Lista 2 - FGV EPGE



Lista 2

1. Considere uma opção de compra européia sobre uma ação que não paga dividendos. O preço atual desta ação é de $100, o preço de exercício é de $110, a volatilidade é de 30% a.a., a taxa de juros é de 10% a.a., e a opção vence em 6 meses. Qual o preço da opção por BS? Qual é o Delta?

2. Construa uma rotina para extrair a volatilidade implícita de uma call européia que não paga dividendos. Calcule a volatilidade implícita da seguinte call européia: S=100, K=100, T-t=1 ano, r=10% a.a. e o preço da call é 2.

3. Em certo dia foram observados os seguintes preços de opção de compra sobre Petrobras (de acordo com o strike ou prazo em dias úteis)

|Strike/Prazo |10 |31 |52 |

|42 |2,02 |2,85 |3,1 |

|44 |0,78 |1,65 |2,21 |

|46 |0,22 |0,83 |1,24 |

|48 |0,06 |0,38 |0,84 |

|50 |0,02 |0,17 |0,45 |

|52 |0,01 |0,06 |0,12 |

Sabendo que Petrobras a vista está cotada em 43,48 e a taxa sem risco é de 13% a.a. determine as volatilidades implícitas. Em seguida use um procedimento de interpolação e estime a volatilidade implícita para uma opção de compra sobre Petrobras com strike igual a 49 e prazo 27 dias úteis. Informe qual método de interpolação foi usado. Faça um gráfico da superfície de volatilidade.

4. Construa o gráfico do delta de uma call em função do preço a vista do ativo objeto. O prazo da call é de 1 ano, o strike é de 100, a volatilidade do ativo é de 15%a.a. e a taxa sem risco é de 10% a.a. Construa o mesmo gráfico supondo que a opção é de venda. Faça o mesmo exercício considerando uma volatilidade de 40% a.a.

5. Uma LTN que vence em 07/08/02 foi negociada no dia 05/04/02 a uma taxa de 20,49%a.a. Determine o preço de negociação sabendo que entre essas duas datas há 86 dias úteis.

6.

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7.

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8. Assinale V ou F:

a. Value at Risk, ou valor em risco, é o valor monetário das perdas a que uma carteira está sujeita, a um determinado nível de confiança e dentro de um horizonte de tempo.

b. Quando o VaR de um dia calculado para uma carteira com um nível de confiança de 99% é de R$ 10.000,00, isso significa que há 99% de chance de a carteira ganhar mais de R$ 10.000,00.

c. Se uma carteira de ações tem um VaR de um dia de R$ 100.000 para um nível de confiança de 95%, isto equivale a dizer que há 5% de probabilidade de a carteira perder mais de R$ 100.000 em um dia.

d. O método paramétrico consiste em atribuir uma distribuição de probabilidade conhecida aos retornos dos ativos que compõem a carteira e, a partir daí, empregando as propriedades dessa distribuição, estimar o VaR.

e. O VaR da carteira é simplesmente a soma do VaR de cada ativo.

f. A quantidade de cenários simulados utilizados no modelo não-paramétrico não deve ser muito pequena, sob o risco de acabarmos simulando cenários que não refletem a situação atual.

g. Uma curtose maior do que a da normal indica uma distribuição com grandes picos, caudas grossas e poucos dados intermediários (leptocúrtica).

h. Heterocedasticidade significa “alta variância ao longo do tempo”.

i. Uma medida da extensão dos dados observados que caem perto do centro ou nas caudas de uma distribuição é dada pela curtose.

j. Quando usamos simulação história a quantidade de cenários empregados não pode ser inferior a 1000.

k. Podemos aproximar o VaR de uma posição em opções pelo VaR de uma posição composta pelo ativo objeto em valor igual a Delta vezes a posição em opções.

l. O método delta-gama-normal consiste em aproximar a variação no preço de um ativo até o termo de primeira ordem.

m. O método delta-gama-normal apresenta um sério problema teórico: se a variação no preço do ativo é normalmente distribuída então o seu quadrado tem distribuição chi-quadrado e não normal.

n. A variação do prêmio de uma opção devida a pequenas variações no preço do ativo objeto é aproximadamente Delta vezes o valor da variação no preço do ativo objeto.

9. Calcule o VaR de uma carteira formada por dois ativos sabendo que o VaR de um dos ativos é R$ 1.500.000, do outro é R$ 2.000.000 e que o coeficiente de correlação entre ele é de -0,1. Suponha que os retornos dos dois ativos obedeçam a uma distribuição normal.

10. Suponha que o preço atual de uma ação é de R$ 50 e que seu sua volatilidade diária é de 5%. Qual é aproximadamente o VaR de um dia com 95% de confiança para um carteira com 10 dessas ações? Suponha distribuição normal para o retorno da ação.

11. A tabela a seguir apresenta os dez piores resultados (em R$) simulados para uma carteira segundo o método histórico. Foram simulados 100 cenários. O VaR dessa carteira (em R$) utilizando a técnica de simulação histórica para um nível de confiança de 95% é de (observe que você não tem como calcular o VaR, assinale o valor mais razoável dentre os abaixo de acordo com as informações que dispõe):

|Cenário |Variação da carteira | |Cenário |Variação da carteira |

|10 |-2.330.019 | |17 |-1.517.398 |

|11 |-2.270.830 | |98 |-1.219.389 |

|13 |-1.950.429 | |40 |-1.206.324 |

|45 |-1.710.204 | |22 |-1.152.259 |

|92 |-1.705.333 | |16 |-959.501 |

a. 2.330.019

b. 1.615.925

c. 2.500.000

d. 959.501

12. Uma carteira de ações possui um VaR (Value-at-Risk) de R$ 2.000.000,00 para um dia com um nível de confiança de 99%. Isso significa que:

a. A perda apurada amanhã está limitada a R$ 2.000.000,00.

b. Com 99% de certeza podemos dizer que a perda no dia de amanhã não será superior a R$ 2.000.000,00.

c. A perda apurada amanhã com 1% de confiança não será maior que R$ 2.000.000,00.

d. A perda apurada amanhã com 95% de confiança não será maior que R$ 2.000.000,00.

13. Suponha que a cotação atual de uma determinada ação é de R$ 100,00, a volatilidade de seu retorno diário é de 1% e o delta da opção sobre essa ação é de 60%. Qual é a perda máxima esperada (VaR) para amanhã com 95% de confiança para uma carteira com 2 opções sobre essa ação? Use o método Delta-Normal.

14. Suponha que o valor de face de um título de renda fixa sem cupons que vence em 30 dias úteis é de R$ 1.000,00, que a taxa de juros vigente no mercado para esse prazo é de 25% a.a. (ano base de 252 dias úteis) e que a volatilidade diária estimada da taxa de juros para o prazo de 30 dias é de 0,5%. Qual é o VaR delta-normal de um dia com 95% de confiança de uma carteira com 5 desses títulos?

15. Considere uma carteira formada unicamente por 5.000 ações da Petrobras. Calcule o VaR diário dessa carteira entre 11/06/04 e 03/11/04. Ou seja, você deve calcular o VaR no dia 11/06/04 para o dia 14/06/04 (próximo dia útil), o VaR no dia 14/06/04 para o dia 15/06/04 (próximo dia útil), e assim sucessivamente. No total você terá calculado 100 VaR’s (um para cada dia no período acima). Use a planilha fornecida em material anexo a essa lista. Nessa planilha você encontrará os dados para realização dos cálculos. Use os seguintes métodos:

a. Suponha retorno normal de Petrobras e estime a volatilidade usando o desvio padrão com uma janela de 60 dias.

b. Suponha retorno normal de Petrobras e estime a volatilidade usando o EWMA com lambda igual a 0,94.

c. Simulação histórica com 100 cenários.

d. Simulação histórica com 250 cenários.

e. Simulação histórica com 250 cenários usando o método de Boudoukh, Richardson, e Whitelaw (1998). Use um lambda de 0,98.

f. Simulação histórica com 250 cenários usando o método de Hull e White (1998). Use EWMA com lambda igual a 0,94 para calcular as volatilidades.

g. Construa um gráfico com a série temporal do VaR’s obtido por cada um dos métodos anteriores. Inclua também a série temporal da variação diária da carteira entre 14/06/04 e 04/11/04.

h. Observando esse gráfico, quais métodos você acha bom?

16. Repita o mesmo exercício anterior supondo que a carteira é formada por 5.000 ações de Petrobras e 3.000 ações de Vale. Quando for o caso, as correlações devem ser obtidas pelo mesmo método usado para cálculo da volatilidade.

17. Suponha que uma carteira é formada por dois ativos normalmente distribuídos. Mostre que o VaR da carteira é

18. Considere as seguintes taxas de DI futuro observadas em um certo momento.

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Estime por interpolação linear, splines cúbicas e flat forward a taxa de juros para 130 dias.

19. Calcule a duration modificada de um título com prazo de 10 anos, valor de face igual a $ 1000 e que paga cupons semestrais de $ 50 sabendo que ele foi negociado por $ 960.

20. Considere o modelo Diebold e Li. Fixe o parâmetro lambda igual a 3,58. Usando a base de dados de taxa de juros em anexo (taxas DI diárias entre janeiro 03 e dezembro 05), calcule a série temporal dos betas usando mínimos quadrados ordinários.

21. Usando a mesma base de dados do exercício anterior, determine a série temporal dos loadings das três primeiras componentes principais das taxas de juros. Compare o resultado com os betas obtidos no exercício anterior.

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