2

Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.4.3

Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.4.4

Further Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.5

Convergence Radius

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.6

Accurate Rules for Inaccurate Calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.7

Quality of Convergence: the Remainder Term . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.8

Taylor Series around an Arbitrary Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7 INTEGRATION

121

7.1

Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.2

Area under a Function over an Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.3

Properties of the Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.4

7.5

7.3.1

Linearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.3.2

Interval Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.3.3

Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.3.4

Mean Value Theorem of the Integral Calculus . . . . . . . . . . . . 129

Fundamental Theorem of Differential and Integral Calculus . . . . . . . . . 130

7.4.1

Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.4.2

Differentiation with Respect to the Upper Border . . . . . . . . . . 131

7.4.3

Integration of a Differential Quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.4.4

Primitive Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

The Art of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

iii

 ................
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